專題05立體幾何

考點01空間幾何體

1.（24-25高三上?河北唐山?期末）如圖，在三棱柱ABC-4再￡中，CG_L平面ABC-AB=BC=CA=2,

?！?0,則三棱柱48<^-4片6的體積為（）

A.與B.V2C.2及D.3拒

【答案】B

【分析】根據條件求出AA5G的面積，把求三棱錐G-ABC的體積轉化成求三棱錐C-ABC的體積，再根

據咚棱=3咤棱錐G-ABC的關系進行求解.

【詳解】???平面ABG，

CCT【ACI，CC\-LBQ,

,/AB=BC=CA=2,CQ=V2,

:.ACi=BCi=y[^i=拒,

「.△AGB是等腰直角三角形，

■?■^,=^^.5^=1x72x72=1,

一吟棱錐G—ABC=吟棱錐C—ABC1=|xCCrS^,=1x72x1=^,

所以咚棱ttABC-4BIG=3咚棱雒q-ABC=3X—=3，

故選：B.

易錯分析：求幾何體的體積時，若幾何體是規則圖形可直接利用公式求解，若幾何體是不

規則圖形，可考慮用“割補法”求解.

2.（24-25高三上?北京順義?期末）某同學在勞動實踐課中，用四塊板材制作了一個簸箕（如圖1）,其底面

擋板是等腰梯形，后側擋板是矩形，左右兩側擋板為全等的直角三角形，后側擋板與底面擋板垂直.簸箕

的造型可視為一個多面體（如圖2）.若AB=24cm,CD=30cm,AE=15cm,AB與CO之間的距離為28cm,

則該多面體的體積是（）

圖1

A.5040cm3B.5250cm3

C.5460cm3D.5670cm3

【答案】C

【分析】將幾何體的體積轉化為四棱錐和三棱錐的體積后可得正確的選項.

【詳解】

因為四邊形ABEE為矩形，故而平面平面A3C。,

平面ABFEfl平面=AEu平面ABFE,

故平面ABCD,

在平面ABC。中過A作AS_LOC,垂足為S,則AS_LAB,

同理可證AS1平面國，

11,

而AS=28,=jxl5x—x28x30=2100cm,

13

3

VCr-A,tRfrFCFj=-3x28x24xl5=3360cm,

故幾何體的體積為5460cm3,

故選：C.

3.（24-25高三上?江蘇?階段練習）若在長方體A3CZ）-AB|G2中，48=3,30=1,4^=4.則四面體ABB?

與四面體AGBD公共部分的體積為（）

A.2B.3C.2D,1

13393

【答案】C

【分析】先確定兩個四面體的公共部分，再利用錐體的體積公式求體積.

【詳解】如圖:

取A片與A出的交點為E,取3。中點G,連接AG,交AG于點月,

則三棱錐即為四面體與四面體AGBD的公共部分.

因為SABr=~xABxBC.=-X3XV1+16=^^.

△ADCJ2J2<2

AFAG11__723、所,—

乂FC[=4cI=/'所以S?ABF=1S3；G，所以S?BFG=]SAABG=]Xp—=JF7.

過耳作用于點M,

因為AB,平面BCG4，耳Mu平面BCCRi，所以42,用M.

因為AB,BCu平面ABC-所以與ML平面ABC1.

1x444、百

所以與”為耳到平面ABG的距離，其值為%^=去=普

拒17

點E為A耳的中點，所以點E到平面ABG的距離為：lxWn=2^7

21717

所以/BFC=-X>/F7X^1=-.

E-BFG3173

故選：C

【點睛】方法點睛：幾何圖形的公共部分和體積計算：通過分析兩個幾何體公共部分的幾何位置，逐步構

造關鍵點，利用三角形面積和錐體體積公式，最終得出公共部分的體積，此方法清晰有效，能充分展示邏

輯推理與代數運算等解題技巧.

4.（24-25高二上?貴州遵義?階段練習）如圖，這是正四棱臺被截去一個三棱錐后所留下的幾何體，其中

AB=M=4,4。=2,則該幾何體的體積為（）

A.竺叵B.竺近C.26V15D.26A/14

33

【答案】A

【分析】由正四棱臺的性質，可求得正四棱臺的高，從而可得正四棱臺的體積.補全圖中幾何體可知截去的

三棱錐的底面為三角形ABC一高為正四棱臺的高4后，從而可得截去的三棱錐的體積.兩者做差即可得到

題目中幾何體的體積.

222

MO=AE=ylAA^-AE=y/AAl-（AO-AiM）416-僅應一夜了=舊，

則該正四棱臺的體積為V=：（S上+S下+Js上5下）/z=|（4+16+V4X16）X=空普.

又由圖可知截去三棱錐底面積為S"qc,=；x2x2=2,

所以三棱錐體積為Asc4E=Lx2xJiZ=2叵，

即所求幾何體體積為型回-叩=跑叵.

333

故選：A

5.（24-25高三上?吉林長春?期末）若圓臺上、下底的面積分別為兀，4K,高為2,則圓臺的側面積為（）

A.—7TB.—C.3氐D.士反

332

【答案】C

【分析】利用給定條件結合圓臺側面積公式求解即可.

【詳解】因為圓臺上、下底的面積分別為兀，471,設上底半徑為外，下底半徑為小

所以跖2=兀，兀4=4兀，解得a=1,弓=2（負根舍去）,

設圓臺母線為/,由勾股定理得、亞二=石，且設圓臺側面積為S,

故5=扃（1+2）=3后，故C正確.

故選：C

易錯分析：空間幾何體的面積問題要注意區分表面積和側面積的區別.

6.（24-25高三上?重慶?期末）在正四棱臺ABCD-ABCR中，AB=2,AB=4,且正四棱臺存在內切球，

則此正四棱臺外接球的表面積為（）

.65049C657130門。

A.—7iB.—71C.-----------JiD.8兀

2224

【答案】A

【分析】由內切球切點的截面性質，確定內切圓的圓心與半徑，從而結合勾股定理得四棱臺的高度，再由

外接球幾何性質建立關系得外接球的半徑，從而得所求.

【詳解】因為正四棱臺內切球存在時，內切球大圓是圖中梯形〃LN的內切圓，圓心為E,

設上下底面的中心分別為。.

過后作歷,幅于尸，連接EN,EL,

由圖可知QE=EF=EO2,

則;VL=Nr+FL=Q1N+O2L=g(/N+JL)=gx(2+4)=3,

2

過N作NKLJL于K,O,O2=NK=^Nl3-Kl3=J3-f=2五,

即四棱臺的高為2夜，

設外接球球心為0,設外接球的半徑為R,

則QU=。。+°°2=Ja。?-A。；+飛OA2-AO；

=+JR2_RG2=2近，

解得R,26=5￥，

O

則外接球表面積為dnF=等.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：關于正四棱臺的內切球問題，關鍵是要通過截面法確定內切圓的圓心與半徑，從而

轉換為幾何體的內切球，由幾何性質確定正四棱臺的高度，從而再根據外接球的性質求解外接球半徑，即

可得所求。

7.（2025高三?全國?專題練習）如圖，圓臺&。2內有一個表面積為1的球0,該球與圓臺的側面和底面均相

切，則該圓臺的表面積的可能取值為（）

【答案】A

【分析】設圓臺的下底面半徑為（，上底面半徑為馬，球。的半徑為R,根據幾何體的特征可得&=

33

根據基本不等式可得5,＞|S2=從而可得正確的選項.

【詳解】不妨設圓臺的下底面半徑為上底面半徑為球。的半徑為R,

如圖，作出圓臺的軸截面ABC。，過點。作小，BC于點下，

由題意知圓。與梯形ABCD的四條邊均相切，則OC=儀。+。夕=&+々，

AO2D

OiF

又DC=yjDF2+CF2=，4玄+(a-々J

22

故梆+(4_j=n+r2,化簡可得R=rtr2,

設圓臺與球的表面積分別為，，邑,

H_兀廳+碎+億+2）（4+幻］2±豆土返＞勤2=」，（4＞小故取不到等號）

貝」--=------------5---------------------

S24成22弓&2弓&2

3337t437r3兀

故GJ1由于5,P產不大于萬，/屋故圓臺的表面積的可能取值為引

故選：A.

【點睛】思路點睛：解決幾何體與球相切問題的基本邏輯是找空間關系或找一個特殊截面，將問題轉化為

平面問題進行解決.求內切球半徑的兩種方法：①等體積法，先將幾何體的內切球球心與幾何體各個頂點

用線段連接，運用等體積法就有丫=：5/+：昆廠+…（H，星,…為幾何體各表面的面積），于是就有

其中「為幾何體內切球的半徑，V為幾何體的體積，S為幾何體的表面積；②平面化，通過找特殊截面（一

般為球的截面剛好與幾何體截面相切的截面），將立體幾何問題轉化為平面問題，從而通過求得某幾何圖形

的內切圓半徑，求出原問題中內切球的半徑.

8.（24-25高三上?廣東茂名?階段練習）已知圓臺。?！愕纳?、下底面圓的半徑分別為1和3,母線長為6,且

該圓臺上、下底面圓周上的點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.24兀B.36兀C.48兀D.547r

【答案】D

【分析】求出圓臺的高，球心在上、下底圓心的連線上，利用勾股定理建立等量關系，求出球心位置，即

可得到球的半徑，從而解出球的表面積.

【詳解】取圓臺。。2的一條母線筋，連接AQ、B02,

過點A在平面AB。?。內作垂足為點E,如圖：

匕

；

匕

由題意可知，四邊形為直角梯形，且Ag=l,BO2=3,AB=6,

因為AO1必。2，AE1BO2>°1°2BO2-

所以四邊形AEO?。1為矩形，所以。2石=401=1,則BE=BQ-aE=3-1=2,

所以A￡=/4k_旅7?—展=4日

設OC\=x,貝1]0。2=4忘-x,

因為圓臺的上、下底面圓周上的點都在同一個球面上，

所以應一無『="左,解得x=平，

則球的半徑為r=.:史,

2

7

2

故該球的表面積為5=4無/=4TTX=54兀.

故選：D.

易錯分析：空間幾何體的外接球問題要注意先確定球心位置，然后根據截面圓半徑、球半

徑'球心距組成的直角三角形求解.

9.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）已知三棱錐S-ABC的側棱長相等，且所有頂點都在球的球面上，

其中&4=2,AB=l,AC=2,/JBAC=60。，則球的表面積為（）

A."NB.16JIC.3兀D.4兀

3

【答案】A

【分析】由三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，結合余弦定理可得的長，從而得

于是可得VA2C截球。所得的圓。?的半徑「，由此能求出球。的半徑，從而能求出球。的表面積.

【詳解】

如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，

AB=l,AC=2,ABAC=60",

由余弦定理得BC-VAC2+AB2-2AC-AB-cos60°=^4+l-2x2xlx|=73,

:.AB2+BC2=AC2,則AB_L3C,

:.AABC截球0所得的圓。i的圓心。i為AC的中點，半徑r=|AC=l,

由于三棱錐S-43c的側棱長相等，所以Q,O,S共線，且SOJAC,

.'.SQ=7&42-AQ2=74^1=73.

設球的半徑為R,由尺2=依-氏）2+/得：R=當.

：.球。的表面積S=4兀&=—.

3

故選：A.

10.(24-25高三上?湖南株洲?期末)已知長方體的長，寬，高分別為仇3,連接其各面的中心，得到一個

八面體.已知該八面體的體積為8,則該長方體的表面積的最小值為.

【答案】80

【分析】由已知條件作出示意圖，可以把八面體分成兩個同底等高的四棱錐，并且得出四棱錐的底面積和

高與長方體的關系，，從而可求得必=16,再由長方體表面積公式，利用基本不等式，即可求得長方體表面

積的最小值.

【詳解】

如上圖所示，

八面體分成兩個同底等高的四棱錐-。2。3。4。5和四棱錐Q-。2。3。4。5，

所以咚=*《8=4，

因為四棱錐。「。2。3。4。5的底面面積是長方體底面面積的一半，高是長方體高的一半，

113

所以%一。必。"。5=§'(5浦"5=4,化簡得：必=16,

所以長方體的表面積為：

S=2(ab+3b+3a)=2x[16+3(。+〃)]=32+6(a+))>32+6x2y/ab=32+12x^/16=80

當且僅當a=〃=4時，取等號，所以長方體的表面積的最小值為80.

故答案為：80.

11.(24-25高三上?山東淄博?期末)已知三棱錐S-45C的底面A8C是邊長為2的正三角形，點A在側面

S8C上的射影H是LSBC的垂心,三棱錐S-ABC的體積為石,則三棱錐S-ABC的外接球半徑等于.

【答案】弓31

lo

【分析】做輔助線，根據題意結合垂直關系可證3C_LAG,同理可得AC，8G,4?，CG,可知點G為VA2C

的垂心，即可知點G為VABC的中心，根據體積可得PG=3,結合外接球的性質列式求解即可.

【詳解】延長S”交3C于點。，連接AD,

s

因為點"是ASBC的垂心，則SDL3C,

又因為平面SBC,BCu平面SBC,則AH_LBC,

且=S￡?,AHu平面&W,可得平面&4D,

由SA,ADu平面&4D,可得BC_LSA,BCLAD,

且底面ABC是邊長為2的正三角形，則點。為2C的中點，

過點S作SGL平面ABC,垂足為點G,

且3Cu平面A3C,可得SGL3C,

1.ASISG=S,AS,SGu平面&4G,可得BC_L平面&4G,

由AGu平面5AG,可得3C_LAG,

同理可得AC，BG,AB，CG,可知點G為VA3C的垂心，

因為VABC為等邊三角形，可知點G為VABC的中心，

則GeAD,且AG=2AO=M,

33

因為三棱錐S-ABC的體積為;SGxgx2x^=道，可得SG=3,

可知三棱錐S-ABC的外接球的球心OeSG,設三棱錐S-ABC的外接球的半徑為R,

431

則汗=彳+（3-四一9，解得尺=2，

3lo

所以外接球的半徑為弓31.

18

31

故答案為：—.

1O

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法

1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把

空間問題轉化為平面問題求解；

2.正方體的內切球的直徑為正方體的棱長；

3.球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；

4.利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置,

弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.

考點02點線面的位置關系

1.（24-25高三上?天津?階段練習）已知機，/是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則的一

個充分條件是（）

A.mil,mu0,I工aB.m工I,ac/3=l,mua

C.m//I,mA.a,IL/3D.I-La,mlH,mlIP

【答案】D

【分析】對A,a與6相交或平行；對B,a與夕可能相交但不垂直；對C,可推出八對D,可得,

結合機///，得到答案.

【詳解】對于A,由加，相u〃，/1?,則a與￡相交或平行，故A錯誤；

對于B,由〃z_L/,a[\P=l,mua,則a與夕可能相交但不垂直，故B錯誤；

對于C,由加〃/,，篦_1_/，1^-/3,則tz//Q,故C錯誤；

對于D,由/_!_?r,mlH,則又機//方，則al?分，故D正確.

故選：D.

易錯分析：利用空間中的平行、垂直問題時，一定要注意判定定理成立的前提條件.

2.（2025?云南昆明?模擬預測）設機，”是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若ml/a,mlI/3,則a〃9B.若mlla,a11（3班ml10

C.若根_L〃,77z_La；,"_L6，則C-L尸D.若a，/3,m/la,nl1B,則〃2_1_力

【答案】C

【分析】利用空間中線線，面面的位置關系判斷即可.

【詳解】對于選項A：若根///根//月，當根，兒都平行于％方的交線時.滿足條件，此時兩個平面名尸相交.故

A錯誤.

對于選項B:若加///夕〃/?,則有可能77ZU/,故B錯誤.

對于選項C：若加_1_“,根_1_々，則〃//a或"ua,又因為〃_Lp,如果〃ua根據面面垂直的判定定理可得

a，/3；如果〃〃a,假設過〃作平面/與a相交于直線/,由〃〃a,可得〃〃/,因為〃，尸，所以/，夕，

而/ua,根據面面垂直判定定理即可得到故C正確

對于選項D：地aLB，m〃a,nHB，則，"，〃可能平行或異面.故D錯誤.

故選：c

易錯分析：平行關系的辨析問題，容易忽略直線在平面內這一特殊位置而致錯.

3.（24-25高三上?天津河北?期末）已知a,￡是兩個平面，/,加是兩條不同的直線，則下列說法正確的是

（）

A.若m"a,ILa,則B.若m〃a,aY./3,則〃

C.若7〃_La,IVm,則/〃aD.若a〃尸，mLa,則"2_L/?

【答案】D

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系逐一判斷四個選項得答案.

【詳解】對選項A,若〃z//a,ILa,則〃z_L/,故A錯誤；

對選項B,若加〃ar,a，/3,則加//￡,wiua,或機與a相交，故B錯誤；

對于C,若機_1_夕，/_!_〃?，貝！J///a或/ua,故C錯誤；

對于D,若a"（5,mLa,則,

即一條直線垂直于兩平行平面中的一個，也垂直于另一個，D正確.

故選：D

4.（24-25高三上?天津北辰?期末）已知%月是空間中的兩個不同的平面，I,m,〃是三條不同的直線.下列

命題正確的是（）

A.若“zua,”ua,/〃，貝?。?_LaB.若mua,nuB，mLn,則a_L/7

C.若1//m,mua,貝！|///aD.若/〃a,則

【答案】D

【分析】對于A：根據線面垂直的判定定理分析判斷；對于B：根據面面垂直的判定定理分析判斷；對于C：

根據線面平面的判定定理分析判斷；對于D：根據平行關系可知”例，再結合線面垂直的性質分析判斷.

【詳解】對于選項A：根據線面垂直的判定定理可知：需保證加，〃相交，故A錯誤；

對于選項B：根據面面垂直的判定定理可知：需推出線面垂直，現有條件不能得出，故B錯誤；

對于選項C：根據線面平面的判定定理可知：需保證/aa,故C錯誤；

對于選項D：若I/,則///”,

且/_La,所以〃_l_a,故D正確；

故選：D.

5.（2024?山東?模擬預測）設a是空間中的一個平面，/，九〃是兩兩不重合的三條直線，則下列命題中，真

命題的是（）

A.若mua,nua,l,貝

B.若/_La,/則m//tz

C.若///私7"_La,"_Lc,貝

D.若11/m,m//n,Ha,貝iJ〃_La

【答案】D

【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A；結合線面垂直與線線垂直的性質分析可判斷B；由線面垂直性質

可判斷C、D.

【詳解】對于A,由l_Lm,l^n,只有直線機與〃相交時，可得/_La,故A錯誤；

對于B,由/_La,/_L7〃，知加〃（Z或〃7U6Z,故B錯誤；

對于C由〃/,則〃/”,故C錯誤；

對于D,由/〃％,/_La,可得M7_L（z,又因為加〃”，所以〃_L<z,故D正確.

故選：D.

6.（24-25高三上?河北邢臺?階段練習）已知。，￡是兩個互相平行的平面，I,加，〃是不重合的三條直線，

且/_1_a，機Utz,〃u￡,則（）

A.ILnB.m±nC.IlinD.mJIn

【答案】A

【分析】根據空間線面位置關系的有關判定、性質定理，可得正確結論.

【詳解】因為all。，11a,所以

又mua,nu0,所以/_L〃z,ILn,

機，〃平行或異面.

故選：A

7.（24-25高三上?天津和平?期末）已知加，〃為兩條不同的直線，a,￡為兩個不同的平面，則下列說法

中正確的是（）

A.若mlla,"ua,則加〃〃B.若mJLa,ml/（3,則a_L/7

C.若加,c,mLn,則〃//aD,若mlla,al!f3,則6

【答案】B

【分析】根據空間中線線、線面、面面的位置關系一一判斷即可.

【詳解】對于A：若m//a,wua,則加/〃或m與，異面，故A錯誤；

對于B：在月內任取一點尸，設點P與直線加確定一個平面/,且6c/=A:,

由加〃刀，由線面平行的性質定理，可得m//k,

因為機_L（z,所以Z_La,因為ku￡,所以a_L〃，故B正確;

對于C：若機_L（z且,則〃〃"或〃在a內，故C錯誤；

對于D：若m//e,alip,則加//尸或加u4,故D錯誤.

故選：B.

8.（24-25高三上?山東?階段練習）已知a,分為兩個不同的平面，/,加為兩條不同的直線，則"」方的一個

充分不必要條件可以是（）

A.優與夕內所有的直線都垂直B.a1/3,ap|尸=/,

C."?與￡內無數條直線垂直D./J_a,，用_L（z

【答案】D

【分析】A項由線面垂直定義可知；BC項在長方體中舉反例可知；D項由推證可得充分性，必要性顯然不

成立.

【詳解】A項，由直線與平面垂直的定義可知/與夕內所有的直線都垂直是根，〃的充要條件，選項A錯；

B項，根據面面垂直的性質定理，缺少條件機ua,

如圖長方體ABCD-中,

設平面4片CQ1為平面設平面A為平面夕，直線聲為機，

則an〃=AA=/，滿足a_L/?,?0/?=/,m±l,

但加u〃，不與平面夕垂直，故不能推出機

故條件=根，/”也不是機，尸的充分不必要條件，選項B錯；

C項，如圖長方體ABCD-4瓦62中,

設平面4月G2為平面B,直線8C為加，

則直線正與平面夕內無數條與BC垂直的直線都垂直，但根//￡,不與平面￡垂直，

故由〃?與夕內無數條直線垂直不能推出根」耳，所以不是加」方的充分不必要條件，選項C錯;

D項，由/_La,I工B,得a〃尸，又因為租」/，所以機_L￡；

反之，由加推不出/_La,/±/?,m±a,

所以/_La,/，"，加，￡是"尸的一個充分不必要條件，選項D正確.

故選：D.

9.（24-25高三上?河北張家口?期末）已知a是一個平面，。涉是兩條不同的直線，ba,p:a±a,q:al.b,

則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由線面垂直的性質定理及空間中直線與平面的位置關系，結合充分條件與必要條件定義判定即可

得.

【詳解】若由6u（z,則；_L力；

若:_L力，則。與a可能垂直、可能相交也可能平行，還有可能。u平面a；

故P是4的充分不必要條件.

故選：A.

10.（24-25高三上?天津河西?期末）設“〃是兩條不同的直線，a,Q是兩個不同的平面，則下列說法中正確

的是（）

A.若加//。,力2//夕，則aup

B.^m±a,m±n,貝！］〃-L（z

C.若（z_L/,加_La,則機.///

D.若相_La,〃z//￡,則tz_L/?

【答案】D

【分析】根據各項給定的線面、面面的位置關系，結合平面的的基本性質及空間想象判斷正誤即可.

【詳解】A：若加//%，〃///，則a、夕可能平行或相交，故A錯；

B：若m則〃//（/或"ua,故B錯；

C：若a_L/?,7〃_Lar,則機//夕或加u，，故C錯；

D：若〃?_1_/根根〃夕，則存在直線附u￡,使得加//〃，

又加所以“_Le,所以a_L￡.故D對.

故選：D

II.（2025?上海?模擬預測）如圖，是正四棱臺，則下列各組直線中屬于異面直線的是（）.

A.AB和GA；B.A4和CG；C.和片。；D.4%和A8.

【答案】D

【分析】根據棱臺的性質及直線與直線的位置關系即可判斷.

【詳解】因為ABCD-4與62是正四棱臺，所以AB//A再〃G2,故A錯誤，

側棱延長交于一點，所以9與CG相交，故B錯誤，

同理8月與。2也相交，所以四點共面，所以8R與BQ相交，故C錯誤，

4,與A3是異面直線，故D正確.

故選：D

12.（2025高三?全國?專題練習）在正方體A8C。-中，下列選項錯誤的是（）

A.A片與2c異面B.BQAAG

C.平面AC。//平面A2GD.42,平面瓦RC

【答案】D

【分析】根據異面直線的性質即可求解A,根據線面垂直的性質可判斷B,根據線線平行可證明線面平行判

斷D,根據面面平行的判定求解C.

【詳解】由于&月〃〃￡,而2c與z）G相交，結合正方體的性質易知A片與2c異面，所以A正確；

因為DR，平面A4GA,AGU平面A81GA,所以Z）D,±AG，

又在正方體中易知qR，AG，=

BA，2。u平面片?？?，所以4。，平面耳DR,

又BQu平面所以4G_L8Q,所以B正確;

因為AC//AC,ACu平面ACQ,AG/平面4C01，所以AG〃平面AC。],

又BC\〃AD\,ARu平面AC。，BG/平面AC%,所以BC"/平面AC。,

因為G，AG，JBGu平面A出G，

所以平面ACR〃平面A8G，所以C正確；

因為AB//，C,D]Cu平面D[B]C,48仁平面。田。,

所以48〃平面〃80,所以D錯誤.故選D.

故選：D

考點03空間角

1.（24-25高三上.甘肅白銀?期末）若ABC。-A4G2為正方體,則異面直線BQ與CD,所成角的大小為（）

A.-B.-C.-D.-

3428

【答案】A

【分析】由題意作圖，根據正方體的幾何性質，利用異面直線夾角的定義，可得答案.

【詳解】連接A2，AC,如下圖：

易知B￡〃A〃，所以為異面直線BG與CB所成的角（或其補角）,

7T

易知△AC0為等邊三角形，所以NADC=].

故選：A.

易錯分析：求異面直線所成角的方法一般有兩種：一是幾何法，即平移作角、通過解三角

形求解；二是向量法，即通過空間向量進行求解，無論何種方法都要注意異面直線所成角的范

圍為（0，^

2.（23-24高三上?江蘇南京?期中）已知矩形中，A8=1,8C=魚,E是邊BC的中點.AE和80交于

點/,將AABE沿AE折起，在翻折過程中當與垂直時，異面直線54和CD所成角的余弦值為（）

A.-B.-C.—D.-

64123

【答案】D

【分析】證明三角形相似得到進而證明出線面垂直，面面垂直，作出輔助線，得到或其

補角即為異面直線B'A和C。所成角，結合余弦定理求出答案

【詳解】如圖1,在矩形ABCD中，AB=1,BC=應,E是邊BC的中點,

“BEAB

故BE當故一=——

ABAD

又/BAD=/ABE=90°,i&NABE-.NDAB,所以NBAE=NAD3,

圖①圖②

如圖2,將AABE沿AE折起，點8的對應點為8',在翻折過程中，當A9與垂直時,

因為71￡^m，=4的,鉆匕平面鉆￡,所以MD_L平面ABE,

因為MDu平面AECD,所以平面平面AEC。，

因為8加_LAE,u平面AB'E,平面AB'E^平面AECD=AE,

所以B'M_L平面AEC。，

連接3'3，因為AB//C。，

所以NAAB或其補角即為異面直線3'A和CD所成角，

因為工4比8'=工人工8加，所以創/=且，

223

,則BB'=+B'M?=巫,又河=AB=1,

33

2?

故cos/B,AB=AB?+Bd-B?="I->=2,即所求角的余弦值為:，

故選：D.

3.（24-25高三上?吉林?期末）正三棱臺ABC-DEF中，AB=2AD=2DE,G,H分別為AB,DE的中點,

則異面直線G〃，5F所成角的余弦值為（）

【答案】C

【分析】先做ET//GH,得出=再得出2尸=6,進而應用空間向量的線性表示及數量積公式

計算，最后應用異面直線所成角的向量法求解.

【詳解】

設AB=2AO=2DE=2,過點E做ET//GH,T是G8中點，

因為G,H分別為AB,￡>E的中點，所以G"_LAB,所以￡T_LM,

因為BT=g,BE=l,所以GH=ET=/^=",

7T

所以NTBE=g,因為正三棱臺ABC-￡?獷中，三個側面是全等的等腰梯形，

2兀

所以=BF2=l+l-2xlxlxcosZBEF=3,BF=y/3

所以麗?喬=-麗?麗=-lxlxcos/BE/=L,BEBG=lxlxcosZGB￡=-,

22

EFBG=-BCBG=lxlxcosZABC=-

22

又因為麗=回而_釬=/苑，BF=BE+EF，

所以麗.而=（而+麗）?1=BE2--BGBE+BEEF--BGEF=l--+---=l

222424

設異面直線G/Z,即所成角為0

\GH-BF\_1_2

所以cos。=

2

故選：C.

4.（2024?四川綿陽?一模）三棱柱A5C-4印7底面邊長和側棱長都相等.N&VQNC4A=60。，則異面

直線A4與5G所成角的余弦值為（）

A.且B.1C.逅D.逅

2236

【答案】D

【分析】由題意設通=7市"=瓦相"=己同=W=同=1，a,b=b,5^S,a^60°,ABl^a+c,BC[=-a+b+c,

由數量積的運算律、模的運算公式以及向量夾角的余弦的關系即可運算求解.

【詳解】

設AB=a,AC=瓦=|&|=|c|=1,

由題意扇B=b,c=c,a=60°,ABX=萬+稅BQ=-d+b+c,

|=\Ja2+c2+2a-c=V1+1+2-1-1-cos60°=^3,

|5q|=y]a2+b2+c2-2a-b-2a-c+2b^c=6，

AB]?BC]=(1+/)?(—u+/7+])=/??萬+/??}+/—萬2=—+—+1—1=1,

設異面直線陰與BCX所成角為凡則cose[cos例,時卜Q尸=乎.

故選：D.

5.（24-25高三上?云南昆明?階段練習）在三棱錐尸-ABC中，平面平面ABCAPAB是邊長為2道的

等邊三角形，VABC是直角三角形，且AC=3C,則E4與BC所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得R1與所成角的余弦值.

【詳解】設。是AB的中點，連接OP,。。，則OPLAB,OP=#@2一肉

由于平面上鉆，平面ABC且交線為AB,OPu平面上4B,

所以。尸，平面ABC,由于OCu平面ABC,所以OPLOC,

由于VABC是直角三角形，且AC=3C,

所以OC_LAB,且OC=A^,

由此以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

*0,0,3）,A（后0,0）,網一后0,0）,C（0,e0）,

PA=（V3,0,-3）,BC=（A^,73,0）,

PABC叵

則PA與8c所成角的余弦值為

|PA|-|BC|2島通

故選：A

6.（24-25高三上?四川宜賓?階段練習）在平行六面體ABC。-A耳G3中，

7T

ZDAB=ZA,AB=ZA,AD=-,AAi=3,AB=AD=2,則&G與平面ABCD所成角的正弦值為（）

AV6rV22rV22NA/6

11112233

【答案】B

__.null___,

【分析】證明4。是平面A5CD的法向量后，可得直線AG與平面ABCD所成角的正弦值即為AG與4。所

成角的余弦值，借助空間向量夾角公式計算即可得.

【詳解】

連接ACBD,ACc9=O,。為BD的中點,

AB-AD=2x2xcos—=2x2x—=2,

32

AB?AA^=2x3xcos(=2x3x：=3,

AD?A4j=2x3xcos[=2x3xg=3,

AQ=AC-^-CQ=AC-i-A^=AB^AD+A^f

故陽=“荏+而+麗)2=,網2+畫2+\^AA^+2AB-AD+2AB-AA^+2AD-AA^

=J4+4+9+4+6+6=y/33;

麗=而_麗=3而+g而一五

又麗.麗=市&福+；而_麗)=：網2+：福正_/陽

=2+1-3=0,

又近.而=彷1詬+3亞_羽)=.珂+3^.赤—訪麗

=2+1-3=0,

故AOJ.A3,^OlAD

又AO、ABu平面ABC。，且ADcAB=A,

故AO,平面ABCD,即即是平面ABCD的法向量，

ACl-Ald=^AB+AD+AAiy^AB+^AD-

=；|通『+荏.而通.甌+；|碼2_；亞.麗T網2

=2+2-3+2-9=-6

=J1+1+9+1-3-3=?

設AG與平面ABCD所成角為。

訴「，河?蒲16肥叵

故選：B.

vn?rj—?-

易錯分析：利用空間向量求線面角的公式是sin6=F，辦〃是異面直線的方向向量，不

rIH

要誤認為公式求出的是余弦值.

7.（24-25高三上?云南昆明?期中）在正方體ABCD-A瓦G2中，下列說法錯誤的是（）

A.AD11ACB.AA與30所成角為與

C.A，〃平面D.AQ與平面ACG所成角為方

【答案】D

【分析】設正方體ABCD-A耳G2的棱長為1，以點。為坐標原點，DA,DC,。，所在直線分別為x、y、

z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.

【詳解】設正方體ABC。-44^2的棱長為1,以點。為坐標原點，DA.DC、。，所在直

線分別為X、y、z軸建立空間直角坐標系，

則A(1,O,O)、*1,1,0)、c(o,i,o)、0(0,0,0)、A(1,0,1)、耳(1,1,1)、G(0,1,1)、A(0,0,1),

對于A選項，AD,=(—1,0,1),4c=(—1,1,—1),

貝1」畫?而=1+0—1=0,所以，AD]14。，A對；

_■?麗-11

對于B選項，兩二(1』,。)，則儂叫的人演眄=反&="，

所以，A2與3。所成角的大小為g,B對；

對于C選項，設平面80G的法向量為慶=&,%,4)，西=((U,1),

-?

m?DB=%.+￥,=0/、

則—.，取％=T,則用=1,一1,1),

m-DCi=yl+zl=0

則必?送=-1+0+1=0,所以，AZ^lm,

又因為ADy平面BDCi，所以，A，〃平面C對；

對于D選項，設平面ACC的法向量為西=(9,%/2)，西=(0,0,1),04=(1,-1,0),

ii-CC=z=0/、

則一9，?。?1，則為=(1,1,0),

n-CA=x2-y2=0

所以，與平面ACJ所成角為為D錯.

6

故選：D.

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