第一節(jié)函數(shù)一、集合二、函數(shù)概念三、函數(shù)幾個特征四、反函數(shù)與復合函數(shù)五、初等函數(shù)六、雙曲函數(shù)1/46一、集合含有某種特定性質(zhì)事物總體；組成這個集合事物稱為該集合元素.元素a屬于集合M:元素a不屬于集合M:記作記作定義2/46集合表示法：列舉法描述法集合間關(guān)系:3/46例1：數(shù)集N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集它們間關(guān)系:例2不含任何元素集合稱為空集.比如,要求空集為任何集合子集.4/46運算設(shè)A、B是兩集合則交“AB”

{xxA且xB}并“AB”

{xxA或xB}差“A-B”

{xxA但xB}其運算律：補（余）

I-A其中I為全集（1）AB=BAAB=BA（2）（AB)C=A(BC)

(AB)=A(BC)（3）（AB)C=(AC)(BC)（AB)C=(AC)(BC)5/46注意（4）A與B直積AB

{(x,y)xA且yB}比如：RR={(x,y)xR且yR}表示xoy面上全體點集合RR常記為R26/46區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,7/46稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,以上都是有限區(qū)間，以下是無限區(qū)間：區(qū)間長度定義:兩端點間距離(線段長度)稱為區(qū)間長度.8/46鄰域:注意：鄰域總是開集。記作9/46常量與變量:在某過程中數(shù)值保持不變量稱為常量,注意常量與變量是相對于“自變量改變過程”而言.通慣用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值改變量稱為變量.常量與變量表示方法：用字母x,y,t等表示變量.10/46二、函數(shù)概念定義設(shè)x和y是兩個變量，D是一給定數(shù)集。假如對于每個數(shù)xD,變量y按照一定法則總有確定數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是x函數(shù)，記著y=f(x).數(shù)集D叫做這個函數(shù)定義域，X叫做自變量，y叫做因變量。11/46函數(shù)三要素自變量x因變量y對應(yīng)法則f1.函數(shù)定義域D2.函數(shù)對應(yīng)法則y=f(x)3.函數(shù)值域w={y|y=f(x),x

D}12/46注意：

如f(x)=lg2x

和g(x)=2lgx就不是同一個函數(shù)，為何？2．求定義域方法：應(yīng)用題由實際意義確定；形式題就是自變量所能取使算式有意義一切實數(shù)值。1.當兩個函數(shù)定義域和對應(yīng)法則都相等時，二者才是同一個函數(shù)。13/46假如在D中任取一個x,對應(yīng)函數(shù)值都只有一個，這種函數(shù)稱單值函數(shù)，不然稱多值函數(shù)。y=2x為單值函數(shù)，凡未作尤其說明，本教材提到“函數(shù)”都是指單值函數(shù)即為多值函數(shù)。y=x2比如，3.14/46M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)有界性:三、函數(shù)幾個特征15/462．函數(shù)單調(diào)性:xyo16/46xyo17/463．函數(shù)奇偶性:偶函數(shù)yxox-x18/46奇函數(shù)yxox-x19/464．函數(shù)周期性:（通常說周期函數(shù)周期是指其最小正周期）.20/46DWDW四、反函數(shù)與復合函數(shù)21/46

直接函數(shù)與反函數(shù)圖形關(guān)于直線對稱.22/46注意：1.直接函數(shù)定義域（或值域）是其反函數(shù)值域（或定義域）;2.單值函數(shù)反函數(shù)不一定是單值函數(shù)。如y=a+bx反函數(shù)為y=(x-a)/b。可解出反函數(shù)。（稱為直接函數(shù)）假如由x為自變量，y為因變量函數(shù)y=f(x)y為自變量,x為因變量函數(shù)則稱y=(x)

為y=f(x)

x=(y)記為:y=f-1(x)23/46

3．在區(qū)間I上定義單值且嚴格單調(diào)函數(shù)反函數(shù)在W={y

y=f(x),x∈I}上也是單值且嚴格單調(diào)函數(shù)。比如，y=x2在區(qū)間[0，+∞)上是單值且嚴格單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)也是單值且嚴格單調(diào)函數(shù)（在y=x2值域[0,)上）24/464.

把直接函數(shù)y=f(x)和反函數(shù)y=

(x)圖形畫在同一個坐標平面上，這兩個圖形關(guān)于直線y=x是對稱。25/46復合函數(shù)設(shè)有函數(shù)y=u2

和函數(shù)u=1-sinx,則y=(1-sinx)2是二者復合函數(shù)。普通地:若函數(shù)y=f(u)定義域為D1,U=φ(x)定義域為D2值域w2={uu=φ(x)x∈D2}且W2D1

,這么得到以x為自變量,y為因變量函數(shù)稱為由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)復合而成復合函數(shù),其中u稱為中間變量。函數(shù)還可進行三重，四重和多重復合。y=f[φ(x)],X

W2D126/46注意：條件W2D1

必不可少，不然兩個函數(shù)就不一定能組成一個復合函數(shù)。和u=2+x2就不能組成一個復合函數(shù)。(值域w2為[2,)，定義域D1為[-1，1])如y=arcsinu27/46五、初等函數(shù)基本初等函數(shù)28/461、冪函數(shù)29/462、指數(shù)函數(shù)30/463、對數(shù)函數(shù)31/464、三角函數(shù)正弦函數(shù)32/46余弦函數(shù)33/46正切函數(shù)34/46余切函數(shù)35/46正割函數(shù)36/46余割函數(shù)37/465、反三角函數(shù)38/4639/4640/46