2025《衡中學案》高考一輪總復習數學提能訓練練

案［21］含答案提能訓練練案［21］

6A組基礎鞏固9

1.設函數?x)=e*—ax—2.

(1)求兀0的單調區間；

(2)若a=l,k為整數,且當x>0時，(x—Q)+無+1>0,求左的最大值.

［解析］(DHx)的定義域為R,f(x)=e~a.

當aWO時，/'(x)>0恒成立，所以?c)的單調遞增區間為(一8,十8),無

單調遞減區間.

當a>0時,令，(x)<0,得x<lna,

令，(x)>0,得x>lna,

所以Hx)的單調遞減區間為(一8,Ina),單調遞增區間為(Ina,+°°).

(2)由題設可得(%一左)(8—l)+x+1>0,

V—I—1

即kx+晟三"(xX))恒成立，

X—I-1e%—1—(y+1)己%己%—v—2)

令g(x)=n+x(x>0)，得g'(x)=J+1=1)2%>0).

CJLIC1JIC1J

由(1)的結論可知，函數/z(x)=ex—x—2(x>0)是增函數.

又因為以1)<0,力(2)>0,

所以函數/z(x)的唯一零點a?(l,2)(該零點就是/z(x)的唯一零點).

當x@(0,a)時,g'(x)<0；

當尤￡(a,+8)時，g'(x)>0,

a-1-1

所以g(%)min=g(〃)=e。_］+a

又/z(?)=eoc—?—2=0,

所以ea=?+2且(1,2),

則g(X)min=g(Q)=1+4￡(2,3)，

所以上的最大值為2.

2.已知函數次x)=e%.

(1)若兀02奴+1,求實數。的取值范圍；

(2)若g(x)=x+lnx,求證：g(x)—xe*+lWO.

［解析］(l)?x)》ax+l,化為e^—ax—lNO,

令u(x)=ex—ax-l,

則u'(x)=ex—a,

當aWO時，u'(x)=ex-a>0,函數M(X)在R上單調遞增，

而M(0)=1—1=0,因此x<0時，z/(x)<0,不符合題意，舍去.

當a>0時，令(x)=e%—a=0,解得x=lna,

x?(—8,in0時，u'(x)<0,此時，函數M(X)單調遞減，x?(lna,+°°)

時,(X)>O,此時，函數M(x)單調遞增，

所以x=lna時，函數M(X)取得極小值即最小值，

所以M(lna)=a—alna—1^0,

令v(a)=a—tzlna—1,

則o'(a)=l—Ina—1=-Ina,

可得o(a)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，。=1時，0(0取得極

大值。(1)=1-0—1=0,可得a=l時滿足題意.

所以實數a的取值范圍為{1}.

(2)令/z(x)=g(x)—泥*+1=%+111%—泥*+1,xG(0,+°°),

h'(x)=1+/-(x+l)ex=(x+l)g-ej,

令y=；—ex,則函數y=；—ex在xG(0,+8)上單調遞減，

又y(D=l-e<0,丁七］=2-五>0,

所以存在唯一零點1］星(0,+8),

使得exo=-,即xo=—Inxo.

xo

xo是/z(x)的極大值即最大值，

h(xo)=xo—xo—1+1=0,

所以/i(x)W/i(xo)=O,

因此g(x)—xex+1W0.

3.設函數八x)=e2x—(2a+2)ex+2ax.

(1)當。<0時，討論函數人X)的單調性；

(2)若汽x)有兩個零點，求實數a的取值范圍.

［解析］(l)f(x)=2e2x-(2a+2)ex+2a=2(ex-l)(ex-a),

"."a<0,

e%—<7>0,

令/(x)=0,解得x=0,

當x>0時，f(x)>0,當x<0時，f(x)<0,

二函數在(一8,o)上單調遞減，在(o,+8)上單調遞增.

(2)由(1)知，①當。<0時，函數人X)在(一8,0)上單調遞減，在(0,+8)上

單調遞增，

=A0)=l-(2a+2)+0=-2tz-l,

當為一一8時，1》)—+8,當+8時，汽x)f+oo,

..7")有兩個零點,

.*.y(x)min=-2a—1<0,解得一］<a<0,

②當a=0時，>(x)=e2x—2ex=0,解得x=ln2,只有一個零點，不符合題意，

③當。>0時，由(1)知，(x)=2(ex—l)(ex—a),

當—8時，—8,當X—十8時，五X)一+8,

令，(x)=0,解得x=0,或x=lna,

當0<tz<l時,Ina<0,

在(-8,ina),(0,+8)上單調遞增，在(Ina,0)上單調遞減，

.極小值—y(0)=—2a—1<0,五％)極大值=y(lna)=一/一2a+2alna<0,

二函數兀0只有一個零點，不合題意，

當<7>1時，Ina>Q,

在(一8,0),(Ina,+8)上單調遞增，在(0,Ina)上單調遞減，

極大值=/(0)=—2a—1<0,函數“￥)只有一個零點，不合題意，

當a=l時，f。)=2(3一l)(e》一1)三0恒成立，

??/x)在R上單調遞增，函數五x)只有一個零點，

綜上所述：汽X)有兩個零點，則a的取值范圍為(一；，0；

B組能力提升

1.(2023河北邢臺一模，21)已知函數外)=。。+1—2j+資一5

⑴當a=l時，求人為的極小值；

(2)若人x)有兩個零點，求實數a的取值范圍.

［解析］(1求>)的定義域為(一8,十8),

當a=1時，f(x)=2e2x+1—2ex+1+2e%—2

=T(eJl)(4e'+1+1),

令，(x)=0,解得x=0.

當x變化時，f(x),於)的變化情況如表:

X(—8,0)0(0,+°0)

f(x)—0+

1

於)單調遞減2-e單調遞增

因此，當x=o時，1工)有極小值，極小值為y(o)=T—e.

(2)f(x)=2tze2x+1—2ev+1+^ex—1=,1(tzex—l)(4e'+1+1),

①若aWO,則，(x)<0,所以/(x)在(一8,+8)上單調遞減，八工)至多有一

個零點.

②若。>0,令/(x)=0,解得x=—Ina

當x@(—8,一也公時，，(%)<0；當xG(—Ina,+8)時，，(x)>0,所以

八工)在(一00,—Ina)上單調遞減，在(一Ina,+8)上單調遞增.

11

所以當％=—In〃時，危)取得極小值，即最小值，為八一lna)=1—,e+］lnQ.

當〃=e時，由于八一lna)=0,故火x)只有一個零點；

lei

當〃￡(e,+8)時，由于￡+/lna>(),即八一lna)>0,故危)沒有零點；

當〃￡(0,e)時，2—,+1ln〃<0,即—lna)<0.

2

Ina<l,即一Ina>—1>—2且—2)=^3+^2+1—~>0,

故於)在(一8,—In〃)有一個零點.

l2e

且

In-a>—Ina,

先證x>0時In1.

設機a)=in%一(1—1),則機/(x)=

當0<x<l時，m'(x)>0,當x>l時，m'(x)<0,

故皿x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減.

當％=1時,機(x)取到最大值皿1)=0,

故x>0時Inx^x~1.

(2e\4e3—4e2,12e^4e3—4e2,l<2e、4e3—4e2—e.

J\—aJ-----a-----+e-712n—a2------a-----+e—2\—a—1)=--------a-------+e

+T>0,

因此於)在(一ln〃，+8)上有一個零點.

綜上，。的取值范圍為(0,e).

%2

2.(2023?廣東茂名二模，21)已知函數於尸5+lnx—2依，〃為常數，且Q>0.

(1)判斷火防的單調性；

⑵當0<〃<1時，如果存在兩個不同的正實數相，〃且加n)+/(〃)=1—4〃，證

明：m+n>2.

［解析］(1)?.7(x)=E+lnx-2ax,

.?1x2—2tzx+1?

f(x)=x+~—2a—~,x￡(0,+°°),

記g(x)=x2—2(2%+1,

①當』=4Q2—4W0,即0<QW1時，g(x)=x1—2ax-\-1^0恒成立，所以

fa)eo在(o,+8)上恒成立,

所以八工)在(0,+8)上單調遞增.

②當』=44—4>0,即〃>1時，方程有兩個不等實根，

2〃一444一4/—：2〃+74〃2—4/—r

且％1=2=a—y^a—1>0,X2=?=a+^cr—1>0

\/x^(0,。一7。2一1),X2—2(7%+1>0,f(x)>0,火工)單調遞增,

Vx(<7—y］a2—l,a+y/a2—1),x2—2ax+l<Q,f(x)<0,?x)單調遞減,

Vx((2+yja2—1,+°°),x2—2(2%+1>0,f(x)>0,?x)單調遞增.

綜上所述：①當0<QW1時，八%)在(0,+8)上單調遞增，

②當a>l時，火幻在(0,Q一1/―1)和(〃+。〃2—1,+8)上單調遞增，在(Q

—yja2—1,〃+，〃2一1)上單調遞減.

(2)證明：=3—2d

/.^?)+?=1-4?=2/(1),

由⑴可知0<a<l時,於)在(0,+8)上單調遞增,

故不妨設0<"2<1<72,

要證根+〃>2,即證〃>2—m>l,

又：當0<。<1時，於)在(0,+8)上單調遞增,

只需證火〃)次2—m),

又+洲〃)=1一4。，

?,?只需證1—4a——m),

即證/(m)+/(2—m)<l—4a(0<m<1),

記尸(1)=%)+八2一%)，xe(0,l),

112(%—1)3

F(%)=/(%)―/(2—%)=%+、-2Q—(2—X)—-x(2—x)'

.??當xG(0,l)時，/(x)>0恒成立，R(x)單調遞增,

/.F(x)<F(l)=2/(l)=l-4o,

???原命題得證，即加+〃〉2提能訓練練案［22］

A組基礎鞏固f

一、單選題

1.若a是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是(C)

A.90°—aB.90°+a

C.360°-aD.180°+a

［解析］由題意逐一考查所給選項即可求得最終結果.若a是第一象限角，

則：90。一a位于第一象限，90。十&位于第二象限，360。一a位于第四象限，180。

+a位于第三象限，故選C.

2.(2024.吉林長春模擬預測)2022年北京冬奧會開幕式倒計時環節把二十四

節氣與古詩詞、古諺語融為一體，巧妙地呼應了今年是第二十四屆冬奧會，更是

把中國傳統文化和現代美學完美地結合起來，彰顯了中華五千年的文化自信.地

球繞太陽的軌道稱為黃道，而二十四節氣正是按照太陽在黃道上的位置來劃分

的，當太陽垂直照射赤道時定為“黃經零度”，即春分點，從這里出發，每前進

15度就為一個節氣，從春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏等等.待運行一

周后就又回到春分點，此為一回歸年，共360度，因此分為24個節氣，則今年

高考前一天芒種為黃經(B)

春分

寸有谷雨嚶㈣水立春一曲

小滿立基.Q-Q-

芒%Q-0小寒

Q

夏至6?冬至

小暑0F.

大雪

大暑-O-''O--O--o—O--二公小雪

立秋處暑白露晶寒露霜降立冬

A.60度B.75度

C.270度D.285度

［解析］春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，所以芒種為

黃經15X5=75度.故選B.

3.已知點P(tana,cosa)在第三象限，則角a的終邊在(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［解析］由題意知tana<0,cosa<0,根據三角函數值的符號規律可知，角a

的終邊在第二象限.故選B.

4.已知扇形的周長為100cm,則該扇形的面積S的最大值為(B)

A.100cm2B.625cm2

C.1250cm2D.2500cm2

［解析］由扇形的周長和面積公式都和半徑和弧長有關，可設出半徑和弧

長，表示出周長和面積公式，利用配方法即可求解，也可以應用均值定理求解.方

法一：設扇形半徑為「，弧長為/,則周長為2r+/=100,面積為5=權因為S

=1/r=1(100—2r)r=-r2+50r=—(r—25)2+625,所以當r=25時，5max=625；

11(SQ—r+八

方法二(應用均值定理)：S=]>=1(100—2r)r=(50—J2=625,當且

僅當50—r=r,即廠=25時等號成立，故選B.

5.已知角a的終邊經過點（如—2m）,其中mW0,則sina+cosa=（B）

A.巖B.土半

［解析］...角a的終邊經過點（加，—2m）,其中mWO,

m1

當m>0時,cosa-r--=/—,

75m75

sina+cosa

當m<0時,sina=

m1

,sinot+cosa—5，

sina+cosa=±*-,故選B.

6.（2023?濟南市三中摸底）設。是第三象限角，且cos|=-cos，，則,是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

/□g

［解析］...。為第三象限角，???5為第二或第四象限角.又?:cos2=-cos

2.Icos,vO,...￥是第二象限角.

「律，—!!在角。的終邊上，且。引0,2兀）,

7.（2023?山東威海月考）已知點

則e的值為（c）

A5兀2兀

A?TB.T

1171571

C.~6~D.T

［解析］因為點尸庫，一日在第四象限，所以根據三角函數的定義可知tan。

1

=/=一坐，又。?［0,2兀)，所以。=野.

2

8.(2024.浙江杭州市模擬)達?芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名，畫中

女子神秘的微笑數百年來讓無數觀賞者入迷，某愛好者對《蒙娜麗莎》的同比例

影像作品進行了測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角A,3處作

.2冗

圓弧所在圓的切線，兩條切線交于點C,測得A3=12.6cm,ZACB=y,則《蒙

娜麗莎》中女子嘴唇的長度約為(單位：cm)(C)

A.12.6B.4兀

C.4.2兀D,4.3兀

［解析］畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，如圖，設圓心為。，依題意,

OA±AC,OB±BC,O,A,C,3四點共圓，

2兀兀

'/ZACB=~Y，ZAOB=y

'：OA=OB91.△AOB為等邊三角形，：.OA=AB=12.6cm.

7T

：.《蒙娜麗莎》中女子嘴唇的長度約為。4><w=4.27i(cm).故選C.

二、多選題

9.下列各式中結果為正值的是(ACD)

37.37

A.sin1125°B.tan五msm五兀

C.:由?D.sin|-1|

tan5,1

[解析]確定一個角的某一三角函數值的符號關鍵要看角在哪個象限，確定

一個式子的符號，則需觀察構成該式的結構特點及每部分的符號.

對于A,因為1125。=1080。+45。，所以1125。是第一象限角，所以sin1

125°>0；

對于B,因為||兀=2兀+畏，則H兀是第三象限角，

37

所以tan故tan適msin

對于C,因為5弧度的角在第四象限,

sin5

所以sin5<0,tan5<0,故翟7>°；

IdllJ

jrjr

對于D,因為W<1<2，所以sin|T|>0.

10.(2023?吉林長春普通高中模擬改編)若角a的頂點為坐標原點，始邊在x

軸的非負半軸上，終邊在直線x+y=0上，則角a的取值集合是(AD)

A.=或a=2far+竽，左?z]

B.jaa=2Mr+普，左?z]

C.laa=kn~\~^,Zj

D.jota=kn—^,左?z[

3兀

[解析]因為直線尤+y=0的傾斜角是彳，所以終邊落在直線尤+y=0上的

角的取值集合為jaa=2kji—^或a=2kii+彳，或

jota=kn—^,左?z].故選AD.

11.在平面直角坐標系xOy中，角a以x的非負半軸為始邊，且終邊經過點

P(—Lm)(/7i>0),則下列各式的值一定為負的是(CD)

A.sinot+cosaB.sincosa

sma

C.sinacosatana

［解析］由已知得r=\OP\=yJm2+l,則

<0,tana=—m<0,則sina+cosa的符號不確定，sina—cosa>0,sinotcosa<0,

sina八u、小―

而/cosa<0.故選CD.

三、填空題

12.2025。角是第三象限角,與2025。角終邊相同的最小正角是225。，

最大負角是一135。.

［解析］因為2025。=6乂360。―135。，所以2025。角的終邊與一135。角的終

邊相同.所以2025。角是第三象限角，與2025。角終邊相同的最大負角是一135。.

又一135。+360。=225。，故與2025。終邊相同的最小正角是225。.

13.已知角a的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內（不包括邊界），則角a用

集合可表示為Jg<a<2E+景.?z］_.

［解析］:.在［0,2兀）內，終邊落在陰影部分角的集合為仔，焉，..?所求角的

集合為"2防r+曰<a<2防i+/,%￡Z

14.如圖所示，角的終邊與單位圓交于第二象限的點A^osa,I）,則cosa

7

=

—sina=5

一

2

［解析］由題意得以九2。+仁『=1,cosa=^.Xcosa<09所以cosa=—g,

3、7

又sin。=5，所以cos?—sina=一1

15.《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出

計算弧田面積所用的經驗公式；弧田面積=；（弦X矢十矢2）.弧田（如圖）由圓弧

和其所對弦所圍成，公式中，“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心

2兀

到弦的距離之差.現有圓心角為冷，半徑等于4nl的弧田，則矢是2m,所得

弧田面積是4、石+2nA

［解析］根據題意畫出圖形，結合圖形利用直角三角形的邊角關系求出矢和

2兀

弦的值，代入公式計算求值即可.如圖所示，由題意可得：ZA0B=y,0A=4,

JT7TI1

在中，可得：ZAOD=^。=。=可得：

39ZDAO=oT,027A25*4=2,

矢=4-2=2,由AD=AOsing=4X坐=2#,可得：弦=2A￡）=44,所以：

弧田面積=；（弦X矢+矢2）=|X（4V3X2+22）=4小+2.

16.函數y=^/2sinx—1的定義域為_26兀+,，2防r十m（左?Z）

［解析］'/2sin%—120,/.sin

由三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍（如圖陰影部分）.

兀5兀

?二%￡2E+不2kn~\~石（kRZ）.

B組能力提升

1.（多選題）下列結論中正確的是（BCD）

4

A.若角a的終邊過點P（3匕4左）（左W0）,則sina=5

B.若a是第一象限角，則段為第一或第三象限角

C.若扇形的周長為6,半徑為2,則其圓心角的大小為1弧度

D.若0<a<5，貝!Jsina<tana

4

［解析］當左=—1時，P（—3,-4）,則sina=一5，故A錯誤；

兀

?：2kii<a<2kji+1,左GZ,

?二左兀<,<左兀+^，k^Z,

若為第一或第三象限角，故B正確；

I6—4.

\a\-~——2-=1，故C正確；

兀sincc

，臺臺,故正確.

0<a<z5sina<tanasina<cosacosa<lD

2.設集合〃="=亨180。+45。，kGZA^=|xk=1180o+45°,左?Z；,

那么（B）

A.M=NB.MUN

C.N匚MD.MCN=0

［解析］由于〃中，龍=/180°+45°=k90°+45°=（2左+1）45°,2k+l是奇

數;而N中，工=亨180°+45°=左45。+45。=（1+1）45°,左+1是整數,因此必有

M屋N.

3.（多選題）（2023?唐山模擬）函數危尸翡+苦言+器的值可能為（BC）

A.1