解答題：三角備熬與解三角形

目錄】

題型一:三角慢等交換與三角函數(shù)....................................................1

題型二:正余裁定理解三角形的邊與角................................................3

題型三:利用正裁定理求三角形外按圄................................................6

題型四:解三角形中邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值范圍...........................................8

題型五:解三角形中面積的最值沱國(guó).................................................10

題型六:三角形的角平分線、中線、垂線..............................................12

必刷E..........................................................................17

題型一:三角恒等交換與三角函數(shù)

模塊

option大題典例，

例1：(24—25高三上?河南?月考)已知向量后=(cos/+sin力，通sin/),?t=(cos/—sin力,2cos/)，函數(shù)g(/)=

m?n.

(1)求g(C)的最小正周期;

【答案】⑴兀；⑵[1,2).

【解析】（1）。（力）—rh-n—cos2力—sin?6+2，^sin力cos/，=cos26+V3sin2a?=2sin（2/+?

\6

???gQ）的最小正周期T=^~=7t;

^U=2x+^,-：xE[o,y],：.uE[y.-y],

由圖知，當(dāng)14QV2時(shí)，g=2sinu(〃e的圖象與直線g=Q有兩個(gè)交點(diǎn),

實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,2).

解法指導(dǎo)

此類題型考察恒等變形和三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，涉及到三角恒等變形的公式比較多。

1、首先要通過(guò)降幕公式降幕，二倍角公式化角：

(1)二倍角公式：sin2a=2sinacosa(S2￡Z);cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a(G。

1—cos2a

（2）降累公式：cos2a=l+^s2asin2a=

2

2、再通過(guò)輔助角公式“化一”,化為y=Asin(cox+cp)+B

3、輔助角公式：asina+bcosa=Va2+&2sin(?+p),其中tan(p=—.

4、最后利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，求解計(jì)算:

一般將+0看做一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想解題。與三角函數(shù)相關(guān)的方程根的問(wèn)題（零點(diǎn)

問(wèn)題），通常通過(guò)函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，再借助圖象進(jìn)行分析。

膜塊

oplion變式訓(xùn)練，

【變式1】（24—25高三上?江蘇常州?月考）如圖，已知函數(shù)/（力）=2sin（06+0乂0>O,|R|V*）的圖象過(guò)點(diǎn)

A（O,1）和3（羯一2）（的〉。），且滿足|=V13.

(1)求/(c)的解析式；

⑵當(dāng)cC[一十,1]時(shí),求函數(shù)/Q)值域.

【答案】⑴fQ)=2sin(胃/+1);⑵[0,2]

【解析】⑴由A(O,l),-B(ico,—2)(cco>O),|AB|=V13,#rco+9=13,g>0,則x0=2

又/(。)=1，即sin(p)=/,㈤V取得p=專,

由/⑵=-2,得sin(2ft)+))=-1,

根據(jù)圖象可知20+親=乎，解得3=等

.?./(2)=2sin(蓍<+[).

(2)-.'xE[―^>1],+yC[o,普]，故sin(人必+專)G[0,1],

/(t)=2sin+專)e[0,2],即/(2)的值域?yàn)閇0,2].

?M

【吏式2】（24-25高三上.北京.期中）已知函數(shù)/（2）=sin2rc+2sinacos/—COS2T.

（1）求/（力）的最小正周期；

（2）求不等式/（力）>-1的解集；

（3）從條件①,條件②,條件③選擇一個(gè)作為已知條件，求m的取值范圍.

①/（力）在（0,772）有恰有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②/（力）在（0,m）單調(diào)遞減；

③/（力）在（0,加）恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

注:如果選擇的條件不符合要求，0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴兀；⑵,"《苧+時(shí),府—};⑶答案見(jiàn)解析

【解析】（1）因?yàn)閒（x）=sin2a;+2sin/cos力—cos2a;=2sin力cos/—（cos2a7—sin2rr）=sin2力—COS2T=

A/5"sin（26—）.

所以/（劣）的最小正周期為f=兀

（2）因?yàn)閒（x）=方sin（2力一（■）>—1,即sin（2/一寧）>—,

則一￡+2E&2/一￡4苧+2版#GZ,解得力+k兀，

所以不等式/（力）>—1的解集為{力卜?！读Α秾！?k7C,kez}.

（3）因?yàn)榱（0,?。?，所以2力一十6

若選擇①：因?yàn)?（力）在（0,m）有恰有兩個(gè)極值點(diǎn).

則萼V2m—4《萼，解得圣〈山《坐，

242oo

所以小的取值范圍（二,巖］;

若選擇②：因?yàn)?（力）在（0,772）單調(diào)遞減

當(dāng)2%—￡e.晝）時(shí),/（%）函數(shù)遞增，

所以f（a）在（0,m）不可能單調(diào)遞減，所以②不符合題意；

若選擇③：因?yàn)?（劣）在（0,772）恰好有兩個(gè)零點(diǎn).

則7i<2m—2兀，解得粵~<m&粵~,

488

所以m的取值范圍（萼,等］.

\3oJ

題型二:正余弦定理解三角形的邊與角

模塊

oplion大題典例，

例2：（24-25高三上?福建南平?期中）在銳角AABC中，角。所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知cos2（A+B）=

__3

4

（1）求tan2C;

（2）當(dāng)c=2a,且b=時(shí)，求Q.???

【答案】(1)—彳；(2)平

【解析】⑴因?yàn)閏os2(A+B)=—|-,

所以cos2(A+B)-sin2(A+B)，即cos??！猻in2C=-j,

所以cos2。一si"。_1一tai12c___3

cos2C+sin2C1+tan2C4'

所以tan2C=7,

又因?yàn)镃為銳角，所以tanC=V7,

2tanCV7

所以tan2C==

1—tan2C3

⑵由⑴知tanC=，7且。為銳角，

所以cosC=,

所以=&2+〃_2abcosC,即4c?=a?+.-2ax?x辛,

所以12a2+VTia-7=0.解之得a=衛(wèi)工

0

解法指導(dǎo)

利用正、余弦定理求解三角形的邊角問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：

1、選定理.

（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；

（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

（4）己知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

（5）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊,利用余弦定理；

2、巧轉(zhuǎn)化:化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化;若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的

關(guān)系,則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡(jiǎn).

3、得結(jié)論:利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對(duì)大角,三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利

用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。

?；?/p>

option變式訓(xùn)練?

【變式1】（24—25高三上?江蘇蘇州?月考）記4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a（V2-cosB）

=2bcos2j^.

（1）證明：&+c=V2a;

（2）若a=2,tanBtanC=3,求sinA

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2屈114=彳1

【解析】⑴由已知結(jié)合正弦定理，得sin4，^—cos_B）=2sin_Bcos2等，???

化簡(jiǎn)得sin>l(V2—cosB)=sinB(l+cosA),

艮!7sin24cos+cosAsinB+sinB=V2sinA,

所以sin(A+B)+sinB=V2sinA,

又4+B=7r—。，所以sinB+sinC=V2sinA,

故由正弦定理得b-\-c—V2a.

sinBsin。

（2）因?yàn)閠an_BtanC=3,所以

cosBcosC

所以sinBsinC—cosBcosC=2cosBcosC,

所以一cos(_B+C)=2cosBcosC,

結(jié)合石+。=兀一A,可得一cos(_B+C)=cosA,故cosA=2cosBcosC,

由(1)知b+c=V2a=2A/2,

(b+c)24_J__

由余弦定理得cosA=6點(diǎn)，——

2bcbe'

則2_1=2?4+2一1.4+2—2

be4c4b'

化簡(jiǎn)得16—8bc=(4+c2—62)(4+62一。2)=16—0+c)2(b—c)2,

代入b+c=2V2,整理得16-8bc=16-8(6—c》，所以be=與，

5

91

所以cosA=----1=,

be4

故sinA=V1—cos2A=---.

4

【變式2】（24-25高三上.上海.期中）在4ABC中，角4、石、C所對(duì)的邊分別為Q、b、c,已知a=5.

⑴若/=看，b=3c,求c;

o

(2)若/.=￡,5csiikB=3b,求△4BC的周長(zhǎng).

6

【答案】⑴C=邛^;⑵15+3加或7+31.

【解析】⑴根據(jù)余弦定理。2=〃+。2—2bccosA,已知a=5,A=^-,b=3c.

將b=3c,Q=5,COSA=代入余弦定理公式可得：

52=(3c)2+c?—2x3cxcxJ化簡(jiǎn)得c?=

解得c=，q-(因?yàn)檫呴L(zhǎng)不能為負(fù)，舍去一3個(gè)).

(2)已知5csirkB=3b,由正弦定理［“77=—^―-可得5sinCsiiLB=3sin_B.

smBsmG

因?yàn)閟inBW0,可得sinC=.

5

因?yàn)閍=5,A=9，QVc時(shí)。有兩解（C為銳角或鈍角）.

6

當(dāng)。為銳角時(shí)，cosC=

5

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,sinA=-1-,cosA=.

則sinB=JX!+乎X弓=4+y.

ZiOZiOJ.U???

再由正弦定理-^―=-7^—,可得b=Qsinf-=5x4+產(chǎn)x2=(4+373).

smBsmAsmA10

ca―坦asinC3日

盂「可信C=MT=5cX至X2o=6.

sin。

此時(shí)三角形周長(zhǎng)為a+6+c=5+(4+3V3)+6=15+373.

當(dāng)。為鈍角時(shí)，cosC=―3.

5

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x(一春)+義卷=3A.

由正弦定理一^^=一％,可得b=gm，=5x-3"12x2=(3V3-4).

smBsinAsinA10

c_a

可得c=管呼=5X-|-X2=6.

sinCsinAsinA5

此時(shí)三角形周長(zhǎng)為a+b+c=5+(3V3-4)+6=7+373.

則△ABC的周長(zhǎng)為15+3四或7+3V3.

題型三:利用正弦定理求三角形外接圓

option大題典例，

：(24-25高三上?全國(guó)?專題練習(xí))△AB。的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知此葉應(yīng)

ab

2sin°B-sin°A

sin°A

⑴求。的大??；

(2)若△ABC面積為6四，外接圓面積為粵■兀，求△4BC周長(zhǎng).

O

【答案】⑴告；⑵18

［解析］(1),,\+。2-。2_2sin°B—sin04_2b—a

absin°Aa

ab=b2+a2—c2,

川+江―。21

:.cos°C=

2ab2

.:ce(0,兀),.?.C=看.

⑵設(shè)△ABC外接圓的半徑為A,

由5圓=HR2=弓■兀，得R=N弋,

OO

因?yàn)椤?7=22?=斗③，解得c=7,

smC3

VS^BC=absin°所以ab=24,

又c?=〃+/—而=(0+匕)2—,

所以49=(a+b)2—72，故a+b=11,

所以/\ABC周長(zhǎng)a+b+c=18.

解法指導(dǎo)

利用正弦定電心=磊=就7=2R可求解三角形外接圓的半徑。

若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將五用含角的式子表示,再通過(guò)三角函數(shù)的范圍來(lái)求半徑的范圍。

O|lliD]l變式訓(xùn)練，

【變式1］（24—25高三上?海南?月考）如圖，平面四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓，且AB=5,3。=30，A為鈍

（1）求sin/ABO；

（2）若BC=5,求ABCD的面積.

【答案】（1）駕；（2）15

【解析】⑴因?yàn)?為鈍角，sinA二卷，所以cosA=—J1—=―點(diǎn),

由余弦定理得(3V5)2=AD2+52-2XAOX5X(―日),

整理得AD+8AD-20=(4D+10)(4D—2)=0,解得4D=2(負(fù)根舍去),

2xf_2V5

ADBDADxsinA

由正弦定理得sinZABD=

sin/ABDsinABD3V5—25

（2）由于圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，所以sinC=sinA=§且C為銳角，則cos（7=3,

55

在三角形BCD中，由余弦定理得：

(3V5)2=52+CD2-2x5xCE>x4,CD2-8GD-20=(CD-10)(CD+2)=0,

o

解得CD=10(負(fù)根舍去)，

所以三角形BCD的面積為!xBCxCDxsinC=Jx5x10x=15.

/0

【變式2］（23—24高三下?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,C,D構(gòu)成的四邊形ABC。中，

AB=1,BC=2,CE>=3,AZ?=4.

（1）求△ACD面積的取值范圍；?M

⑵若四邊形ABCD存在外接圓，求外接圓面積.

【答案】⑴（0,2方）；⑵嘿*

Zoo

【解析】（1）由三角形的性質(zhì)可知，AB+BOAC,^AC<3,

且AC+CD>AD,即AC>1,所以1VACV3,

AADC中，cos/ABC=，名斐=25

2x3x424

所以cosAADCC信,1）,則sinZADCC（0,手），

S4Aoe=X3X4XsinZADC=6sinZA￡>C,

所以ZVI。。面積的取值范圍是（0,2/5）;

⑵△ADC中，AC2=9+16-2x3x4xcos/ADC=25-24cos/ADC,

△ABC中，AC2=1+4—2xlx2xcosAABC5-4cosZABC,

即25—24cos/ADC=5—4cos/ABC

因?yàn)樗倪呅蜛BCD存在外接圓，所以AADC+AABC=180°,即cos/ADC=—cos/4BC,

即25-24cos/AZ?C=5+4cos/AOC,得cosZADC=y,sin/ADC=Jl-借j=,

此時(shí)人。2=25—24乂率=?,即4。=上弊，

由？*AC_V23W._V23W

由2R-詬z詼-R

四邊形ABCD外接圓的面積S=兀守=兀x（嗎叵/=空警.

\24）2oo

題型四:解三角形中邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值范圍

大題典例模

::（24-25高三上?四川綿陽(yáng)?月考）在銳角△ABO中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,b2=c2-ab.

（1）求證：C=2B；

（2）6=2,求a的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2<a<4.

【解析】（1）在銳角4ABC中，由余弦定理b2=a2+—2accosB及〃=c?—ab,得2ccosB=a+b,

由正弦定理得2sinCcosB=sinA+sinB=sin（B+C）+sinB=sinBcosC+cosBsinC+sinB,

則sin（C—B）=sinB岫0<C<^,0<B<*^—5<C—3<5,

所以=即。=2B.

⑵在銳角AABC中,由正弦定理得心=焉,則J—2口）=sib,

2sin（B+2B）_2（sinBcos2B+cosBsin2B）

于是a==2cos2B+4cos2B=8cos2B—2,

sinBsinB

fO<2B<f

由2，得專貝cosBE

0〈兀-3B<C-y

所以a的取值范圍是2VaV4.

解法指導(dǎo)

利用正、余弦定理等知識(shí)求解三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題，一般先運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，然后

通過(guò)三角形中相關(guān)角的三角恒等變換,構(gòu)造關(guān)于某一角或某一邊的函數(shù)或不等式，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基

本不等來(lái)處理。

變式訓(xùn)練，

【變式1】（24—25高三上?山西?月考）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,6,c,且（fe+c）cosA=

a（cosB—cosC）.

（1）證明：Z=2A

（2）若△ABC是銳角三角形，求之的取值范圍.

a

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；⑵（空,乎）.

【解析】（1）由題設(shè)（sinB+sinC）cos74=sinA（cosB—cosC）,

所以sinBcosA+sinCcosA=sinAcosB—sinAcosC,

貝”sinCcosA+sinAcosC=sinAcosB—sinBcosA,即sin(A+C)=sin(A—B),

又4+。=兀一則sin(7r—B)=sinB=sin(4—B),且ABE(0,兀)，

所以6=_4-604=2石,得證.

0<A<f0<2B<f

⑵由題設(shè)＜0<B<^，即<0<B<f，得

/64

號(hào)VA+BVTTf<3B<7L

sinB_sinB故”停修.

由立1,而cosBE

asinAsin2B2cosB

【變式2】（24-25高三上?貴州遵義?月考）記△AB。的內(nèi)角A,。對(duì)應(yīng)的三邊分別為a,b,c,且，^sinB+

cosB=1.

⑴求B;

（2）若6=3,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】（1）B=等；（2）（6,2盜+3]

O

[解析】⑴因?yàn)閂3sinB+cosB=1,所以2sin（B+｝）=1,即sin（B+今）=~~,

因?yàn)椋?,兀）,所以石+襲=萼，即石=警；

663

（2）因?yàn)槭?與1=3,由正弦定理得」彳二二不=/五=*=2通，

3smAsmGsmBV3_

2

則Q=2V3sinA,c=2V^sin。，又A-\-BC=TC,

則。=兀一B—人=等一A,且AC（0,兀

3

所以a+b+c=2V3sinA+2V3sin^——力)+3=2VssinA+3cos4—V3sin>l+3

?M

=V3sinA+3cosZ+3=2V5sin(4+1)+3

因?yàn)锳e(o4)，所以〃+qe管,金，則sin(4+1)e(孚,1],

所以a+b+cE(6,2A/3+3],

綜上可知，三角形ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是(6,2代+3].

題型五:解三角形中面積的最值范圍

模塊

option大題典例，

例5：(24—25高三上?遼寧沈陽(yáng)?月考)已知△ABC中，角的對(duì)邊分別為a,6,c,滿足KbsinC—ccosB

=C.

⑴求角A

⑵若△ABC為銳角三角形，且a=2,求△ABC面積的取值范圍.

【答案】⑴譽(yù)；⑵

O

【解析】(1)因?yàn)?，^bsin。-ccos_B=c,由正弦定理得，^sin_Bsin。一sinCcos_B=sin。,

因?yàn)?VCVTU,可得sinC＞0,所以V3sinB-cosB=1,所以sin(_B—京)=十,

又因?yàn)?＜BV兀，所以6=/，解得B=g

663

⑵由⑴知_B=看，且a=2,

o

又由正弦定理得丁旦丁:一其，可得。=T7?sinC,

sinAsinCsmA

△a.八V3sinCV3sin(^-A)空cosA+/siiM)

所以S=acsinB=c=-------------sinO=------------=----------------------=---------------------------------

2sinAsinAsinAsinA

2+2tanA

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以且0＜。=牛一可得

23262

所以0＜小;＜或鼻，所以△ABC面積的取值范圍是(建,2代)

則tanA>

32tanA2\2/

解法指導(dǎo)

1、常用三角形的面積公式：

⑴s=「總；

⑵S=-^-absinC=-1-acsinB=-1-&csinA；

(3)S=Jr(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)；

(4)S=Jp(p—a)(p—b)(p—c),即海倫公式，其中p=^-(a+b+c)為三角形的半周長(zhǎng)。??

2、求面積的最值范圍，常先引入變量，如邊長(zhǎng)、角度等，然后把要解三角形面積用所設(shè)變量表示出來(lái),再利用

正余弦定理列出方程求解。注意函數(shù)思想的應(yīng)用。

模塊

option變式訓(xùn)練，

【變式1】（24—25高三上?江西?期中）已知△ABC中，角48,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且^

bab

3

4acosB

⑴求cos_B;

⑵若b=4,求△ABC面積的最大值.

【答案】⑴,；⑵4a.

3

【解析】⑴由△衿+"禁得acosC+ccosA=---—

bab4acosB4cosB

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=子口與

4cosG

因?yàn)閟inAcosC+sinCcosA=sin(>l+C7)=sin_B,且0<BV7U,sinB#0,

綜上，-3己=1=cosB=-y.

4cosB4

(2)因?yàn)閒e=4,cosB=-1-,

由余弦定理，得16=Q?+c?—2accosB=a2+c2-^-ac>2ac—^-ac=-1-ac,

所以ac432,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4A/2時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)閟inB=V1—cos2B=—j=,

所以AABC面積5=］切5由54，x32x4=4/7,即△ABC面積的最大值為477.

【變式2】（24—25高三上?河南?月考）在△ABC中，內(nèi)角A,B。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足

a+b_c

cosA+cosBsinC

⑴求。的值;

⑵若△46。內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足AAPB=AAPC=ACPB=等，CP=1,求4ABe面積的最小值.

O

【答案】⑴俳；⑵唱+3

a+bc

【解析】（1）因?yàn)?/p>

cosA+cosBsinC

由正弦定理得,2Rsm4+21temB27teinC

cosA+cosBsinC

所以sin—+sing=1,sinA—cosA=cosB—sinB,

cosA+cosB

所以，5sin（?l—于）=—，^sin（B—,

艮I7sin（A—壬）=—sin（_B—1）=sin（B—十+兀）=,

又因?yàn)锳BC是三角形得內(nèi)角，顯然A—今+亨，所以（A—1）+（口+乎）=兀,?M

即A+B=所以

⑵法一：由⑴得：，設(shè)PA=rn,PB=n,

在/\PAB中，由余弦定理得，AB2—m2+n2-2mncos^-=m2+n2+mn,

同理在△PBC,AR4C中有：3。=稼+1—2ncos^=4+1+n，

o

AC2=m2+1—2nze=m2+1+m,

o

又因?yàn)椤鰽B。是直角三角形，所以AB2=石02+4。2,

所以m2+n2+mn=m2+九2+777,+九+2,即rnn=m+n+2,

7n

所以n=可-，因?yàn)閚>0,771+2>0,所以？n—l>0,即?7i>l,所以

m—1

--

S△ABC'='SS/\PRC~\~S/\p40=畫Trvrb?sin"\~"2"X1,?i,,sin.2X1,???,?sin?

二§（m+九+nm）=§（機(jī)+九+1）=§（機(jī)+1+）=§+§（機(jī)+）,

T+夸乎?（叱只2<7+3卜乎+空色T）+「

）乎+乎.（2而二1yH+2）=乎+§.（2遍+2）=竽+3,

當(dāng)且僅當(dāng)m—1=—^―-，即m=九=1+A/3時(shí)取等號(hào).

△ABC的面積的最小值為?！?3.

m〃

------------------

法二:在△4BC中，設(shè)_R4二：x,PB=y,

2

由余弦定理可得，AC2=x-+力+1,BC=g2+g+1,A_g2=力2+力。+y2

由勾股定理可得H+力+1+92+。+1=22+力沙+靖，即2+1+^=Xy

而$/^/3。=5（1乂2；+1Xy+xy）sin^-=^（x+y+xy）=^-（2xy-2\

由基本不等式/+g＞2^/xy，所以明＞2+,可解得圖＞4+2A/3（由上圖＞2）,

當(dāng)且僅當(dāng)x—y—43+1時(shí)等號(hào)成立，

所以△ABC面積最小值為6+產(chǎn).

題型六:三角形的角平分線、中線、垂線

模塊

oplion

：（24-25高三上?江蘇徐州?月考）已知AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且2c=26cosA—a.

(1)求角B;

(2)若BD是角B的平分線，AD=46,CD=2，7,求線段的長(zhǎng).

【答案】⑴氏筆；⑵4.

O

【解析】(1)已知2c=2bcosA-a,由正弦定理-^―=-^―=-^―=2R(R為A4BC外接圓半徑),

smAsmBsmC

可得2sinC=2sinBcosA—sinA.

因?yàn)锳+_B+C=兀，所以。=兀一(A+B),那么sinC=sin(7U—(A+B))=sin(A+B).

根據(jù)兩角和的正弦公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

貝寸2(sinAcosB+cosAsinB)=2sinBcosA—sinA.

展開可得2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA-sinA

移項(xiàng)可得2sinAcosB=—sinA.

因?yàn)锳E（0,兀），所以sinAW0,兩邊同時(shí)除以sinA得2cosB=—1,解得cosB=—~

又因?yàn)锽e（o,兀），所以B=等.

o

（2）因?yàn)锽D是角B的平分線，根據(jù)角平分線定理袈=惡，

已知AD=4^7,CD=2^7,所以=4噌=2,設(shè)BC=/，則AB=2x.

BC2V7

在△ABC中，根據(jù)余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB,

AC=AD+6/,B=誓，則(677)2=(202+/_2x2,x①x(—A).

o/

即252=4"+"+222=722,解得2=6,所以口。=6,AB=12.

在AABD中,根據(jù)余弦定理cos系=AB'牝UD2,

N2AB?

因?yàn)槭?等，所以cos導(dǎo)=cos看=看.

9+4一日⑺2

設(shè)BD=g,則］=

2x12g

即12g=144+1一112,整理得y2-12y+32=0.

分解因式得(g—8)(g—4)=0,解得y=8或y=4.

22

止Q尢八cnn由CB+BD—CD?36+64—28723,/nnc本上

當(dāng)夕=8,在△CBD中，2cB-BD=2x6x8=疏=W*cosZDBC,舍去.

222

士-/I左ACRC由CB+BD-CD36+16-28241/crl凈？

當(dāng)夕―4,在△CBD中,2cB迎=2X6X4=而=萬(wàn)="s/Z汨。,，兩足.

故的長(zhǎng)度為4.

解法指導(dǎo)

1、解三角形角平分線的應(yīng)用

如圖，在XABC中，AD平分/歷LC,角A、B,C所對(duì)的邊分別問(wèn)a,b,c

13

A

（1）利用角度的倍數(shù)關(guān)系：4BAC=2/BAD=2/CAD

（2）內(nèi)角平分線定理：AD為XABC的內(nèi)角ABAC的平分線，則卷=倦.

說(shuō)明:三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對(duì)邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可

以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問(wèn)題，運(yùn)用向量知識(shí)解決起來(lái)都較為簡(jiǎn)捷。

⑶等面積法:因?yàn)?71s°,所以~~c?4Dsin等+-^-b-ADsin等=-^-bcsinA,

所以（b+c）4。=2&CCOS4，整理的：4。=角平分線長(zhǎng)公式）

2、解三角形中線的應(yīng)用

⑴中線長(zhǎng)定理:在AAB。中，AD是邊上的中線，則AB2+AC2=2（BL>2+AD2）

【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中

（2）向量法:AD"—（b2+c2+2bccosA）

【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知縹的值也適用）.

3、解三角形垂線的應(yīng)用

⑴即hv刈分別為A43C邊a,b,c上的高，則%:聞：用=!」」=—J—:」一:」一

abcsin/sinBsinC

（2）求高一般采用等面積法,即求某邊上的高,需要求出面積和底邊長(zhǎng)度

高線兩個(gè)作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。

模塊

變式訓(xùn)練，

【變式1】（24—25高三上?福建福州?月考）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

C

sin（A—B）

sin。

⑴求A;

（2）若。為BC中點(diǎn)，人。=*要，AC=3,求△ABC的周長(zhǎng).

【答案】⑴『⑵4+a

【解析】（1）j=sin（"B）,由正弦定理得，sin。—日nB=sin（A1）,

csmCsmCsmC

即sinC-sinB=sin（A-B），因?yàn)?+石二兀一（7,所以sinC=sin（A+B）,

所以sin（A+B）—sinB=sin（A—B）,

化簡(jiǎn)得2cosAsinB=sinB,又sinBW0,

可得COSA=,0<A<7L,???

則由『=其=+(加+萬(wàn)丫=1(AB2+AC2+2AB-AC^號(hào)，

即|AB|2+9+2|AB|x3x寺=13,整理得|AB|2+3|AB|-4=0,解得AB=1或一4(舍去)，

在AABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABxACxcosA=l+9—2xlx3xq=7,

.?.BC=J7,所以△ABC的周長(zhǎng)為1+3+J7=4+，7.

【變式2】（24—25高三上?廣西南寧?月考）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知。=

C

sin2B

2sinA+sinB

⑴求角c；

（2）若點(diǎn)D在邊4B上，6=2,CD=1,請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中任選一個(gè),求邊長(zhǎng)AB.

①CD為AABC的角平分線;②CD為AAB。的中線.

【答案】（1）等；（2）24

O

【解析】（1）在4ABC中，由正弦定理知立=宜畛

csmC

所以sin8_sin2B2sinBcosB

sinC2sinA+sinB2sinA+sinB

2cosB

又_Be（0,兀），所以sinB>0：1

’sinC2sinA+sinB'

2sinA+sinB=2cosBsinC,

又A=兀一(_B+C),2sin(B+C)+sinB=2cosBsinC,

2sinBcosC+2cosBsinC+sinB=2cosBsinC,

化簡(jiǎn)得2sinBcosC+sinB=0,即cos。=―,

又ce(0,無(wú))，所以。=等.

⑵選①，5為△ABC的角平分線，

由S/D+SABOD=S4ABe得：］CA?CD?sinZACD+^-CB-CD-sin/BCD=^-CA-CB-sinZACB,

即,所以a+b—ab,

又6=2,所以a=2,

在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+&2-2abeos。=22+22—8cos=12,

o

所以AB—c—2V3.

選②，CD為△ABC的中線，

--------?-------?--------?----------------------------------------------------------?O-------?O-------

則C4+CB=2CD,平方得C4+CB+2CA-CB=4CD,

所以〃+Q2+2abeos。=4X12,所以/+〃一而=4,

又匕=2,所以a=2,

在△4BC中，由余弦定理得c2=a2+&2-2abeos。=22+22—8cos=12,

o

所以AB—c—