2025屆高考數學二輪復習專題訓練8.4雙曲線

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后,

再選涂其它答案標號。

2.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。

3.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

22

1.已知雙曲線C:二—3=1（?！?/〉0）的右焦點為反過尸的直線4x+3y+m=0（機為常數）

ab

與。在第一象限交于點P.若|O尸|=|O/]（。為原點），則。的離心率是（）

V357/r

A.----B.-C.V5D.5

55

22

2.已知片（―c,0）,耳（c,0）分別是雙曲線C：2匕=1（〃>0/>0）的左、右焦點，過月的直線與圓

a2b2

（X—；c）2+y2=02相切，與C在第一象限交于點尸,且PF21X軸，則C的離心率為（）

A.3B.2君C.2D.由

22

3.已知雙曲線二—與=1（。〉°力〉0）的左，右焦點分別為耳，F2,過點耳的直線與雙曲線的左

支相交于P,Q兩點，若尸。工尸工，且41P9=3歸閭，則雙曲線的離心率為（）

A也B.lC.叵D亞

3333

22

4.已知耳，K分別為雙曲線C：q_1=1（?！?/〉0）的左,右焦點，過歹2作c的兩條漸近線的平行

線，與兩條漸近線分別交于A,B兩點.若tan幺芻0=則c的離心率為（）

23

A.3B忑DV2

5.設A、8分別為雙曲線C:?—==1（?！?］〉0）的左、右頂點，P,。是雙曲線C上關于x軸

cib

r\ii

對稱的不同兩點，設直線A。、3。的斜率分別為小小則一+@+1~^InWI+ln同取得最小

ab2\mn\1111

值時，雙曲線C的離心率為（）

A.72B,V3C.—D.—

22

22

6.如圖，已知雙曲線C:三-3=1（?！?1〉0）的左、右焦點分別為耳，居，過歹2作漸近線

atr

3

l:bx-ay=Q的垂線交I于點M連接M8交C于點N,若cos/4”=—1,則C的離心率為（）

7.已知雙曲線C的左、右焦點分別為《，F2,過月的直線I與C的左支交于M,N兩點，若

\MF2\=\MN\,則C的離心率為（）

近yfliV14S

A.—B.--C.--D.—

3322

22

8.c：=_.=

設雙曲線i（a〉o,6〉o）的左、右焦點分別為耳，F2>左、右頂點為4，4，P

為雙曲線一條漸近線上一點，若/=3—4%=]?則雙曲線C的離心率e=（）

A-V13B-2V3C.而D.M

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.下列雙曲線中，以直線'=±2%為漸近線的是（）

2222

2_/=1_%2=1

A.X-^=1B./_土=1C.土D.匕

444-4

10.已知點P是圓加:（x+3）2+y2=16上一動點，點N（3,0%線段PN的中垂線/交直線于點

。，若點。的軌跡為曲線C^J（）

22

A.曲線C的方程為工—匕=iB.線段.中點的軌跡方程為V+y2=4

45

C.|QV|的最小值為5D.直線/與曲線C只有一個公共點

11.已知曲線。：.小|+了3=1,下列結論正確的是（）

A.曲線。關于y=x對稱

B.曲線。剛好經過2個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）

C.若點A（x,y）在曲線Q上，則4—-4|<4

D.曲線。與直線x+y+0=0有且只有一個交點

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.已知耳，工是雙曲線0：9__匕=1（?！?]〉0）的左、右焦點，過百的直線與C的左、右兩支

分別交于48兩點.若以C的中心為圓心，耳工的長為直徑的圓與C的右支的一個交點恰為8,若

\AB\，\BF^閭成等差數列，則C的漸近線方程為.

13.已知雙曲線。：必―/=i,則點(2,0)到C的漸近線的距離為.

14.已知P,。分別為雙曲線必―2L=1右支與漸近線上的動點，/為左焦點，則|PQ|+|PF|的最

4

小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2222

15.已知橢圓當+與=1(。〉6〉0)與雙曲線二—1=1.

ab~b~a

(1)若橢圓與雙曲線的離心率分別為G,e2,雙曲線的漸近線的斜率小于3,求6和02的取值范圍;

(2)若橢圓的長軸長為8,短軸長為4,雙曲線與直線/:丁=辰+m(左?！?)有唯一的公共點過點

M且與/垂直的直線分別交x軸，y軸于點A(x,0),8(0,y)兩點.當點M運動時，求點尸(x,y)的軌

跡方程.

16.已知雙曲線后:/一/=1(?！?］〉0)的一條漸近線方程為＞='x，左、右頂點分別為4

B,且|的=4.

⑴求E的方程；

(2)若點尸為直線X=-1上的一點，直線交石于另外一點M(不同于點3).

13

①記△B45,的面積分別為豆，邑，且S］=仃S2,求點尸的坐標；

②若直線交E于另外一點N,點G是直線上的一點，且OGLMN,其中O為坐標原點，

試判斷|AG|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.

17.已知雙曲線C:f—/=m，點片(5,4)在C上，上為常數，0(人＜1,按照如下公

式依次構造點月，(〃=2,3,…)；過點匕t作斜率為左的直線與C的左支交于點Q“T，令月為Q,i關

于y軸的對稱點，記月的坐標為(七,％).

(1)求雙曲線C的方程；

1+k

(2)證明：數列｛尤“—”｝是公比為--的等比數列；

1—k

⑶設s，為△匕匕+］匕+2的面積，證明：對任意正整數%s“=sn+l,

18.已知雙曲線C:=—>2=1(?！?)的焦距為2&且左右頂點分別為a，4,過點T(4,0)的直

a

線/與雙曲線C的右支交于N兩點.

(1)求雙曲線的方程；

⑵若直線的斜率為手，求弦長|MN|；

⑶記直線a/，4N的斜率分別為占，k2,證明：2是定值.

h

22_

19.已知雙曲線c：工―2T=1(4〉0］〉0)過點。(2,3)，右焦點尸到漸近線的距離為6?

a2b2

(1)求雙曲線C的標準方程；

⑵若直線/過雙曲線C的右焦點尸，與雙曲線C交于A,8兩點，滿足|AB|=6，求直線/的方程.

參考答案

1.答案：D

解析：

2.答案：D

解析：設圓心為M直線與圓相切于點N,

則=由M|=c+gc=|c,故忻州=，山"|2_閃"|2=與。

*、,212

由于PF,_Lx,所以馬=c，故^-一二=1=|調=巴

a2b~a

b2

\pp

因此在Rt^PH與，由tan/「耳耳一號_a

—2c亞，

——c

2

故'■Jib2-4ac=0，即A/5C2—4ac-非a'=0=>V5e2—4e—y/5=0=>e=亞-

故選:D

3.答案：A

解析:因為4|P@=3|P閭，設閘=3加，|叫=4”

又PQLPB，所以|。閭=5加,

la

由雙曲線的定義得|P閭+|°聞—|尸。=4加+5m—3m=4a，m=——

3

=4m=——?從而|尸身|=|尸6|—2a="^，

再由PQ，P工得（細y+（M）2=（2C）2,即U=1Z,

33a29

所以離心率為e=￡='亙

a3

故選：A.

4.答案：D

解析：如圖，連接.交x軸于肱

根據題意易知點A,B關于％軸對稱，所以四邊形AOBF2為菱形，且NA耳O=NBFQ,

故tan=tanAAFXO=；，且|。河|=|.

雙曲線C的漸近線AO方程為)=2%,令工=€,得

a2112a

be

在RtAAMf；中,tanNA耳O=也斗=孕=L解得2=i,

1|阿3c30

2

所以e=￡萬

a

故選:D.

5.答案：D

解析：設則。(%,—%),

A(-6Z,O),B(tz,O)

222222

-a咚，即b

aba2bjQ-a7

n一%

m=kAP=——一=^BQ

x0+ax0-a

?Iy：b2

加=汴=滔

2ba1a1

-----1-----1--------|+ln|m|+ln|n|=-+一+y+ln|mn

ab2\mn\b2\mn\I

lba

二------1—+二+/

ab2b2a2

lbaf+21/,

=一+—+

ab2ba

b

設一二%,則x>0,

a

lba/…b>11…

fr/(x)x------1-----1-----+2In——2xH----1------+2Inx,

ablb2ax2x2

r(%)=2-4-12(X+1)(2X2-1)

7+二二

xxxx3

0<%<工-時，f\x)<0,/(x)遞減,

/y

x>時,f\x)>0,f(x)遞增,

所以％=J時,/(x)取得最小值,

2

Un』6四c_a2+b2

此時一=—,

a2aa222

故選：D.

6.答案：A

解析：設怩閭=2c,則|“用=半￡二里=^=b,\OM\=J\OF2f-\MF2f=a,

yjal+blc'

從而sinNNF2F1=-，由正弦定理，得當=回

c4a

5c

所以加耳|夸,|叫|=加周-2。=（由余弦定理,

，口，225a2al5aa3

得4<r=------+------2---------x，化簡得c=J^z,所以e=￡=JL

4422a

故選：A.

7.答案：B

解析：由題可知|年|—|崢|=2a,

又因為|明所以|g|=2a,|崢|=a

\MF^=\MN\=3a,\NF2\^4a

rsr\

在/\MNF?中，cosNMNF2=—=—,

一3a3

+上加片「+|叫「—|耳工「

在△NK工中，cosZMNF,=J一J__LJ_^_

2阿阿

即—6f

316/

27[

化簡可得三=’,則6=匕

a233

故選：B

8.答案：A

解析：由題雙曲線一條漸近線為y=2%,

a

不妨設P（Xo，%）在該漸近線上，則可得，

因為3/AP4=巴即NRPA=—>所以tanNAP4=史也.=即=43=>%=2，5a，

26%為3

所以l"5所以=

故選：A.

9.答案：AD

解析：由y=±2x得2九±y=0,

九y

因此以2x±y=0為漸近線的雙曲線方程為4爐—丁二機A。）,即獲一福二1（機，0）

2

當m=4時,方程為4x2*4—y2=4，即—2L—1;

4

2

當加=T時,方程為4f_y2=_4，即匕_%2=i；

4

故選：AD.

10.答案：ABD

解析：對于A,。是PN的中垂線/上的點，則|QN|=|P@,

||2^|-|M2||=||Pe|-|W||=\PM\=4<|A^|=6,

所以點°的軌跡C是以〃(—3,0)，N(3,0)為焦點的雙曲線，其中a=2，c=3,6=J5,

22

二曲線c的方程為土=1,故A正確;

對于B,設pg。,為)，線段尸N中點E(x,y),則x0-2x-3,y0-2y,

所以［（2x—3）+3丁+（2才=16，即化簡為所+y2=4，故B正確;

22，2、

對于C,設則?—2_=1，則網22,〃2=51?—1

|2?/|=^(m-3)2+n2=J(m-3)2+54——1=m2-6m+4.

當加=2時，|QN1mm=1,故C不正確;

22

對于D,曲線C的方程為二一匕=>

45

設N%Ng是圓加的兩條切線，切點分別為P1,P2,

當尸與4（或鳥）重合時,PN的中垂線/經過點。，且U/PM，

直線/的方程為:v=土近％,直線/為曲線c?￡—￡=1的漸近線;

）一2-45

當尸不與《，舄重合時,

由選項B知，線段PN中點的軌跡方程為f+/=4,

故可設PN中點￡(2coso,2sin&),

若2sincz=0,則2cosa=±2，

當E(—2,0),即P(—7,0)時,

22

此時中垂線/-X=—2,與土-L=l相切，即直線/與曲線c只有一個公共點;

45

當E(2,0),即尸(1,0)時,

22

此時中垂線/：%二2,與±-±=1相切，即直線/與曲線。只有一個公共點;

/.I:y-2sma=_?COS6Z―-(x-2cosa),

2sinor

2cos。一34-6coscif

即y=_------------x-\--------------

2sin。2sin。

若4—6cosa=0,即2—3cosa=0,此時直線/過原點，則尸與4(或鳥)重合,

故2-3cosa

2coscr-34-6cosa

y=--------------x+2cos。一34-6cosof

2sina2sina------------x-\--------------

聯立4，即

22sinasina

5x2-4y2=20

145

汨「2（3-2COS6Z4-6coscifY”

傳5x-------------x+-------------二20，

IsinasinaJ

化簡得（3cosa-2）2x2+4（2coscr-3）（3coscr-2）x+4（2coscr-3）2=0，

則F（3COS1-2）x+2（2cos1一3）丁=0,即此時A=0，解得x=―2cosa）

3cosa—2

2cosa-34-6cosa

所以,2sine2sina只有一組實數解,

22

JJ

145

故選:ABD.

11.答案：ABC

解析：因為曲線。的方程為％N+y|y|=l,

當1之0,y\0時，曲線。的方程為％2+y2=1,

當X>0,y<0時，曲線。的方程為=1,

是焦點在x軸上的等軸雙曲線右支的一部分.

當％<0,y>0時，曲線。的方程為尸一％2=1,

是焦點在y軸上的等軸雙曲線上支的一部分.

作出曲線C的圖像如圖：

-1oJ]\A'xx

設點M（x,y）為曲線O上的點，

則點M（x,y）關于y=%對稱的點為b（y,%）,代入方程成立，

所以曲線。關于y=%對稱，A正確；

顯然曲線。上有點（0,1）,（1,0）2個整點，

除此之外任意兩個整數的平方差都不可能等于1,B正確；

由上可知直線1％+》=0為曲線0中雙曲線部分的漸近線，

設曲線O中圓的部分切線為,2：>=一%+女，即無+y—左=0,

\k\

則d=7^=1,解得左=0或左=一0（舍），

即/2：x+y=J5，曲線。位于直線4與1之間，

所以若點A（x,y）在曲線。上，則

所以—4<%+y—4S&-4,即4—后封龍+y—4]<4,C正確;

由于直線％+丁+&=0在（下方，所以與曲線。無交點，D錯誤.

故選：ABC

12?答案：y=±2

如圖所示，由已知以C的中心為圓心，片工的長為直徑的圓過點3,

可知/458=90。，再由|AB|，忸閭，|伍|成等差數列，

得2|巡|=|例|+|回卜

由雙曲線定義可知|伍|=|A耳|+2a，忸耳|=|%|+2a，

則2忸閭=|+|AB|=|+|+2a=忸4|+2a=忸閭+4a，

即忸周=4a，忸耳|=|%|+2a=6a，又N￡3==90。，

則忸耳「+忸閭2=|廣閶2,即36a2+16儲=4c2=4〃+4"，

則〃=121,即漸近線方程為>=±2幾，

故答案為：y=±2yf3x-

13.答案：V2

解析：雙曲線C：X2—V=1漸近線方程為丁=±%,

根據對稱性不妨取漸近線方程為x-y=O,

2r-

則點（2,0）到漸近線x—y=0的距離為雙=

故答案為：V2.

14.答案：4

2

解析：設雙曲線/一號=1的右焦點為廣，則|P可一|?F[=2a=2,所以|依|=|尸/[+2,所以

12。1+|/‘用=1八21+|/斤|+29尸。|+29+2=4,當且僅當。尸，尸三點共線且P在線段Q尸

上時，等號成立.

15.答案：（1）g的取值范圍為]o,半j

22

xy.

(2)-------二1

10025

解析：（1）由題意可得：雙曲線的漸近線的為y=±3%,則1<@<3,

bb

設橢圓的半焦距為cr雙曲線的半焦距為。2,

則cf=a2—b2,=b2a2,

a2-b2

所以1=烏.J

aa2

22

因為i<@<3,所以1<￡<9,1b,1b,

b3a9a2

,b2f0,—I,所以0,24T

所以G=1—7

a

2°；tZ2+/72〃2

6=蕾=丁=1+記e（2/。），

所以026（形,JIU）,

（2）根據題意可得：2。=8,2b=4,

22

所以。=4,b=2,雙曲線工—匕=1.

416

雙曲線的漸近線為y=±,x=±2x,

因為左w±2,所以雙曲線與直線/:y=履+m（左w±2）有唯一的公共點M,

只能是直線與雙曲線相切,

對工-亡=i兩邊求關于x的導數得在-型Lo,

416416

所以y=—,

y

設切點4（5,%）,則上=y'=d%,

直線AB的方程為y—%=—（x—X。）,

k

令％=0，則y=手

k4

令y=0,則x—XQ+ky?！?%。,

1

%

所以《

4

%=5

222

代入卜卻得志y2

1,

25

所以點P(x,y)的軌跡方程是A5一/=1?

16.答案：(1)———=1

43

⑵①(-1,2)或(-1,-2)

②是，2

'2a=4

解析：(1)由題意知＜0不

2

解得a=2,b=￡,

所以E的方程為土-匯=1

43

⑵由題意可知，4(—2,0),5(2,0),

設P(—1,m)，因為直線E4交E于另外一點M(不同于點B),

所以機*0,又雙曲線的漸近線為y=±日x,

,,m-0J3J3

故-----w±—,解得土—,

-1+222

所以直線必竟=含

即y=m(x+2),

22

乙-乙=1

由＜43

y=m(x+2)

消y得（3-4川）12-16m2x-16m2-12=0,

c—16m2—12

所以一2,x--------------

“M3-4m2

解得知=濘1

3-4m

（8m2+6Q12m

所以加=m

--------?+22

、3-4加,?3-4m,

①因為S]=gx4x帆=|2詢,

12m24m

S=—x4x

923-W3-W

ia1324m

又S]=；S2,所以|2時二萬x

123-4m2

解得加=2或加二一2,

即點P的坐標為(-1,2)或(-1,-2).

②直線1=三即」"),

22

土-匕=1

由＜43

>=-V）

22

消y得（27—4加2）尤2+i6mx-i6m-108=0,

27-4m2^0,

nn,3百-16療_]08

即加，土虧‘所以2327—4療

,—Stn"-54

觸z得x=-----------

N27-4m2

mf-8m2-54、36m

所以yv=—-2

3127-4m~27—4療

7

36m12m

所以直線MV的斜率k=27;癡-3-申7?-=6"?,

一8病—548療+69-4m2

27—4m23—4m2

(2

?，，土，a12m6m8m"+6

所以直線肱V的方程為y----------=---------龍----------y

"3-4m29-4加213-4m2

z2、

.八,口12m6m8m+6

令y=0,得--------y=--------x----------y，

3-4m29-4加之?(3-4m2J

施,日8療+62(9-4/叫16療_12彳

解得x=---------------=-------廠=-4,

3-4/w3-4/n23-4/n2

所以直線MV恒過定點-4,0),

又OG工MN,即OG，G〃，

又點A是〃。的中點，所以|AG|=g|"O|=2,

所以|AG|是定值，且定值為2.

17.答案：(l)x2-y2=9

(2)證明見解析

(3)證明見解析

解析：⑴

由已知有機=52—42=9,

故C的方程為必―y2=9.

（2）方法一：由于過匕（尤“,力）且斜率為k的直線為丁=左（％—七）+%,

與好一/=9聯立，得到方程f—%）+%）2=9.

展開即得（1—2左（”—您）%—（%—"）2—9=0,

由于匕（七，K）已經是直線y=—%）+"和必一V=9的公共點，

故方程必有一根x=xn.

從而根據韋達定理，另一根X=2.（%-2M-2軌f丁，,

相應的y=左(%一%)+%=%+一”2代,.

’2妙“一七,一十%笫+左2y廠2K

所以該直線與C的不同于匕的交點為2

、l~k21-k2,

一（/一例J-9

而注意到Q”的橫坐標亦可通過韋達定理表示為

（1-父）天

故?！耙欢ㄔ贑的左支上.

/弓+在一2雙,%+k2ys

所以

、1-1-k2,

乙+新%―、，_y+k~y-2kx?

這就得到x?nn

+11-k2%+1—；^r2

司+新乙―2雙,

所以X,+i-笫+i

1-k21-k2

%+左■〃+2kx”%+公力+2ky“

1-k21-k2

1+k~+2.k/、1+4/、

=J?(…〃)=/"〃)

再由x；-y；=9,就知道占一%/0,

i_i_k

所以數列｛xn-xj是公比為一-的等比數列.

1—k

方法二：因為月(乙,%)，2(—乙也”+1)，左=一2?

X〃+l+X〃

則1±^=%,+1+。一%+1+%,

、+x?+

l-kxn+1yn+l-yn'

由于FU=9,

作差得(當+1—%+i)(/+1+”+i)=(七一%)(%+”),

x?-y?_

+1+1xn+yn

%+i+%+i'

%-yn

利用合比性質知二出二^辿=％—

1+%+i

x?-yn玉+

=七，+i_y，，+i+%，+%1+4，

xn-yn+xn+l+yn+l1-k'

1_Lk

因此｛%—%｝是公比為上勺的等比數列?

1—k

(3)方法一：先證明一個結論：

對平面上三個點U,V,W,若UV=(〃,b),LW=(c,d),

則S^t/vw-人c|.(若。，V,卬在同一條直線上，約定S^uvw=O)

證明：S^uvw=^\uv[\uw\sm(uv,uw)

=||LV|-|LW|J—COS2(而,UW)

(、2

4K-M/-u[vSuw)

=g](a?+/)6+屋)一(呢+4).

=-V?2c2+a2d-+b2c2+b-d2-a-c2-b-d2-labcd

2

——Ja2d2+/c2_2abcd

證畢，回到原題.

nJn

由于上一小問已經得到X.+1

1-k2

%+%安—2儀?y?+k~y?-2kxn

故當+i+yi=

n+1-k2’i-k2

l+k2-2k(…)=目

1-k2

再由x；-y；=9,就知道%+%。0,

1_k

所以數列｛%+為｝是公比為—的等比數歹!L

所以對任意的正整數如都有毛%

二3((當%+加—笫%+加)+(乙％+相—笫%+加))—3((Z乙+加—%笫+利)一(%笫+加—笫匕+加))

—5(“〃—，")(*〃+加+%+.)—；(%+y?)(^?+m-yn+m)

lfl-k\(v、1門+左

2[l+k|(當一%)(%+%)—4^7^

\

77

而又有=（一（%"+1一%），一（％+1一%）），

%+2-％+1)'

號+閨+2=(%,+2—%+1，

故利用前面已經證明的結論即得

s

n=S△p.p”,F“a=Q卜(x"+i—x〃)("+2—yn+l)+(yn+i-y?)(xn+2-xn+l

=-|(x〃+i-x,)(yn+2-y?+1)-(%+i-%)(x.+2—xn+i)|

=g|(x,+i%+2—笫+i%+2)+(七笫+i-y?x?+1)-(xnyn+2-%x,+2)|

19(\~k1+ky9(l-k1+h9%1—左丫n+左Y'

22^1+1T^)+2[i^~T^)~2\[T+k),

這就表明S“的取值是與n無關的定值，所以S“=Sn+i.

方法二：由于上一小問已經得到4十1匚云―y?+11-k2

2份y,,+k、-2kx“

故可

1-k21-k2

l+k2-2k

1-k2（…七

再由片一y；=9,就知道％+%w0,

i_k

所以數列｛x“+為｝是公比為一的等比數列.

1+左

所以對任意的正整數處都有

—2（（*〃*〃+加—yn^yn+m）+（n+m-yn+m））一]（（%天+加—%笫+帆）一（'〃笫+加—yn+m））

—5（一丁〃）（九八+加+yn+m）-5（X"+”）（玉+恒-yn+m）

11-kl（l+k

21+k21-k

、、w/日云?9（1—k1+A^]

這就得到加小一5%二萬17r=笫％,

9

以及4+1%+3-%+14+3=萬=xy2-%當

U+小Unn++2-

兩式相減，即得（玉+2%+3一%+2%+3）一（玉+1%+3一%+1%+3）

移項得到xn+2yn+3-ynxn+2-xn+1yn+3+ynxn+1

xxx

=yn+2n+3-?yn+2-券+S+3+?yn+i

故（”+3—yn）（%+2—七+1）=（%+2—%+l）（玉+3一天）

而￡E+3=（x“+3-%，%+3一％），￡+1與+2=（%+2-Z+i,%+2-%+i）?

所以月￡+3和e+￡,+2平行，

這就得到s△尸pp=S△尸pp，即S=s+].

ZA/?/n+l/n+2ZAZn+l/n+2/n+3n〃十】

方法三：由于

作差得

%+1—K.+4七+1+%+1+X"y“

變形得用P