第九餅更體幾何初步（三大考向）

一:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，4

2023?新高考I卷，14

柱、錐、臺(tái)體的表面2024?新高考I卷，5

1.高考對(duì)立體幾何初步的考查，重點(diǎn)是掌握基本空間

積與體積2022?新高考II卷，11

圖形及其簡(jiǎn)單組合體的概念和基本特征、解決多面體

2023?新高考II卷，9

和球體的相關(guān)計(jì)算問題。同時(shí)需要關(guān)注異面直線的

2023?新高考II卷，14

判定和成角問題、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系問題、夾角

2022?新高考I卷,8

距離問題、截面問題。這些問題對(duì)考生的空間想象能

球的切接問題2023?新高考I卷，12

力要求有所提升，需要考生有強(qiáng)大的邏輯推理能力。

2022?新高考II卷，7

2022?新高考I卷,9

夾角問題

2024?新高考II卷，7

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應(yīng)用，II卷考查了以棱臺(tái)為背景的線面角的

求法，總的來說,基本立體圖形的表面積和體積屬于?？键c(diǎn)，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式和提

升計(jì)算能力比較重要。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關(guān)注臺(tái)體的

表面積和體積計(jì)算。

三:試題精講

一、單選題

【題1】（2024新高考I卷-5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為孤，則圓錐的體積

為（）

A.2V37tB.3V37tC.6V37tD.973u

【答案】B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑r的方程，求出解后可求圓

錐的體積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,則圓錐的母線長(zhǎng)為Jd+3,

而它們的側(cè)面積相等，所以2元「xV3=KTxV3+r2即2瓜=〃3+產(chǎn),

故丁=3,故圓錐的體積為《兀x9xA/3=3V37t.

故選：B.

【題2；（2024新高考n卷-7）已知正三棱臺(tái)4BC—4百G的體積為券，AB=6,45=2,則力/與平面

O

ABC所成角的正切值為（）

A.yB.1C.2D.3

【答案】B

【分析】解法一:根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高九=孝^，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特

征求得AM=夸&,進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)ABC-45G補(bǔ)成

正三棱錐P-48。，人第與平面ABC所成角即為E4與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得

VP-ABC=18，進(jìn)而可求正三棱錐P-ABC的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一:分別取BC,BG的中點(diǎn)D,Di,則AD=3",AQi=V3,

可知SAABC=JX6x6x=9A/3,S.B、G=JX2XV3=V3,

設(shè)正三棱臺(tái)ABC-45G的為九，

則^ABC-AXBXCX--^-(9A/3+A/3+V9A/3XV3=子,解得h=岑鼻，

OOO

如圖，分別過4,A作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)AM=x,

則AA,=y/AM2+A.M2=yjx2+-^~,DN=AD-AM-MN=2V3-a;,

2

可得DDi=YDN'DN=J(2V3-rr)+^,

結(jié)合等腰梯形BCGBi可得BBl=(521+DDt

即/+華=(2代—久)2+與+4,解得c=

OOO

所以//與平面ABC所成角的正切值為tan/44D=券，=1;

解法二：將正三棱臺(tái)ABC-4B1G補(bǔ)成正三棱錐P-ABC,

則44與平面ABC所成角即為P4與平面ABC所成角，

因?yàn)轶?呼=!，則%-45G_1

JL-TIO^P-ABC27

可知^ABC-A^C,=^~^P-ABC="V-，則^P-ABC=18,

設(shè)正三棱錐P-ABC的高為d,則VP_ABC=4dx=x6x6x乎=18,解得d=2V3,

取底面ABC的中心為O,則POJ_底面ABC,且49=23，

所以_R4與平面ABC所成角的正切值tan/7%O=坐=1.

故選：B

高考真題練

一、單選題

!：：(2022新高考I卷4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫(kù).已

知該水庫(kù)水位為海拔148.57n時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的

面積為180.Okn?,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5nz上

升到157.5nl時(shí)，增加的水量約為2.65)()

A.1.0x10WB.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6X109m3

【答案】。

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積V.

棱臺(tái)上底面積S=140.0km2=140義10bm2,下底面積S'=180.0km2=180x10bm2,

V=^-/1(S+S,+VSS7)=-yX9x(140x106+180x106+V140xl80xl012)

=3x(320+6077)xl06?(96+18x2.65)x107=1.437x109?1.4x109(m3).

故選：C.

卜力(2022新高考I卷⑻已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為Z,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36兀，且3

則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A.[18,用B.吁，用C.[耳，喇D.[18,27]

【答案】。

【分析】設(shè)正四棱錐的高為h,由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確

定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】；球的體積為36元，所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為h,

2

則l=2a2+無2,32=2Q2+（3-h『

所以6%=a，2Q2=f―仔

所以正四棱錐的體積V=-^-Sh-X4a2xh=-^-X（一一看）X《=《（片―/■），

333V36/69^367

所以廣氐4戶—案=括中），

當(dāng)3WZW2萌時(shí)，口>0,當(dāng)2西〈/43"時(shí)，/<0,

所以當(dāng)2=2西時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為,

又2=3時(shí)，1/=平，1=30時(shí)，V=?,

所以正四棱錐的體積U的最小值為半，

所以該正四棱錐體積的取值范圍是［今，號(hào)］.

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以丑=右24二3671f2）九='（］2_2九仇（12—2?+%+%］3=^^當(dāng)

ooooLoJo

且僅當(dāng)h=4取到），

當(dāng)■時(shí)，得.=嚕，則匕

當(dāng)2=3小時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)%=；+3=小

亨。=等=。=口，正四棱錐體積%=出公肝售Al"斗〈管，故該正四棱錐體

4o

【題5】（2022新高考n卷-7）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3?和4四,其頂點(diǎn)都在同一球面

上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.128兀C.144兀D.192兀

【答案】4

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑八,0,再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球

的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑「1,72,所以271=舉條，2T2=，即八=3,◎=4,

smoOsmoO

2

設(shè)球心到上下底面的距離分別為dr,金，球的半徑為A,所以&=VB-9,d2=—16，故|由一刈

=1或必+4=1,即|d優(yōu)一9-VB2-161=1或VB2-9+VB2-16=1,解得&=25符合題意,所

以球的表面積為S—4兀&=100兀.

故選：A.

二、多選題

【題6】（2022新高考I卷-9）已知正方體ABCD—4B1GO1,則（）

A.直線BG與D4i所成的角為90°B.直線BQ與。I1所成的角為90°

C.直線BG與平面所成的角為45°D.直線BG與平面ABCD所成的角為45°

【答案】4BD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接BC、BG,因?yàn)椤1〃場(chǎng)。,所以直線BC.與8Q所成的角即為直線BG與DA1

所成的角，

因?yàn)樗倪呅蜝BGC為正方形，則BC±8G,故直線8G與DA,所成的角為90°,A正確；

連接A.C,因?yàn)?，平面，BQu平面BBC。,則A.B,±BC,,

因?yàn)锽CBG,48/50=5,所以平面4BQ,

又AQu平面&BQ,所以故B正確；

連接AG,設(shè)AGnBn=o,連接BO,

因?yàn)?5，平面4BGA,GOU平面ABCQi,則CQ±BXB,

因?yàn)镚O，BQi,BQ1nB1B=81,所以CQ，平面BBQQ,

所以ZGBO為直線8cl與平面BBQQ所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則CQ=$~,BC\=6,sinZGBO=《，

所以，直線BG與平面BBQQ所成的角為30°,故。錯(cuò)誤；

因?yàn)镃Q，平面ABCD,所以NCiBC為直線BQ與平面ABCD所成的角，易得NGBC=45°,故

D正確.

故選：ABD

171（2023新高考I卷-12）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略

不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長(zhǎng)均為L(zhǎng)4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m,高為0.01巾的圓柱體

【答案】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)4因?yàn)?.99mVim,即球體的直徑小于正方體的棱長(zhǎng),

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線長(zhǎng)為n,且網(wǎng)＞1.4,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為"小,且

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故。不正確；

對(duì)于選項(xiàng)。：因?yàn)?.2館＞Lrn,可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，

如圖，過AG的中點(diǎn)。作OELAG,設(shè)OEC4。=及

可知=四,CG=1,AG=四,OA=等，則tan/CAG=第=黑,

/AU

即J_警，解得OE=

V2

~2~

_3^_9__9_08,即乎＞0.6,

且==

—8—2425

故以AG為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為1.2項(xiàng)圓柱，

若底面直徑為1.2小的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心Oi,與正方體的下底面

的切點(diǎn)為M,

可知：AC,±OVM,OXM=0.6,貝"tan/CAG=,

.rlOAC/]_

即:=*-，解得491=0.6方，

V2AO1

根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為V3-2x0.6V2?1.732-1.2x1.414=0.0352＞0.01,

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故。正確；故選：ABD.

【題8】（2022新高考n卷?"）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED_L平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E—ACO,F—ABC,F—ASE的體積分別為%,則（）

164

￡

A.%=2%B.%=%C.%=%+&D.2%=3%

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計(jì)算口，區(qū),連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM,FM,由％=VA.EFM+V”FM

計(jì)算出％,依次判斷選項(xiàng)即可.

設(shè)4B=ED=2FB=2a,因?yàn)榧確L平面4BCD,FB//ED,^\VX=^--ED-5^^=-2a--

oJ/

(2a)2=-^-a3,

o

%=皆?FB-S^BC=^-?a?》(2a)2=連接BD交AC于點(diǎn)M,連接,易得BD±

OOZio

AC,

又ED_L平面ABCD,ACa平面ABC。，則ED_LAC,又EDCBD=D,ED,BDc平面BDEF,

則ACV平面BDEF,

又BM=DM=--BD=~a,過斤作FG_LDE于G,易得四邊形BDGF為矩形，則FG=BD=

2V2a,EG=a,

則EM—y/(2a)2+(V2a)2=娓a、FM=^J(i+(V2a)2=V3a,EF=y/a?+(2V2a)2=3a,

22

EM?+FM=EF,則EM±FM,S^FM=--EM-FM=,AC=2^2a,

則KuL-EFw+ZyM!ACSAEFA^ZaS冽ZHnB%,M=3%,%=%+%,故錯(cuò)誤；

o

C、D正確.

故選：CD.

[M&9](2023新高考II卷?9)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，NAPB=120°,24=2,點(diǎn)

。在底面圓周上，且二面角P-AC—。為45°,則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4?兀

C.AC=26D.AB4。的面積為血

【答案】/C

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷。選項(xiàng)的正確

性.

【詳解】依題意，乙4尸口=120°,E4=2,所以O(shè)P=1,OA=O8=，^,

A選項(xiàng)，圓錐的體積為；x兀x(V3)2x1=兀，4選項(xiàng)正確；

■8選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為兀xV3x2=2^3K,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。選項(xiàng)，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，連接OD,PD,

則47,00,47,PD,所以/PDO是二面角P—AC—O的平面角，

則NPDO=45°,所以。尸=00=1,

故川0二⑺二存遼二/^則AC=2V2,。選項(xiàng)正確；

。選項(xiàng)，即="”=2,所以X22><2=2,。選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

三、填空題

(2023新高考I卷-14)在正四棱臺(tái)ABCD-中，=2,4瓦=1,44=方，則該棱臺(tái)的體

積為.

【答案】上絡(luò)

6

【分析】結(jié)合圖像，依次求得401，49,4M,從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過4作4河，AC,垂足為河，易知4河為四棱臺(tái)ABCD-ABCQ1的高，

因?yàn)锳B=2,A1B1=l,AAr=V2,

則4Oi=-yAG=^xV2A1B1=^,AO=^-AC=^-xV2AB=V2,

乙乙乙乙乙

故AM=-i-(AC-AG)=率，則A,M=y/A^-AM2=，2-)=乎，

所以所求體積為v=Xx(4+i+V43a)x理=耳&.故答案為：苧.

3266

(2023新高考II卷-14)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為

【答案】28

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二:根據(jù)臺(tái)

體的體積公式直接運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

所以正四棱錐的體積為《X(4x4)x6=32,截去的正四棱錐的體積為：x(2x2)x3=4,

所以棱臺(tái)的體積為32-4=28.

方法二:棱臺(tái)的體積為々x3x(16+4+V16X4)=28.故答案為：28.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)

1、棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所

圍成的多面體叫做棱柱.

(1)斜棱柱:側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱:側(cè)棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱；

(4)平行六面體:底面是平行四邊形的棱柱；

(5)直平行六面體:側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；

(6)長(zhǎng)方體:底面是矩形的直平行六面體；

(7)正方體:棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體.

2、棱錐:有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.

(1)正棱錐:底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面體:所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐.

3、棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫

做正棱臺(tái).

簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示.

正

斜棱柱四

棱柱棱

正棱柱柱

凸

多

面

體

正

方

體

二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、組合體

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓

錐.

3、圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái).

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球（球面距離：經(jīng)

過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度）.

5、由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.

三、表面積與體積計(jì)算公式

1、表面積公式

A~~

S直棱柱=ch-\-2s底巨

柱體S斜棱柱=c'l+2s底（"為直截面周長(zhǎng)）

S圓錐=2兀丁2+2nrl=2?！海ǘ?Z）

]/2nr

表S正棱錐=-^-nah,+S底

錐體

面

S圓錐=兀/+兀包=7tr(r+1)

積41

a

S正棱臺(tái)=4打（"++$上+S卜.

臺(tái)體

S圓臺(tái)=兀（『'2+產(chǎn)+rfl+rt）9,

168

?

球S=4TCR2

2、體積公式

柱體Vti=Sh?

錐體上=白九

O

體

積

臺(tái)體V^.=^-(S+VsS'+S')h

球

JVZ7

四、空間幾何體的直觀圖

1、斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的。土，。沙,建立直角坐標(biāo)系.

（2）畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于立軸的線段，在直觀圖

中畫成平行于03,，使Ax'O'y'=45°（或135°）,它們確定的平面表示水平平面.

（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于2軸的線段，在直觀圖中畫成平行于〃軸的線段，且長(zhǎng)度保持不變；

在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于？/軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡(jiǎn)化為“橫不變，縱

減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去必軸、式軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注:直觀圖和平面圖形的面積比為V2：4.

五、四個(gè)基本事實(shí)

基本事實(shí)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

169

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法

基本事實(shí)2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)

推論①:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論③:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

六、直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7士

符號(hào)aC\b=Pa//baC\a=A,bczb

公共點(diǎn)個(gè)100

數(shù)

特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何

一個(gè)平面內(nèi)

七、直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

//

符號(hào)1Cair\a=P1〃a

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10

八、平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

a

符號(hào)allBaJ_an6=Z

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一

一的一條直線上的一條直線上

九、等角定理

1、定義：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

十、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點(diǎn)，則稱此直線Z與平面a平行，記作1//a

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果平面外的一條直線和這個(gè)平l//h'

線〃線0面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直ICa>=>/〃]

配aJ

線〃面線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線線

平行=>線面平行

如果兩個(gè)平面平行,那么在一個(gè)平a〃/

>na〃￡

面〃面=>面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)aUa

線〃面平面

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線和一個(gè)Illa'

平面平行，經(jīng)過這條

線〃面3線〃線直線的平面和這個(gè)平

面相交，那么這條直

線就和交線平行

十一、兩個(gè)平面平行

1、定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面a和若aCB=0,則aH§

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相aUa,bUa,aCb=P

線〃面=>交的直線都平行于另一個(gè)

面〃面平面,那么這兩個(gè)平面平行

（簡(jiǎn)記為“線面平行二面面

平行

線_1_面如果兩個(gè)平面同垂直于一

=>面〃面條直線，那么這兩個(gè)平面平A/

行

/‘/

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果兩個(gè)平面平行，那么

面〃面=>

在一個(gè)平面中的所有直aII

線〃面Zz_/:na〃6

線都平行于另外一個(gè)平aUaJ

面4~7

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)

aII

和第三個(gè)平面相交，那么

性質(zhì)定理午aPl7=a'=a”b.

他們的交線平行（簡(jiǎn)記為6n7=4

“面面平行二線面平行”）

如果兩個(gè)平面中有一個(gè)

面〃面二垂直于一條直線,那么另

線_1_面一個(gè)平面也垂直于這條

直線三

十二、直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直.

2、判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一條直線與一個(gè)平1a,bUa

面內(nèi)的兩條相交直aJ_Z

判斷定理>n/J_a

線都垂直,則該直b±l

線與此平面垂直7aC\b=P

兩個(gè)平面垂直，則

a_L￡'

在一個(gè)平面內(nèi)垂直aC\^=a

面_L面n線_L面今bJ_a

于交線的直線與另buR

bA_a_

一個(gè)平面垂直

一條直線與兩平行

平面中的一個(gè)平面

平行與垂直的關(guān)系>na工B

垂直，則該直線與QJ_a,

另一個(gè)平面也垂直

兩平行直線中有一

條與平面垂直，則a//b

平行與垂直的關(guān)系>=bJ_a

另一條直線與該平aJ_a.

面也垂直

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

垂直于同一平面的a_La

性質(zhì)定理■a//b

兩條直線平行bJLa_

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

垂直于同一直線的a,La

垂直與平行的關(guān)系>na〃￡

兩個(gè)平面平行3J

如果一條直線垂直

于一個(gè)平面，則該直

線垂直于面的性質(zhì)

線與平面內(nèi)所有直

線都垂直

十三、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直.

（如圖所示，若。06=8,8_17,且［07=幺6,607=8后,45_18后,則0_1￡）

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.

2、判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理一個(gè)平面過另一b.La].n

個(gè)平面的垂線，則

這兩個(gè)平面垂直

知識(shí)點(diǎn)6：性質(zhì)定理(文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一a.L/3、

aC\^=a

個(gè)平面內(nèi)垂直于交>=>b_La

bu/3

線的直線與另一個(gè)b.La

平面垂直

十四、直線與平面所成的角

1、定義

①斜線和斜足:如圖，一條直線Z與一個(gè)平面〃相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的

斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面〃引垂線PO,過垂足O和斜足A的

直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所

成的角.

2、直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是”.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是9().

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角H的范圍是""<//'1>(I.

④直線與平面所成的角”的取值范圍是。〃?"0'.

十五、二面角

1、二面角的定義

①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱為AB,面分別為〃，/.的二面角記作二面角“一AB—,‘，，如果棱記作Z,那么這個(gè)二面角記作二面角

—Z—4,如圖(1).

②若在°,/),內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)P,Q,這個(gè)二面角可記作二面角P—AB—Q,如果棱記作Z,那么這

個(gè)二面角記作二面角P—Z—Q,如圖(2).

—

3、二面角的平面角

①自然語(yǔ)言

在二面角46的棱1上任取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為垂足，在半平面a和6內(nèi)分別作垂直于棱，的射線OA和

05,則射線OA和OB構(gòu)成的ZAOB叫做二面角的平面角.

②圖形語(yǔ)言

/7B同

③符號(hào)語(yǔ)言

aflQ=I?Oel,OACa,OBJ.OALl.OB11/AOB叫做二面角a—/—0的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是。；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，

規(guī)定二面角的大小是IX。.所以二面角的平面角,，的范圍是?1X0.

名校模擬練

一、單選題

（2024?重慶?三模）若圓錐的母線長(zhǎng)為2,且母線與底面所成角為伴,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.V27tB.2兀C.2V27tD.4兀

【答案】。

【分析】根據(jù)題意，求得圓錐底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式，即可求解.

【詳解】圓錐的母線長(zhǎng)為2,母線與底面所成角為十,所以底面圓的半徑為r=2sin-^-=V2,

所以該圓錐的側(cè)面積為S何=兀XV2X2=2\/27t.

故選：C

（2024?河北秦皇島?三模）已知小，n表示兩條不同的直線，a表示平面，則（）

A.若？？2〃九〃a,貝寸？?2〃B.若？n〃a,?72_Ln