專題06直線與圓、圓錐曲線

考點01直線的方程

1.(24-25高三上?內蒙古鄂爾多斯?期末)己知直線儲〃氏+2y+2=0,l2：5x+(m-3)y-5=0,若4〃4,

則7〃=()

A.5B.2C.2或-5D.5或-2

【答案】A

【分析】根據直線平行，結合一般式方程建立方程，分別驗根，可得答案.

【詳解】因為直線4：如+2y+2=0與直線如5x+(祖-3)y-5=0平行，

所以冽(m-3)=2x5,解得力=-2或m=5.

當〃z=-2時，直線jx-y-l=0與直線心x-y-l=0重合，不符合題意；

當〃z=5時，直線j5x+2y+2=0與直線乙：5x+2y—5=0平行，符合題意.

綜上，m=5.

故選：A.

易錯分析：已知直線平行求參數時要注意直線重合與斜率不存在的情況.

2.”<7=]”是"直線尤+20_]=0和直線(a-l)x+沖一1=0平行”的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】由兩直線平行得出。的值，再結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若直線無+2?一1=0與直線(a-l)x+ay—1=0平行，

3

則有lxa=2a.(a-l),解得a=0或a=],

當a=0時，直線》+2毆-1=0即為彳-1=0,

直線(a—l)x+政一1=0,即為x+l=0,兩直線平行，符合題意；

3

當a=5時，直線尤+2ay-l=0即為直線x+3y-l=0,

直線(a-l)x+ay-l=0,即為x+3y-2=0,兩直線平行，符合題意;

3

故兩直線平行時，。=0或。=；；，

2

所以是“直線無+2阪-1=0和直線(a-l)x+ay-1=0平行”的充分不必要條件，

故選；C.

3.已知直線/:2)x+5y—3=0,4:(a—2)x+金一5=0,貝!］"/J//?”是“q=2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由〃〃2可求出。的值，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.

［詳解］若〃〃2貝|々(4_2)_5(?_2)=0,且30—25工0,所以0=5,或4=2,

所以“4〃夕'是“a=2”的必要不充分條件.

故選：B.

4.已知直線依+2y+6=0與直線尤+(。-1方+。2-1=0互相平行，則實數。的值為()

A.-2B.2或—1C.2D.-1

【答案】D

【分析】兩直線斜率存在時，兩直線平行則它們斜率相等，據此求出a的值，再排除使兩直線重合的a的值

即可.

【詳解】直線依+2y+6=0斜率必存在，

故兩直線平行，則-二=-一BPa2-a-2=Q,解得。=2或-1,

當a=2時，兩直線重合，。=-1.

故選：D.

5.過點4(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4x-y=0或x+y-5=0D.4無-y=0或x-y+3=0

【答案】D

【分析】分直線過原點和不過原點兩種情況討論，結合直線的截距式即可得解.

【詳解】當直線過原點時在兩坐標軸上的截距都為0,滿足題意，

又因為直線過點A(l,4),所以直線的斜率為g=4,

1—0

所以直線方程為y=4x,即4元-y=0,

當直線不過原點時，設直線方程為2+二=1,

a一〃

因為點人(1,4)在直線上，

14

所以—+—=1,解得a=-3,

a-a

所以直線方程為x-y+3=o,

故所求直線方程為4元-y=。或無-y+3=0.故D項正確.

故選：D

易錯分析：在應用直線方程的截距式時要判斷是否存在截距為零的情況.

6.(23-24高三下.浙江.開學考試)直線/過拋物線C:/=-4y的焦點，且在x軸與y軸上的截距相同，貝心的

方程是()

A.y=-x-lB.y=-x+l

C.y=x-lD.y-x+1

【答案】A

【分析】根據題意，求得拋物線C的焦點為歹(0,-1),設直線方程為x+y+加=。，代入直線方程求得優的

值，即可求解.

【詳解】由拋物線C:/=-4y的焦點為尸(0,-1),

又由直線/在龍軸與y軸的截距相同，可得直線方程為彳+>+加=。，

將點打。,-1)代入x+V+m=0,可得〃2=1,所以直線/的長為產-X—1.

故選：A.

7.直線x-2y-2=0在x軸上的截距為°,在y軸上的截距為b,貝U()

A.a=2,b=lB.a=2,b=—\

C.a——2,b=\D.a——2,b=—l

【答案】B

【分析】根據題意，由直線的方程，結合直線截距的定義計算，即可求解.

【詳解】由題意，直線x-2y—2=0,

令x=0,解得y=-l,故b=一1；令y=0,解得尤=2,所以4=2.

故選：B.

8.已知直線/：◎+、-2+a=0在x軸和y軸上的截距相等，貝I實數a的值是()

A.1B.-1C.2或1D.-2或1

【答案】C

【分析】根據題意，分別求得直線/在坐標軸上的截距，列出方程，即可求解.

【詳解】由直線/：ax+y—2+a=0,顯然。片0,

當x=0時，可得y=2-a,即直線/在y軸上的截距為2-。；

當>=。時，可得了=二上，即直線/在x軸上的截距為三；

aa

2—CL

因為直線/在X軸和y軸上的截距相等，可得一=2-“，

a

即〃-30+2=0,解得a=2或。=1.

故選：C.

9.(24-25高三上?湖北隨州?階段練習)已知點打2,-1),則過點尸且與原點的距離為2的直線/的方程

為.

【答案】》=2或力-4尸10=0

【分析】對直線/的斜率左分類討論，再利用點到直線的距離公式及其點斜式即可得出答案.

【詳解】①當/的斜率%不存在時顯然成立，此時/的方程為x=2.

②當/的斜率上存在時，

^l:y+l=k(x-2),即爪_>_2左一1=0,

I―2k-112

由點到直線的距離公式得，添臺=2,解得左=；,

/.1:3尤-4y-10=0.

故所求,的方程為x=2或3x-4y-10=0.

故答案為：x=2或3x-4y-10=0.

易錯分析：設直線方程的點斜式時要檢驗斜率不存在的情況是否滿足題意.

考點02圓的方程

1.(2024?吉林?三模)已知曲線C：x2+y2+2〃a-2y+2=0表示圓，則機的取值范圍是()

A.(-oo,-l)B.C.(-1,1)D.(^?,-l)u(l,+co)

【答案】D

【分析】將一般方程轉化為標準方程后可求參數的取值范圍.

【詳解】圓的標準方程為：(尤+根『+仃-1)2=機2-1,

故病＞1即7〃＜-1或加＞1,

故選：D.

易錯分析：當圓的一般方程中含有參數時要注意滿足。2+爐一4/＞0這一隱含條件.

2.（23-24高二上?貴州黔南?期中）已知圓C：x2+y2-4x-2my+m2+m=0,過點（U）可作兩條直線與圓C

相切，則實數加的取值范圍是（）

A.U（2,-K?）B.（-1,2）

C.（-1,4）D.（YO,-1）52,4）

【答案】D

【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到4-機＞0,求出機的大范圍，再由點（U）在圓外，得到點

到圓心的距離大于半徑，從而求出參數的取值范圍.

【詳解】圓C：X2+y2-Ax-2my+m2+m=0,BP（x-2）2+（y-m）2=4—m,

則圓心為（2,半徑r=＜4-m,旦4一〃z＞0,則MI＜4,

又過點（LI）可作兩條直線與圓C相切，所以點（1』）在圓外，

所以.J。一2）'（1一加）＞4一在,解得2Vm＜4或加＜-1,

m＜4

綜上可得實數加的取值范圍是（F,T）U（2,4）.

故選：D

3.（2024.河北滄州.二模）若點4（2,1）在圓/+/-2小一2,+5=0（加為常數）外，則實數加的取值范圍

為（）

A.（—oo,2）B.（2,+co）C.（—co,—2）D.（―2,+co）

【答案】C

【分析】由點A在圓外代入圓的方程可得加＜2,再由圓的一般方程中。2+戌一4斤＞0可得加＜一2,最后求

交集即可.

【詳解】由題意知22+F-4m-2+5＞0,

故加＜2,

又由圓的一般方程尤2+9+瓜+硝+尸=(),

可得+石2_4尸>0,即(-2m)2+(-2)2-4x5>0,

即02<-2或>2,

所以實數7"的范圍為加<-2.

故選：C.

4.(2024高三.全國.專題練習)過點M(3,l)作圓/+丁.龍一6y+2=0的切線/,貝心的方程為()

A.x+y-4=0B.x+y-4=0或％=3

C.x-y-2=0D.x-y-2=0或x=3

【答案】C

【分析】根據兩點坐標求距離公式判斷M在圓上，結合直線與圓的位置關系計算即可求解.

【詳解】x2+y2-2x-6y+2=0,

二.(x-1)?+(y-3)2=8,圓心坐標為(L3),

M(3,1),.-.(3-1)?+(1-3)2=8,即河在圓上，

則過M點的切線方程為(3-1乂尤-1)+(1-3)(y-3)=8,

整理得x-y-2=0.

故選：C

易錯分析：求過某點的圓的切線方程時應先判斷點與圓的位置關系，然后根據位置關系判

斷切線的條數，避免因為忽略斜率不存在的情況而漏解.

5.(24-25高二上?山東濰坊?開學考試)已知圓C:尤2+y2-2x=0,則過點尸(3,0)的圓C的切線方程是()

A.y=±g(x-3)B.y=±2(x-3)

C.y=±-^?(尤一3)D.y=+A/3(x—3)

【答案】C

【分析】首先說明點在圓外，再設點斜式方程，利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出即可.

【詳解】將P(3,o)代入圓方程得3?+()2.2X3=3>0,則該點在圓外，

C:x2+y2-2x=0,即C:(x—l)2+y2=l,則其圓心為(1,0),半徑為1,

當切線斜率不存在時，此時直線方程為x=3,顯然不合題意，故舍去,

則設切線方程為:y=k（x-3）,即至-y-3左=0,

則有占3=1,解得左=士亭，此時切線方程為〉=±￡"-3）.

故選：C.

6.（2024高三.全國.專題練習）過圓N+y2—4x=0上點尸（1,百）的圓的切線方程為（）

A.x+括y—4=0

B.j3x—y—0

C.尤一V§y+2=。

D.x=l或x—Gy+2=o

【答案】C

【詳解】

注意到尸（1,m）在圓x?+y2—4尤=0上，將點（1,鎘）代入公式（配一2）（無-2）+。0—0）。-0）=4,得直線方程

x—\/^+2=0.

【考查意圖】過圓上一點的圓的切線.

7.（24-25高三上?天津?階段練習）若直線/：血->=4被圓C:尤2+y2-2y-8=0截得的弦長為4,則機的值

為（）

A.±2B.±4C.±0D.±2血

【答案】A

【分析】根據題目得到圓C的圓心和半徑，利用幾何法來表示弦長即可求得結果.

【詳解】由題知，圓C的圓心為（0,1）,半徑為由產=3,

由弦長為2,32-優=*解得加=±2.

故選：A

8.（2024.甘肅蘭州.模擬預測）已知直線>=尤+6與圓（7:/+0-1）2=4相交于機"兩點，|頌|=9，則

b=（）

A.0或1B.1或一1C.1或2D.0或2

【答案】D

【分析】根據直線與圓相交，利用垂徑定理可求參數的值.

【詳解】

設圓心C(O,1)到直線>=無+6的距離為d,

2

則4二用1.由13MN|]+d=2\得)+(1)2=4,

V2J22

解得b=0或b=2.

故選：D

9.當曲線y=l+47/與直線y=Mx-2)+4有兩個相異交點時，實數人的取值范圍是().

A?[哈B.信+6C.Q,1]D.備工

【答案】D

【分析】首先確定曲線所表示的圖形，再根據數形結合得出實數％的取值范圍.

【詳解】直線y=M尤一2)+4恒過點4(2,4),

由y=1+74-x2?1可得y-1=74-x2，等式兩邊平方得V+(y—I)?=4,

曲線yul+H'T'表示圓d+(y-l)2=4的上半圓，作出示意圖如下:

當直線＞=%(%-2)+4與半圓相切時，即直線履-y-2左+4=0與半圓相切時,

3-2左5

Wi^==2,解得左二2,

Jl+k212

a

當直線y=Z（x-2）+4過c（-2,l）時，Tk+4=1,解得左=（,

要想曲線產1+4E與直線y=Mx-2）+4有2個相異交點，

數形結合得到：實數上的取值范圍是.

（124J

故選：D.

易錯分析：對曲線方程化簡時要注意化簡的等價性，避免因為化簡不等價而造成增根.

10.若直線/：＞=履+3-左與曲線C：y=的二了恰有兩個交點，則實數上的取值范圍是（）

A/*）B.g|［C.］。,3D.

【答案】B

【分析】根據直線過定點，以及直線和圓的位置關系，利用數形結合作出圖象進行研究即可.

【詳解】由/：＞=履+3-左知直線/過定點

由曲線C:y=7I二7,兩邊平方得丁+9=1。20）,

則曲線是以C（0,0）為圓心，1為半徑的上半圓（包含軸上的兩點），

當直線過點4（-1,0）時，直線,與曲線有兩個不同的交點，

3

此時0=-左+3-左，解得長=￡,

當直線/與曲線相切時，直線和圓有一個交點，

/、一|3-4|,4

圓心C（0,0）到直線/：'=履+3-左的距離1=左m=1,解得左=：,

要使直線/：'=履+3-左與曲線c：y=J二巨恰有兩個交點，

43

則直線/夾在兩條直線之間，因此§＜女＜5，

即實數左的取值范圍為匕＜4，］3".

故選：B.

11.若直線依2=0與曲線=x_l有兩個不同的交點,則實數上的取值范圍是（）

f4

D.-,+℃

【答案】A

【分析】畫出圖形，求出直線過定點，數形結合再由圓心到直線的距離等于半徑和斜率的定義求解即可;

【詳解】曲線=尤-1即為半圓:（尤一1）2+（＞—1）2=1（尤21）,

其圖象如圖所示，

曲線與X軸的交點為4（1,0）,而直線丘-y-2=。為過（0,-2）的動直線,

左一34

當直線/與半圓相切時，有+T=I,解得％=彳，

J1+女23

2

當直線/過A時，有化=]=2,

4

因為直線/與半圓有兩個不同的交點，故§＜上工2,

故選：A.

12.（24-25高三上?黑龍江?期末）圓。：V+y=4與圓。：（*-2）2+（、+2）2=20的公切線條數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】判斷兩圓的位置關系，即可判斷出答案.

【詳解】易得圓。：/+y=4的圓心。（0,0）,半徑4=2,

圓O：（%-2）2+（y+2）z=20的圓心O'（2,-2）,半徑/=26\

＞\OO'\=272e（2^-2,25/5+2）,即圓O與圓°相交，

故其公切線條數為2.

故選：B.

13.（24-25高三上?遼寧遼陽?期末）若曲線y=與圓（》-3）2+（y-4成=戶（r＞0）相切，則r的值為（）

A.3B.2或7C.2D.3或7

【答案】A

【分析】依題意可得曲線＞="二7表示以。（0,0）為圓心，2為半徑的半圓（龍軸及x軸上方部分），再確

定圓心坐標，從而得到廠的值.

【詳解】曲線y=則/0,又/+/=4,

所以曲線y=，4-f表示以。（0,0）為圓心,2為半徑的半圓（x軸及x軸上方部分），

圓（x-3r+（y—4）2=，什＞0）的圓心為“（3,4）,半徑為「，

X|OM|=V32+42=5，

若|OM|=r+2,即r=3時滿足曲線y=與圓（x—3）2+（,-4）2=戶（廠＞0）相切.

14.（2024高三?全國?專題練習）已知點P在圓O:尤?+了2=4上，點A（-3,0）,3（0,4）,滿足族的點尸

的個數為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據平面向量數量積的坐標表示確定點P的軌跡，結合圓與圓的位置關系即可判斷.

【詳解】設點尸（％y）,則/+V=4,且福=（x+3,y）,麗=（尤,y-4）,

由AP_L5P,得Q?麗=x(x+3)+y(y-4)=x2+y2+3x-4y=0,

即、+目+（—）2=?,

故點尸的軌跡為一個圓心為（-/2］，半徑為|■的圓，

則兩圓的圓心距為!■,半徑和為3+2=3,半徑差為二-2=:.

22222

159

因為:<=<：，所以兩圓相交，滿足這樣的點尸有2個

222

故選：B

15.（24-25高三上?遼寧大連?期中）已知圓。:一+丁=1,圓/：（尤一。）2+“一。+4）2=1.若圓M上存在點

P,過點尸作圓。的兩條切線，切點為A,B,使得NAPB=60。，則。的取值范圍（)

2一%1B.C.2一字2+用D/2一孝,2+

A.2一

2

【答案】D

【分析】由題意畫出圖形，利用兩點間的距離關系求出O尸的距離，再由題意得到關于。的不等式求得答案.

【詳解】

如圖，圓。的半徑為1,圓河上存在點P,

過點尸作圓。的兩條切線，切點為AB,使得NAPB=60。,

則/APO=30。，在RtZ\P4O中，尸0=2,

又圓M的半徑等于1,圓心坐標M（a,a-4）,

中°LTM?-1，|尸臉=|“。|+1,

\MO\=加+①勺?,

???由亞+(0一4『一I.24J/+(a—4)2+1,

解得：2一工aM2+絲,則。的取值范圍為

22

故選：D.

考點03圓錐曲線的定義

1.已知點4(—1,0),5(1,0),動點尸(羽。滿足|網+|尸耳=1,則動點P的軌跡是()

A.橢圓B.直線C.線段D.不存在

【答案】D

【分析】根據|到+|陽與|的的關系判斷點的軌跡.

【詳解】由題設知|斜+|冏=1<|AB|=2,

則動點P的軌跡不存在.

故選：D

易錯分析：根據橢圓的定義判斷曲線類型時要注意判斷動點到兩個定點距離和與兩定點間

距離大小的比較.

22

2.(24-25高三上?河北邯鄲?階段練習)已知圓Q:x2+(y_l)2=25,O2:x+(y+l)=1,動圓“與圓。|相

內切，與圓O?相外切，則點M的軌跡方程為()

2,22,2

A.工-匕=1B.工+匕=1

8989

x2y21

C.工-二=1D.—+—=1

【答案】B

【分析】結合圓與圓的位置關系與橢圓定義可得結果.

【詳解】設圓〃的半徑為人根據題意得：\MO\=5-r,|MO2|=l+r,

所以|Mq|+|MQ|=6>|QO2|=2,

根據橢圓的定義可知，點M的軌跡是以。I、。2為焦點的橢圓，

22

設其方程為三+多=1(。〉0)，其中2a=6,a=3,

b2a2V7

2c=2,C=1f則人2=Q2一。2=8,

22

所以點M的軌跡方程為L+匕=1,

89

故選：B

3.(2024高三.全國?專題練習)如果點"(x,y)在運動過程中，總滿足關系式，7癡丁+病不于

=4石，那么點M的軌跡是()

A.不存在B.橢圓C.線段D.雙曲線

【答案】B

【分析】根據橢圓的定義求解即可.

【詳解】2+7x2+(y-3)2=473表示平面內到點(0,-3),(0,3)的距離之和為4石的動點M(x,y)

的軌跡，由于3-(-3)=6<4石，所以點”的軌跡是橢圓.

故選：B.

4.(2024高三?全國?專題練習)與圓(尤+2)?+/=2外切，且與圓/+;/一敘=0內切的圓的圓心在()

A.拋物線上B.圓上C.雙曲線的一支上D.橢圓上

【答案】C

【分析】由兩圓相切的條件得出動點滿足的性質，再利用雙曲線的定義可得.

【詳解】由題設，(X+2)2+9=2的圓心為4-2,0),半徑為五;x2+y2-4尤=0的圓心為8(2,0),半徑為

2,

半徑為r,由圖及已知條件易得廠>2,

則|AC|-忸。|=拒+2,

由雙曲線定義知，圓心C在以AB為焦點的雙曲線的右支上.

故選：C.

易錯分析：雙曲線的定義要注意兩點：一是動點到兩定點距離差的絕對值為常數2a,二

是要2a<2c.

5.（2024高三.全國.專題練習）已知點4（0,2）,3（0,-2）,。（3,2）,若動點”（蒼①滿足|他4|+|4。=|處|+忸。,

則點Af的軌跡方程為（）

丫2

A.=1

3

C.=l

3

【答案】B

【分析】根據|他4|+a。=附同+忸。中恒。,忸。為定值，故先化簡村4+|4。=四耳+忸。再分析滿足的距

離關系即可.

【詳解】設M（x,y）,因為|阿+|AC|=|MB|+怛。,

故\MA\+3=\MB\+^32+[2-(-2)]2，B|J|M4|-|M5|=2<4.

故點M&y）的軌跡是以4（0,2）,川0,-2）為焦點的雙曲線的下支,

且a=l,c=2,i^b2=c2-a2=3.

所以點M的軌跡方程為y2-^=l（y<-l）.

故選：B.

6.（2024?河南濮陽?模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點尸的坐標為（2,0）,以線段尸尸為直徑的圓與圓

O:Y+y2=3相切，則動點P的軌跡方程為（）

A.--^=1B.--/=]Dx2I

433C2畀163

【答案】B

【分析】分兩圓外切和內切兩種情況，根據兩圓位置關系結合雙曲線的定義分析求解.

【詳解】由題意可知：圓Od+yZ=3的圓心為。（0,0）,半徑廠=有,

設耳（-2,0）,以線段4為直徑的圓的圓心為M,半徑為R,

OM|=2（r+R）,\PF\^2R,

可得歸耳|_|尸尸］=2（，+尺）_2尺=2'=26；

若圓M與圓0內切，則忸耳|=2|OM|=2（R—r）,\PF\=2R,

綜上所述：歸耳|-|尸尸］=2括,

可知動點P的軌跡是以月,廠為焦點的雙曲線，且。=若,。=2,則b=A/C2—a2=1>

所以動點尸的軌跡方程為工-丁=1

3'

故選：B.

7.（2024高三?全國?專題練習）已知雙曲線C:二-亡=1的左、

右焦點分別是片，耳,點尸在雙曲線C上,

916

且|尸制=7,則%=（）

A.13B.16C.1或13D.3或16

【答案】A

【分析】根據雙曲線的定義求解.

f2

【詳解】由雙曲線C:二-匕v=1可得”=3,C=5.

916

因為|P￡|=7<o+c,所以點尸在雙曲線C的左支上，

所以|至|-|尸耳|=2",則|%=閘+2。=7+6=13.

故選：A.

易錯分析：雙曲線上任意一點到焦點的距離都滿足|M|<a+c.

8.（2024高三?全國?專題練習）若點尸到點尸（0,2）的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則點尸的軌跡方

程為（）

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y

【答案】C

【分析】根據拋物線的定義即可寫出點P的軌跡方程.

【詳解】由題意，知P至IJ尸（0,2）的距離比它至Ijy+4=O的距離小2,

因此P到尸（0,2）的距離與到直線y+2=0的距離相等，

故P的軌跡是以下為焦點，>=-2為準線的拋物線，

所以P的軌跡方程為V=8y.

故選：C

9.在平面直角坐標系工分中，動點P（x,y）到直線X=-1的距離比它到定點（3,0）的距離小2,則點P的軌跡

方程為（）

A.y2=6xB.y2=12%C.y2=-6xD.y2=-12x

【答案】B

【分析】根據拋物線的定義即可求解.

【詳解】由題意知動點PQ,y）到直線x=-3的距離與它到定點（3,0）的距離相等，

由拋物線的定義知，點尸的軌跡是以（3,0）為焦點，a=-3為準線的拋物線，

所以P=6,點尸的軌跡方程為V=i2x.

故選：B.

10.點尸到點尸（3,0）的距離比它到直線/：彳=1的距離大4,則點尸的軌跡是（）

A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.以上都不對

【答案】D

【分析】根據給定條件，按點尸在直線/及左側、右側兩種情況分類討論，結合拋物線定義判斷即得.

【詳解】由點P到點尸（3,0）的距離比它到直線/:x=l的距離大4,知點P既可以在直線/的左側，也可以在

直線/的右側，

當點尸在直線/:x=1及左側時，點P到點F（3,0）的距離等于它到直線x=5的距離，

則點P的軌跡是以p（3,0）為焦點，直線x=5為準線的拋物線在直線/及左側部分；

當點尸在直線/:x=1的右側時，點P到點F（3,0）的距離等于它到直線x=-3的距離，

則點P的軌跡是以P（3,0）為焦點，直線》=-3為準線的拋物線在直線/的右側部分，

所以點尸的軌跡包含以上兩部分，選項ABC錯誤，D正確.

故選：D

考點04圓錐曲線的方程及幾何性質

22

1.（24-25高三上?福建泉州?期中）若方程「----J=i表示橢圓，則實數機的取值范圍為（）

m+3m-1

A.（-1,3）B.（-3,1）

C.（-3,-l）U（-U）D.（YO,-3）U（1,+S）

【答案】C

【分析】先化為橢圓標準方程，再根據橢圓方程性質列不等式組計算即可求參.

22

【詳解】因為方程^+工=1表示橢圓，

m+31-m

fm+3>0“

所以<八且機+3與1-相不相等，

所以〃蚱（一3,-1）。（-1,1）.

故選：C.

m>0,

22

易錯分析：方程'+匕=1表示橢圓的條件是〃〉0,，表示雙曲線的條件是根〃<0.

mn

m^n

22

2.（23-24高三上?云南昆明?階段練習）方程+=1表示橢圓的充要條件是（）.

4+m2-m

A.-4<m<2B.l<m<2

C.-4<m<-lD.m>—1

【答案】B

【分析】借助橢圓的標準方程與充要條件的定義計算即可.

V.2V2

【詳解】若^+“二=1表示橢圓，

4+m2-m

4+m>0

則<2-m>0,解得Tvmv-l或一1VMV2.

4+mw2-m

故選：B.

22

3.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習）對于實數加，“小>2”是“方程」----J=i表示雙曲線”的（）

m+1m-2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據雙曲線的特征得到加的取值，再根據充分條件的判定即可得到結果.

22

【詳解】若方程-----J=1表示雙曲線，

m+1m-2

貝-2）>0,得根>2或機<一1,

22

則>2”是“方程」-----匚=1表示雙曲線”的充分不必要條件，

m+1m-2

故選：A.

4.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）求長軸長是短軸長的3倍，且過點（3,-1）的橢圓的標準方程（）

22

22工+匕=1

A.土+匕=1B.8282-

182V

2xy1

C.±2+工=1或存+近=1D-。口

【答案】C

【分析】分析可知，a=3b,對橢圓的焦點位置進行分類討論，將點的坐標代入橢圓方程，求出/的值,

即可得出橢圓的標準方程.

【詳解】由題意可知，a-3b,

22

若橢圓的焦點在X軸上，則橢圓的標準方程為++京=1,

將點的坐標代入橢圓方程可得舒9+a1=1,解得廿=2,

22

此時，橢圓的標準方程為±+乙=1；

182

22

若橢圓的焦點在y軸上，則橢圓的標準方程為*1=1,

9b2b2

igQO

將點的坐標代入橢圓方程可得八萬+《=1,解得〃=},

9bb9

此時，橢圓的標準方程為京+金=1

~9

22）

綜上所述，橢圓的標準方程為二+匯=1或記+而=1.

182

故選：C.

易錯分析：求橢圓標準方程的步驟是先定位、再定量，即先確定焦點在哪個坐標軸上，然

后再求“力2的值，當焦點位置不確定時要分情況討論.

5.（2024高三.全國?專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為月（-3,0）,耳（3,0）,尸為雙曲線上一點且

卜「片卜|「耳||=4,則雙曲線的標準方程為（）

x222

AY9]yiry<,

A.-----------=1D.-----------=1C.-----------=1

455445

【答案】A

【分析】根據雙曲線的定義確定G6的值，即可得雙曲線方程.

【詳解】因為忸耳卜|%|=4〈寓閶=6,

由雙曲線的定義可得c=3,2a=4,即”=2,62=02-4=9一4=5,且焦點在x軸上,

22

所以雙曲線的方程為

故選：A.

易錯分析：已知圓錐曲線的方程和性質求參數，要注意分析焦點位置.

22

6.（24-25高三上?河南南陽?期中）已知橢圓C：L+2T=1的短軸長為4,則機=（）

mm

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據短軸長求得〃=4,討論九/大小及橢圓定義求參數.

【詳解】由C的短軸長為4,得以=4,即b=2,則6=4,

若m＞"＞0=*0＜根＜1,貝蘇=4,顯然矛盾；

若用2＞機＞（）=＞機＞1,則m=4.

22

經驗證，當機=4時，橢圓C：L+J=1的短軸長為4,

mm

故選：B

7.（2024.山東.一模）若橢圓C：《+f=1的離心率為亞，則橢圓C的長軸長為（）

m23

A.20B.子或2#

C.2aD.20或2指

【答案】D

【分析】根據橢圓的離心率求出與的值，對橢圓C的焦點位置進行分類討論，求出機的值，即可求得橢圓

a

C的長軸長.

c1a2-b2ib1（行丫2g、1b21

【詳解】因為/2===——=1一一=—=-,所以，==一.

a2a2a27[3）3a23

序01

①若橢圓。的焦點在X軸上，貝!）勺=*=±,可得機=6,則4=標=6，

此時，橢圓c的長軸長為2?；

②若橢圓c的焦點在y軸上，則與='=l，可得加=],則°=&,

a2233

此時，橢圓C的長軸長為20.

綜上所述，橢圓C的長軸長為20或2遍.

故選：D.

8.（2024?內蒙古?三模）已知橢圓W—+與=1的離心率為且，則機=（）

m+2m3

A.±72B.±2C.±2萬D.±4

【答案】B

【分析】根據橢圓的方程，結合離心率的定義和求法，列出方程，即可求解.

22

【詳解】由橢圓+==1,可得/=加+2,6=療，貝房=/一62=2,

m+2m

所以e?=J=—”,解得*士2.

a~m~+213J

故選：B.

22

9.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習）如圖所示，已知橢圓C:二+斗=1（。>6>0）,QO:x2+y2=b2A,

ab

尸分別是橢圓c的左頂點和左焦點，點P是。。上的動點，且宵為定值，則橢圓C的離心率為（）

IPF\

【答案】A

【分析】根據橢圓性質以及圓的方程即可得片+62=幾卜2+廿）,。=〃，構造方程即可解得離心率.

【詳解】易知A（—"0）,尸（―GO）,設尸（和乂）,

要使曙為定值，則有（網+4+靖=2[（占+。）2+H，4為常數;

顯演2+y；=b?,因止匕a?++Z?2=412_|_2c%]+/??）,

比較兩邊系數可得4+廿=X卜2+/）M=尬，

故+b2，卜2+62）,即c（“2+/）=〃（/+/）,

整理可得2c"—"="3,即/_2￡+1=0,也即（e—l）（/+e—1）=0,

又0<e<l,解得e=避二L

2

故選：A

易錯分析：圓錐曲線的離心率問題要注意橢圓離心率的范圍是（0,1）,雙曲線的離心率范

圍是（L+°°）.

10.（24-25高三上?河北承德?階段練習）已知與，瑞是橢圓與雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，

且「可＞|尸閭，線段尸耳的垂直平分線經過點歹2.記橢圓的離心率為，，雙曲線的離心率為％,則'+902的

e\

取值范圍是（）

A.（6,+oo）B.（12,+oo）C.（6,7）D.（5,+oo）

【答案】B

【分析】由題意可得|呀|=|耳耳|=2c,結合橢圓和雙曲線的定義得到，，q的關系式，根據e?的取值范圍，

通過分析函數單調性可得到結果.

【詳解】設橢圓的長軸長為2卬，雙曲線的實軸長為2%,它們的公共焦距為2c,不妨設焦點在無軸上，點尸

在第一象限.

???點F2在線段尸耳的垂直平分線上，.■.歸閶=|耳閶=2c.

由橢圓、雙曲線的定義得:|正耳|+|尸耳=2q,忸周一忸閭=2的，?.?|M|=24-2c=2的+2c