第十人神能曲南

一:考情分析

命題解讀考向考查統計

1.高考對雙曲線的考查，重點是2023?新高考I卷，

（1）雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程。16

（2）雙曲線的幾何性質（范圍、對稱性、頂點、雙曲線的離心率2024?新高考I卷,

離心率、漸近線）。12

（3）直線和雙曲線的位置關系及綜合應用。

—：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查應用定義求解雙曲線的離心率，難度較易。II卷是雙曲線與數列的綜合問

題,后續專題會解讀。雙曲線是圓雉曲線的重要內容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線

低，在雙曲線的試題中，最為重要的是三點是:方程、漸近線、離心率。預計2025年高考還是主要考查雙曲線

的定義和離心率、漸近線。

三:試題精講

一、填空題

【題1】（2024新高考I卷-12）設雙曲線斗=l（a>0,b>0）的左右焦點分別為耳、&過其作平行于沙

ab

軸的直線交。于A,B兩點，若㈤川=13,|AB|=10,則。的離心率為.

【答案居

【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出|4月，結合雙曲線第一定義求出以同，即可得到a,b,c的

值，從而求出離心率.

2

27.

[詳解】由題可知A,B,F2三點橫坐標相等，設A在第一象限，將力=c代入4----7=1

ab

得夕=±今，即4（。,才）,口（。,_?）,故|人曰=誓=10,|4同|=9=5,

*

又—|4止=2Q,得\AF]\=月|+2。=2。+5=13,解得0=4,代入一=5得廿=20,

a

故c?=a2+/=36,,即。=6,所以e=9=§=日.

a42

高考真題練

一、填空題

］（2023新高考I卷-16）已知雙曲線。:4―%=1（&>0,6>0）的左、右焦點分別為入片.點人在。上,

ab

點B在？/軸上，用4_LEB,&4=—左明,則。的離心率為

O

【答案】堂74^5

55

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數積的幾何意義得到M司,|石四,|8同,關于a,m的

表達式，從而利用勾股定理求得a=小，進而利用余弦定理得到a,c的齊次方程，從而得解.

方法二:依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得四）=~|-c,g（）=—|-t,/=4c）將點Z代入

雙曲線。得到關于Q,b,C的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設=2nz,則項=3nz=|8E|,|4R|—2a+2m,

在Rt/\ABF1中，9m2+（2a+2m）2=25m2,則（a+3m）（Q—m）=0,故Q=?n或a=—3m（舍去）,

所以|AR|=4Q,|4月|=2Q,I班I=I班I=3Q,則朋=5a,

_I-司__4

故cosZ.F[AF1

\AB\5a5

所以在A4E片中，cos/E/E=16『+4a;4c2=±,整理得5c2=9a2,

2X4aX2a,5

依題意，得R（一c,o）譙（c,o）,令4g，9o），B（O，方），

-->Q-----------------------QK9

因為FA=―1月8,所以（g—c,go）=—1（一c,。，則x=-c,y（=一■—t,

2ooo（）o）

又瓦威所以百N.晶=字,_弱4,±）=??_卦=0,則力2=4。2,

又點人在。上，則—父-=1,整理得空一空=i,則寫一嗎=i,

a2b29a29b29a29b2

所以25c2/—16c2a2=9a2b2,即25c2（^—-16a2c2=9a2（c2-a2）,

整理得25c4-50a2c2+9a4=0,則（5c?—9a?）（5c?-a?）=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,

又e>l,所以e=曄或e=*^（舍去），故e=".

555

故答案為：耳區.

5

370

知識點總結

一、雙曲線的定義

平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數（大于零且小于困區|）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩

個定點叫雙曲線的焦點）.用集合表示為｛Af|IIMFJHA坦||=2a（0<2a<|瓦圖）｝.

注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當2a=|鼻州時，點的軌跡是以E和￡為端點的兩條射線；當2a=0時，點的軌跡是線段的垂直平分

線.

（3）2a>㈤￡|時，點的軌跡不存在.

在應用定義和標準方程解題時注意以下兩點：

①條件"㈤月>2a”是否成立;②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定a?,/的值），注意￡+廿=的應

用.

二、雙曲線的方程、圖形及性質

標準方7/2

--^=1(?>0,5>0)力-3=l(a>0,b>0)

程

W'4,

圖形

a

隹占坐

E(—c,。)，￡(c,o)E(o,—c),E(o,c)

標

對稱性關于工，V軸成軸對稱,關于原點成中心對稱

頂點坐

Ai(-a,0),4(a,0)4(0,a),4(o,—a)

標

范圍\x\'a\y\>a

實軸、虛

實軸長為2a,虛軸長為2b

軸

e==(e>1)

離心率i7^?

人//.?b人g2—a

漸近線令F----=0n=>?/=±—x，令下一7T=0ng=±TX，

ab2aab2b

方程焦點到漸近線的距離為b焦點到漸近線的距離為b

點和雙

曲線>1,點（g,go）在雙曲線內>1,點（g,伙））在雙曲線內

（含焦點部分）（含焦點部分）

的位置

a2b2=1,點（g,伙））在雙曲線上a2b2=1,點（&,夕0）在雙曲線上

關系VI,點（g,伏））在雙曲線外<1,點（0,班）在雙曲線外

共焦點

i--------^=l(-a2<fc<b2)

的雙曲=l(-a2<fc<62)

a2+fcb2-ka2+fcb2-k

線方程

共漸近

線的雙弓一（=■什22

0）》力=20)

曲線方a2b2

程

切線方

考—誓=1,（如如為切點等—需=1,（0,渙）為切點

程a2b2a2b2

切線方

對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中/換為gc,才換成,修便得.

程

切點弦隆-箸=1,%,加為雙

等-爺=1,（附加為雙曲線外一點

所在直曲線外一點

線方程

點（0,%）為雙曲線與兩漸近線之間的點

設直線與雙曲線兩交點為4g,幼），氏如紡），kAB=k.

弦長公則弦長\AB\=/1+興?\xx-x2\=Jl+±?%―統（kWO）,

式

E-電|=J（傷+g）2-4/逆2=*，其中“優'是消"，后關于“比”的一元二次方程的飛如系數.

W

通徑通徑（過焦點且垂直于EE的弦）是同支中的最短弦,其長為T

雙曲線上一點P（g,%）與兩焦點6片構成的APEE成為焦點三角形，

殳Z.F[PF=0，「劇—n,=/2，貝Ucos。=1——，

2一一一，1/2

yk^wo）

O1\F^X

b

焦點三lSMKE_2『3皿--cos。-tan￡一

角形

C0|,焦點在立軸上

dgl，焦點在"軸上'

辱點三角形中一般要用到的關系是

〕|PEHP現=2a（2a>2c）

?VFEbpElsinNEPE

」EEF=[F<+FEF—21P倒|PE|cosNEPE

等軸雙等軸雙曲線滿足如下充要條件:雙曲線為等軸雙曲線oa=bo離心率e=兩漸近線

曲線互相垂直O漸近線方程為y=±x^方程可設為x2-y2=4（4豐0）.

【雙曲線常用結論】

1、雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段,稱為雙曲線的通徑.通徑長為空.

a

2、點與雙曲線的位置關系

對于雙曲線《一々■=l（a>b>0）,點P（g。。，。。。明）在雙曲線內部，等價于岑■一磬>1.

ab2ab

點P（g。。，。。。隊）在雙曲線外部，等價于當—粵<1結合線性規劃的知識點來分析.

a'b-

3、雙曲線常考性質

性質1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數b;頂點到兩條漸近線的距離為常數9；

C

性質2：雙曲線上的任意點P到雙曲線。的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數明；

C

4、雙曲線焦點三角形面積為一^y（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大）

5、雙曲線的切線

22

點河（g。，。。加）在雙曲線。一斗二l（a>0。，。。b>0）上，過點M■作雙曲線的切線方程為當■一駕

abab

22

=1.若點M（co。，。。明）在雙曲線之一斗=l（a>0。，。。b>0）夕卜，則點V對應切點弦方程為警一

aba

/T

名校模擬練

一、單選題

22

「43】（2024?甘肅蘭州?三模）已知雙曲線—2=l（nz>0）的實軸長等于虛軸長的2倍，則。的漸

3m+2m

近線方程為（）

A.y=±-^-xB.yC.y=±2xD.y—+^/2x

【答案】。

【分析】先得到方程，求出7n=2,得到雙曲線方程和漸近線方程.

【詳解］由題意得，37n+2=2vV云，解得7n=2,

/予2、

C:-----=1,故漸近線方程為y=±2x.

o2

故選：c

「（2024?浙江紹興?三模）已知用，E為曲線C：卑+幺=1（小片4）的焦點，則下列說法錯誤的是

4m

（）

A.若nz=l,則曲線。的離心率6=

B.若m,=—1,則曲線。的離心率e=^

C.若曲線。上恰有兩個不同的點P,使得=90°,則機=2

D.若m,<0,則曲線。上存在四個不同的點P,使得ZF[PR=90°

【答案】。

【分析】根據給定的方程,結合橢圓、雙曲線的性質逐項分析判斷即可得解.

【詳解】對于當772=1時，曲線。是橢圓，離心率e=，人正確；

對于當m=—1時，曲線。是雙曲線，離心率0=乂^^=今，6正確；

對于。，當m=8時，曲線。是橢圓,其短半軸長6=2,半焦距c=Vm—4=2,

顯然以線段E用為直徑的圓恰過這個橢圓短軸端點，即符合條件的小可以是8,C錯誤；

對于。，當mV0時，則曲線是焦點在re上的雙曲線，則因月>4,

以線段RR為直徑的圓與雙曲線有4個交點，即符合條件的點P有4個，。正確.

故選：C

22

逃]（2024?安徽?三模）過雙曲線。:當一與=l（a>6>0）的下頂點F作某一條漸近線的垂線，分別與兩

ab

條漸近線相交于河,N兩點，若標=2而Z則。的離心率為（）

A.-B.V3C.2V3D.3

O

【答案】4

【分析】過點尸作另一條漸近線的垂線尸AT于1r,借助雙曲線的對稱性計算可得華，即可得離心

0

率.

【詳解】過點尸作另一條漸近線的垂線尸M7于AT,由對稱性可得=\FM'\,

由標=2前，貝I有|7VF|=2|FM'|,貝INFNM，=4,

o

故Z.NOM=三,故Z.NOF=劣,故？=tan（=―三）=tan^-=V3,

36b\26，3

即e=?===

故選：A.

2&2

【港6】(2024?全國?三模)已知雙曲線C：/7—4=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為E,月，且離心率為e=

ab

過點月的直線1與。的一條漸近線垂直相交于點。，則tan/DF]￡=()

A.B.C.2D.3

o/

【答案】4

【分析】設焦點月(c,0)，根據題意求點D的坐標和N的值，進而畫出圖象即可解決.

【詳解】不妨設焦點E(c,0)，其中一條漸近線為4=寺2,則直線I的方程為y=--^(cc—c),

r_b_

由"一七、解得"藍'即。(止,9)，

因為e===g幣=祈'所以"=2,

過點。作力軸的垂線，垂足為H,如下圖:

故選：4

【題7】(2024?四川成都?三模)已知雙曲線考■一斗=1(a>0,6>0)的左焦點為&點。為坐標原點，點”

ab

為雙曲線漸近線上一點且滿足|頻|=|。河|,過區作,軸的垂線交漸近線于點N,已知\MF[\=

4|八陰|,則其離心率為()

A.2B.V3。―乎D-V5

【答案】。

【分析】設M,N兩點、的坐標，然后利用兩點間距離公式列方程求解即可.

【詳解】

盟=|（W],故點M在OE的垂直平分線上,

則點河的橫坐標為一看,且過E作t軸的垂線交漸近線于點N,

故設點~c,y2),

不妨設M,N均在y=—x上,則％=—磐~,y?=——,

a2aa

???|詢|=竽|岫|,尸（一。,0）,

親("4a2=%

16\Q/

.?.&=2,故離心率為e=￡=Jl二幣=近不4=

故選：D.

【題8】（2024?山西陽泉?三模）已知雙曲線。:]—%=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為此,&雙曲線的右

abz

支上有一點4人用與雙曲線的左支交于點B,線段A月的中點為M,且滿足BAQ若/月月用=看,

O

則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.V6C.V7D.V13

【答案】。

【分析】根據條件得△/巧是等邊三角形，設△?!朋的邊長為g結合雙曲線定義得\AF{\=6a,

M月=4a,在△4F；用中，由余弦定理求得離心率.

【詳解】

因為河是線段/區的中點，且所以\AB\=\BF^,

又/用4鳥=譚■，所以△人6月是等邊三角形，

設△ABE的邊長為m,由雙曲線的定義知，叢劇—|4月|=2a,\BF^-\BF^=2a,

所以\AF1\=m+2af\BFl\=m—2a,

又|AJF]|—\BF{\=\AB\=m,所以nz+2a—(m—2a)=nz,即zn=4Q,

所以|AE|=6Q,|A^|=4Q,

在AARR中，由余弦定理知，出用『=用2+aw_2M/以月cos看,

o

所以(2c)2=36a2+16a2—2x6ax4axj=28a2

即C=，7Q,所以離心率e=￡~=，7.

故選：C

【題9】(2024嚀夏銀川?三模)已知雙曲線后：名—%=1(&>0,5>0)的左、右焦點分別為&&過點月的

abz

直線與雙曲線石的右支交于A,8兩點，若|AB|=ME|，且雙曲線E的離心率為，萬，則cos/A4E=

()

A.可乙B.-4C.JD.—春

8488

【答案】。

【分析】由雙曲線的定義結合已知條件求得|8月=2a,從而再得|班|=4a,由余弦定理求得

cosNBBR,由誘導公式得cos乙4月&設=m,則以同=成+2a,再由余弦定理求得小，從而

利用余弦定理求解即可.

【詳解】因為雙曲線E的離心率為所以c=2a,因為\AB\=\AF{\,

所以\BF^=\AB\-\A^\=\AF{\-\AF^\=2a,

由雙曲線的定義可得\BF{\-\BF^=\BF{\-2a=2a,

所以|B^|=4a=2|B^|,

在△班月中，

在△ARE中，cosZ^A=-cos/E號B=下，

設|A耳|=m,則|AF1|=m+2a,

由|4后|2=I片網+a匈2-2運砌A^cosN后段4得

(2a+m)~=(2A/2a.)2+Tn?—2X2^/2o.,tn,,解得m=-—a,所以

4JO

\AF^+\AB^-\BF^里+里一nk?

所以cosZ.BAFl1

2\AF^\AB\2*x8

故選：D.

22

f(2024?湖南永州?三模)已知后，月分別是雙曲線與一冬=l(a>0,b>0)的左、右焦點，點。為坐標

一(Ib

原點,過河的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,B兩點，點。在①軸上，無=3瓦A,B耳平分/號BC,

其中一條漸近線與線段交于點P,則sin/PO^=()

AV41V42V43口24

A-------R-------(r,-------J---------

【答案】B

【分析】由眉=3扇可得△用4凡?△EBC,結合角平分線的性質和雙曲線的定義可得\BF^=

\AF,\=|AB|=4a°，從而可得NAB同=60°,在△鼻B耳中，由余弦定理可得c=Oa,進而可得。

C

='或，而tanZPOK=衛,從而可求解.

7a

【詳解】

如圖?.?聞=3扇，:.△EAE~MBC，囪網=2c,|C^|=4c,

設|AE|=1,則I班|=3力|48|=2九

???B區平分AF.BC,：.=2,

m因為

\BC\=2出局=6t,\AF,\=^-\BC\=2t,

o

由雙曲線定義可知=t=|班|—|B￡|=2a。,

A\BF^\=\AF^\=\AB\=4a。，即ZABR=60°,

在△鳥誠中，由余弦定理知

區8產+近82因月2(6ay+(4a)2—(2cy

cos/EBR

2四師因冏2?6Q?4Q

化簡得c=V7a,由o2+/=/得

C

不妨令一條漸近線與線段AB的交點P在第一象限，則tan/PO￡=O,二sin/POE=。=

ac7

故選：B

【點睛】關鍵點點睛:這道題的關鍵是由怎=3我N可得?△及8。,結合角平分線的性質和雙

曲線的定義可得|班|=\AF^\=\AB\=4a°，從而可得NABE=60°.

（2024?天津河西?三模）已知后，月是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且2FF?=

若橢圓的離心率為ei,雙曲線的離心率為e2,則e；+芭的最小值為（）

O

A.3+V3B.5+^C.2+^D.4

【答案】。

?2?/22?/2

【分析】設橢圓和雙曲線的方程分別為：--H——=1,----------=1,易得Q；—憂=+b|=",設

atb（aibi

\PF1\=m,\PFl\=71,利用橢圓和雙曲線的定義得到771=出一。2，九=出十02,然后在△PR月中，利用

余弦定理得到占+鳥=4,然后利用基本不等式求解.

e?虛

【詳解】解:如圖所示：

尤+止=1之—日=1

由題意得請一憂=城+戰=02,

設|PE|=M,|PE|=九，則m+n=2<Zi,n—m—2a2,

解得m=Qi—。2,九=Qi+。2，

在△丹退中,由余弦定理得：㈤研=|F^|2+\PF^~2|F^|-|F^|-COS/EP&

即（2c）2=（電一0,2）2+（。1+。2）2—（。1—。2）（。1+。2），化簡得4c?=Q；+3Q；,

則今+/4，

所以"上士+，嗚+第TA曾+4）,

5「4）=三

當且僅當鳥="，即￡=小城時，等號成立；

e?芭

故選：C

21/2

（2024?浙江杭州?三模）已知雙曲線三■—4=l（a,b>0）上存在關于原點中心對稱的兩點A,B,以及

ab

雙曲線上的另一點C,使得△48。為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.+°o）B.（A/3,+°o）C.（2,+oo）D.（2；，+8）

【答案】人

【分析】設點A@y）,則可取C（-質’,代⑼，代入雙曲線方程整理可得%+\,結合漸近線

xa+3b

列式求解即可.

【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為y=±々2,

設點A{x,y）,則可取。（一遍仇居力）,

整理得目3a+b2/b2

-----------—

X2a2+3b2a2

2/_2~_

解得/>Q?,即/—O2>Q2,可得C_>2,則e=￡=yj，

所以該雙曲線離心率的取值范圍是（2,+8）.

故選：4

【點睛】關鍵點點睛：1.巧妙設點:設點A（x,y），根據垂直和長度關系可取。（一通仇，^/）;

根據漸近線的幾何意義可得：為〈耳.

x2a2

二、多選題

；（2024?河北邯鄲?三模）已知雙曲線。:二7一—^=1,則（）

/i+63-/I

A.4的取值范圍是（一6,3）B.。的焦點可在①軸上也可在沙軸上

C.。的焦距為6D.。的離心率e的取值范圍為（1,3）

【答案】AC

【分析】根據雙曲線方程的特征，易于求得一6</!<3,判斷方程中分母的符號即可判斷項，計

算易得。項，先算出離心率的表達式,再根據4的范圍，即可確定e的范圍.

【詳解】對于A,V工r--^―=1表示雙曲線，.?.4+6）（3—4）>0,解得一6V4V3,故A正確;

/i+o3—/t

對于8,由4項可得一6V4V3,故4+6>0,3—4>0,??.C的焦點只能在c軸上，故8錯誤；

對于。，設。的半焦距為c（c>0）,則。2=/1+6+3—4=9,；.c=3,即焦距為2c=6,故C正確；

對于。，離心率e=T=，,?,一6<義<3,.,.0<71+6<3,，e的取值范圍是（1,+8）,故。錯誤.

V/1+6

故選：47.

（2024?河北保定?三模）已知雙曲線C：工■—當=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為&&過點用的

a2b‘

直線與。的左支相交于P,。兩點，若且4|PQ|二3|PM，則（）

A.\PQ\=2aB.PF{=-2QR

C.。的離心率為嗎］D.直線PQ的斜率為±4

【答案】/CD

【分析】設爐囿=力，IQ同=4,結合雙曲線的定義與勾股定理可以求得的值，即可判斷出A,B

選項；再結合勾股定理可以求得a,c的關系，再求出離心率；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率

的定義求正切值可以求得直線的斜率.

【詳解】如圖，由4|FQ|=3|F^|,可設\PQ\=3m,\PF^=4m.

因為PQ,PE,所以|Q月=5m.

設|P司=*,|QE|="，則4m—x=2a,5m—y=2a,x+y=3nl，解得m=

所以|PQ|=2a,故A選項正確；調=2須，故口選項錯誤；

在APFM中，由+I尸時=㈤時，得/+穿=4c2，則鳥=手

99a9

從而。的離心率為故。選項正確.

O

2行2

（2024?貴州貴陽?三模）雙曲線C:號—27=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為點E,&斜率為正的

ab

漸近線為幾過點月作直線。的垂線，垂足為點4交雙曲線于點P,設點河是雙曲線。上任意一點，若

表則（）

O

A.雙曲線。的離心率為，5

B.雙曲線。的共朝雙曲線方程為才一岑=1

4

C.當點河位于雙曲線。右支時，媽到e（i,嗎笈

\MF2\\2

D.點河到兩漸近線的距離之積為4

5

【答案】/CD

【分析】利用三角形面積公式得ab=2,再利用余弦定理得b=2a,則解出雙曲線方程,再利用離心率

定義和共朝雙曲線方程的含義即可判斷48；對C,計算得*^=1+上7,再根據\MR\>V5

\MF^\\MF^

—1的范圍即可判斷；對，M（T0,y0）,利用點到直線的距離公式并結合點雙曲線上化簡即可.

【詳解】如圖，因為|人匆=6,所以|尸的=得心

O

2ab

\yP\=iF^lsinZF^=會?包

oC~3c

，所以ab=2,又\PFl\=~1~b+2a,

o

閩劇2+|p匈2一爐對4c2+(j~b)2—(j~b+2a)2

在ZYPEE中，cos/F月Eb

2閩同|P片|2-2c-|fec

化簡得b=2a,所以a=l,b=2,c=V5，雙曲線C方程為rr2-=1,

對于/,雙曲線。的離心率為q=",A正確；

a

對于B,雙曲線C的共朝雙曲線方程為,一c2=1,口錯誤；

——[MFA|7WZ^|+29m,?Ir-

對于C,\一、=1+^^,因為A^>V5-1,

\MF,\\MF2\\MF,\

則+注疸，即七斗e（2,3t/^LC正確；

\MF2\2\MF2\'2」

對于。，漸近線方程為g=±2%，設Af（g,jo）,

點M到兩漸近線的距離之積為一。二二.一"曲=詞=4。+；）g。正確,

V5V5555

故選：ACD.

2

222

【題16】（2024?山西呂梁?三模）已知橢圓與+%~=1（。1>A>0）的離心率為e1,雙曲線%

1（02>0也>0）的離心率為e2,兩曲線有公共焦點后，月,P是橢圓與雙曲線的一個公共點，/號P￡=60°,

以下結論正確的是（）

A.a：一冠二葉-blB.—=1

4ei4音

C.說=3設D.若ezC［遍,2］網生6

【答案】BCD

【分析】根據焦距相等可判斷4根據橢圓和雙曲線定義，結合余弦定理整理可判斷8；根據B中4c2

=瑞+3調變形可判斷C;由5中結論，結合e2的范圍可判斷D

【詳解】根據題意，設砥-c,0),凡(c,0),

對于4中，因為橢圓與雙曲線有公共焦點，可得，所以瑞一比=房+房,

即a；—謁=睨+園,所以71錯誤;

對于口中，不妨設點p在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得僚m：

所以|尸網|=Q1+。2，|尸用|=Q1—02,

又由余弦定理得網網2=「倒2_2|PE|?|P倒cos60°,

可得4c2=2Q；+2Q|—(Q；—0-2)2=Q：+30.2,

對于C中，由肅一/=3。2—3謁,可得比=31，所以C正確;

對于。中，因為6e⑵，所以aE,

音L43」

由大+總=1可得^C［3,芋］，所以SC［喑，噂］，所以。正確.

故選：BCD.

(2024?重慶?三模)已知雙曲線。:與一3=l(a>0)的左，右焦點分別為瓦E，P為雙曲線。上點，

a16

且APEE的內切圓圓心為1(3,1),則下列說法正確的是()

A.a=3B.直線PE的斜率為1

C.APE胤的周長為粵D.的外接圓半徑為黑

【答案】4co

【分析】對于4根據三角形與其內切圓性質結合雙曲線定義即可求解;根據已知條件耳4、月41A

以及與各個所需量的關系即可求出NPEA=2//及4、NP?A=2N/&4和乙做￥］,進而可依次求

出直線PF1的斜率、結合焦三角形面積公式=(PR”個+居琦丁得△PEE的周長、結合正

弦定理得AFEE的外接圓半徑.

【詳解】如圖1,由條件，點P應在雙曲線。的右支上，

設圓/分別與△?及用的三邊切于點河、N、A,則由題4(3,0),

且\PM\=\PN\,\F.M\=㈤川，㈤N|=\F2A\,

又:=|EM-困N|=\AF{\-\F2A\=(%+c)—(c—%)=2xA=2a

：.a=xA=3,A選項正確；

Mli

由選項人得砥—5,0),耳(5,0),連接小、典、L4,則tan//瓦4的司一百

2tanZ7?]A16

所以k=tanZPi^A=tan2ZZ/<[A,8選項錯誤;

PFil-tan2ZZF!A63

同理,tan/P握A=tan2N/葩4=,,

O

1o

???tan/EF月=—tan（/PEA+2后入）=—青

3

tan

22

所以由焦三角面積公式得$明至=---32

~3

tan2