第39頁（共39頁）2025年高考數學三輪復習之概率一．選擇題（共8小題）1．（2025?濰坊模擬）某學校組織中國象棋比賽，甲、乙兩名同學進入決賽．決賽采取3局2勝制，假設每局比賽中甲獲勝的概率均為23A．14 B．34 C．35 2．（2025?赤峰模擬）某學校有A、B兩家餐廳，王同學第一天去A、B兩個餐廳的概率分別是35和25，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為35；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為4A．1217 B．817 C．1725 3．（2024秋?蚌埠期末）拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：A＝“點數不大于3”，B＝“點數不小于3”，C＝“點數大于4”，D＝“點數為奇數”，E＝“點數為偶數”，下列結論正確的是（）A．A，B為互斥事件 B．B，C為對立事件 C．C，D為互斥事件 D．D，E為對立事件4．（2024秋?喀什市期末）甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為13，2A．215 B．15 C．25 5．（2024秋?威海期末）現有甲、乙兩支籃球隊進行比賽，甲隊每場獲勝的概率為23A．2027 B．1627 C．49 6．（2025?重慶校級模擬）有6名志愿者參與社區活動，活動安排在周一、周二兩天．若每天從6人中任選三人參加活動，則恰有2人連續參加兩天活動的概率為（）A．13 B．920 C．35 7．（2025?自貢模擬）現有數字1，2，2，3，3，3，若將這六個數字排成一排，則數字2，2恰好相鄰的概率為（）A．112 B．14 C．29 8．（2024秋?焦作期末）某科研小組共60名成員，他們需要完成甲、乙、丙、丁四個科研項目，科研成員隨機參與，且每個人可以參與一個或多個項目．若參與甲項目的有30人，參與乙項目的有10人，參與丙項目的有20人，參與丁項目的有30人，參與了甲項目或乙項目的共有40人，同時參與了甲項目和丙項目的有10人，參與了甲項目或丁項目的共有60人，則下列說法正確的是（）A．參與甲項目與參與乙項目不互斥 B．參與甲項目與參與丁項目互斥但不對立 C．參與丙項目與參與丁項目不相互獨立 D．參與甲項目與參與丙項目相互獨立二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?碑林區校級模擬）下列結論中正確的有（）A．若兩個具有線性相關關系的變量，其相關性越強，則樣本相關系數r的值越接近1 B．依據小概率α＝0.05的獨立性檢驗推斷兩個分類變量X與Y之間是否有有關聯，經計算χ2＝4.352＞3.841＝χ0.05，可以推斷兩變量有關聯，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05 C．隨機變量X～B（n，p），若E（2X+1）＝31，D（2X+1）＝15，則n＝20 D．用y＝cekx擬合一組數據時，經z＝lny代換后得到的回歸直線方程為z＝0.3x+4，則c＝e4，k＝0.3（多選）10．（2024秋?裕安區校級期末）下列事件是隨機事件的是（）A．連續擲一枚硬幣兩次，兩次都出現正面朝上 B．異性電荷相互吸引 C．在標準大氣壓下，水在1℃結冰 D．買一注彩票中了特等獎 E．擲一次骰子，向上的一面的點數是6（多選）11．（2024秋?威海期末）口袋中裝有編號為①，②，③的3個紅球和編號為①，②，③，④，⑤的5個黑球，小球除顏色、編號外形狀大小完全相同．現從中取出1個小球，記事件A為“取出的小球的編號為③”，事件B為“取出的小球是黑球”，則（）A．A與B互斥 B．P(AB)=18 C．A與B（多選）12．（2025?江西模擬）高中數學多選題，每小題有4個選項，其中有2個或3個是正確選項，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，若正確答案是2個選項，只選對1個得3分，有選錯的得0分；若正確答案是3個選項，只選對1個得2分，只選對2個得4分，有選錯的得0分．假如每道多選題正確答案是2個選項的個概率為13，正確答案是3個選項的概率為23，小明同學對一道數學多選題沒有思路，但是他可以斷定B選項是錯的（此題答案確實不含A．單選A得2分的概率為23B．單選A得3分的概率為29C．從剩下三個選項中隨機選兩項得6分的概率為13D．剩余三個選項都選的得分期望為4三．填空題（共4小題）13．（2025?南寧模擬）6個人站成一排，其中甲站排頭或排尾的條件下，乙、丙不相鄰的概率為．14．（2025?洮北區校級一模）某大學決定從甲、乙兩個學院分別抽取100人、60人參加演出活動，其中甲學院中女生占35，乙學院中女生占34．從中抽取一人恰好是女生的概率為15．（2025?碑林區校級模擬）隨機變量X服從正態分布ξ～N（10，σ2），P（8≤ξ≤10）＝a，P（ξ＞12）＝b，則1a+2b的最小值為16．（2025?碑林區校級模擬）已知P（A）＝0.4，P（A|B）＝0.8，P（A|B）＝0.3，則P（B）＝．四．解答題（共4小題）17．（2025?鷹潭一模）預防接種是預防掌握傳染病最經濟、最有效的手段，是預防疾病傳播和保護群眾的重要措施．為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區某種動物（數量較大）進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數據（單位：只）：發病沒發病合計接種疫苗71825沒接種疫苗19625合計262450（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關？（2）從該地區此動物群中任取一只，記A表示此動物發病，A表示此動物沒發病，B表示此動物接種疫苗，定義事件A的優勢R1=P(A)1-P(A)，在事件B發生的條件下（3）若把上表中的頻率視作概率，現從該地區沒發病的動物中抽取3只動物，記抽取的3只動物中接種疫苗的只數為X，求隨機變量X的分布列、數學期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+bP（χ2≥x0）0.0500.0100.001x03.8416.63510.82818．（2025?重慶模擬）某小區進行小區內車位搖號，某棟樓附近有20個車位可供選擇，該棟樓共100戶居民有資格參與搖號，每戶居民按事先抽到的順序號進行順次抽取．小區物業在全體居民的關注和監督員的監督下，將帶有20個車位編號的卡片放入不透明的箱子里，同時放入80個空白卡，100張卡片外形大小等完全一致，每位居民按順序號依次抽取卡片，已知甲抽到的順序號是3號．（1）如果抽到卡片的人公布是否抽到車位，求在前兩個人都抽到車位的情況下，甲抽到車位的概率；（2）如果每個人都不公布自己是否抽到車位，求甲抽到車位的概率．19．（2025?昌黎縣校級一模）某大學舞蹈社有4名男生、2名女生，現要舉辦社團巡禮活動，擬從這6人中抽取2人參加巡禮活動中的相應比賽，比賽有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三項，被選中的人可以根據自身情況選擇參加比賽的項數，具體如下：參加一項的可能性參加兩項的可能性參加三項的可能性女生0.50.50男生00.50.5每參加1項比賽，社團的積分將增加100分．（1）在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生參加比賽的概率；（2）求該舞蹈社團最終的積分為600分的概率；（3）現學校對參加比賽的社團提出兩種嘉獎方案．方案一：每個社團獎勵“參與獎”400元；方案二：對參加比賽的社團最后獲得的積分以“1積分＝1元”獎金進行兌換．若你是舞蹈社社長，以獲得的獎勵金額的期望為決策依據，判斷哪種方案比較有利．20．（2025?碑林區校級模擬）投擲均勻的骰子，每次擲得的點數為1或2時得1分，擲得的點數為3，4，5，6時得2分．獨立地重復擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結果作為最終得分．（1）設投擲2次骰子，最終得分為X，求隨機變量X的分布列與期望；（2）若投擲n次骰子，記合計得分恰為n+1分的概率為Pn，求i=1（3）設最終得分為n分的概率為Pn，求數列{Pn}的通項公式．

2025年高考數學三輪復習之概率參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DCDCABDD二．多選題（共4小題）題號9101112答案BCDADEBDABD一．選擇題（共8小題）1．（2025?濰坊模擬）某學校組織中國象棋比賽，甲、乙兩名同學進入決賽．決賽采取3局2勝制，假設每局比賽中甲獲勝的概率均為23A．14 B．34 C．35 【考點】條件概率；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】D【分析】設甲獲勝為事件A，甲第一局獲勝為事件B，根據條件概率計算公式求解．【解答】解：決賽采取3局2勝制，假設每局比賽中甲獲勝的概率均為23設甲獲勝為事件A，甲第一局獲勝為事件B，則P(P(所以在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率是P(故選：D．【點評】本題考查了條件概率的計算，屬于中檔題．2．（2025?赤峰模擬）某學校有A、B兩家餐廳，王同學第一天去A、B兩個餐廳的概率分別是35和25，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為35；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為4A．1217 B．817 C．1725 【考點】全概率公式．【專題】轉化思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】C【分析】根據全概率公式求解即可．【解答】解：設王同學第一天去B餐廳為事件B1，第二天去B餐廳為事件B2，王同學第一天去A餐廳為事件A1，第二天去A餐廳為事件A2，由已知可得P(A1則根據全概率公式，P(故選：C．【點評】本題考查全概率公式，屬于基礎題．3．（2024秋?蚌埠期末）拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：A＝“點數不大于3”，B＝“點數不小于3”，C＝“點數大于4”，D＝“點數為奇數”，E＝“點數為偶數”，下列結論正確的是（）A．A，B為互斥事件 B．B，C為對立事件 C．C，D為互斥事件 D．D，E為對立事件【考點】互斥事件與對立事件．【專題】轉化思想；轉化法；概率與統計；運算求解．【答案】D【分析】寫出基本事件和樣本空間，得到A∩B≠?；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；D∩E＝?，且D∪E＝Ω，從而判斷出結論．【解答】解：樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件B包含的基本事件有點數為3，點數為4，點數為5，點數為6，事件A包含的基本事件有點數為1，點數為2，點數為3，由于A∩B有共同的基本事件，即點數為3，A∩B≠?，故A，B不為互斥事件，A錯誤；B選項，事件C包含的基本事件有點數為5，點數為6，結合A選項，顯然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不對立，B錯誤；C選項，事件D包含的基本事件有點數為1，點數為3，點數為5，結合B選項，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C錯誤；D選項，事件E包含的基本事件有點數為2，點數為4，點數為6，結合C選項，D∩E＝?，且D∪E＝Ω，所以D，E為對立事件，D正確．故選：D．【點評】本題主要考查互斥事件、對立事件的定義，屬于基礎題．4．（2024秋?喀什市期末）甲、乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為13，2A．215 B．15 C．25 【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】C【分析】根據題意，設“甲獨立地破解出謎題”為事件A，“乙獨立地破解出謎題”為事件B，根據相互獨立事件的乘法公式求出P（AB【解答】解：根據題意，設“甲獨立地破解出謎題”為事件A，“乙獨立地破解出謎題”為事件B，P(故P（A）＝1﹣P（A）=23，P（B）＝1﹣P（B）則P（AB）＝P（A）P（B）=故謎題沒被破解出的概率為25故選：C．【點評】本題考查相互獨立事件的概率計算，注意事件之間的關系，屬于基礎題．5．（2024秋?威海期末）現有甲、乙兩支籃球隊進行比賽，甲隊每場獲勝的概率為23A．2027 B．1627 C．49 【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】A【分析】根據題意甲隊獲得勝利的情況為2：0，2：1，再利用相互獨立事件的概率乘法公式可解．【解答】解：甲隊每場獲勝的概率為23，甲隊獲得勝利的情況為2：0，2：1若比分為2：0，其概率為P=2若比分為2：1，其概率為P=C則甲隊獲得勝利的概率49故選：A．【點評】本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題．6．（2025?重慶校級模擬）有6名志愿者參與社區活動，活動安排在周一、周二兩天．若每天從6人中任選三人參加活動，則恰有2人連續參加兩天活動的概率為（）A．13 B．920 C．35 【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】B【分析】利用排列組合以及分步乘法計數原理計算個數，即可利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：6名志愿者參與社區活動，活動安排在周一、周二兩天．若每天從6人中任選三人參加活動，第一天從6個人中選3人，方法有C63種，第二天從6個人中選3人，方法有故樣本點總數為C6恰好有2人連續參加兩天的活動，則先從6個人中選2人，方法有C6第一天從剩下4人中選1人，有C4第二天從剩下的3人中任選1人，方法數為C3所以恰有2人連續參加兩天活動的概率為p=故選：B．【點評】本題考查古典概型相關知識，屬于基礎題．7．（2025?自貢模擬）現有數字1，2，2，3，3，3，若將這六個數字排成一排，則數字2，2恰好相鄰的概率為（）A．112 B．14 C．29 【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】D【分析】根據題意可將六個數字全排列，再計算將兩個2看作一個整體，與一個1與三個3進行全排列數，結合古典概型相關知識可解．【解答】解：將六個數字全排列有A6將兩個2看作一個整體，與一個1與三個3進行全排列，有A5則數字2，2恰好相鄰的概率為P=20故選：D．【點評】本題考查古典概型相關知識，屬于中檔題．8．（2024秋?焦作期末）某科研小組共60名成員，他們需要完成甲、乙、丙、丁四個科研項目，科研成員隨機參與，且每個人可以參與一個或多個項目．若參與甲項目的有30人，參與乙項目的有10人，參與丙項目的有20人，參與丁項目的有30人，參與了甲項目或乙項目的共有40人，同時參與了甲項目和丙項目的有10人，參與了甲項目或丁項目的共有60人，則下列說法正確的是（）A．參與甲項目與參與乙項目不互斥 B．參與甲項目與參與丁項目互斥但不對立 C．參與丙項目與參與丁項目不相互獨立 D．參與甲項目與參與丙項目相互獨立【考點】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】D【分析】A選項，根據甲乙項目的參加情況得到n（A∩B）＝0，即可得到參與甲項目與參與乙項目互斥；B選項，根據甲丁項目的參加情況得到n（A∩D）＝0，即可得到參與甲項目與參與丁項目互斥且對立；C選項，根據參與甲項目與參與丁項目對立和n（A∩C）＝10得到n（C∩D）＝20﹣10，然后得到P（C∩D），P（C），P（D），最后利用乘法公式判斷；D選項，利用乘法公式判斷即可．【解答】解：若參與甲項目的有30人，參與乙項目的有10人，參與丙項目的有20人，參與丁項目的有30人，參與了甲項目或乙項目的共有40人，同時參與了甲項目和丙項目的有10人，參與了甲項目或丁項目的共有60人，設總人數為n，記參與甲，乙，丙，丁項目分別為事件A，B，C，D，由題意可得n（A）＝30，n（B）＝10，n（A∪B）＝40，故n（A∩B）＝0，故參與甲項目與參與乙項目互斥，故A錯誤；由題意可得n（A）＝30，n（D）＝30，n（A∪D）＝n＝60，故n（A∩D）＝0，故參與甲項目與參與丁項目互斥且對立，故B錯誤；由題意得n（C）＝20，n（D）＝30，n（C∩D）＝20﹣10＝10，故P(C∩故P（C∩D）＝P（C）P（D），故參與丙項目與參與丁項目相互獨立，故C錯誤；P(故參與甲項目與參與丙項目相互獨立，故D正確．故選：D．【點評】本題考查互斥事件以及相互獨立事件相關知識，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?碑林區校級模擬）下列結論中正確的有（）A．若兩個具有線性相關關系的變量，其相關性越強，則樣本相關系數r的值越接近1 B．依據小概率α＝0.05的獨立性檢驗推斷兩個分類變量X與Y之間是否有有關聯，經計算χ2＝4.352＞3.841＝χ0.05，可以推斷兩變量有關聯，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05 C．隨機變量X～B（n，p），若E（2X+1）＝31，D（2X+1）＝15，則n＝20 D．用y＝cekx擬合一組數據時，經z＝lny代換后得到的回歸直線方程為z＝0.3x+4，則c＝e4，k＝0.3【考點】二項分布的均值（數學期望）與方差；樣本相關系數；獨立性檢驗．【專題】轉化思想；轉化法；概率與統計；運算求解．【答案】BCD【分析】根據相關系數和獨立性檢驗相關知識可判斷AB；利用二項分布的期望和方差公式以及E（2X+1）＝2E（X）+1和D（2X+1）＝4D（X）等公式可判斷C；取對數將非線性方程化為線性方程可判斷D．【解答】解：若兩個具有線性相關關系的變量，其相關性越強，則樣本相關系數r的絕對值越接近1，故A錯誤；B．依據獨立性檢驗相關知識可知B正確；C．隨機變量X～B（n，p），則E（X）＝np，D（X）＝np（1﹣p），若E（2X+1）＝31，D（2X+1）＝15，則E（2X+1）＝2E（X）+1＝2np+1＝31，D（2X+1）＝4D（X）＝4np（1﹣p）＝15，解得n=20，pD．由y＝cekx得lny＝ln（cekx）＝kx+lnc，又因z＝0.3x+4，則k＝0.3，lnc＝4，得c＝e4，故D正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查概率的知識，屬于基礎題．（多選）10．（2024秋?裕安區校級期末）下列事件是隨機事件的是（）A．連續擲一枚硬幣兩次，兩次都出現正面朝上 B．異性電荷相互吸引 C．在標準大氣壓下，水在1℃結冰 D．買一注彩票中了特等獎 E．擲一次骰子，向上的一面的點數是6【考點】隨機事件．【專題】轉化思想；轉化法；概率與統計；運算求解．【答案】ADE【分析】結合隨機事件、必然事件、不可能事件的定義，即可求解．【解答】解：A，D，E是隨機事件，C為不可能事件，B為必然事件．故選：ADE．【點評】本題考查隨機事件、必然事件、不可能事件的定義，考查對概念的理解，屬于基礎題．（多選）11．（2024秋?威海期末）口袋中裝有編號為①，②，③的3個紅球和編號為①，②，③，④，⑤的5個黑球，小球除顏色、編號外形狀大小完全相同．現從中取出1個小球，記事件A為“取出的小球的編號為③”，事件B為“取出的小球是黑球”，則（）A．A與B互斥 B．P(AB)=18 C．A與B【考點】古典概型及其概率計算公式；事件的互斥（互不相容）及互斥事件．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】BD【分析】根據古典概型可計算P（A）=28=14，P（B）=58【解答】解：根據題意，P（A）=28=14，P（B）=58，P又P（AB）≠P（A）P（B），故A，B不獨立，故C錯誤；若取出的球是黑色③號，則A與B能同時發生，不互斥，故A錯誤；則P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）=14+故選：BD．【點評】本題考查互斥事件，獨立事件等概率相關知識，屬于基礎題．（多選）12．（2025?江西模擬）高中數學多選題，每小題有4個選項，其中有2個或3個是正確選項，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，若正確答案是2個選項，只選對1個得3分，有選錯的得0分；若正確答案是3個選項，只選對1個得2分，只選對2個得4分，有選錯的得0分．假如每道多選題正確答案是2個選項的個概率為13，正確答案是3個選項的概率為23，小明同學對一道數學多選題沒有思路，但是他可以斷定B選項是錯的（此題答案確實不含A．單選A得2分的概率為23B．單選A得3分的概率為29C．從剩下三個選項中隨機選兩項得6分的概率為13D．剩余三個選項都選的得分期望為4【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）．【專題】計算題；對應思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】ABD【分析】對于A，單選A得2分，說明正確答案為3個，由此計算可判斷A；對于B，單選A得3分，說明正確答案為2個，由此計算可判斷B；對于C，從剩下三個選項中隨機選兩項得6分，說明當正確選項為2個，由此計算可判斷C；對于D，分別求出選3個得0分和選3個得6分的概率，再計算期望即可判斷D．【解答】解：因為小明B選項是錯的，且正確答案為2個或3個選項，選項A；當正確答案為3個時，單選A得2分的概率為23，故選項A選項B；當正確答案為2個時，單選A得3分的概率為13×2選項C；從剩余選項中隨機選2個得6得，需要選對所有正確選項，當正確選項為2個時，概率為13，當正確答案為3個時，選兩個不能得6所以從剩下三個選項中隨機選兩項得6分的概率為13×1選項D，當正確答案為2個時，選3個得0分，概率為13當正確答案為3個時，選3個得6分，概率為23所以得分的期望為0×13故選：ABD．【點評】本題主要考查概率的求法，期望的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?南寧模擬）6個人站成一排，其中甲站排頭或排尾的條件下，乙、丙不相鄰的概率為35【考點】求解條件概率．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】35【分析】根據題目求出甲站排頭或排尾以及甲站排頭或排尾且乙、丙不相鄰的方法個數，再利用條件概率公式直接求解即可．【解答】解：根據題意，6個人站成一排，若甲站排頭或排尾，排法有A5甲站排頭或排尾且乙、丙不相鄰的方法有2A故要求概率P=144故答案為：3【點評】本題考查條件概率的計算，涉及排列組合的應用，屬于基礎題．14．（2025?洮北區校級一模）某大學決定從甲、乙兩個學院分別抽取100人、60人參加演出活動，其中甲學院中女生占35，乙學院中女生占34．從中抽取一人恰好是女生的概率為21【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】2132【分析】根據古典概型相關知識可解．【解答】解：用A和A分別表示抽取一人是來自甲學院與乙學院，B表示抽取一人恰好是女生，則根據已知有P（A）=100160=58，則P且P（B|A）=35，P（B|A）所以P（B）＝P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=5故答案為：2132【點評】本題考查古典概型相關知識，屬于基礎題．15．（2025?碑林區校級模擬）隨機變量X服從正態分布ξ～N（10，σ2），P（8≤ξ≤10）＝a，P（ξ＞12）＝b，則1a+2b的最小值為【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義；運用“1”的代換構造基本不等式．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】6+42【分析】利用正態分布的性質，得到a+【解答】解：隨機變量X服從正態分布ξ～N（10，σ2），P（8≤ξ≤10）＝a，P（ξ＞12）＝b＞0，又P（8≤ξ≤10）＝P（10≤ξ≤12），則a+所以1a當且僅當2ab=故答案為：6+42【點評】本題考查正態分布的性質以及基本不等式相關知識，屬于中檔題．16．（2025?碑林區校級模擬）已知P（A）＝0.4，P（A|B）＝0.8，P（A|B）＝0.3，則P（B）＝0.2．【考點】求解條件概率．【專題】轉化思想；轉化法；概率與統計；運算求解．【答案】0.2．【分析】設P（B）＝p，根據條件，利用全概率公式，即可求解【解答】解：設P（B）＝p，P（A|B）＝0.3，P（A）＝0.4，P（A|B）＝0.8，則P(所以0.4＝p×0.8+（1﹣p）×0.3，解得p＝0.2．故答案為：0.2．【點評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎題．四．解答題（共4小題）17．（2025?鷹潭一模）預防接種是預防掌握傳染病最經濟、最有效的手段，是預防疾病傳播和保護群眾的重要措施．為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區某種動物（數量較大）進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數據（單位：只）：發病沒發病合計接種疫苗71825沒接種疫苗19625合計262450（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關？（2）從該地區此動物群中任取一只，記A表示此動物發病，A表示此動物沒發病，B表示此動物接種疫苗，定義事件A的優勢R1=P(A)1-P(A)，在事件B（3）若把上表中的頻率視作概率，現從該地區沒發病的動物中抽取3只動物，記抽取的3只動物中接種疫苗的只數為X，求隨機變量X的分布列、數學期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+bP（χ2≥x0）0.0500.0100.001x03.8416.63510.828【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）；獨立性檢驗．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）接種該疫苗與預防該疾病有關；（2）1439（3）X的分布列為：X0123P16496427642764E（X）=9【分析】（1）求得卡方值，比較臨界值即可判斷；（2）由條件概率計算公式即可求解；（3）由題意確定X～【解答】解：（1）零假設H0：接種該疫苗與預防該疾病無關，則χ2所以依據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關；（2）由于1-所以R2=PR2由列聯表中的數據可得P(B|所以R2（3）由題可知，抽取的24只沒發病的動物中接種疫苗和沒接種疫苗的動物分別為18人和6人，所以從沒發病的動物中隨機抽取1只，抽取的是接種了疫苗的概率為1818+6則由題意可知X＝0，1，2，3，且X～所以P(X=0)=C30(所以隨機變量X的分布列為：X0123P16496427642764所以E(【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，考查了條件概率公式，以及離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．18．（2025?重慶模擬）某小區進行小區內車位搖號，某棟樓附近有20個車位可供選擇，該棟樓共100戶居民有資格參與搖號，每戶居民按事先抽到的順序號進行順次抽取．小區物業在全體居民的關注和監督員的監督下，將帶有20個車位編號的卡片放入不透明的箱子里，同時放入80個空白卡，100張卡片外形大小等完全一致，每位居民按順序號依次抽取卡片，已知甲抽到的順序號是3號．（1）如果抽到卡片的人公布是否抽到車位，求在前兩個人都抽到車位的情況下，甲抽到車位的概率；（2）如果每個人都不公布自己是否抽到車位，求甲抽到車位的概率．【考點】求解條件概率．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）949（2）0.2．【分析】利用縮樣法求解第（1）問；利用全概率公式求解第（2）問．【解答】解：（1）由題意得，前兩個人都抽到車位的情況下，甲抽到車位的概率為：P=C前兩個人都抽到車位的情況下，甲抽到車位的概率為949（2）令Ai＝“第i個人抽到車位”，i＝1，2，3，則P（A3）＝P（A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1=20＝0.2，每個人都不公布自己是否抽到車位，求甲抽到車位的概率為0.2．【點評】本題考查條件概率和全概率的計算，屬于中檔題．19．（2025?昌黎縣校級一模）某大學舞蹈社有4名男生、2名女生，現要舉辦社團巡禮活動，擬從這6人中抽取2人參加巡禮活動中的相應比賽，比賽有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三項，被選中的人可以根據自身情況選擇參加比賽的項數，具體如下：參加一項的可能性參加兩項的可能性參加三項的可能性女生0.50.50男生00.50.5每參加1項比賽，社團的積分將增加100分．（1）在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生參加比賽的概率；（2）求該舞蹈社團最終的積分為600分的概率；（3）現學校對參加比賽的社團提出兩種嘉獎方案．方案一：每個社團獎勵“參與獎”400元；方案二：對參加比賽的社團最后獲得的積分以“1積分＝1元”獎金進行兌換．若你是舞蹈社社長，以獲得的獎勵金額的期望為決策依據，判斷哪種方案比較有利．【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）．【專題】應用題；整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解；新文化類．【答案】（1）47（2）110（3）方案二更有利．【分析】（1）利用條件概率公式結合古典概型概率計算公式即可求解；（2）根據題意，“積分為600分”說明“總共參加了6場比賽”即“2人都是男生，且都參加了三項比賽”，分步計算概率，相乘即可；（3）針對方案二，進行積分X的可能取值和相應概率計算，再根據數學期望公式得到E（X），與方案一比較即可得出結論．【解答】解：（1）根據題意某大學舞蹈社有4名男生、2名女生，現要舉辦社團巡禮活動，擬從這6人中抽取2人參加巡禮活動中的相應比賽，設“抽取的2人至少有1名男生”為事件A，設“有女生參加比賽”為事件B．則P(A)=利用條件概率公式，可得P(（2）根據題意，該舞蹈社團最終的積分為600分，說明抽取的2人都是男生，且2人都參加了三項比賽，所求概率P=（3）方案一：每個社團獎勵“參與獎”400元；對于方案二，設參加比賽的社團最后獲得的獎金為X，則X所有可能取值為200，300，400，500，600．則P(P(P(P(P(所以E(即獲得的獎勵金額的期望大于400，故方案二更有利．【點評】本題考查離散型隨機變量的均值（數學期望），屬于中等題．20．（2025?碑林區校級模擬）投擲均勻的骰子，每次擲得的點數為1或2時得1分，擲得的點數為3，4，5，6時得2分．獨立地重復擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結果作為最終得分．（1）設投擲2次骰子，最終得分為X，求隨機變量X的分布列與期望；（2）若投擲n次骰子，記合計得分恰為n+1分的概率為Pn，求i=1（3）設最終得分為n分的概率為Pn，求數列{Pn}的通項公式．【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）；離散型隨機變量及其分布列．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）分布列見解析，E(（2）i=1（3）Pn【分析】（1）根據題意分析X可能的取值，求出相應的概率寫出分布列，再利用公式求出期望值；（2）根據題意得出Pn的表達式，利用錯位相減法求和即可；（3）根據題意得出Pn與Pn﹣1以及Pn﹣2的關系式，構造出等比數列，再利用累加法可求出Pn的通項公式．【解答】解：（1）由題意投擲均勻的骰子，每次擲得的點數為1或2時得1分，擲得的點數為3，4，5，6時得2分．獨立地重復擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結果作為最終得分，投擲2次骰子，最終得分為X，可得X可能取值為2，3，4，P(P(P(∴X的分布列為X234P194949數學期望E(（2）根據題意，投擲n次，得分為n+1分，則只有一次投擲得2分，所以Pn則i=1則有13兩式相減，得23所以i=1（3）由題意可知Pn則有Pn∵P1∴P2∴{Pn﹣Pn﹣1}是以49為首項，-∴Pn∴n≥2時，Pnn＝1時，P1綜上，Pn【點評】本題考查了離散型隨機變量的概率分布，是中檔題．

考點卡片1．運用“1”的代換構造基本不等式【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2【解題方法點撥】在一些復雜的代數式問題中，結合已知條件中的和或積為常熟，可以通過將“1”表示為兩個數的和或積，從而構造均值不等式，簡化問題．【命題方向】運用“1”的代換構造均值不等式時，可以通過將“1”表示為兩個數的和或積，從而應用均值不等式．已知實數x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案為：1+32．隨機事件【知識點的認識】1．定義：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件．（或“偶然性事件”）2．特點：（1）隨機事件可以在相同的條件下重復進行；（2）每個試驗的可能結果不止一個，并且能事先預測試驗的所有可能結果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現．3．注意：（1）隨機事件發生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發生的機會是1；不可能事件發生的機會是0；隨機事件發生的機會在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個事件是必然事件、隨機事件、還是不可能事件，要從定義出發．3．互斥事件與對立事件【知識點的認識】1．互斥事件（1）定義：一次試驗中，事件A和事件B不能同時發生，則這兩個不能同時發生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發生（即A1，A2，…，An中有一個發生）的概率等于這n個事件分別發生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對立事件（1）定義：一次試驗中，兩個事件中必有一個發生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做A．注：①兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件；②在一次試驗中，事件A與A只發生其中之一，并且必然發生其中之一．（2）對立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對立事件的區別和聯系互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對知識點概念的掌握例1：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個黑球”與“至少有1個紅球”D．“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”分析：列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可解答：對于A：事件：“至少有一個紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個事件是對立事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，∴B不正確對于C：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有1個紅球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，∴C不正確對于D：事件：“恰有一個黑球”與“恰有2個黑球”不能同時發生，∴這兩個事件是互斥事件，又由從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，得到所有事件為“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”以及“恰有2個紅球”三種情況，故這兩個事件是不是對立事件，∴D正確故選D點評：本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯系與區別．同時要能夠準確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率大D．事件A，B同時發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率小．分析：根據對立事件和互斥事件的概率，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，這兩者之間的關系是一個包含關系．解答：根據對立事件和互斥事件的概念，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，故選B．點評：本題考查互斥事件與對立事件之間的關系，這是一個概念辨析問題，這種題目不用運算，只要理解兩個事件之間的關系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13分析：記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點評：本題主要考查互斥事件的關系，不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計算中的應用．3．對立事件概率公式的應用例：若事件A與B是互為對立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據對立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因為對立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點評：本題主要考查對立事件的定義，屬于基礎題．4．事件的互斥（互不相容）及互斥事件【知識點的認識】一般地，如果事件A與事件B不能同時發生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）．【解題方法點撥】﹣判斷兩個事件是否互斥，即它們的交是否為空．【命題方向】．；﹣常用于考察事件是否互斥的問題．5．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現的結果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現的結果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數n與事件A中所包含的基本事件數．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．6．相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認識】﹣對于相互獨立事件A和B，P(【解題方法點撥】﹣應用乘法公式計算獨立事件的聯合概率，確保事件的獨立性．【命題方向】﹣重點考察獨立事件的概率計算及獨立性證明．7．條件概率【知識點的認識】1、條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發生的條件下，事件B發生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數n（A），再在事件A發生的條件下求出事件B包含的基本事件數，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點撥】典例1：利用計算機產生1到6之間取整數值的隨機數a和b，在a+b為偶數的條件下，|a﹣b|＞2發生的概率是29解：由題意得，利用計算機產生1到6之間取整數值的隨機數a和b，基本事件的總個數是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個，“在a+b為偶數的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個，故在a+b為偶數的條件下，|a﹣b|＞2發生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為34，23，12，乙隊每人答對的概率都是2（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列及其數學期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數學期望E（ξ）．（Ⅱ）設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數學期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P8．求解條件概率【知識點的認識】﹣條件概率：在事件B發生的條件下事件A發生的概率，記作P（A|B）．﹣計算：P(A|B)=P(【解題方法點撥】﹣計算條件概率時，確定事件B的發生對事件A的影響，通過交事件的概率和條件事件的概率進行計算．【命題方向】﹣主要考察條件概率的計算及其應用問題．9．全概率公式【知識點的認識】全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P（B）=i10．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認識】1、相關概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數，則η也是隨機變量．（3）連續型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．11．離散型隨機變量的均值（數學期望）【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數學期望，簡稱期望．數學期望的意義：數學期望離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個性質：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．12．二項分布的均值（數學期望）與方差【知識點的認識】二項分布：一般地，在n次獨立重復的試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則P（X＝k）=Cnkpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（nCnkpk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，﹣均值（數學期望）：E(X)=n×﹣方差：D(【解題方法點撥】﹣使用二項分布的均值和方差公式來計算相關概率分布的期望和方差．【命題方向】﹣重點考察二項分布的期望和方差計算，常用于統計數據分析和預測問題．13．正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態曲線及性質（1）正態曲線的定義函數φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實數（2）正態曲線的解析式①指數的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數：π和e，這是兩個無理數．③解析式中含有兩個參數：μ和σ，其中μ可取任意實數，σ＞0這是正態分布的兩個特征數．④解析式前面有一個系數為12πσ，后面是一個以e為底數的指數函數的形式，冪2．正態分布（1）正態分布的定義及表示如果對于任何實數a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態分布，記作N（μ，（2）正態總體在三個特殊區間內取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態曲線的性質正態曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態總體在三個特殊區間內取值的概率值結合正態曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產品進行質量檢測的理論依據．【解題方法點撥】正態分布是高中階段唯一連續型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現，其中數值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．對正態分布N（μ，σ2）中兩個參數對應的數值及其意義應該理解透徹并記住，且注意第二個數值應該為σ2而不是σ，同時，記住正態密度曲線的六條性質．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎考察典例1：設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數f（x）的圖象，且f（x）=18πA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機變量ξ服從正態分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機變量X服從正態分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態曲線性質知，其圖象關于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態曲線的性質典例1：若一個正態分布的概率密度函數是一個偶函數，且該函數的最大值為14（1）求該正態分布的概率密度函數的解析式；（2）求正態總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態分布的概率密度函數的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關．解（1）由于該正態分布的概率密度函數是一個偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關鍵是正確理解函數解析式與正態曲線的關系，掌握函數解析式中參數的取值變化對曲線的影響．典例2：設兩個正態分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據正態分布N（μ，σ2）函數的性質：正態分布曲線是一條關于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態分布的概率計算典例1：設X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態密度曲線的對稱性求解