第大許導教及其成用、泉中恭等式

一:考情分析

命題解讀考向考查統計

2022?新高考I卷,10

2022?新高考I卷,15

導數與切線2022?新高考D卷，14

2024?新高考I卷,13

2024?新高考n卷，16(1)

1.局考對導數的考查，重點考查導數的計算、四則運

2022?新高考I卷,22(1)

算法則的應用和求切線方程；能利用導數研究函數的

導數與函數2023?新高考I卷，19

單調性,會求函數的單調區間(其中多項式函數一般

單調性、最2024?新高考I卷，18(1)

不超過三次)以及借助函數圖象，了解函數在某點取

值及恒成立2022?新高考n卷，14

得極值的必要和充分條件，會用導數求函數的極大

問題2022?新高考II卷，22(1)

值、極小值,會求閉區間上函數的最大值、最小值。

2023?新高考n卷，22(1)

2.高考對基本不等式的考查，應適當關注利用基本不

導數與函數

等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題。2023?新高考n卷，11

極值、極值

2024.新高考D卷，16(2)

點

導數與比較

2022?新高考I卷,7

大小、基本

2022?新高考n卷，12

不等式

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了導數與切線和函數最值的知識點,II卷也考查到了切線，但是是體現在大題16

題的第一問中，同時也考查到了恒成立問題。切線問題備考時注意含參數和公切線的問題即可,難度一般

都是較易和適中。導數考查應關注：利用導數研究函數的單調性、極值與最值、不等式證明等問題。導數常

結合函數的零點、最值等問題綜合考查，比如含函數單調性問題、恒成立問題等,理解劃歸與轉化思想、分類

討論思想、函數與方程思想的應用。預計2025年高考還是主要考查導數與切線及單調性問題。

三:試題精講

一、填空題

[題1](2024新高考I卷T3)若曲線y=e"+c在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(rc+l)+a的切線，則a—

【答案】ln2

【分析】先求出曲線夕=e"+/在(0,1)的切線方程，再設曲線y=ln(2：+l)+a的切點為

(g,ln(g+1)+a),求出式，利用公切線斜率相等求出g,表示出切線方程,結合兩切線方程相同即

可求解.

【詳解】由"=e"+c得式=6工+1,y'\x=0=e°+l=2,

故曲線夕=e"+T在(0,1)處的切線方程為y=2?+1；

由0=hiQ+l)+a得山=,

設切線與曲線g=ln(6+1)+Q相切的切點為(g,ln(g+l)+Q),

由兩曲線有公切線得yr——y—=2,解得XQ——,則切點為(一士,Q+In4,

費+12'227

切線方程為g=2(%++a+ln^-=2x+1+a—ln2,

根據兩切線重合,所以a—ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：ln2

二、解答題

【題2】(2024新高考I卷?18)已知函數/(力)=ln-^+a/+b(x-l)3

2—x

(1)若b=0,且/(a;)>0,求a的最小值；

【答案】⑴-2

(2)證明見解析

⑶心-春

0

【分析】⑴求出f(x)min=2+a后根據廣㈤>0可求Q的最小值；

(2)設P(nz,?i)為y=于(x)圖象上任意一點，可證P(?n,?2)關于(l,a)的對稱點為Q(2—館,2。一九)

也在函數的圖像上，從而可證對稱性；

(3)根據題設可判斷/(I)=—2即a=—2,再根據/(x)>—2在(1,2)上恒成立可求得

O

【詳解】(l)b=o時,/(力)=ln—----卜QN,其中XE(0,2),

/x

則/'3=9+'=；^+se(o,2)，

因為x(2—x)W(2―：+%/=],當且僅當x=l時等號成立，

故ro)min=2+a,而/(/)>0成立，故Q+2>0即。>一2,

所以Q的最小值為一2.,

[題3](2024新高考n卷?16)已知函數y(x)=ex-ax-ci^.

(1)當a=l時，求曲線g=/(力)在點處的切線方程;

(2)若/(力)有極小值,且極小值小于。，求a的取值范圍.

【答案】⑴(e—1)力—g—1=0

(2)(1,+oo)

【分析】⑴求導,結合導數的幾何意義求切線方程；

⑵解法一：求導,分析a40和a>0兩種情況,利用導數判斷單調性和極值,分析可得Q?+[「a—1

>0,構建函數解不等式即可;解法二:求導，可知rQ)=e「Q有零點，可得a>0,進而利用導數求

/Q)的單調性和極值，分析可得Q?+Ina—1>0,構建函數解不等式即可.

xx

【詳解】⑴當a=1時，則f(x)=e—x—1,f\x)=e—l9

可得/⑴=e—2,1⑴=e-l,

即切點坐標為(l,e—2),切線斜率k=e—1,

所以切線方程為y—(e—2)=(e—l)(x—1)，即(e—l)x—y—1=0.

(2)解法一：因為f(x)的定義域為凡且/(①)=e*—a,

若a<o,則r3）>o對任意力GR恒成立，

可知/（2）在R上單調遞增，無極值，不合題意；

若Q>0,令1（力）>0,解得x>Ina;令［3）<0,解得x<Ina;

可知/㈤在（一8,Ina）內單調遞減，在（Ina,+8）內單調遞增，

則/（名）有極小值/（Ina）=a—alna—無極大值，

由題意可得：/（Ina）=a—alna—a3Vo，即滔+Ina-1>0,

構建g（Q）=a+Ina—1,Q>0,則g，（a）=2a+—>0,

可知g（a）在（0,+oo）內單調遞增，且g（l）=0,

不等式M+lna—l>0等價于g（a）>g（l）,解得n>l,

所以Q的取值范圍為（1,+8）；

解法二：因為/⑸的定義域為R,且廣⑺=ex-a,

若/（力）有極小值，則廣（力）=e"—Q有零點，

令尸（x）=e*—a=0,可得e*=Q,

可知g=e，與g=a有交點，則a>0,

若a>0,令（'（劣）>0,解得x>Ina;令7（力）<0,解得x<Ina;

可知/（力）在（一8,Ina）內單調遞減，在（Ina,+8）內單調遞增，

則/（劣）有極小值/（Ina）=a—alna—a：無極大值，符合題意，

由題意可得:/（Ina）=a—alna—a3Vo，即02+Ina—1>0,

構建g（Q）=a2+Ina—l,a>0,

因為則g=a2,4=Ina—1在（0,+oo）內單調遞增，

可知g（a）在（0,+oo）內單調遞增，且g（l）=0,

不等式a2+Ina—1>0等價于g（Q）>g⑴，解得a>1,

所以a的取值范圍為（1,+8）.

高考真題練

一、單選題

.（2022新高考I卷"）設a=0.1e叫b=,c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<fe<aC.c<a<feD.a<c<b

【答案】。

【分析】構造函數/（工）=ln（l+x）—x,導數判斷其單調性，由此確定a,b,c的大小.

【詳解】方法一：構造法

設/（2）=ln（l+尤）-x（x>-1）,因為f'（x）=—j----1=—T7~，

l-\-XL~\-X

當比e（—i,o）時，/㈤>o,當劣e（o,+8）時73）<o,

所以函數/（⑼=ln（l+2）—2在（0,+00）單調遞減，在（-1,0）上單調遞增，

所以/（A）v/（O）=O,所以歷斗一片V0,故3>ln*=Tn0.9,即b>c,

所以/（—A）</（0）=0,所以ln/+A<0,故/Ve—,所以!e擊V!，

、±u/±uiu±uiuy

故aVb,

設gQ）—力￡，+ln（l—c）（0VcV1）,貝可g'Q）=（劣+l）e，H---^―-二——十］,

-1-

令h{x)=e*(62—1)+1,hr{x)—ex(x2+2x—l),

當0Vc〈方一1時，h'[x)<0,函數八(力)=e%/—1)+1單調遞減，

當四一1V/V1時，"㈤>0,函數從G=ex(x2-l)+l單調遞增,

又九(0)=0,

所以當0VcV2—1時，%(%)V0,

所以當0<X<A/2—1時,gf(x)>0,函數gQ)=xex+ln(l—x)單調遞增,

所以g(O.l)>g(0)=0,即O.le01>-ln0.9,所以a>c

故選：C.

方法二：比較法

解：a=O.le0,1,6=--,c=—ln(l—0.1),

1—0.1

①Ina—Inb=0.1+ln(l—0.1),

令/(T)=x+ln(l—x),xE(0,0.1],

則mi-=『^<o,

1—x1—x

故/Q)在(0,0.1]上單調遞減，

可得/(0.1)V/(0)=0，即Ina—InbVO，所以aVb;

②a—c—O.le。i+ln(l—0.1),

令g{x}=xex+ln(l—x),xE(0,0.1],

(1+x)(1—c)e”—1

貝Igf(6)=+e,——

1—x

令k(x)=(1+c)(1—x)ex—1，所以kr(x)=(1—上—2x)ex>0,

所以k[x}在(0,0.1]上單調遞增，可得k[x}>fc(0)>0，即gr(x)>0,

所以g(G在(0,0.1]上單調遞增，可得g(O.l)>g(O)=O，即a-c>0，所以a>c.

故c<a<b.

【題5】(2023新高考n卷-6)已知函數/O)=ae*—ln/在區間(1,2)上單調遞增，則a的最小值為().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】。

【分析】根據(3)=ae”—0在(1,2)上恒成立，再根據分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，r3)=ae'—!>0在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以

設g(rr)=xex,xG(1,2),所以g'(x)=(rr+l)e">0,所以g(x)在(1,2)上單調遞增,

g(x)>g⑴=e，故e>!，即a>^=e-1，即a的最小值為e-1.

故選：C.

二、多選題

「一?！?2022新高考II卷-12)若土，沙滿足/+才一2；y=i,則()

A.cc+yWlB.2+V)一2C.a;2+y22D.x2+y2^l

【答案】BC

【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】因為abW(W&(a,bC_R),由/+才一①夕=1可變形為，(了+“丫—1=<

3（），解得一24%+g<2,當且僅當x—y——\時，x+y=—2,當且僅當x=y=l^,x+y

=2,所以人錯誤，B正確；

2I2

由力之+才―放=1可變形為（/+才）_1=嗎<x2"，解得力2+gY2,當且僅當x=y=±l時取

等號，所以。正確；

因為小+才—二夕=1變形可得（力―微_）I+"|~#=1,設力—_1_=以）54-^~沙=5111仇所以X—COS0+

—^sin0,y=—T^sin^，因“匕/+/=cos?。+-|-sin2^+-^sinOcos。=1H—^sin29—^-cos2。+

V3V33V3V33

1

J

=/+親in（28—FC整2],所以當/=乎，片一空時滿足等式，但是/+才＞1不成立，所

以。錯誤.

故選：BC.

【題7】（2023新高考n卷?"）若函數/（,）=alno;+,+弓（aWO）既有極大值也有極小值，則（）.

A.be>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0

【答案】BOD

【分析】求出函數/（力）的導數/'（i）,由已知可得/（力）在（0,+8）上有兩個變號零點，轉化為一元二

次方程有兩個不等的正根判斷作答.

【詳解】函數/（①）—alnx+—+-^-的定義域為（0,+oo）,求導得/（力）=-當~=

xXXXX

ax2—bx—2c

x3，

因為函數/（2）既有極大值也有極小值,則函數7（力）在（0,+oo）上有兩個變號零點，而aW0,

因此方程a/2—b/—2c=。有兩個不等的正根力1，力2,

A=62+8ac>0

于是，g+電=">0，即有力+8加>0,ab>0,加<0,顯然&2兒（0,即兒（0,人錯誤，86正

“2=一華〉0

確.

故選：BCD

三、填空題

（2022新高考I卷-15）若曲線"=Q+a）e,有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是.

【答案】（—8,—4）U（0,+oo）

【分析】設出切點橫坐標四），利用導數的幾何意義求得切線方程,根據切線經過原點得到關于g的方

程，根據此方程應有兩個不同的實數根,求得a的取值范圍.

【詳解】:=（6+Q）e*,.,?式=Q+1+Q）e”,

設切點為（如為），則y（）=（g+Q）eg,切線斜率k=（g+l+Q）e"\

切線方程為：y—（g+Q）e&=（%o+l+a）e的（劣―g）,

??,切線過原點，?,?一（g+a）e&=（g+l+a）6°（—g）,

整理得：xl+ax0—a=0,

102

,切線有兩條，，A=Q2+4Q＞0,解得QV—4或Q＞0,

??.Q的取值范圍是（—00,—4）U（0,+oo）,

故答案為：（—co,—4）U（0,+oo）

【題9】（2022新高考n卷?14）曲線夕=In㈤過坐標原點的兩條切線的方程為,.

［答案］y=—xy=——x

ee

【分析】分%＞。和/VO兩種情況，當力＞0時設切點為（g/ng）,求出函數的導函數，即可求出切

線的斜率，從而表示出切線方程,再根據切線過坐標原點求出g,即可求出切線方程，當力V0時同

理可得；

【詳解】［方法一］:化為分段函數，分段求

分力＞0和6V0兩種情況，當力＞0時設切點為（g,lng），求出函數體導函數，即可求出切線

的斜率，從而表示出切線方程,再根據切線過坐標原點求出g,即可求出切線方程，當/V0時同理

可得；

解：因為g=ln同，

當力＞0時g=Inc,設切點為（g,lng），由式=工，所以式|許3=所以切線方程為y—lng=

XXQ

g）,

又切線過坐標原點，所以—ln/o=」-（—g），解得g=e，所以切線方程為g—1=工（力一e）,即g=

力oe

1

—x;

e

當力V0時y=ln（—x），設切點為（/i,ln（—g）），由式=工，所以式|2=的=所以切線方程為y—

X力1

又切線過坐標原點，所以一ln（—0）=—（―J；!）,解得力1=—e,所以切線方程為y—1=（%+e）,

Xi-e

即y=-Lr;故答案為：y=-x;y=——x

eee

［方法二］:根據函數的對稱性,數形結合

當力＞0時g=In%,設切點為（/oJng），由式=工，所以“劣=3=所以切線方程為y—lng=

XXQ

又切線過坐標原點，所以一lng=工（一g）,解得力o=e，所以切線方程為g—1=工（力一e）,即g=

力oe

1

e

因為y=ln\x\是偶函數，圖象為：

y=-^x

所以當力V0時的切線，只需找至Uy=-x關于g軸的對稱直線y=——x即可.

ee

［方法三］：

因為y=ln\x\,

=

當化>0時夕=Ina,設切點為(g,lng)，由式=」■，所以式|許的=所以切線方程為y—ln^0

又切線過坐標原點，所以—lng=工(一g),解得g=e，所以切線方程為y—l=—(rc—e)，即g=

ge

1

一叫

e

當力V0時g=ln(—=)，設切點為(g,ln(—g))，由式=工,所以式|*=的=工，所以切線方程為y—

X力1

ln(-a；i)=—(rr-xi),

X1

又切線過坐標原點，所以—ln(—g)=—(—3；1),解得力1=—e,所以切線方程為y—1=(力+e),

即沙=一--x;

e

故答案為：y=-x;y=--—x.

ee

四、解答題

［題10］(2022新高考I卷,22)已知函數/(劣)=ex—ax和g{x)—ax—In力有相同的最小值.

⑴求Q；

【答案】(1)Q=1

(2)見解析

【分析】(1)根據導數可得函數的單調性，從而可得相應的最小值,根據最小值相等可求Q.注意分類

討論.

【詳解】(1)/(^)=ex—ax的定義域為R,而『(x)=ex—a,

若Q?0,則f\x)>0,此時/(x)無最小值，故a>0.

g{x)=ax—In2的定義域為(0,+co),而g\x)=a——=—―

當.VIna時，3(力)V0,故/㈤在(—00,Ina)上為減函數，

當力>Ina時,尸㈤>0,故/㈤在(Ina,+oo)上為增函數，

故/(%)min=/(lna)=Q_Qlna.

當0V力V」-時,gr(x)<0,故9(力)在(。」)上為減函數,

當名>!時，g'Q)>0,故gQ)在(\,+8)上為增函數，

故g(0min=g(2)=1一In-.

因為/(劣)=e°—a/和g(c)=ac—In/有相同的最小值，

故1—In——a—alna,整理得到弓一-=Ina，其中Q>0,

a1+a

設g(a)=-7~~--Ina,Q>0,貝Ig'(a)=r—^-=—~—^74。，

2

-1+Q，八，(l+a)aQ(1+Q)2

故g(a)為(0,+oo)上的減函數，而g(l)=0,

故g(a)=。的唯一解為a=l,故；+"=Ina的解為a=l.

綜上，a=1.

【題11】(2023新高考1卷-19)已知函數/3)=0(6*+0)—6.

(1)討論/(力)的單調性；

(2)證明：當a>0時，/㈤>21na+.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先求導,再分類討論a<0與Q>0兩種情況,結合導數與函數單調性的關系即可得解；

(2)方法一：結合⑴中結論，將問題轉化為a2—衣―lna>0的恒成立問題，構造函數g(a)=a2—

—lna(a>0)，利用導數證得g(a)>0即可.

方法二:構造函數九(力)=ex—X—1,證得①+1,從而得到f⑸>/+Ina+1+進而將

問題轉化為Q2—1~—1IIQ>0的恒成立問題，由此得證.

【詳解】⑴因為/(6)=a(ex+a)—力，定義域為凡所以廣(力)=aex—1,

當a&0時，由于e*>0,則碇立《0,故/0)=碇立一1〈0恒成立，

所以/(x)在R上單調遞減；

x

當Q>0時，令/(力)=ae—1=0,解得x=—Ina,

當xV—Ina時］(/)V0,則于(x)在(—co,—Ina)上單調遞減；

當x>—lna時,1(N)>0,則f(c)在(—Ina,+co)上單調遞增；

綜上：當Q<0時，/0)在R上單調遞減；

當a>0時，f(x)在(―co,—Ina)上單調遞減,f(x)在(—Ina,+00)上單調遞增.

(2)方法一：

由⑴得，/(c)min=/(—Ina)=a(e~lna+a)+Ina=1+a2+Ina,

22

要證/(/)>21na+■，即證1+a+\na>21na+得，即證a——Ina>0恒成立,

2

令g(Q)=0-J-lna(a>0),貝"g，(a)=2Q——=———

令g，(Q)VO,則0VaV^令g，(a)>0,則a>^y-;

所以g(a)在他，呼)上單調遞減，在(修,+8)上單調遞增，

所以g(Q)min=g(^^)=(^y")—/—>0,則g(a)>。恒成立，

所以當a>0時，/3)>21na+~|■恒成立,證畢.

方法二:

令八(a)=e"一3一1,則h'(x)=ex—l,

由于g=e*在R上單調遞增，所以"0)=e"—1在R上單調遞增，

又〃(O)=e°—l=O,

所以當力V0時，h'{x}V0;當力>0時，h'(x}>0;

所以九(力)在(—co,0)上單調遞減，在(0,+oo)上單調遞增，

故出力)>以0)=0,則e]>6+1,當且僅當x=0時，等號成立，

因為/(re)=a(ex+a)—x=aex+—x=e'+i11。+a1—x^x+ina+1+a2—re,

當且僅當x+Ina=0,即力=—Ina時，等號成立，

所以要證/(力)>21na+1■，即證/+Inaa-x>21na+即證a2—-Ina>0,

令g(a)=a2——lna(a>0),貝Ug，(a)=2a——=——

令g，(a)<0,貝"0<a<夸；令g，(a)>0,貝Ia>亨；

所以g(a)在(0,夸)上單調遞減，在(空,+8)上單調遞增，

所以g(a)min=g(^一專一ln￥^=ln，^>0MJg(a)>。恒成立，

所以當a>0時，/㈤>21na+日恒成立,證畢.

(2022新高考n卷-22)已知函數/Q)=跣切—e。

(1)當a=1時，討論/(力)的單調性；

【答案】(1)/(劣)的減區間為(一8,0),增區間為(0,+oo).

【分析】(1)求出廣(力)，討論其符號后可得/(/)的單調性.

【詳解】(1)當Q=1時,/(力)=(劣一l)e",則(⑺=xex,

當企V0時，尸(2)V0,當力>0時，廣0)>0,

故/(2)的減區間為(一8,0),增區間為(0,+00).

[題13](2023新高考n卷-22)⑴證明：當0V力V1時，力一力2Vsin/</；

【答案】(1)證明見詳解

【分析】(1)分別構建F(i)—x—sinx,xE(0,1),G(x)=x^—x+sinx,xG(0,1),求導，利用導數判

斷原函數的單調性,進而可得結果；

【詳解】(1)構建尸(力)=x—sinx,xE(0,1),則F'(x)=1—cosx>0對V/G(0,1)恒成立，

則FQ)在(0,1)上單調遞增，可得FQ)>F(0)=0,

所以力>sinrc,/e(0,1);

構建G(劣)=sinc—(x—x2)=x2—x+sinx,xE(0,1),

則G'(N)=2X—1+COSX,XE(0,1),

構建g(力)—Gf(x),xE(0,1),則g'Q)=2—sinx>0對V/e(0,1)恒成立,

則g(力)在(0,1)上單調遞增，可得g(c)>g(0)=0,

即GQ)>0對V/G(0,1)恒成立,

則GQ)在(0,1)上單調遞增,可得G(x)>G(0)=0,

所以sinn〉/—力2,力e(0,1);

106

綜上所述：x—x2<sine<x.

知識點總結

一、導數的運算

1、求導的基本公式

基本初等函數導函數

/3）=C（C為常數）f'(x)=0

/㈤=xa(aGQ)f'(x)=ad-

=ax(a>0°,。aWl)r(c)=a^lna

/(x)=logx0(a>0°,。QWI)/'3)—i

axlna

f(6=e工r(/)=e工

/㈤=Incr3=-

X

f(x)=sina;r?=cosx

f(x)=cosx/'(n)=—sinx

2、導數的四則運算法則

（1）函數和差求導法則：［/（x）±±g'（x）;

（2）函數積的求導法則：［，3）g3）Y=尸3）g（。）+f（x}g'（x）\

⑶函數商的求導法則：gQ）片0,則［冬］=『⑷g叱吁’⑸

、復合函數求導數

復合函數g=/［g（/）］的導數和函數g=/（〃），a=g（力）的導數間關系為y1=yL心

3、切線問題

⑴在點的切線方程

切線方程g—/（g）（6一g）的計算：函數g=/（力）在點4go,/（珀）處的切線方程為g-/Qo）=

1（詞3—詞,抓住關鍵年三網.

［k=f\x0）

（2）過點的切線方程

設切點為P（g。0%）,則斜率k=r（g）,過切點的切線方程為：g—9o=r（g）（2一g）,

又因為切線方程過點°九），所以九一伙）=/'（a；o）（m—g）然后解出g的值.（g有幾個值，就有

幾條切線）

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

二、單調性基礎問題

4、函數的單調性

函數單調性的判定方法：設函數"=/（,）在某個區間內可導，如果/，3）＞0,則y=/Q）為增函數;如果r

（①）＜0,則y=/（2）為減函數.

5、已知函數的單調性問題

①若/（，）在某個區間上單調遞增，則在該區間上有r3）＞0恒成立（但不恒等于o）；反之,要滿足了'（，）＞o,

才能得出在某個區間上單調遞增；

②若/㈤在某個區間上單調遞減，則在該區間上有恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足r3）＜o,

才能得出了（0在某個區間上單調遞減.

三、討論單調區間問題

類型一：不含參數單調性討論

(1)求導化簡定義域(化簡應先通分,盡可能因式分解;定義域需要注意是否是連續的區間)；

(2)變號保留定號去(變號部分:導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無

需單獨討論的部分)；

(3)求根作圖得結論(如能直接求出導函數等于0的根,并能做出導函數與①軸位置關系圖，則導函數正負區

間段已知，可直接得出結論)；

(4)未得結論斷正負(若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負)；

(5)正負未知看零點(若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點)；

(6)一階復雜求二階(找到零點后仍難確定正負區間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導)；

求二階導往往需要構造新函數,令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導.

(7)借助二階定區間(通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區間段)；

類型二:含參數單調性討論

(1)求導化簡定義域(化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解,定義域需要注意是否是一個連續的

區間)；

(2)變號保留定號去(變號部分:導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無

需單獨討論的部分)；

(3)恒正恒負先討論(變號部分因為參數的取值恒正恒負)；然后再求有效根；

(4)根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮:根是否在定義域內和多根之間的大小關系)；

(5)導數圖像定區間；

四、極值與最值

1、函數的極值

函數/Q)在點新附近有定義,如果對g附近的所有點都有/(c)V/(g),則稱/(g)是函數的一個極大值，記

作U極大值=/(0)?如果對x0附近的所有點都有/(z)>/(g),則稱f(xo)是函數的一個極小值,記作"極小值=

/(%).極大值與極小值統稱為極值，稱g為極值點.

求可導函數/(⑼極值的一般步驟

(1)先確定函數/(c)的定義域；

⑵求導數廣⑸；

(3)求方程/3)=0的根；

(4)檢驗在方程r(z)=o的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正,在右側附近為負，那么函

數y=/(，)在這個根處取得極大值;如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數y=f(x)在這個

根處取得極小值.

注:①可導函數/(多)在點x0處取得極值的充要條件是：3是導函數的變號零點，即r(g)=0,且在3左側與

右側，r(G的符號導號.

②/'(g)=。是g為極值點的既不充分也不必要條件，如/(2)=x3,f'(0)=0,但g=。不是極值點?另外，

極值點也可以是不可導的，如函數/㈤=國，在極小值點g=0是不可導的，于是有如下結論：g為可導函

數f(￡)的極值點0r(割)=0;但r(g)=0*r()為/(①)的極值點.

、函數的最值

函數夕=/(多)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數/(2)最小值為極小值與靠近極大值

的端點之間的最小者.

2

導函數為f(x)=ax+bx+c=a(x—Q—a;2)°(m<ah<a：2<n)

⑴當a>0時，最大值是/(g)與/(n)中的最大者;最小值是/但)與/(m)中的最小者.

(2)當a<0時，最大值是/(電)與于(m)中的最大者;最小值是/(磯)與/(n)中的最小者.

一般地，設夕=/(力是定義在［巾?！鉵］上的函數，夕=/(c)在(m?！憔?內有導數，求函數^=

108

/(2)在[nz?！沣枭系淖畲笾蹬c最小值可分為兩步進行：

(1)求沙=/(必)在(m?！憔?內的極值(極大值或極小值)；

(2)將y=于⑸的各極值與/(m)和/(九)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

【導數及其應用常用結論】

2、恒成立和有解問題

⑴若函數/(⑼在區間。上存在最小值/(0mto和最大值/Q)max,則

不等式/(①)>a在區間。上恒成立

不等式/O)>a在區間。上恒成立=/(土)

不等式〃土)<b在區間。上恒成立=/(2)1mx<匕；

不等式/(,)<6在區間。上恒成立O/3)max&b；

(2)若函數/(2)在區間。上不存在最大(小)值，且值域為(山,?！憔?，則

不等式/(2)>a。(或/(c)>a)在區間。上恒成立0m?>a.

不等式/(2)<6。(或/(a)Wb)在區間。上恒成立

(3)若函數/(為在區間。上存在最小值和最大值/(c)max,即/(工)[小,汨，則對不等式有解問題有

以下結論：

不等式a</(8)在區間。上有解QaV/(c)max；

不等式aw/(,)在區間。上有解OaW/Q)max；

不等式a>/(工)在區間O上有解=a>y(x)min;

不等式口)/(2)在區間。上有解Qa>/O)min；

(4)若函數/(①)在區間。上不存在最大(小)值，如值域為(山,。。九)，則對不等式有解問題有以下結論：

不等式a</(a;)。(或a</(c))在區間。上有解<=>a<7i

不等式(或b>/(c))在區間。上有解

(5)對于任意的處e[a,?！鉨],總存在電e[m,?！憔臸，使得/(g)&g。)o/Qi)111ax49(電)皿；

⑹對于任意的[a,。°b],總存在ge[m,?！沣?，使得/(電)>93)=/Q)min>9(C2)min；

⑺若存在的C[a,。°b],對于任意的。2c[m,。°汨,使得/Q)Wg(>2)Q/01)minWg(H2)min；

(8)若存在ge[a,。。b],對于任意的電/[m,?！沣?，使得/(電)>g(g)=/01)ma*>g(①2)mw；

(9)對于任意的電e[a,?！鉨],x2e[m,°°汨使得/(g)<g(±2)=/(g)max<9(g)min；

(10)對于任意的ge[a,?！鉨],x2e[m,°°汨使得/(的)>93)of⑶)0s^>9(電)加；

(H)若存在0e[a,。。b],總存在gC[m,,?！沣?使得f(處)《。3)of31)min《g(c2)max

(12)若存在[a,。。6],總存在gC[zn,?！沣?，使得/(電)>。(電)=/(g)max>g(>2)mhr

名校模擬練

一、單選題

【題14】(2024?河北保定?三模)曲線/(①)=e"—3①在點(OJ(O))處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面

積為()

AXBXQXD工

8643

【答案】。

【分析】根據導數的幾何意義求得曲線的切線方程，結合三角形面積公式計算即可.

【詳解】由/㈤=e-3Z,得[㈤=優—3,則/(0)=1,尸(0)=-2,

所以曲線/(2)=e"—在點(0,/(0))處的切線方程為y=—27+1.

令夕=0,得c=-1■，令力=0,得y=l,

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為5x］xl=/

故選：C

(X2—3X,XE[0,2],

【題15】(2024?陜西西安?三模)已知函數/(乃=則f(x)在點(5J(5))處的切線方程

[2f(x—2),xE(2,+℃),

為()

A.4a;—?/—28=0B.4,+夕-12=0C.x—4y—12=0D.z+4y-22=0

【答案】B

【分析】根據分段函數結合導函數求出r(5),再根據點斜式得出直線方程.

【詳解】當6e(0,2]時，/(土)=2x—3,

當zC(4,6]時,/(必)=2/(rc-2)=4/。-4),則尸Q)=41f(rr-4),

所以〃5)=4/(1)=-8,7⑸=4葉⑴=-4.

則所求的切線方程為y—(—8)=-4(rr—5)，即4刀+0-12=0.

故選：B.

【題16】(2024?河北保定?三模)已知二次函數夕=ax(x-b)(6片0且b片1)的圖象與曲線y=Imc交于點P,

與a;軸交于點4異于點O),若曲線V=lno;在點P處的切線為Z,且/與AP垂直，則a的值為()

A.——B.11C.—VeD.12

e

【答案】B

【分析】利用導數求解直線I的斜率，即可根據垂直關系得面?kPA=-l,結合Int=at(t-b),即可求

解.

【詳解】易知人(6,0),設P(t,lnt),

寐立y=Ina;與夕=ax(x—6)可得Ina:=ax(x—b),故Int=at(t—b),

由夕=lmc得y'=工，所以向=J,kPA=^~,

xtt-b

因為Z_LPA，所以及?k2==—1,即