第37頁（共37頁）2025年高考數學三輪復習之常用邏輯用語一．選擇題（共8小題）1．（2025?咸陽模擬）設x∈R，則“x＝﹣1”是“復數z＝（x+1）+（x2﹣1）i為實數”的（）A．充分必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025?咸陽模擬）已知命題p：?x＞0，x3＞x，則命題p的否定為（）A．?x＞0，x3≤x B．?x≤0，x3＞x C．?x＞0，x3≤x D．?x＞0，x3＞x3．（2024秋?師宗縣校級期末）命題“?n∈N，n3+1＞3n”的否定是（）A．?n∈N，n3+1?3n B．?n∈N，n3+1?3n C．?n∈N，n3+1＝3n D．?n∈N，n3+1＞3n4．（2025?廣東模擬）“x＞2”是“x2﹣2x＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2025?菏澤一模）已知{an}是無窮數列，a1＝3，則“對任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an”是“{an}是等差數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2024秋?雙清區校級期末）命題“?x∈R，x3＞x”的否定是（）A．?x∈R，x3≤x B．?x∈R，x3＜x C．?x∈R，x3≤x D．?x∈R，x3＜x7．（2024秋?山西期末）設命題p：?x＜0，x2+1＝0，則命題p的否定是（）A．?x≥0，x2+1≠0 B．?x＜0，x2+1≠0 C．?x≥0，x2+1≠0 D．?x＜0，x2+1≠08．（2024秋?許昌期末）已知a，b是實數，則“a＞b”成立的一個充分不必要條件是（）A．a＞b B．a2＞b2 C．|a|＞|b| D．a3＞二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?重慶模擬）下列說法正確的是（）A．數據1，2，2，5，5，5，7，9，11的眾數和第60百分位數都為5 B．樣本相關系數r越大，成對樣本數據的線性相關程度也越強 C．若隨機變量ξ服從二項分布B(6，3D．若隨機變量X服從正態分布N（0，1），則P（多選）10．（2024秋?仁壽縣校級期末）下列四個命題中是真命題的是（）A．一切實數均有相反數 B．?x∈N，使得方程ax+1＝0無實數根 C．梯形的對角線相等 D．有些三角形不是等腰三角形（多選）11．（2024秋?郴州期末）下列說法正確的是（）A．命題“?x＞0，x2﹣x≥1”的否定形式是“?x≤0，x2﹣x＜1” B．函數y＝2loga（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的圖象過定點（2，1） C．方程(12)D．若命題“?x∈R，x2+2ax+a+2≥0恒成立”為假命題，則“a＜﹣1或a＞2”（多選）12．（2024秋?景德鎮期末）下列說法正確的有（）A．函數f(xB．函數f(xC．函數y=x(4-x)D．函數f(x)=log三．填空題（共4小題）13．（2024秋?廣東校級期末）已知命題p：?x∈R，x2+x﹣1＜0，則命題p的否定是．14．（2024秋?豐滿區校級期末）命題：“?x∈R，x2≤x﹣1”的否定是．15．（2024秋?梅河口市校級期末）已知命題：“?x∈R，m2﹣1＝（m+m2）x”為真命題，則m的取值為．16．（2024秋?阜陽校級期末）命題“?x＞1，x2﹣ax+2＜0”的否定是．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?蚌埠期末）已知集合A＝{x|4﹣m≤x≤2m+1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}．（1）若m＝4，求A∪B；（2）設p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．18．（2024秋?龍崗區校級期末）已知命題p：?x0∈[﹣2，1]，x0（1）記實數m取值范圍的集合為A，求集合A；（2）關于x的不等式ln（x+n）≤0的解集為B，且x∈A是x∈B的必要條件，求實數n的取值范圍．19．（2024秋?玉溪期末）寫出下列命題的否定，并判斷其否定的真假：（1）?m∈N，m2（2）存在一個六邊形ABCDEF，其內角和不等于720°．20．（2024秋?仁壽縣校級期末）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，全集U＝R．（1）當a＝1時，求（?UA）∩B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要條件，求實數a的取值范圍．

2025年高考數學三輪復習之常用邏輯用語參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CCBAACDA二．多選題（共4小題）題號9101112答案ACABDBCDAD一．選擇題（共8小題）1．（2025?咸陽模擬）設x∈R，則“x＝﹣1”是“復數z＝（x+1）+（x2﹣1）i為實數”的（）A．充分必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充分條件必要條件的判斷．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】C【分析】結合復數的概念檢驗充分必要性即可求解．【解答】解：若復數z＝（x+1）+（x2﹣1）i為實數，則x2﹣1＝0，即x＝1或x＝﹣1．故“x＝﹣1”是“復數z＝（x+1）+（x2﹣1）i為實數”的充分不必要條件．故選：C．【點評】本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題．2．（2025?咸陽模擬）已知命題p：?x＞0，x3＞x，則命題p的否定為（）A．?x＞0，x3≤x B．?x≤0，x3＞x C．?x＞0，x3≤x D．?x＞0，x3＞x【考點】求存在量詞命題的否定．【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解．【答案】C【分析】存在改任意，將結論取反，即可求解．【解答】解：命題p：?x＞0，x3＞x，則命題p的否定為：?x＞0，x3≤x．故選：C．【點評】本題主要考查存在量詞命題的否定，屬于基礎題．3．（2024秋?師宗縣校級期末）命題“?n∈N，n3+1＞3n”的否定是（）A．?n∈N，n3+1?3n B．?n∈N，n3+1?3n C．?n∈N，n3+1＝3n D．?n∈N，n3+1＞3n【考點】求存在量詞命題的否定．【專題】轉化思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】B【分析】根據存在量詞命題的否定形式，直接判斷選項．【解答】解：原命題為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，所以原命題的否命題為：“?n∈N，n3+1≤3n”．故選：B．【點評】本題考查了存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，是基礎題．4．（2025?廣東模擬）“x＞2”是“x2﹣2x＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充分條件必要條件的判斷．【專題】方程思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】A【分析】可先求解不等式“x2﹣2x＞0”，再由充要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由題，解不等式x2﹣2x＞0，可得x＞2或x＜0，因為{x|x＞2}是{x|x＞2或x＜0}的真子集，所以“x＞2”是“x2﹣2x＞0”的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題考查了充分條件，必要條件，充要條件，屬于基礎題．5．（2025?菏澤一模）已知{an}是無窮數列，a1＝3，則“對任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an”是“{an}是等差數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充要條件的判斷．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；數學抽象．【答案】A【分析】根據充分性和必要性的判斷，直接論證即可．【解答】解：對任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an，令m＝1，可以得到an+1＝an+a1，因此{an}是公差為a1＝2的等差數列；若an＝2n+1，則a3＝7，a2＝5，a1＝3，可得a2+1≠a1+a2，故“對任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an”是“{an}是等差數列”的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題．6．（2024秋?雙清區校級期末）命題“?x∈R，x3＞x”的否定是（）A．?x∈R，x3≤x B．?x∈R，x3＜x C．?x∈R，x3≤x D．?x∈R，x3＜x【考點】求全稱量詞命題的否定．【專題】函數思想；定義法；簡易邏輯；邏輯思維．【答案】C【分析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，求解即可．【解答】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，命題“?x∈R，x3＞x”的否定是：?x∈R，x3≤x．故選：C．【點評】本題考查了含有量詞的命題的否定，要掌握其否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，屬于基礎題．7．（2024秋?山西期末）設命題p：?x＜0，x2+1＝0，則命題p的否定是（）A．?x≥0，x2+1≠0 B．?x＜0，x2+1≠0 C．?x≥0，x2+1≠0 D．?x＜0，x2+1≠0【考點】存在量詞命題的否定．【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解．【答案】D【分析】存在改任意，將結論取反，即可求解．【解答】解：命題p：?x＜0，x2+1＝0，則命題p的否定是：?x＜0，x2+1≠0．故選：D．【點評】本題主要考查特稱命題的否定，是基礎題．8．（2024秋?許昌期末）已知a，b是實數，則“a＞b”成立的一個充分不必要條件是（）A．a＞b B．a2＞b2 C．|a|＞|b| D．a3＞【考點】充分不必要條件的應用；等式與不等式的性質．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】A【分析】利用充分不必要條件的定義，結合不等式的性質逐項判斷．【解答】解：對于A，由a＞b，得a＞b，當a＝﹣1，b＝﹣2時，a＞b，但a，b沒有意義，即由a＞b推不出a＞對于BC，取a＝﹣2，b＝1，滿足a2＞b2，|a|＞|b|，而a＜b，BC不是；對于D，a3＞b3?a＞b，D不是．故選：A．【點評】本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?重慶模擬）下列說法正確的是（）A．數據1，2，2，5，5，5，7，9，11的眾數和第60百分位數都為5 B．樣本相關系數r越大，成對樣本數據的線性相關程度也越強 C．若隨機變量ξ服從二項分布B(6，3D．若隨機變量X服從正態分布N（0，1），則P【考點】命題的真假判斷與應用；正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義；百分位數；樣本相關系數．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】AC【分析】利用眾數和第60百分位數的定義判斷A，利用相關系數的意義判斷B，利用方差的性質判斷C，利用正態曲線的性質判斷D即可求解．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，數據中，5出現的次數最多，則數據的眾數為5，由于9×60%＝5.4，所以第60百分位數為第6個數據5，A正確；對于B，當r＜0時，r越大成對樣本數據的線性相關程度越弱，B錯誤；對于C，ξ～B(6對于D，X～N(0故選：AC．【點評】本題考查數據百分位數的計算，涉及二項分布、正態分布的性質，屬于基礎題．（多選）10．（2024秋?仁壽縣校級期末）下列四個命題中是真命題的是（）A．一切實數均有相反數 B．?x∈N，使得方程ax+1＝0無實數根 C．梯形的對角線相等 D．有些三角形不是等腰三角形【考點】存在量詞命題的真假判斷；全稱量詞命題的真假判斷．【專題】對應思想；定義法；簡易邏輯；運算求解．【答案】ABD【分析】根據全稱量詞、存在量詞命題真假判斷方法可逐一判斷．【解答】解：對于A，一切實數均有相反數，故A正確；對于B，當x＝0時，方程ax+1＝0無實數根，故B正確；對于C，只有等腰梯形的對角線相等，故C錯誤；對于D，至少有兩條邊相等的三角形才是等腰三角形，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查全稱量詞、存在量詞命題真假判斷方法，屬于基礎題．（多選）11．（2024秋?郴州期末）下列說法正確的是（）A．命題“?x＞0，x2﹣x≥1”的否定形式是“?x≤0，x2﹣x＜1” B．函數y＝2loga（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的圖象過定點（2，1） C．方程(12)D．若命題“?x∈R，x2+2ax+a+2≥0恒成立”為假命題，則“a＜﹣1或a＞2”【考點】命題的真假判斷與應用；求解函數零點所在區間；全稱量詞命題的否定．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】BCD【分析】A選項，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結論否定，A錯誤；B選項，由對數函數的特征得到圖象過定點（2，1），B正確；C選項，由零點存在性定理和函數單調性得到C正確；D選項，先得到?x∈R，x2+2ax+a+2＜0成立為真命題，由根的判別式得到不等式，求出答案．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，命題“?x＞0，x2﹣x≥1”的否定形式是“?x＞0，x2﹣x＜1”，A錯誤；對于B，函數y＝2loga（3﹣x）+1，令3﹣x＝1，故x＝2，此時y＝1，故該函數的圖象過定點（2，1），B正確；對于C，令h(x)=又h（﹣1）＝2+1﹣2＝1＞0，h(故h(x)=故方程(12)x-對于D，命題“?x∈R，x2+2ax+a+2≥0恒成立”為假命題，則命題“?x∈R，x2+2ax+a+2＜0成立”為真命題，故Δ＝4a2﹣4（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2，D正確．故選：BCD．【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及對數函數的性質，屬于基礎題．（多選）12．（2024秋?景德鎮期末）下列說法正確的有（）A．函數f(xB．函數f(xC．函數y=x(4-x)D．函數f(x)=log【考點】命題的真假判斷與應用；復合函數的值域；奇函數偶函數的判斷．【專題】計算題；方程思想；綜合法；函數的性質及應用；運算求解．【答案】AD【分析】判斷函數的奇偶性首先判斷函數的定義域，再結合函數奇偶性的定義，即可判斷．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，函數f(x)=1-x2+x2-1，有1此時f（x）＝0，既滿足f（﹣x）＝f（x），也滿足f（﹣x）＝﹣f（x），所以函數既是奇函數也是偶函數，故A正確；對于B，函數f(x)=(x-1)1+x1-x，有1+x1-x函數的定義域不關于原點對稱，所以函數不是偶函數，故B錯誤；對于C，函數y=有f（0）＝0，設x＞0，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x（4﹣x）＝﹣f（x），設x＜0，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x（4+x）＝﹣f（x），對于任意實數x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），則函數是奇函數，當x＞0時，y＝x（4﹣x）＝﹣（x﹣2）2+4≤4，當x＜0時，y＝x（4+x）＝（x+2）2﹣4≥﹣4，所以函數的值域為R，無最大值，故C錯誤；對于D，函數f(x)=log2|2y=當x＞0時，y＞1，當x＜0時，y＜﹣1，所以t=|2x+12x-1|f(-x)=log2故選：AD．【點評】本題考查函數奇偶性的判斷，注意函數的定義域，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?廣東校級期末）已知命題p：?x∈R，x2+x﹣1＜0，則命題p的否定是?x∈R，x2+x﹣1≥0．【考點】求存在量詞命題的否定．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；邏輯思維．【答案】?x∈R，x2+x﹣1≥0．【分析】否定命題的結論，把存在量詞改為全稱量詞．【解答】解：命題p的否定是?x∈R，x2+x﹣1≥0．故答案為：?x∈R，x2+x﹣1≥0．【點評】本題考查命題的否定．注意命題的否定是否定命題的結論，同時把全稱量詞與存在量詞互換．14．（2024秋?豐滿區校級期末）命題：“?x∈R，x2≤x﹣1”的否定是?x∈R，x2＞x﹣1．【考點】求全稱量詞命題的否定．【專題】對應思想；數學模型法；簡易邏輯；邏輯思維．【答案】?x∈R，x2＞x﹣1．【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題判斷即可．【解答】解：全稱命題：“?x∈R，x2≤x﹣1”的否定為特稱命題，即：?x∈R，x2＞x﹣1．故答案為：?x∈R，x2＞x﹣1．【點評】本題考查命題的否定，是基礎題．15．（2024秋?梅河口市校級期末）已知命題：“?x∈R，m2﹣1＝（m+m2）x”為真命題，則m的取值為﹣1．【考點】全稱量詞命題真假的應用．【專題】轉化思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】﹣1．【分析】由命題為真命題可知等式恒成立，進而列方程，解方程即可．【解答】解：由題意可知等式m2﹣1＝（m+m2）x恒成立，此時與x的取值無關，則只需m2-1=0m+m2=0，解得故答案為：﹣1．【點評】本題考查了全稱量詞命題的真假應用，涉及到恒成立問題，屬于基礎題．16．（2024秋?阜陽校級期末）命題“?x＞1，x2﹣ax+2＜0”的否定是?x＞1，x2﹣ax+2≥0．【考點】求存在量詞命題的否定．【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解．【答案】?x＞1，x2﹣ax+2≥0．【分析】根稱特稱命題的否定，否定結論，存在量詞換成全稱量詞即可．【解答】解：由命題否定的定義可知，存在改任意，將結論取反，則命題“?x＞1，x2﹣ax+2＜0”的否定是“?x＞1，x2﹣ax+2≥0”．故答案為：?x＞1，x2﹣ax+2≥0．【點評】本題主要考查命題的否定，屬于基礎題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?蚌埠期末）已知集合A＝{x|4﹣m≤x≤2m+1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}．（1）若m＝4，求A∪B；（2）設p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．【考點】必要不充分條件的應用；解一元二次不等式；求集合的并集．【專題】對應思想；定義法；集合；運算求解．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣1≤x≤9}；（2）[5，+∞）．【分析】（1）根據題意化簡集合A，B，進而求并集；（2）分析可知集合B是集合A的真子集，根據包含關系列式求解即可．【解答】解：（1）已知集合A＝{x|4﹣m≤x≤2m+1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}．則B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，當m＝4時，A＝{x|0≤x≤9}，所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤9}．（2）因為p是q的必要不充分條件，可知集合B是集合A的真子集，則4-m≤-12所以實數m的取值范圍為[5，+∞）．【點評】本題考查集合間的運算相關知識，屬于基礎題．18．（2024秋?龍崗區校級期末）已知命題p：?x0∈[﹣2，1]，x0（1）記實數m取值范圍的集合為A，求集合A；（2）關于x的不等式ln（x+n）≤0的解集為B，且x∈A是x∈B的必要條件，求實數n的取值范圍．【考點】存在量詞命題真假的應用；解一元二次不等式．【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解．【答案】（1）A＝{m|m≤3}；（2）{n|n≥﹣2}．【分析】（1）由已知結合存在性量詞命題與最值關系的轉化即可求解；（2）結合充分必要條件與集合包含關系的轉化即可求解．【解答】解：（1）命題p：?x0∈[﹣2，1]，x0所以?x0∈[﹣2，1]，使得m≤x所以x0∈[﹣2，1]時，m≤（x02+2根據二次函數的性質可得，當x0＝1時，（x02+2x0故m≤3，所以A＝{m|m≤3}；（2）由不等式ln（x+n）≤0可得0＜x+n≤1，解得﹣n＜x≤1﹣n，即B＝{x|﹣n＜x≤1﹣n}，若x∈A是x∈B的必要條件，則B?A，所以1﹣n≤3，即n≥﹣2，故實數n的取值范圍為{n|n≥﹣2}．【點評】本題主要考查了存在性量詞命題的真假關系應用，還考查了充分必要條件與集合包含關系的應用，屬于基礎題．19．（2024秋?玉溪期末）寫出下列命題的否定，并判斷其否定的真假：（1）?m∈N，m2（2）存在一個六邊形ABCDEF，其內角和不等于720°．【考點】求全稱量詞命題的否定；求存在量詞命題的否定；存在量詞命題的真假判斷．【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解．【答案】（1）?m∈N，m2（2）任意六邊形ABCDEF，其內角和等于720°，真命題．【分析】（1）由全稱命題的否定是把存在改為存在，并否定原結論，進而判斷真假；（2）由特稱命題的否定是把存在改為任意，并否定原結論，進而判斷真假．【解答】解：（1）?m∈N，m2+1?N的否定為?m∈因為m＝0∈N時，02（2）存在一個六邊形ABCDEF，其內角和不等于720°，則原命題的否定為任意六邊形ABCDEF，其內角和等于720°，易知其為真命題．【點評】本題主要考查命題的否定，屬于基礎題．20．（2024秋?仁壽縣校級期末）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，全集U＝R．（1）當a＝1時，求（?UA）∩B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要條件，求實數a的取值范圍．【考點】充分條件與必要條件；交、并、補集的混合運算．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；運算求解．【答案】（1）{x|﹣1≤x＜0}．（2）（﹣∞，﹣4）∪[0，12]【分析】（1）利用集合的補集、交集運算求解．（2）由題意可知A?B，再對A分A＝?和A≠?兩種情況討論，分別求出a的取值范圍，最后取并集即可．【解答】解：（1）當a＝1時，集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，∴?UA＝{x|x＜0或x＞5}，∴（?UA）∩B＝{x|﹣1≤x＜0}．（2）∵“x∈B”是“x∈A”的必要條件，∴A?B，①若A＝?，則a﹣1＞2a+3，∴a＜﹣4，②若A≠?，則a-1≤2綜上所述，實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣4）∪[0，12]【點評】本題主要考查了集合的基本元素，考查了集合間的包含關系，屬于基礎題．

考點卡片1．求集合的并集【知識點的認識】由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算性質：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或屬于B的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝解：依題意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．2．交、并、補集的混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎題．3．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．4．充分條件必要條件的判斷【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．5．充要條件的判斷【知識點的認識】充要條件是指條件P和條件Q之間互為充分必要條件．即若P成立，則Q成立，若Q成立，則P也成立．用符號表示為P?Q．充要條件在數學中非常重要，因為它們表示兩個條件是等價的．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充要條件，需要分別驗證P?Q和Q?P．如果兩者都成立，則P和Q互為充要條件．通常可以通過邏輯推理和實例驗證來進行判斷．對于復雜問題，可以分步驟進行驗證，確保每一步推理的正確性．【命題方向】充要條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、函數的性質等．例如，矩形的對角線相等且互相平分是矩形的充要條件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數解”的一個充要條件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數解”的充要條件為“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故選：A．6．充分不必要條件的應用【知識點的認識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數學中表明某個條件足以保證結果成立，但不是唯一條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因為A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則A?B且A≠?，當﹣a＜﹣2時，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，則﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，當﹣a＞﹣2時，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，則﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故選：B．7．必要不充分條件的應用【知識點的認識】必要不充分條件是指如果條件Q成立，則條件P必然成立，但條件P成立時，條件Q不一定成立．用符號表示為Q?P，但P?Q．這種條件在數學中表明某個條件必須滿足才能保證結果成立，但單靠這個條件不能完全保證結果成立．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．設p：12≤x≤1；q：a≤x≤a+1，若A．B.(0C.[0D.[0解：p：12≤x≤1，q：a≤x≤a又∵p的必要不充分條件是q，∴p?q，反之則不能，∴1≤a+1，a≤1∴0≤a≤1當a＝0時，q：0≤x≤1，滿足p的必要不充分條件是q，當a=12時，q：12≤x≤3∴0≤a≤1故選：D．8．全稱量詞命題的真假判斷【知識點的認識】全稱量詞：短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞．符號：?應熟練掌握全稱命題的判定方法全稱量詞：對應日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每一個”等詞，用符號“?”表示．含有全稱量詞的命題．“對任意一個x∈M，有p（x）成立”簡記成“?x∈M，p（x）”．命題全稱命題?x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②對一切x∈M，使p（x）成立③對每一個x∈M，使p（x）成立④對任給一個x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，則p（x）成立﹣【解題方法點撥】判斷全稱量詞命題的真假時，可以從反例入手，尋找一個使得命題不成立的例子．例如，要判斷“所有奇數都是質數”是否為真，只需找到一個奇數不是質數（如9）即可證明該命題為假．【命題方向】全稱量詞命題的真假判斷常見于代數和幾何性質的判定．例如，判斷一個數列的全稱性質是否成立，或判斷幾何圖形的某個性質是否對所有相關對象成立．這類題型要求學生能夠靈活應用定義和性質進行驗證．判斷下列全稱量詞命題的真假：（1）所有素數都是奇數；（2）?x∈R，|x|+1≥1；（3）對任意一個無理數x，x2也是無理數．解：（1）2是素數，但2不是奇數，∴所有素數都是奇數是假命題；（2）?x∈R，總有|x|≥0，∴|x|+1≥1，∴?x∈R，|x|+1≥1是真命題；（3）2是無理數，但（2）2＝2是有理數，∴全稱量詞命題“對每一個無理數x，x2也是無理數”是假命題．9．全稱量詞命題真假的應用【知識點的認識】全稱量詞：短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞．符號：?應熟練掌握全稱命題的判定方法全稱量詞：對應日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每一個”等詞，用符號“?”表示．含有全稱量詞的命題．“對任意一個x∈M，有p（x）成立”簡記成“?x∈M，p（x）”．命題全稱命題?x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②對一切x∈M，使p（x）成立③對每一個x∈M，使p（x）成立④對任給一個x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，則p（x）成立﹣【解題方法點撥】在應用全稱量詞命題時，首先要準確判斷命題的真假，然后根據判斷結果進行推理．例如，在證明幾何命題時，可以先驗證全稱量詞命題的真假，然后根據真假性進行相應的幾何推理和計算．【命題方向】全稱量詞命題真假的應用在代數和幾何題中廣泛存在．例如，利用全稱量詞命題的真假來推導數的整除性、代數式的恒等關系，或幾何圖形的某些性質．這類題型要求學生具備扎實的基礎知識和邏輯推理能力．若命題“?x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0為真命題，則a的最小值為_____．解：?x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0，則a≥當x∈[1，3]時，xx2+1=1故a≥所以實數a的最小值為12故答案為：1210．存在量詞命題的真假判斷【知識點的認識】存在量詞：對應日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個”，“至少有一個”叫做存在量詞．命題特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一個x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一個x0∈M，使p（x0）成立⑤有一個x0∈M，使p（x0）成立﹣【解題方法點撥】判斷存在量詞命題的真假時，可以通過具體實例來驗證．例如，要判斷“存在一個數是3的倍數”是否為真，只需找到一個3的倍數（如6）即可證明該命題為真．如果無法找到任何一個符合條件的對象，則命題為假．【命題方向】存在量詞命題的真假判斷常見于代數和幾何性質的判定．例如，判斷一個方程是否有解，或判斷幾何圖形的某個性質是否對某些對象成立．這類題型要求學生能夠靈活應用定義和性質進行驗證．下列存在量詞命題中，為真命題的是（）A．?x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除C．?x∈R，|x|＜0D．有些自然數是偶數解：選項A：因為方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根為3和﹣1，所以x∈Z，故A正確；選項B：因為6能同時被2和3整除，且6∈Z，故B正確；選項C：根據絕對值的意義可得|x|≥0恒成立，不存在x滿足|x|＜0，故C錯誤；選項D：2，4等既是自然數又是偶數，故D正確；故選：ABD．11．存在量詞命題真假的應用【知識點的認識】存在量詞：對應日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個”，“至少有一個”叫做存在量詞．命題特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一個x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一個x0∈M，使p（x0）成立⑤有一個x0∈M，使p（x0）成立﹣【解題方法點撥】在應用存在量詞命題時，首先要準確判斷命題的真假，然后根據判斷結果進行推理．例如，在解決代數問題時，可以先驗證存在量詞命題的真假，然后根據真假性進行相應的計算和推導．【命題方向】存在量詞命題真假的應用在代數和幾何題中廣泛存在．例如，利用存在量詞命題的真假來推導方程的解的存在性、幾何圖形的某些特性．這類題型要求學生具備扎實的基礎知識和邏輯推理能力．若命題“?x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”為假命題，則實數a的取值范圍是_____．解：“?x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”是假命題，則它的否定命題：“?x∈[﹣1，2]，x﹣a≤0”是真命題；所以x∈[﹣1，2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即實數a的取值范圍是[2，+∞）．故答案為：[2，+∞）．12．全稱量詞命題的否定【知識點的認識】一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：全稱命題p：?x∈M，p（x）它的否命題?p：?x0∈M，?p（x0）．【解題方法點撥】寫全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）將結論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題．【命題方向】這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現．難度一般不大，從考查的數學知識上看，能涉及高中數學的全部知識．13．求全稱量詞命題的否定【知識點的認識】一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：全稱命題p：?x∈M，p（x）它的否命題?p：?x0∈M，?p（x0）．【解題方法點撥】寫全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）將結論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題．【命題方向】全稱量詞命題否定的求解在代數和幾何中廣泛存在．例如，代數中關于實數性質的全稱命題的否定，幾何中關于圖形性質的全稱命題的否定等．這類題型要求學生能夠靈活運用邏輯思維進行否定命題的改寫和判斷．寫出命題“?x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．解：因為特稱命題的否定為全稱命題，所以命題“?x∈Z，|x|∈N”的否定是“?x∈Z，|x|?N”，故答案為：?x∈Z，|x|?N．14．存在量詞命題的否定【知識點的認識】一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結論：特稱命題p：?x0∈M，p（x0）它的否命題?p：?x∈M，?p（x）．【解題方法點撥】寫特稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將存在量詞換為全稱量詞，即將“存在”改為“任意”；（2）將結論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，特稱命題的否定的全稱命題．【命題方向】這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現．難度一般不大，從考查的數學知識上看，能涉及高中數學的全部知識．15．求存在量詞命題的否定【知識點的認識】一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結論：特稱命題p：?x0∈M，p（x0）它的否命題?p：?x∈M，?p（x）．【解題方法點撥】寫特稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將存在量詞換為全稱量詞，即將“存在”改為“任意”；（2）將結論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，特稱命題的否定的全稱命題．【命題方向】存在量詞命題否定的求解在代數和幾何中廣泛存在．例如，代數中關于方程解的存在性命題的否定，幾何中關于圖形性質的存在性命題的否定等．這類題型要求學生能夠靈活運用邏輯思維進行否定命題的改寫和判斷．寫出下列存在量詞命題的否定：（1）某箱產品中至少有一件次品；（2）方程x2﹣8x+15＝0有一個根是偶數；（3）?x∈R，使x2+x+1≤0．解：（1）某箱產品中都是正品；（2）方程x2﹣8x+15＝0每一個根都不是偶數；（3）?x∈R，使x2+x+1＞0．16．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．【命題方向】該部分內容是《課程標準》新增加的內容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現．17．等式與不等式的性質【知識點的認識】1．不等式的基本性質（1）對于任意兩個實數a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且18．解一元二次不等式【知識點的認識】含有一個未知數且未知數的最高次數為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數域內的二次三項式．特征當△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應用了特征當中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結合其圖象便可求解．【命題方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣將不等式轉化為ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根據根的位置，將數軸分為多個區間．﹣在各區間內選擇測試點，確定不等式在每個區間內的取值情況．﹣綜合各區間的解，寫出最終解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}19．復合函數的值域【知識點的認識】函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域．A是函數的定義域．【解題方法點撥】（1）求函數的值域此類問題主要利用求函數值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等．無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域．（2）函數的綜合性題目此類問題主要考查函數值域、單調性、奇偶性、反函數等一些基本知識相結合的題目．此類問題要求考生具備較高的數學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力．在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強．（3）運用函數的值域解決實際問題此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數問題，從而利用所學知識去解決．此類題要求考生具有較強的分析能力和數學建模能力．【命題方向】復合函數的值域是內層函數和外層函數值域的共同部分．復合函數形式如f（g（x））．﹣分析內層函數g（x）的值域．﹣將內層函數的值域代入外層函數，求出外層函數的值域．﹣綜合內層和外層函數的值域，確定復合函數的值域．求函數y＝2|3﹣x|的值域．解：|x﹣3|≥0，則y＝2|3﹣x|≥20＝1，故函數y的值域為[1，+∞）．20．奇函數偶函數的判斷【知識點的認識】奇函數如果函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數，其圖象特點是關于（0，0）對稱．偶函數如果函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數f（x）就叫做偶函數，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①如果函數定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數；③已知奇函數大于0的部分的函數表達式，求它的小于0的函數表達式，如奇函數f（x），當x＞0時，f（x）＝x2+x那么當x＜0時，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）?﹣f（x）＝x2﹣x?f（x）＝﹣x2+x①運用f（x）＝f（﹣x）求相關參數，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②結合函數圖象關于y軸對稱求函數與x軸的交點個數或者是某個特定的值，如偶函數f（﹣2）＝0，周期為2，那么在區間（﹣2，8）函數與x軸至少有幾個交點．【命題方向】奇函數是函數里很重要的一個知識點，同學們一定要熟悉奇函數的概念和常用的解題方法，它的考查形式主要也就是上面提到的這兩種情況﹣﹣求參數或者求函數的表達式．與奇函數雷同，熟悉偶函數的性質，高考中主要還是以選擇題或者填空題的形式考查對偶函數性質的靈活運用．21．求解函數零點所在區間【知識點的認識】1、函數零點存在性定理：一般地，如果函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數y＝f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據該定理，能確定f（x）在（a，b）內有零點，但零點不一定唯一．（2）并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數在（a，b）上沒有零點，例如，函數f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數f（x）在區間（0，3）上有兩個零點．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續不斷的，且是單調函數，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點．【解題方法點撥】函數零點個數的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y＝f（x）的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．特別提醒：①“方程的根”與“函數的零點”盡管有密切聯系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點；②函數的零點是實數而不是數軸上的點．（2）代數法：求方程f（x）＝0的實數根．函數f(A.(B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：因為函數f(在（0，+∞）上為單調遞增函數，又因為f（e）＝1-3e＜0，f（e2）＝2所以f（x）的零點位于（e，e2）．故選：C．22．正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態曲線及性質（1）正態曲線的定義函數φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實數（2）正態曲線的解析式①指數的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數：π和e，這是兩個無理數．③解析式中含有兩個參數：μ和σ，其中μ可取任意實數，σ＞0這是正態分布的兩個特征數．④解析式前面有一個系數為12πσ，后面是一個以e為底數的指數函數的形式，冪2．正態分布（1）正態分布的定義及表示如果對于任何實數a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態分布，記作N（μ，（2）正態總體在三個特殊區間內取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態曲線的性質正態曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態總體在三個特殊區間內取值的概率值結合正態曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產品進行質量檢測的理論依據．【解題方法點撥】正態分布是高中階段唯一連續型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現，其中數值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．對正態分布N（μ，σ2）中兩個參數對應的數值及其意義應該理解透徹并記住，且注意第二個數值應該為σ2而不是σ，同時，記住正態密度曲線的六條性質．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎考察典例1：設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數f（x）的圖象，且f（x）=18πA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機變量ξ服從正態分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機變量X服從正態分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態曲線性質知，其圖象關于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態曲線的性質典例1：若一個正態分布的概率密度函數是一個偶函數，且該函數的最大值為14（1）求該正態分布的概率密度函數的解析式；（2）求正態總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態分布的概率密度函數的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關．解（1）由于該正態分布的概率密度函數是一個偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關鍵是正確理解函數解析式與正態曲線的關系，掌握函數解析式中參數的取值變化對曲線的影響．典例2：設兩個正態分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據正態分布N（μ，σ2）函數的性質：正態分布曲線是一條關于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態分布的概率計算典例1：設X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用