模板02相互作用（兩大題型）

本節導航：

題型01平衡問題題型02平衡中的臨界和極值問題

題型叱平衡回題

1、平衡問題主要以與生活、生產、高科技密切聯系進行命題，如以生活、勞動為情境，考查受力

分析和共點力平衡等，試題的呈現形式豐富，提問角度設置新穎。在解決此類問題時要將所學物理知識

與實際情境聯系起來，抓住問題實質，將問題轉化為熟知的物理模型和物理過程求解。

2、組合體的平衡問題也是高考的高頻考點，一般為兩個或兩個以上的物體通過輕繩、輕桿或者輕

彈簧等連接在一起組成一個組合體。該題型的難度在于受力分析，往往容易多力、漏力和錯力。

一、必備基礎知識

1、力的平行四邊形法則

求兩個互成角度的力的合力，可以用表示這兩個力的線段作鄰邊，作平行四邊形，夾在兩分力之間

的對角線就表示合力的大小和方向，如下圖所示。這叫做力的平行四邊形定則。

2、正交分解

將已知力按互相垂直的兩個方向進行分解的方法。物體受到多個力作用Fi、F?、外…，求合力/時,

可把各力沿相互垂直的x軸、y軸分解。

原則：使盡量多的力落在坐標軸上。

3、繩子模型

輕繩模型：輕繩對物體的彈力方向沿繩收縮的方向。

“活結”模型：跨過滑輪、光滑桿、光滑釘子的細繩為同一根細繩，其兩端張力大小相等。

特點：①可理解為把繩子分成兩段；②可以沿繩子移動的結點；③分開的兩段繩子上彈力的大小一

定相等，兩段繩子合力的方向一定沿這兩段繩子夾角的平分線；④一般是由繩跨過滑輪或者繩上掛一光

滑掛鉤而形成的。繩子雖然因“活結”而彎曲，但實際上是同一根繩。

“死結”模型：如幾個繩端有“結點”，即幾段繩子系在一起，謂之“死結”，那么這幾段繩子的

張力不一定相等。

特點：①可理解為把繩子分成兩段；②是不可以沿繩子移動的結；③兩側的繩因結住而變成了兩根

獨立的繩；④分開的兩段繩子上的彈力不一定相等。

4、輕桿模型

桿的彈力方向不一定沿桿的方向，其大小和方向的判斷要根據物體的運動狀態來確定。

“死桿”：即輕質固定桿，它的彈力方向不一定沿桿的方向，作用力的方向需要結合平衡方程或牛

頓第二定律求得。

“活桿”：即一端有錢鏈相連的桿屬于活動桿，輕質活動桿中的彈力方向一定沿桿的方向。

5、受力分析

受力分析的方法：

①明確研究對象（可以是一個點、一個物體或一個系統等）。

②力分析的順序：先找場力（重力、電場力、磁場力）；再找接觸力（彈力、摩擦力等）；最后是

其它力。

③畫受力示意圖，題目給出的物理條件（如光滑——不計摩擦；輕物——重力不計；運動時空氣阻

力忽略等），防止多力和漏力。

④只分析根據性質命名的力（如重力、彈力、摩擦力等），不分析按效果命名的力（如下滑力、動

力、阻力等）。

6、整體法和隔離法

方法整體法隔離法

將相互關聯的各個物體看成一個整體的將某物體從周圍物體中隔離出來，單獨分析

定義

方法。該物體的方法。

研究系統外的物體對系統整體的作用力

選用原則研究系統內部各物體之間的相互作用力

或者系統整體的加速度

受力分析時不考慮系統內各物體之間的

注意一般情況下先隔離受力較少的物體。

相互作用力。

說明：當分析相互作用的兩個或兩個以上物體整體的受力情況及分析外力對系統的作用時，宜用整

體法；而在分析系統內各物體（或一個物體各部分）間的相互作用時，宜用隔離法。

7、平衡的情形

靜態平衡：作用于物體上的合力為零時，物體沒有加速度，此時物體保持靜止或勻速運動。

靜止與速度v=0不是一回事。物體保持靜止狀態，說明v=0,a=0,兩者同時成立。若僅是v=0.

存0,如自由下落開始時刻的物體，并非處于平衡狀態。

兩種類型如下表所示。

兩種情形受力情況速度和加速度

靜止狀態共點力作用v=0,a-0

勻速直線運動共點力作用V=C,a=0

動態平衡：指通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢的變化，而在這個過程中物體始終處于

一系列的平衡狀態。

動態平衡的基本思路：化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。物理學中的“緩慢移動”一般可理

解為動態平衡。

解決動態平衡問題的關鍵：抓住不變量，確定自變量，依據不變量與自變量的關系來確定其他量的

變化規律。

二、解題模板

1、解題思路

2、注意問題

整體法和隔離法并不是完全獨立的，求解過程往往要多次選取研究對象，交替使用這兩種方法。

當分析相互作用的兩個或兩個以上物體整體的受力情況及分析外力對系統的作用時，宜用整體法。

在分析系統內各物體（或一個物體各部分）間的相互作用時常用隔離法。

3、解題方法

靜態平衡：

①合成法：物體受三個共點力的作用而平衡，則任意兩個力的合力一定與第三個力大小相等，方向

相反。

②分解法：物體受三個共點力的作用而平衡，將某一個力按力的效果分解，則其分力和其他兩個力

滿足平衡條件。

③正交分解法：物體受到三個或三個以上力的作用而平衡，將物體所受的力分解為相互垂直的兩組,

每組力都滿足平衡條件。

④力的三角形法：對受三個力作用而平衡的物體，將力的矢量圖平移使三個力組成一個首尾依次相

接的矢量三角形，根據正弦定理、余弦定理或相似三角形等數學知識求解未知力。

動態平衡：

①解析法：如果物體受到多個力的作用，可進行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，因變量與

自變量的一般函數表達式，根據自變量的變化確定因變量的變化。還可由數學知識求極值或者根據物理

臨界條件求極值。

分析的關鍵：抓住不變量，確定自變量，依據不變量與自變量的關系（通常為三角函數關系）.來確

定其他量的變化規律。

解題步驟：明確研究對象，確定研究狀態，對物體進行受力分析；將物體受的力按實際效果分解或

正交分解；列平衡方程求出未知量與已知量的關系表達式；根據已知量的變化情況來確定未知量的變化

情況。

②圖解法：此法常用于求解三力平衡且有一個力是恒力、另有一個力方向不變的問題。

分析的關鍵：

對研究對象在動態變化過程中的若干狀態進行受力分析，在同一圖中做出物體在若干狀態下所受的

力的平行四邊形，由各邊的長度變化及角度變化來確定力的大小及方向的變化。

解題步驟：明確研究對象，確定研究狀態，對物體進行受力分析；根據平衡條件畫出平行四邊形;

根據已知量的變化情況，畫出平行四邊形的邊角變化；確定未知量大小、方向的變化。

在處理動態平衡問題時，注意圖解法和解析法的適用特征。圖解法適用于“兩個不變”類問題，且

僅限于定性分析，此法直觀、簡單。解析法多用于定量計算或用圖解法不易解決的問題。此法對數學能

力要求較高，且繁瑣。但分析問題嚴謹。需特別提醒的是圖解法作圖一定要規范，且不可隨意亂畫。

③相似三角形：一個力恒定、另外兩個力的方向同時變化，當所作“力的矢量三角形”與空間的某個

“幾何三角形”總相似時用此法。

解題步驟：物體受三個力平衡時，將物體受的這三個力通過平移可以組成封閉的三角形，這個三角

形是矢量三角形，如果通過畫輔助線可以得到一個幾何三角形，并且這兩個三角形相似，則可以用相似

三角形法解答這類平衡問題。

酢模板運用

|（2024?新疆河南?高考真題）將重物從高層樓房的窗外運到地面時，為安全起見，要求下降

過程中重物與樓墻保持一定的距離。如圖，一種簡單的操作方法是一人在高處控制一端系在重物上的繩

子P,另一人在地面控制另一根一端系在重物上的繩子。，二人配合可使重物緩慢豎直下降。若重物的

質量加=42kg,重力加速度大小g=lOm/s?,當尸繩與豎直方向的夾角a=37。時，。繩與豎直方向的夾

角/=53。,(sin37。=0.6)

（1）求此時尸、。繩中拉力的大小;

思路分析

第一問的思路:

物體下落過程受力平衡對物體進行受力分析采用正交分解進行求解

詳細解析

【答案】（1）1200N,900N；

【詳解】（1）重物下降的過程中受力平衡，設此時尸、。繩中拉力的大小分別為4和心，豎直方向

4cosa=mg+T2COS0

水平方向

sintz=7^sin0

聯立代入數值得

7；=1200N,T2=900N

（2024?遼寧?模擬預測）如圖所示，兩只完全相同的燈籠A、B用細線系吊在樹枝上處于靜

止狀態，燈籠A左側細線與豎直方向的夾角為夕=37。，燈籠B右側細線與豎直方向的夾角為，=53。,

兩只燈籠之間的細線與水平方向的夾角為e（大小未知）。已知兩個燈籠的質量均為機，重力加速度為

g,sin37°=0.6,sin53°=0.8,求：

（1）左、右兩條細線的張力大小；

（2）兩燈籠之間細線的張力大小。

【答案】（1）L6w?g,12mg.（2）mg

【詳解】（1）設燈籠A左側細線張力大小為北，燈籠B右側細線張力大小為TB，將兩燈籠視為一個整

體，根據平衡條件，水平方向上有

TAsina=TBsin°

豎直方向上有

COS

TAa+TBcos°=2mg

代入數據聯立解得

TA=1.6mg,7^=1.2mg

（2）設兩個燈籠之間的細線張力大小為T,受力分析如圖所示

對于燈籠A,由平衡條件有

COS

TAa=mg+Tsin0,TAsina=Tcos0

聯立解得T=mg

題型02平衡中的臨界和極值問題

@夏則篌

1、平衡問題中的難度題型往往就是臨界問題和極值問題，題意會出現“恰好出現”或“恰好不出

現”的條件，或者求某個力的最大值、最小值或者取值范圍。

2、這類題型對學生的受力分析能力和過程分析能力以及數學能力要求較高，找準條件是解題的關

鍵。

.槿笆西建

一、必備基礎知識

1、臨界問題

由某種物理現象變化為另一種物理現象或由某種物理狀態變化為另一種物理狀態時，發生轉折的狀

態叫臨界狀態，臨界狀態可以理解為“恰好出現”或“恰好不出現"某種?現象的狀態。在問題的描述中

常用“剛好”、“剛能”、“恰好”等語言敘述。解題的關鍵是確定“恰好出現”或“恰好不出現”的

條件。

2、極值問題

平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。極值是指研究平衡問題中某物

理量變化情況時出遭到的最大值或最小值。可分為簡單極值問題和條件極值問題。

二、解題模板

1、解題思路

2、注意問題

首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中

去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。

常見的臨界狀態：①兩接觸物體脫離與不脫離的臨界條件是相互作用力為0（主要體現為兩物體間

的彈力為0）；②繩子斷與不斷的臨界條件為繩中的張力達到最大值；繩子繃緊與松弛的臨界條件為繩

中的張力為0；③存在摩擦力作用的兩物體間發生相對滑動或相對靜止的臨界條件為靜摩擦力達到最大

值。

求解平衡中的臨界問題和極值問題時，首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡中的

臨界點和極值點。

臨界條件必須在變化中尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而是要把某個物理量推向極端,

即極大或極小，并依此得出科學的推理分析，從而給出判斷或結論。

3、解題方法

①極限分析法：一種處理臨界問題的有效方法，它是指通過恰當選取某個變化的物理量將問題推向

極端（“極大”、“極小”、“極右”、“極左”等），從而把比較隱蔽的臨界現象暴露出來，使問題

明朗化，便于分析求解。臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而要把

某個物理量推向極端，即極大和極小，并依次做出科學的推理分析，從而給出判斷或導出一般結論。

②假設分析法：臨界問題存在多種可能，特別是非此即彼兩種可能時，或變化過程中可能出現臨界

條件，也可能不出現臨界條件時，往往用假設法解決問題。

③物理分析方法：根據物體的平衡條件，做出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊

形定則進行動態分析，確定最大值與最小值。

④數學極值法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系或畫出函數圖

像，用數學方法求極值團如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值，但利用數學方法求出極值后，

一定要依據物理原理對該值的合理性及物理意義進行討論和說明。

⑤圖解法：根據平衡條件做出力的矢量圖，如只受三個力，則這三個力將構成封閉矢量三角形，然后根

據矢量圖進行動態分析，確定最大值和最小值。

??極運用

|（2025?江西撫州?模擬預測）如圖所示，傾角為30。的斜面體固定在水平面上，一橫截面半徑

為R的半圓柱體丙放在水平面上，可視為質點的光滑小球乙質量加=lkg,用輕繩拴接置于半圓柱體上；

物塊甲用輕繩拴接放在斜面體上且輕繩與斜面平行，拴接小球乙與拴接物塊甲的輕繩與豎直的輕繩系于

。點，且。點位于半圓柱體圓心的正上方。已知。點到水平面的高度為2R,拴接小球乙的輕繩長度為gR,

物塊甲與斜面間的動摩擦因數〃=手，整個裝置始終處于靜止狀態。取重力加速度g=10m/s2,最大靜

摩擦力等于滑動摩擦力。求：（結果可用分式、根式表示）

⑴拴接小球乙的輕繩拉力的大小；

（2）半圓柱體丙受到水平地面摩擦力的大小;

⑶物塊甲質量的取值范圍。

思路分析

第一問的思路:

對乙球進行受力分析采用相似三角形進行求解

第二問的思路:

根據幾何關將乙和圓柱體視為利用正交分解

系求出角度整體進行受力分析法進行求解

第三問的思路:

對0點進行受明確摩擦力的方向不列平衡方程

力分析同得出質量的不同值進行求解

詳細解析

【答案】（1）5瓜

⑵辿N

2

4

⑶亍kgWm144kg

【詳解】（1）對小球乙受力分析如圖1所示，由相似三角形得

mg_N_T

2R~R~y[3R

解得拴接小球乙的輕繩拉力大小為

T=5A/3N

（2）設拴接小球乙的輕繩與豎直方向的夾角為a,由幾何關系可知

=&+（曲『

所以拴接乙球的輕繩與半圓柱體相切，可得

R1

sina-——二—

2R2

解得

a=30。

以小球乙和半圓柱體丙整體為研究對象，可知半圓柱體所受的摩擦力方向水平向左、大小等于拉力T沿水

平向右方向的分力，即

f=Tsina

解得

/孝N

（3）以結點O為研究對象，對其受力分析如圖2所示，由平衡關系得

F2=Ttana

代入數據解得

F2=^mg=5N

以甲為研究對象，設物塊甲的質量為叫，當靜摩擦力沿斜面向上達到最大值時有

耳'+〃必885。=町85也6尸2與鳥'是一對相互作用力，由牛頓第三定律可知耳=6'，解得

叫=4kg

當靜摩擦力沿斜面向下達到最大值時有

F；="4gsin9+1gcos0

解得

4,

"4=-kg

4

物塊甲質量的取值范圍為亍kgW叫＜4kg。

（23-24高三上?安徽?階段練習）如圖所示，兩個相同小物塊A、B（可視為質點）靜止放在

粗糙水平面上，兩物塊與水平面間的動摩擦因數相同，兩根等長輕桿一端分別通過光滑錢鏈連接在A、B

上，另一端通過光滑較鏈連接在。處，兩桿之間的夾角為a。現對。施加一個豎直向上的拉力尸，已知

物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。

（1）若A、B的重力大小均為G,動摩擦因數為〃，要使兩物塊發生滑動，尸應滿足什么條件？

（2）若夕=60。，對。施加一個豎直向下的壓力R無論P多大均不能使A、B與水平面發生相對滑動，

則物塊與水平面間的動摩擦因數應滿足什么條件？

o

【答案】（1）

F>(2)//>

//+tan—

【詳解】（1）把力廠的作用效果分解，對A受力分析，如圖

則

F=2F2COS—

可得

F2=—^~

zcc

2cos-

2

若A剛好要相對滑動，水平方向

8sm,="]

豎直方向

口scc_

7^1+^cos-=G

又

耳I="NI

解得

F=22

a

//+tan—

要使兩物塊發生滑動，尸應滿足

24G

a

//+tan—

（2）把力尸效果分解，對A受力分析，如圖

則

要使A不發生相對滑動，對A,水平方向

F2Sm^=Ff2

豎直方向

Fm=G+F2COS^

又

解得

a

tan—

〃屏

F

當00時

23

所以無論尸多大均不能使A、B與水平面發生相對滑動，則物塊與水平面間的動摩擦因數應滿足

1.（2024?安徽?模擬預測）中國人民解放軍的口號是“首戰用我，用我必勝！"為此人民解放軍在平時進行刻

苦訓練。如圖為一名解放軍戰士在負重訓練的過程中，拖著一個質量為40kg的輪胎，輪胎與水平地面之

間的動摩擦因數為〃=0.75,已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g=10m/s2。不計繩子質

量，繩長可自由調節。

（1）當繩子與地面的夾角為。=37。，且剛好能拉動輪胎時，求繩子對輪胎的拉力大小（sin37°=0.6,

cos37°=0.8）；

(2)己知某次解放軍戰士對輪胎的拉力為272N,A、8兩地相距45.9m,為使輪胎從A處運到8處,

則該戰士用力拉輪胎的最短作用時間是多少？

【答案】(1)240N；(2)9s

【詳解】(1)對輪胎恰好被拉動時，受力如圖所示

根據受力分析可知

F[Cose=于1

mg=sin3+Fm

f\=4

聯立解得

Ft=240N

(2)由題意知撤去拉力前輪胎以最大加速度運動，撤去拉力剛好滑行停在8處時，戰士拉輪胎時間最

短。設拉力與地面的夾角為a,其受力如圖所示

根據受力分析可知

F2cosa-jU(mg-F^sina)=mat

解得

@_E(cosa+4sina)4g

m

由數學關系解得最大加速度為

」+■F1/2

“max=-----------------21—"g=Im/S

m

撤去拉力后減速

jumg=ma2

解得

%=7.5m/s2

設撤去拉力時速度大小為V,則有

v2V2

斯+拓

解得

v=9m/s

則

y=4maxG

解得

%=9s

2.（2024?遼寧沈陽?模擬預測）中國的殲-20戰斗機是一款全球領先的戰機，它不僅擁有高超的隱身性、

機動性，還具有強大火力、信息化和網絡化能力，能夠在復雜的空戰環境中發揮重要的作用。設總重力

為G的戰斗機正沿著與水平方向成。角的直線勻速向上攀升，牽引力尸的方向位于速度方向與豎直方向

之間、與速度方向成a角，升力與速度方向垂直，飛機受到的阻力等于升力的七倍，阻力方向與速度方

向相反，如果飛機受到的這幾個力的作用線相交于一點，求:

（1）飛機受到的升力片的大小;

（2）牽引力廠的大小。

?小生、/、cos(a+8)_/、廠sin+Z:cos0「

【答案】(1)耳=——----LG；(2)F=------——G

cosa+左sinacos?+Ksma

【詳解】（1）（2）根據題意，沿飛機速度與垂直速度方向建立坐標系，對飛機受力分析，如圖所示

G

由幾何關系有

Feosa=kF】+Gsin6,Fsina+F1=Geos0

解得

cos(a+6)lsin0+A;cos9一

耳=-----------G,F=------------------G

cosa+ksinacosa+ksina

3.（2024?遼寧丹東?二模）小明學習了共點力及共點力作用下物體平衡的條件后，對生活中的一些平衡現

象產生了濃厚的興趣，進行了一些研究并獲取相關數據，請你協助小明完成以下兩個任務：

（1）豎直墻上用一根細繩（輕質）懸掛了一幅相框（如圖），經測量：兩掛釘之間的細繩長度為70cm,

兩個掛釘間距離為42cm,相框的重：LON,計算出細繩上的張力大小為多少；

（2）長度為2R的筷子放入半徑為R的半球形空湯碗中恰處于靜止狀態，測得筷子在碗內的長度為

1.67?,計算出這根筷子的重心到A端的距離（筷子與湯碗之間的摩擦不計）。

【答案】（1）6.25N；(2)0.77?

【詳解】（1）設細繩上的張力大小為R方向與豎直方向成8角，如圖所示

由幾何關系可知

9=37。

2尸cos37。=G

解得

F=6.25N

（2）對筷子進行受力分析如圖所示

根據共點力平衡，湯碗對筷子在A、C兩點的彈力延長線交點一定在過筷子重心的豎直線上，設筷子的

重心為N點，則

CN=1.6Rtan20=O.9R

則重心到A點的距離為

AN=AC-CN=OJR

即這根筷子的重心到A端的距離為0.7R。

4.（2024?四川成都?模擬預測）在水平道路上行駛的汽車，擋風玻璃與水平面成夕=37。，無風的天氣里，

車輛行駛時，靜止在擋風玻璃上的樹葉受到水平方向的空氣推力，推力方向與車前進方向相反，大小由

車速V決定，且滿足尸=E2。只討論樹葉沿擋風玻璃向下或向上的運動，橫向運動可視為靜止，已知樹

葉的質量加=0.01kg,左=0.75xl03kg/m,g取10m/s2,cos37°=0.8,sin37°=0.6。

（1）若忽略樹葉與擋風玻璃間的摩擦力，求樹葉靜止在擋風玻璃上時車勻速運動的速度大小%;

（2）若樹葉與擋風玻璃間有摩擦，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，某次經精密測量發現當勻速運動

的車速為半％時，原來靜止在擋風玻璃上的樹葉恰好要開始沿擋風玻璃向上運動，求樹葉與擋風玻璃

間的動摩擦因數〃。

【答案】（1）10m/s；（2）1

【詳解】（1）樹葉靜止時受力平衡，沿玻璃斜面方向有

F[cos0=mgsin0

又

v0=lOm/s

（2）當車速為手%時，發現樹葉恰好向上運動，此時為臨界狀態，樹葉加速度為0,則

F2COS6-mgsin6-//綜=0

FN=F2sin0+mgcos6

聯立解得

5.（2024?安徽?一模）如圖，質量均為機的光滑長方體甲、乙靜置在光滑的水平面上。在它們之間放一質

量為2加、截面為正三角形的重物丙，丙兩側分別與甲、乙接觸。對長方體甲、乙施加等大、反向的水

平力廠時，重物丙恰好靜止。已知重力加速度大小為g。若同時撤去力R長方體將在水平面上滑動，

求：

（1）水平力尸的大小；

（2）剛撤去廠時，地面對長方體甲的彈力大小。

乙＜—F

【答案】(1)y/3mg；(2)^mg

【詳解】（1）對丙受力分析，如圖所示

由平衡條件可得

2區cos60°=2mg

解得

然=2m8

對甲受力分析，如圖所示

由平衡條件，可得

F=/^sin60°

又牛頓第三定律得

氏=卅

聯立解得

（2）剛撤去尸時，物體丙有豎直向下的加速度。而根據牛頓第二定律有

2mg-2尸［cos60°=2ma丙

甲、乙兩長方體分別有水平向左和向右、大小相同的加速度。折根據牛頓第二定律有

氏'sin60°=mav

加速度a丙和a用的關聯關系為

a甲sin60°=。丙cos60°

設地面對長方體甲的彈力大小為F尹，由于甲在豎直方向平衡，則根據平衡條件和牛頓第三定律得

心-mg-F^cos600=0

聯立解得

L5

屐=1〃吆

6.（2024?江蘇鎮江?一模）如圖所示，兩個質量均為機的小球通過兩根輕彈簧A、B連接，在水平外力產

作用下，系統處于靜止狀態，此時彈簧實際長度相等。彈簧A、B的勁度系數未知，且原長相等。彈簧A、

B與豎直方向的夾角分別為。與45。。設A、B中的拉力分別為FA,4，小球直徑相比彈簧長度可以忽略。

求：

⑴彈簧A與豎直方向的夾角的正切值;

（2）彈簧A中的拉力0的大小。

【答案】（1）；

小mg

【詳解】（1）對下面的小球進行受力分析，如圖甲所示

甲

根據平衡條件得

F=mgtan45°=mg

對兩個小球及輕彈簧B整體受力分析，如圖乙所示

2mg

乙

根據平衡條件得

tan。，」

2mg2

（2）由上一問分析可知

FA=J⑵咫=#1mg

7.（2024高三?福建莆田?階段練習）如圖所示，固定在水平地面上的斜面傾角為30。,物塊A與斜面間的

動摩擦因數為"，輕繩一端通過兩個滑輪與物塊A相連，另一端固定于天花板上,

不計輕繩與滑輪的

4

摩擦及滑輪的質量。已知物塊A的質量為加，連接物塊A的輕繩與斜面平行，掛上物塊3后，滑輪兩邊

輕繩的夾角為90。，物塊A、B都保持靜止，重力加速度為g,假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。

(1)若掛上物塊B后，物塊A恰好不受摩擦力作用，求輕繩的拉力尸的大小;

(2)若物塊B的質量為@求物塊A受到的摩擦力的大小和方向；

〃〃〃

【答案】(1)0.5叫，(2)逅心機g,方向沿斜面向下

【詳解】(1)由滑輪相連輕繩的拉力處處相等，對物塊A受力分析如圖所示

A恰好不受摩擦力作用，則沿斜面方向

F=F^=mgsin30°

F=0.5mg

(2)對物塊B受力分析，設輕繩對物塊B的拉力為T,則由平衡條件有

同=gg

T7mg

再對物塊A受力分析，因為

T>mgsin30°

A有上滑趨勢，故受到的靜摩擦力/沿斜面向下，則由平衡條件有

mgsin300+齊］

解得A受到的靜摩擦力大小為

8.(2024高三?河南?階段練習)輕繩上端固定，下端系一可視為質點的物塊，現對物塊施加一個能保持其

在圖甲所示位置靜止且最小的力尸=20N作用，此時輕繩與豎直方向的夾角夕=30。。再將此物塊取下后

輕放在圖乙所示的斜面上，恰好能處于靜止狀態。然后再對其施加一個平行于斜面的拉力尸，使物塊能

沿圖乙中虛線從C向A勻速運動，已知斜面ABCD為矩形，za4c=60。，斜面的傾角＜9=30。，重力加速

度g=10m/s2,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。求：

（1）物塊的質量相；

（2）物塊與斜面間的動摩擦因數〃及物塊在斜面上運動時受到的摩擦力了的大小；

（3）拉力尸的大小。

【答案】（1）機=4kg；（2）=—,/=20N；（3）F'=20A/3N

3

【詳解】（1）圖甲中，當施加力F與繩子方向垂直時，力歹具有最小值，則有

F=mgsina=20N

解得物塊的質量為

m=4kg

（2）將此物塊取下后輕放在圖乙所示的斜面上，恰好能處于靜止狀態，則有

mgsin0—jumgcos0

可得物塊與斜面間的動摩擦因數為

〃=tan6=

3

對其施加一個平行于斜面的拉力尸'，使物塊能沿圖乙中虛線從。向A勻速運動，則物塊受到滑動摩擦

力作用，大小為

,A3-x4xl0x^N=20N

j=jumgcos=—

2

（3）由于物塊重力沿斜面方向的分力為

G=mgsin0=4xl0x-N=20N

x2

則有

f=c；=20N

根據受力平衡可知，拉力F的方向與/和G,夾角的角平分線在同一直線上，則拉力的大小為

Ff=Gcos30°+/cos30°=20gN

9.（2024高三?貴州六盤水?階段練習）如圖所示，質量為%的物體甲通過三段輕繩懸掛，三段經繩的結點

為。。繩水平且8端與站在水平面上的質量為恤的人相連，輕繩OA與豎直方向的夾角6=30。，物

體甲及人均處于靜止狀態。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，人與水平面之間的動摩擦因數為〃=03,

重力加速度為g。求：

（1）。4、繩中的拉力大小;

（2）若人的質量叱=60kg,欲使人不滑動，物體甲的質量叫的最大值。

【答案】⑴下

-3-

(2)18石kg

【詳解】（1）對結點O受力分析如圖

TOACOS9=m.g,TOAsine=TOB

解得

（2）當甲的質量增大到人剛要滑動時，靜摩擦力達到最大值，如圖所示

則

由平衡條件得

F

oBm="imgtang=

聯立解得，物體甲的質量最大值為

/m=1873kg

10.(2024?廣東深圳?二模)智能機器人自動分揀快遞包裹系統被賦予"驚艷世界的中國黑科技"稱號。如圖

甲，當機器人抵達分揀口時，速度恰好減速為零，翻轉托盤使托盤傾角緩慢增大，直至包裹滑下，將

包裹投入分揀口中(最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，重力加速度g大小取10m/s2)。如圖乙，機

器人把質量機=lkg的包裹從供包臺由靜止出發，沿直線運至相距L=30m的分揀口處，在運行過程中包

裹與水平托盤保持相對靜止。已知機器人運行最大加速度a=2m/s2,運行最大速度v=2m/s,機器人運

送包裹途中看作質點。

(1)求機器人從供包臺運行至分揀口所需的最短時間t；

(2)若包裹與水平托盤的動摩擦因數為立，則在機器人A到達投遞口處，要使得包裹能夠下滑，托盤的

3

最小傾角0m應該是多少；

【答案】⑴16s

(2)30°

【詳解】(1)當機器人A先做勻加速直線運動加速至2m/s,然后做勻速直線運動，最后做勻減速直

線運動至零時，機器人A從供包臺運行至分揀口所需時間最短。做勻加速直線運動階段根據運動學的

公式可得

Vo1I21

=Is,x=—at=Im