第五章：平面向量與解三角形（模塊綜合調研卷）

（19題新高考新結構）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知向量值與在能作為平面向量的一組基底，若"注與（左+1）?+3共線"eR）,則左的值是（）

A—14-V5R—1±^/5r-1—V5N1+A/5

2222

【答案】B

【分析】引入參數彳，由平面向量基本定理建立方程組即可求解.

【詳解】若聯+應與（左+1））+3共線，貝IJ設Z+屆=2［優+1）萬+可"R+1K+亦，

因為向量萬與B能作為平面向量的一組基底，

所以［：一：化十0,所以r+”i=o,解得左=一1士囪.

\k=X2

故選：B.

2.設A/IBC的內角A,B,。的對邊分別為b,c,已知。=9,b=8,c=5,則。的外接圓的面積為

()

225125123113

A.---兀B.——71C.-----71D.——71

111166

【答案】A

【分析】由余弦定理先求出cosC,結合同角平方關系求出sin。，再由正弦定理求出外接圓半徑為E,即可

得解.

【詳解】因為Q=9,b=8,c=5,

a2+Z?2-c281+64-25_5

所以cos。=

2ab2x9x86

所以sinC=Vl-cos2C=，

6

設“BC的外接圓半徑為H,

R=c_5_15V11225

則2sinCVH11，則"5C的外接圓的面積S=兀斤=石-兀.

亍

故選：A.

3.已知單位向量方，B滿足伍-孫，=；,則2—23與B的夾角為()

7T7T2兀

A.—B.-C.—D.

633

【答案】D

【分析】根據題意結合數量積的運算律可得展B=進而可得歸-2H=6,(12斗才=彳，結合夾角

公式分析求解.

【詳解】由題意可知：向=’|=1,

/j-*rr。一1

因為){(j—b\,ci=a?-a,b=1—a,b=解得展

2

r2rrrr

貝I」(z〃r一2bX)=a2-4〃?6+4b2=3,即歸_2'=6,

rrrrr

a-2bx]-b=ar-b-2b23

2

/rA「_3

/rrrxQ-26卜6

可得cos(a—2b,b)=-ry--r.ip.=

、'"26bV3xl~2~

/rrr、r_

且《-26,6)e[0,兀],所以3-2*與3的夾角為不.

故選：D.

4.在“8C中，AB=2,BC=近，N8/C=120。，D是BC邊一點、,是/A4c的角平分線，貝U/D=

()

A.1B.1C.2D.V3

【答案】A

【分析】由余弦定理得到“C=l,由正弦定理和3C=4得3。=地，求出cos448C=亞，進而得到

314

sinZABC=叵,在△/四中，由正弦定理得到答案.

14

【詳解】在力5C中，由余弦定理得cos/84C=留土處二￡

2ABAC

即4+"2-7」,解得/。=1或一3（舍去）,

4AC2

ARBD

在△4BD中,由正弦定理得;^

sinZBAD

ATCD

在△4C。中,由正弦定理得EF

sinZCAD

其中4。5+4。。=180。，ABAD=ACAD=60°,

所以sinZADB=sinZADC，sinABAD=sin/.CAD，

ABBD_

~AC~~CD~~i

又BC=S,所以BD=^~,

3

AB2+BC2-AC2__4+7-1_577

在中,由余弦定理得cosZABC=

2ABBC_2><2><近一k

a

故sin/48C=

14

ADBD

在△曲中，由正弦定理得

sinZBAD

2A/7

-o-7

即A半D=T=-,解得

V21V33

IT~2

故選：A

5.在中，內角A,B,C所對的邊分別為。也c.已知（36-。乂〃+H-q2）=2a6ccosC.則tanA=

（）

A.V2B.2V2C.百D.2A/3

【答案】B

【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化簡即可.

入2+32

222

【詳解】，因為cos/=,nb+c-a=2bcCosA

2bc

又因為（36-c2?+c2-叫=2abecosC

得（36-c）2bccosA=2abccosC

整理得（3b-c）cosA=acosC

由正弦定理可得3sinBcos4一sinCcos/=sin/cosC

得3sinBcosZ=sinCcos/+sin/cosC

得3sinBcos/=sin（/+C）=sinB,因為sinBwO

所以cos/=—

3

所以tan/=?LJi°s~=2立

cosAcosA

故選:B

6.在中，角/、B、C所對的邊為a、b、c若耳■=則且，則28C的形狀是（）

ctanC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用正弦定理邊化角、切化弦，再結合二倍角公式求解即得.

sin5

【詳解】在。中，由t=處"及正弦定理得州愛=誕/，而sin/>0,sin3>0,

c2tanCsin-CsmC

cosC

整理得sin5cos8=sinCeosC,即sin25=sin2C,而0<5<兀,0<。<兀,

JT

則0<23<2兀,0<2C<2TT,因此2B=2C或28+2C=兀，即B=C或3+C=—,

2

所以08C是等腰三角形或直角三角形.

故選：C

7.已知胸忑為單位向量，且附一5+7,則電司+g2a的最小值為（）

A.2B.2A/3C.4D.6

【答案】B

［分析］由忸-5可=7,得花=_|■，可得,得=5由|21_同+歸_2甘卜恒一斗忸一咋忖_2$卜2

當等號成立時可得最小值.

【詳解】/瓦C為單位向量，有同=忖=同=1,得求=廬=*=1，

由|33-5可=7,得（34-5可=9片-30GZ+25/=49,

有。.6=—：,所以比b=9,

23

B—可二5一=yla-2a-b+b^=V5，

|i|=|c|=1,b9c=c9bf有歸_2d=忸_己卜

則|21_曰+歸_23=|23_可+|2ft-c|>?萬_2$卜24",

當且僅當2萬-，與2B-,方向相反時”=〃成立，

如取2=(1,0),3=-｝三,,=｝券時，可使，=〃成立.

\77

所以伽_回+/_2aL=2瓦

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：

本題關鍵點是由已知條件得歸-2@|=忸-3,這樣就能得到|2@-4+歸-23=儂-小忸-咋恒-2修.

7

8.已知也15。的內角45。的對邊分別為。也。，且cosZ=7.〃■為力3。內部的一點，且

O

aMA+bMB+cMC=Q^^AM=xAB+yACf貝1」工+》的最大值為()

4551

A.-B.—C.—D."

5462

【答案】A

【分析】把已知等式中標，流向量用刀，就，刀？表示后可求得x，N,由余弦定理得a,6,c的關系，求出

士的最值，再由不等式性質得結論.

【詳解】VaMA+bMB+cMC=

：.aAM=bMB+cMC=b（AB-~AM）+c（AC-AM），

----?h---?c——

???AM=-----------AB+------------AC,又萬7=+y就,

a+b+ca+b+c

b+c1

cx+y=

廣a+b+c

a+b+ca+b+c—+1

b+c

715

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2--bc=（b+c）2-一be,

44

由鵬與支(當且僅當』時取等號)，得八…2-呆了=曾，

1

.a1—4

??------2一,:一+"廠5，即％+》的最大值是

b+c4-+1

4

故選：A.

【點睛】本題考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值.解題關鍵是由平面向量基本定

理把用。,6,C表示出來.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分)

9.已知向量Z，B的夾角為方，且同=1,忖=2,貝IJ()

A.(?-6)!?B.歸+可=近

C.|25+^|=|25|D.0在后的方向上的投影向量為日3

【答案】AB

【分析】根據向量的數量積、向量的模、向量的垂直和投影向量的運算性質，對各個選項逐一判定即可.

［詳解］a-fc=|a||fc|cos-1=lx2x-^-=l,^a-b^-a=|a|--a-fe=1-1=0,故A正確；

|a+&|=同，W+2a-Z?=l+4+2=7,所以忖+可=嶼，故B正確；

恒+92=4同2+歸『+433=4+4+4=12,所以忸+可=28，

又因為忸卜4,所以"+B卜國，故C錯誤；

a-bb1

日在不上的投影向量為國,同=/r，故D錯誤；

故選：AB.

10.在銳角△45C中，內角4,B,。的對邊分別為〃，b,c,且c=2asin5,則()

A.45邊上的IWJ為萬

11

B.-----1----為-定值

tanAtanB

sinC

C.的最小值為2

cosAcosB

D.若tanC=3,則/+/=生何必

5

【答案】ABD

【分析】對A,根據45邊上的高為asinB求解即可；對B,由正弦定理結合三角恒等變換化簡即可；對C,

由正弦定理結合三角恒等變換化簡，結合B中一L+—匚=2,再根據基本不等式求解即可；對D,根據

tanAtanB

三角形內角關系，結合兩角和差的正切公式與正弦定理判斷即可.

【詳解】對A,邊上的高為asin8,由題意asinB=g,故A正確;

2

對B,由正弦定理c=2asin8即sinC=sin(4+8)=2sin/sin5,

故sinAcosB+cos/sinB=2sin/sinB，

又銳角ABC,故您0+絲1=2,即，+上=2,故B正確;

smBsmAtanAtan5

「sinCsin(4+8)sin4cos5-Fcos^sin5,八

C,--------------=——---------=------------------------------=tan4tan5,

cos4cos3cos4cos3cos4cos5

又---1——--=2,故tanA+tanB=—(tanA+tanB)(----1--------

tanAtanB2ItanAtanB

1f_tanBtan4、1C_ianB―tanA_tan5tan4

=-2+-------+------->-2+2J------x-------=2,當且僅當

21tanAtanB)21'tanAtanB,tan4tan8

jrjr

即tan/=tan5=l時取等號，此時Z=5=—,C=—,與銳角矛盾，故C錯誤;

42

對D,tanC=tan[兀一(/+5)]=—tan(/+B)=3,

tanA+tanB八511c口口,_,

a即rt-----------=-3,又------F-------=2,即tanA+tanB=2tanAtanB,

1-tanAtanBtanAtanB

2tanAtanB"以力,口，__

故-----------=-3，角牟得tanAtan5=3,故tanA+tanB=6.

1-tanAtanB

則tan力(6—tan")=3,即tan2Z-6tan/+3=0,解得tanZ=3±V^.

故tan/=3+V^,tanB=3-&，或tan/=3-V^,tanB=3+46.

不妨設tan/=3+痛，tanB=3-a,

sin5=

則

a久3-拓3Jo-

土后,2415+6^6.2D15-6#sin4sinx

故smA=---------產，sinB=---------產，20

16+6V616-6V6

故sin?Z+sin?B=勺何sin及inB,由正弦定理4+/=4y^-ab，故D正確.

55

故選：ABD

11."奔馳定理〃因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論.奔馳定理與三角形

四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯.它的具體內容是：已知Af是內一'點，4BMC,

AAMC,△力也的面積分別為臬，邑，S「^SA-MA+SB-MB+SC-MC=Q.以下命題正確的有（）

A.若S/=1:1:1,則A/■為△4V7C的重心

B.若M為AASC的內心，則.疝+ZC?礪+45.慶=0

C.若/A4C=45。，AABC=60°,M為“3C的外心，則邑：:Sc=G：2：1

D.若〃■為AZ8C的垂心，3MA+4MB+5MC=Q^貝＜1cos//Affi=-"

6

【答案】ABD

【分析】A選項，MA+MB+MC=0,作出輔助線，得到A,M,。三點共線，同理可得M為AA8C的重

心；B選項，設內切圓半徑為廠，將面積公式代入得到8c.疝+/。礪+48.標=0;C選項，設外接圓

半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值；D選項，得到邑：Sy與。=3:4:5,作出輔助

線，由面積關系得到線段比，設〃。=加，MF=n,ME=St,表示出ZM,BM,MC,結合三角函數得

到加="〃，m=^Lt,進而求出余弦值；

33

【詳解】對A選項，因為用：品：k=1:1:1,所以疝+礪+標=0，

取3c的中點。，則赤+標=過萬，所以2詬=-疝，

故A,M,D三點共線，且|兒聞=2|MD|,

同理，取48中點￡,ZC中點尸，可得3,M,廠三點共線，C,M,E三點共線，

所以M為AA8C的重心，A正確；

對B選項，若M為的內心，可設內切圓半徑為,，

則J=：8C-r,SB=^AC-r,Sc=^AB-r,

I,?I"?I'.

所以一8C/-M4+—+—A87-WC=0,

222

即8。疝+ZC.礪+疝=6，B正確：

對c選項，若/以C=45。，ZABC=60°,M為“3C的外心，則a1C3=75°,

設的外接圓半徑為H,故/5MC=2/A4C=90。，ZAMC=2ZABC=120°f

/AMB=2ZACB=150。,

2222

故邑=1及2$泊90。=1尺2,SB=-RsmnO°=—R,Sc=^7?sinl50°=1J?,

22B2424

所以SJSB：SC=2：?：1,C錯誤；

對D選項，若M為"8c的垂心，3MA+4MB+5MC=0>

則邑：SB：$c=3:4:5,

如圖，ADIBC,CE1AB,BF±AC,相交于點M,

又見ABC=84+83+sc,

S3]

不」二高二了，即ZM:MD=3:1,

'△ABC124

S41

,△ABC1，3

Sc5

-^-=—,即〃E:"C=5:7,

'△ABC12

設MD=m,MF=n,ME=5t,則NM=3H,BM=2n,MC=1t,

nm

因為NC4D=NCB尸，sinACAD=——,sinZCBF=—

3m2n

A/6

所以〉六即m=----n，

3

%

%D正確;

貝!JcosN/兒/二cosg/BMD)=_

cos/BMD=—=———=—

2n2n6

故選:ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量與四心關系應用，關鍵是利用三角形的幾何關系及向量數量積及向量

線性表示逐項判斷.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知平面向量1=(1,加),6=(-2,1),c=(?,2),若b11C>則加+〃=.

【答案】-2

【分析】根據向量平行和垂直的坐標表示得出參數計算即可.

【詳解】因為G=(l,〃?),，=(一2,1)為,，，所以lx(-2)+lx加=0,機=2,

因為己=(〃,2),，=(-2,1)?/區，所以lx〃=2x(-2),〃=一4,

所以冽+〃=2-4=一2.

故答案為：-2.

13.我國著名的數學家秦九韶在《數書九章》提出了一種求三角形面積的方法〃三斜求積術〃，即在。中,

角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,則“BC的面積為S=⑷2TJ若

(a-b)sin/=優+c)(sinC-sin8),且^ABC的外接圓的半徑為寺，則"BC面積的最大值為.

【答案】V3

【分析】先將(。-6,吊/=伍+0m出<7-$吊8)化簡得。=2,再由均值不等式得仍44,最后代入面積共

公式即可得出答案.

【詳解】因為一6)sin4=優+c)(sinC-sin5),

所以由正弦定理得(a-b”=(b+c)(c-b),

所以/+/一°2=帥,

所以由余弦定理得cosC=」，

lab2

而Ce(O,%),

所以C=g,

所以---=2R=2義2也,

sinC3

所以，二孚4-

由/+/一/=ab^a2+b2-4=ab>2ab-4,

所以ab<4,當且僅當〃=Z)=2時取等號，

；(ab)2-a2+b2-

所以S△小

2

故"BC面積的最大值為百.

故答案為：V3

14.已知/、B、C是半徑為1的圓上的三個不同的點，且|荔卜6,則方.就的最小值是

【答案】:一百

2

【分析】根據題意，由正弦定理可得sinC=由，然后分3=5兀-/與2=三-/討論，再由平面向量數量積

的定義展開，結合三角恒等變換公式代入計算，即可得到結果.

【詳解】由正弦定理可得，｝=上=2/，所以正=_匕=2,

sinCsinBsinCsinB

所以sinC=^，且Ce(O,7i),則C=1或未，

2兀

則3=—兀一/或3=——A,

33

當兀一4時，b=2sin5=2sin[g兀一4),

所以AB-AC=bccosZ=V3x2sin-TI-AXCOSA

=2x——cosA-\——sinAcos

22

=3cos24+6sin4cos4

3(l+cos2Z)百.c,

=--------------+——sin24

22

=Gsin12/+|J+g則2/+；e］；,g7i

當2Z+g=|■兀時，即/=[兀時，在.運1取得最小值I"-百;

當6=：-Z時，6=2sin5=2sin［三一Aj,

所以AB-AC=becos4=Gx2sin—4)xcosA

=2>/3x^-cosA--sinjeosA

122J

=3cos2A-Gsin/cosZ

3(l+cos24)百.一

=---------------------sin2/

22

:辭］。［,則2/一544看

則萬?就無最值；

綜上所述，萬.%的最小值是。-行

故答案為：

2

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.在“8C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,設向量成=僅sin4,抬sin4+JicosA),

71271

n=(cosA,cosA-sitU),f(^A)=ih-n,Ae

6'T

(1)求函數/(/)的最大值;

(2)若/'(/)=(),a=百，sin5+sinC=當，求”8C的面積.

【答案】⑴G

(2)f

【分析】(1)由向量數量積的坐標運算得/(/),利用降幕公式和輔助角公式化簡，利用正弦函數的性質求

最大值；

⑵/■(/)=()解得/由sinS+sinC=Y^J用正弦定理邊化角得6+c=?，再結合余弦定理求得6c=1,

32

面積公式求AABC的面積.

【詳解】(1)/(A)=m-fi=2sinAcosA+(V3sinA+V3cos^)(cosA-sinA)

=sin2A+A/3(COS2T4-sin2^)=sin2A+^3cos2A=2sinI2A+—

因為所以2/+2暫不

_o3J3|_33

所以當2/+g=鄉，即/=?時，〃/)有最大值2xYLg；

33o2

(2)因為/(/)=0,所以25抽(24+1]=0,所以24+g=左兀,左cZ,

因為/￡24,所以4=g，

633

上=」=，=立=2bc

由正弦定理sinBsinCsinZ6，所以sinB=],sinCu/,

~T

又因為sinB+sinC=,所以2+'=^^,得b+c=娓,

2222

由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccosA,3=(b+c)2-3bc,所以弦=1,

所以S“Bc=sin"=；義lxq二￡.

cos>4

16.記的內角/,B,C的對邊分別為Q,b,c,已知----=l+sin/.

tan5

⑴若/=5,求C；

,asmB+bsmA

⑵求-------------的取值范圍.

2bcos5

【答案】(1)。=三

(2)(0,1)

【分析】(1)先由題給條件求得/=6=9,進而求得c=f；

63

(2)先利用正弦定理和題給條件求得/=]-28和0<2<￡,再構造函數>=2/一；,曰</<1,求得此函

數值域即為竺電竺如上1的取值范圍

26cos8

【詳解】(1)由4=8,—=l+sin^

tan5

可得cos，=1+sin/,則cos2Z=(1+sin/)sin/

tan/''

整理得2sin2/+sin/-1=0，解之得sin4=1或sin4=-1

2

又則4='，則5貝|JC=3^

2663

(2)A,8為AABC的內角，則l+sin4>0

則由筆=l+sin/,可得金>0,則48均為銳角

tanBtanB

cos2-4---si.n2—411-t+an一4

八cosAA?9?

tanB=----------=-------Y--------7^-=--------J

l+sin/(sin|+cos|)2l+tan1

又0<B<30<二一且〈色，則2=工一且，Q<B<

242442

則4=］一25,則sin4=sin-2“=cos28

因為“sin5=Z?sin%,

osinB+bsin42bsinA2bcos2B2cos2B-1__1

則----------=-------------=--------------=2cos--------

2bcosB2bcosB2bcosBcos8cos8

令/=COSB(0<B<￡|,則*,<1

/rr\r—

又/⑺=2」在半,1單調遞增，fA=0,/(1)=1

fI2J2

可得0<2":<1,則2cos8-9萬的取值范圍為(0,1),

l.〃sin5+6sin/

則-------------的取值范圍為(0,1)

2bcos5

cosCcosA+cosB

17.在銳角中，內角48,C的對邊分別為a,6,c,且滿足:

acosB+bcosAa+b

(1)求角。的大小;

⑵若c=3,角A與角8的內角平分線相交于點。，求△48。面積的取值范圍.

【答案】(嗎

“中’孚］

【分析】(1)根據正弦邊化角，并結合恒等變換得sin(C-N)=sin(8-C),再結合題意得2c=/+3,進而

根據內角和定理得答案；

(2)由題，結合(1)得設乙D/8=c,則乙48。=/-。，進而根據銳角三角形得二＜a＜：,

33124

在△力助中，由正弦定理得/。=2百sin］；-a),進而

S^ABD=；4D45sina=T><3><2Gsin[l—“sina=2手sin^我+弓）一考^,再根據三角函數性質求范圍即

可.

cosCcosA+cosB

【詳解】（1）解：因為

acosB+bcosAa+b

cosCcosA+cosBcosCcosCcos4+cos5

所以,即

sirUcosB+sinBcosAsin/+sin5sin(4+5)sinCsin4+sin8

所以sinCcosZ+sinCcosB=sin/cosC+sin5cosc,

所以sinCcosI-sin4cosc=sincosC-sinCeosS,即sin(C-T4)=sin{B-C),

因為在銳角力5C中，C-Ae,B-Ce

所以C—/二B—C,即2C=4+5,

因為4+5+C=TI,

TT

所以3c=/+3+C=TI,解得C=1

所以C=；

jr

(2)解：因為C=§,角A與角B的內角平分線相交于點。,

所以ZDAB=-NCAB,ZDBA=-ZABC,

22

所以N7X48+ZDBA=^ZCAB+^ZABC=1(TI-C)=|

所以N4D8=年，

JT

設ZDAB=a,則Z-ABD=----a,

3

因為445C為銳角三角形，

LL八c兀八c兀c兀hT\/口兀兀

所0<2a<一,0<8=兀------2a<—,解得一<a<—

232124

ARADAB-smZABD

所以,在△加中，由正弦定理目^"而得皿=

sinZADB

=—AD?ABsina='x3xsin71

所以，△/阿）面積——asma

223

9.

=3Gsinsina--sina-cosa-------sin2a+

22

兀717T712兀

因為ee,所以20+工€

12540i'T

/

所以+個

sin12aG-

536L吟3拒（9一3636]

2I6）4144J

a-cosCsinC

2

（1）若bwc,證明：a=b+c;

2

（2）若3=2C,證明：2c>6>].

【答案】（1）見詳解；

⑵見詳解.

【分析】（1）根據正余弦定理角化邊，整理即可;

（2）根據正弦定理推得b=2ccosC,即可得到b<2c.通過分析，可得“~J以及c=-J,代入

2cosC-12cosC

a2=b+c,整理可得到6=（2cosc_1_],令=2cosC,構造6=/?）=—一―求導得到

U+2cosCjUcosC-lJt3+t2-t-}

/（0在（1,2]上單調遞減.進而得到/⑺>/⑵=：.

【詳解】（1）證明：由正弦定理可得，4=展，所以駕=2,

sinBsinCsmCc

2,2_72272_2

由余弦定理及其推論可得，COSB）+。一。，cosC=a+b~C,

2aclab

a2+c2-b1

Q--------------------------

所以，由已知可得，——,坐,b

a+b-cc

a-----------

lab

即2a2（6-c）=2（/-/）=2（6+c）（6-c）,

因為bwc,所以/=6+o.

(2)證明：由已知得,sin5=sin2C=2sinCcosC,

hc

又由正弦定理可得，6=2ccosC,

sinBsinC

因為cosC<l,所以b<2c.

由(1)知，a*1=b+c,則?=He

a

又由正弦定理號可得,

sinAsinBsinC

sin5+sinCsinB+sinCsin5+sinC2sinCcosC+sinC

(J=----------=------=------------=----------------r--

sin/sin[B+C)sinBcosC+cosBsinC2sinCcosCcosC+(2cos23C-1)sinC

sinC(2cosC+1)1

-(4COS2C-1)sinC_2cosC—1'

又6=2ccosC，貝!jc=--—,

2cosC

]以及二二J代入/可得,

將a=c=6+c

2cosC-12cosC

117b/l+2cosC

--------=b+--------=b\---------

2cosC-l)2cosCI2cosC

2cosc1]/2cosc丫1

整理可得,b=1+2cosCJ<2cosC-lJ11+2cosCJ12cosC-l

ir1

因為，B=2C,A+B+C=TI,所以0<C<一,貝lJ—<cosC<l.

32

令"2cosC,貝b=f(t)

則外）=

所以，當l<f<2,⑺<0恒成立，所以7在。,2）上單調遞減.

79

所以,/（/）>/（2）=-,即

綜上所述，2c>6>2j.

19.若AABC內一點尸滿足===則稱點尸為AA8C的布洛卡點，。為AABC的布洛

卡角.如圖，已知“3C中，BC=a,AC=b,4B=c,點尸為的布洛卡點，。為“3C的布洛卡角.

PR

(1)若6=c,且滿足C=VL求//BC的大小.

PA

(2)若AA8C為銳角三角形.

(i)證明：—1―=——!——+——!——+——-——

tan。tanABACtanZABCtanZACB

(五)若PB平分N4BC,證明：b2=ac-

【答案】(1)TBT

0

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(1)先判斷△尸CB與AP胡相似，進而得到°=任，應用余弦定理求出C0S/43C的值即可;

(2)(i)在“3C內，三次應用余弦定理以及三角形的面積公式得：