吉林省長春市19中2025屆高三下4月考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數為偶函數，則的值為（）A． B． C． D．2．復數的實部與虛部相等，其中為虛部單位，則實數()A．3 B． C． D．3．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查．畫出頻率分布直方圖（如圖），根據直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區間[85，90）的車輛數和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，4．直線x-3y+3=0經過橢圓x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．5．某工廠只生產口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產量分別占、、），根據該圖，以下結論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產量最少B．這三年中每年抽紙的產量相差不明顯C．三年累計下來產量最多的是口罩D．口罩的產量逐年增加6．命題“”的否定是（）A． B．C． D．7．已知橢圓的短軸長為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點，若點為上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數滿足，且當時，.設在上的最大值為（），且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．9．設不等式組，表示的平面區域為，在區域內任取一點，則點的坐標滿足不等式的概率為A． B．C． D．10．已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．11．已知集合，，則（）A． B．C． D．12．記為等差數列的前項和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足,且,則______.14．二項式的展開式的各項系數之和為_____，含項的系數為_____．15．已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點.若（點為坐標原點）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為________.16．若變量，滿足約束條件則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念和提高生態環境的保護意識，高二年級準備成立一個環境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校的環保知識競賽.（1）設事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數，求的分布列和數學期望.18．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．且經過點(1，)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點，過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中D在x軸上方）．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若△AEF與△BDF的面積之比為1：7，求直線l的方程．19．（12分）已知中，內角所對邊分別是其中.（1）若角為銳角，且，求的值；（2）設，求的取值范圍.20．（12分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實數的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標系中，，，且滿足（1）求點的軌跡的方程；（2）過，作直線交軌跡于，兩點，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．22．（10分）如圖，在四棱錐中，側棱底面，，，，，是棱中點.（1）已知點在棱上，且平面平面，試確定點的位置并說明理由；（2）設點是線段上的動點，當點在何處時，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

利用三角函數的圖象變換求得函數的解析式，再根據三角函數的性質，即可求解，得到答案．【詳解】將將函數的圖象向左平移個單位長度，可得函數又由函數為偶函數，所以，解得，因為，當時，，故選D．【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及三角函數的性質的應用，其中解答中熟記三角函數的圖象變換，合理應用三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2．B【解析】

利用乘法運算化簡復數即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點睛】本題考查復數的概念及復數的乘法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.3．B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區間的頻率即可得到車輛數，同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區間的頻率為，∴在此路段上汽車行駛速度在區間的車輛數為：，行駛速度超過的頻率為：．故選：B．【點睛】本題考查頻數、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4．A【解析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F，得到左焦點為再由FC=2CA，求得A3【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經過橢圓的左焦點F，令所以c=3，即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=因為FC=2CA，所以FA=3又由點A在橢圓上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于e的方程，即可得5．C【解析】

根據該廠每年產量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據每年口罩在該廠的產量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】由于該工廠年至年的產量未知，所以，從年至年棉簽產量、抽紙產量以及口罩產量的變化無法比較，故A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產的口罩占該工廠的總產量的比重是最大的，則三年累計下來產量最多的是口罩，C選項正確.故選：C.【點睛】本題考查堆積圖的應用，考查數據處理能力，屬于基礎題.6．D【解析】

根據全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.7．D【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數的性質可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設有，故，故橢圓，因為點為上的任意一點，故.又，因為，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質，一般地，如果橢圓的左、右焦點分別是，點為上的任意一點，則有，我們常用這個性質來考慮與焦點三角形有關的問題，本題屬于基礎題.8．C【解析】

由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉化為對于任意正整數恒成立，設，只需找到數列的最大值即可.【詳解】當時，則，，所以，，顯然當時，，故，，若對于任意正整數不等式恒成立，即對于任意正整數恒成立，即對于任意正整數恒成立，設，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當時，單調遞增，當時，有單調遞減，故數列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數解析、等比數列前n項和、數列單調性的判斷等知識，是一道較為綜合的數列題.9．A【解析】

畫出不等式組表示的區域，求出其面積，再得到在區域內的面積，根據幾何概型的公式，得到答案.【詳解】畫出所表示的區域，易知，所以的面積為，滿足不等式的點，在區域內是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題.10．A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A，再根據求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的據圖求式問題以及三角函數的公式變換.據圖求式問題要注意結合五點法作圖求解.屬于中檔題.11．A【解析】

根據對數性質可知，再根據集合的交集運算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運算可得.故選：A.【點睛】本題考查由對數的性質比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎題.12．B【解析】

由題得，，解得，，計算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，前項和公式，考查了學生運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

數列滿足知，數列以3為公比的等比數列，再由已知結合等比數列的性質求得的值即可.【詳解】，數列是以3為公比的等比數列，又，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等比數列定義，考查了對數的運算性質，考查了等比數列的通項公式，是中檔題．14．【解析】

將代入二項式可得展開式各項系數之和，寫出二項展開式通項，令的指數為，求出參數的值，代入通項即可得出項的系數.【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數和為.二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數為.故答案為：；.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎題．15．或【解析】

用表示出的面積，求得等量關系，聯立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【詳解】聯立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，，所以.聯立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質，考查運算求解能力以及函數與方程思想，屬中檔題.16．7【解析】

畫出不等式組表示的平面區域，數形結合，即可容易求得目標函數的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當直線過點時，有最大值，.故答案為：.【點睛】本題考查二次不等式組與平面區域、線性規劃，主要考查推理論證能力以及數形結合思想，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析【解析】

（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超幾何分布求解即可【詳解】（1）因為學生總數為1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值為0,1,2,3，，，，，的分布列為0123.【點睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運算求解能力，是基礎題18．（1）（2）．【解析】

（1）利用離心率和橢圓經過的點建立方程組，求解即可.（2）把面積之比轉化為縱坐標之間的關系，聯立方程結合韋達定理可求.【詳解】解：（1）設焦距為2c，由題意知：；解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知：F(﹣1，0)，設l：，D(，)，E(，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直線l的方程為．【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題，橢圓方程一般利用待定系數法，建立方程組進行求解，面積問題的合理轉化是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.19．（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理直接可求，然后運用兩角和的正弦公式算出；（2）化簡，由余弦定理得，利用基本不等式求出，確定角范圍，進而求出的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，得：，且為銳角（2）【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，基本不等式的應用，三角函數的值域等，考查了學生運算求解能力.20．（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數的定義域，即可求出結論；（2）化簡集合，根據確定集合的端點位置，建立的不等量關系，即可求解.【詳解】（1）由，即得或，所以集合或.（2）集合，由得或，解得或，所以實數的取值范圍為.【點睛】本題考查集合的運算，集合間的關系求參數，考查函數的定義域，屬于基礎題.21．