第29頁（共29頁）2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之集合一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?銅陵期末）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（）①0∈N；②3?Z；③12∈A．1 B．2 C．3 D．42．（2025?赤峰模擬）已知集合A＝{[﹣1.5]，[﹣1]，[0.4]，[2.1]}，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，B＝{x∈Z|﹣2≤x＜3}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1.0，1} C．{﹣1，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}3．（2025?咸陽模擬）已知集合A＝{x∈N|x2﹣9x≤0}，B={x|x∈A．{1，4，9，16} B．{0，1，4，9} C．{1，4，9} D．{0，1，4}4．（2025?資溪縣校級模擬）設(shè)集合A={x|x+2x-2≤0}，B＝{x|log2（A．[﹣2，2] B．[﹣2，2） C．（﹣1，2] D．（﹣1，2）5．（2025?南寧模擬）已知集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，N＝{x|﹣4＜x＜4}，則M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1} C．{0，1} D．{﹣2，1}6．（2024秋?玉溪期末）已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2＜4}，則A∩B＝（）A．(-2，12) B．（﹣2，2） C．(17．（2024秋?師宗縣校級期末）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2}，則（?UA）∪B＝（）A．{1，2，4} B．{1，2，3} C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4}8．（2024秋?雙清區(qū)校級期末）給出下列關(guān)系：①12∈R；②2?R；③|﹣3|∈A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共5小題）（多選）9．（2025?單縣校級一模）離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X＝{1，2，?，p﹣1}，若u，v∈X，m∈N，記u?v為uv除以p的余數(shù)，um，?為um除以p的余數(shù)；設(shè)a∈X，1，a，a2，?，?，ap﹣2，?兩兩不同，若an，?＝b（n∈{0，1，?，p﹣2}），則稱n是以a為底b的離散對數(shù)，記為n＝log（p）ab．則（）A．若p＝13，則對應(yīng)集合X有5個(gè)元素 B．若p＝7，u＝5，v＝6，則u?v＝2 C．若p＝11，a＝2，則ap﹣1，?＝1 D．log（11）24＝4（多選）10．（2024秋?衡水校級期末）若集合A＝{x|x＝kπ+π2，k∈Z]，B＝{x|x＝2kπ+π2，k∈Z}，C＝{x|x＝2kπ-π2A．B∩C＝? B．A∩B＝B C．A∪C＝C D．B∪C＝A（多選）11．（2024秋?朝陽校級期末）已知全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．則圖中陰影部分表示的集合是（）A．?UA B．?U（A∪B） C．{﹣3，4} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}（多選）12．（2024秋?仁壽縣校級期末）下列說法中不正確的是（）A．集合{x|x＜1，x∈N}為無限集 B．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解構(gòu)成的集合的所有子集共4個(gè) C．{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x﹣y＝﹣1} D．{y|y＝2n，n∈Z}?{x|x＝4k，k∈Z}（多選）13．（2024秋?仁壽縣校級期末）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．3三．填空題（共3小題）14．（2025?濰坊模擬）已知集合A＝{0，1，a+2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a＝．15．（2024秋?仁壽縣校級期末）定義集合的商集運(yùn)算為：BA={x|x=nm，m∈A，n∈B16．（2024秋?鶴山市校級期末）集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，則a＝．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?威海期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B={（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求a的取值范圍．18．（2024秋?河池期末）已知集合U＝{1，2，3，5，7，9}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，5，9}．（1）求A∩（?UB），（?UA）∩（?UB）；（2）若集合C＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}，是否存在實(shí)數(shù)a，使得A∪C＝A？若存在，試求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．19．（2024秋?上城區(qū)校級期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求A∩（?RB）；（2）若A∩B＝B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．（2024秋?鹽城期末）設(shè)全集U＝R，已知A={x|5x+2≥1}，B＝{x|（x﹣a）（x（1）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之集合參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDBDDCAB二．多選題（共5小題）題號910111213答案BCABDBCACDAB一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?銅陵期末）下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（）①0∈N；②3?Z；③12∈A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；邏輯思維．【答案】C【分析】根據(jù)常用集合的符號和含義作出判斷，得到答案．【解答】解：0∈N，3?Z，12∈R，π?Q故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了對常用數(shù)集的掌握情況，元素與集合的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2．（2025?赤峰模擬）已知集合A＝{[﹣1.5]，[﹣1]，[0.4]，[2.1]}，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，B＝{x∈Z|﹣2≤x＜3}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1.0，1} C．{﹣1，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】由已知得到集合A，B，根據(jù)交集的定義即可求解．【解答】解：由題意，A＝{﹣2，﹣1，0，2}，B＝{x∈Z|﹣2≤x＜3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，則A∩B＝{﹣2，﹣1，0，2}．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025?咸陽模擬）已知集合A＝{x∈N|x2﹣9x≤0}，B={x|x∈A．{1，4，9，16} B．{0，1，4，9} C．{1，4，9} D．{0，1，4}【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先求出集合A，B，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x∈N|x2﹣9x≤0}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B={x|x∈A}={0，1，4，9，16，25，36故A∩B＝{0，1，4，9}．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?資溪縣校級模擬）設(shè)集合A={x|x+2x-2≤0}，B＝{x|log2（A．[﹣2，2] B．[﹣2，2） C．（﹣1，2] D．（﹣1，2）【考點(diǎn)】求集合的交集；分式不等式；指、對數(shù)不等式的解法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】分別解出集合A中的分式不等式和集合B中的對數(shù)不等式，再利用集合的交集運(yùn)算即可求解．【解答】解：不等式log2（x+1）＜2等價(jià)于log2（x+1）＜log24，∴x+1＞0x+1＜4，∴﹣1＜x＜3，∴B＝{x|不等式x+2x-2≤0等價(jià)于(x+2)(∴A＝{x|﹣2≤x＜2}；∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?南寧模擬）已知集合M＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，N＝{x|﹣4＜x＜4}，則M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1} C．{0，1} D．{﹣2，1}【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用交集的定義求解即可．【解答】解：M中的元素都是形如3k﹣2的整數(shù)，其中k是整數(shù)，求交集M∩N，需要找到滿足﹣4＜3k﹣2＜4的整數(shù)k，解不等式﹣4＜3k﹣2＜4，得-23＜k因此整數(shù)k＝0或1當(dāng)k＝0時(shí)，x＝3×0﹣2＝﹣2，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝3×1﹣2＝1，所以M∩N中的元素是{﹣2，1}．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024秋?玉溪期末）已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2＜4}，則A∩B＝（）A．(-2，12) B．（﹣2，2） C．(1【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)集合的交集，可得答案．【解答】解：集合A＝{x|2x＞1}，則A={B＝{x|﹣2＜x＜2}，所以A∩故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024秋?師宗縣校級期末）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2}，則（?UA）∪B＝（）A．{1，2，4} B．{1，2，3} C．{1，2，3，5} D．{1，2，3，4}【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合的補(bǔ)集和并集運(yùn)算求解即可．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2}，∴?UA＝{2，4}，（?UA）∪B＝{1，2，4}．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了補(bǔ)集和并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．8．（2024秋?雙清區(qū)校級期末）給出下列關(guān)系：①12∈R；②2?R；③|﹣3|∈A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】常用數(shù)集及其記法．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)給定信息，利用元素與集合的關(guān)系判斷作答．【解答】解：顯然12，2都是實(shí)數(shù)，①|(zhì)﹣3|＝3是自然數(shù)，③正確；|-3|=所以正確的個(gè)數(shù)為2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了元素與集合的關(guān)系，實(shí)數(shù)集、自然數(shù)集和有理數(shù)集的定義，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）（多選）9．（2025?單縣校級一模）離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X＝{1，2，?，p﹣1}，若u，v∈X，m∈N，記u?v為uv除以p的余數(shù)，um，?為um除以p的余數(shù)；設(shè)a∈X，1，a，a2，?，?，ap﹣2，?兩兩不同，若an，?＝b（n∈{0，1，?，p﹣2}），則稱n是以a為底b的離散對數(shù)，記為n＝log（p）ab．則（）A．若p＝13，則對應(yīng)集合X有5個(gè)元素 B．若p＝7，u＝5，v＝6，則u?v＝2 C．若p＝11，a＝2，則ap﹣1，?＝1 D．log（11）24＝4【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；集合；邏輯思維；新定義類．【答案】BC【分析】根據(jù)題目種給的新定義的概念逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：因?yàn)閜＝13，所以X＝{1，2，…，12}，所以共12個(gè)元素，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閡＝5，v＝6，所以u＝30，因?yàn)?0除以7的余數(shù)為2，所以u?v＝2，故B正確；因?yàn)閜＝11，a＝2，所以ap﹣1，?＝210，?，又210除以11的余數(shù)為1，所以210，?＝1，即ap﹣1，?＝1，故C正確；由已知當(dāng)p＝11，a＝2，n＝4．所以an，?＝24，?，24除以11的余數(shù)為5，所以24，?＝5＝b，所以log（11）25＝4，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查新定義問題的解題思路，屬于中檔題．（多選）10．（2024秋?衡水校級期末）若集合A＝{x|x＝kπ+π2，k∈Z]，B＝{x|x＝2kπ+π2，k∈Z}，C＝{x|x＝2kπ-π2A．B∩C＝? B．A∩B＝B C．A∪C＝C D．B∪C＝A【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】由集合中元素的特征可判斷結(jié)論．【解答】解：因?yàn)镃={x|x=(2k因?yàn)锽={x|x=2又2k﹣1是奇數(shù)，2k是偶數(shù)，所以B∩C＝?，A∩B＝B，A∪C＝A，B∪C＝A，故ABD正確，C不正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2024秋?朝陽校級期末）已知全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．則圖中陰影部分表示的集合是（）A．?UA B．?U（A∪B） C．{﹣3，4} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}【考點(diǎn)】Venn圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算．【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，圖中陰影部分表示的集合是?U（A∪B），根據(jù)并集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得．【解答】解：全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．由x2﹣x﹣6≤0，即（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3，∴A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，又B＝{﹣4，2，3}，U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，∴A∪B＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴圖中陰影部分表示的集合是?U（A∪B）＝{﹣3，4}．故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查一元二次不等式、韋恩圖、并集、補(bǔ)集的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024秋?仁壽縣校級期末）下列說法中不正確的是（）A．集合{x|x＜1，x∈N}為無限集 B．方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解構(gòu)成的集合的所有子集共4個(gè) C．{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x﹣y＝﹣1} D．{y|y＝2n，n∈Z}?{x|x＝4k，k∈Z}【考點(diǎn)】子集與真子集；元素與集合關(guān)系的判斷；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；邏輯思維．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的概念及描述法即可分別求解．【解答】解：對A，∵集合{x|x＜1，x∈N}＝{0}，∴A錯(cuò)誤；對B，∵方程（x﹣1）2（x﹣2）＝0的解構(gòu)成的集合為{1，2}，∴其所有子集個(gè)數(shù)為22＝4，∴B正確；對C，∵{y|x﹣y＝﹣1}＝R，而{（x，y）|x+y＝1}表示直線x+y＝1，∴{（x，y）|x+y＝1}≠{y|x﹣y＝﹣1}，∴C錯(cuò)誤；對D，∵{x|x＝4k，k∈Z}?{y|y＝2n，n∈Z}，D錯(cuò)誤．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查集合的基本概念，集合的描述法，屬基礎(chǔ)題．（多選）13．（2024秋?仁壽縣校級期末）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】AB【分析】根據(jù)B?A，可得2∈A，2∈A，列出不等式求得a≤1，能求出實(shí)數(shù)【解答】解：∵集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，2}，B?A，∴2∈A，2∈∴2a≤22a故選：AB．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查子集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共3小題）14．（2025?濰坊模擬）已知集合A＝{0，1，a+2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a＝0或2．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】0或2．【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系及集合元素的互異性求參數(shù)的值．【解答】解：因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，根據(jù)集合中元素的互異性，可知a2≠1，所以a≠1且a≠﹣1，若a2＝0，則a＝0，此時(shí)A＝{0，1，2}，B＝{0，1}，滿足B?A，若a2＝a+2，解得a＝2或a＝﹣1（舍去），此時(shí)A＝{0，1，4}，B＝{0，4}，滿足B?A，綜上a＝0或2．故答案為：0或2．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，考查了元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?仁壽縣校級期末）定義集合的商集運(yùn)算為：BA={x|x=nm，m∈A，n∈B【考點(diǎn)】子集的個(gè)數(shù)；求集合的并集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】15．【分析】求出集合B，利用題中定義可得出集合BA，利用并集的定義可得出集合BA∪【解答】解：因?yàn)锳＝{2，4}，則B={又因?yàn)锽A故BA∪B所以集合BA∪B的真子集個(gè)數(shù)24﹣1故答案為：15．【點(diǎn)評】本題主要考查并集、真子集的定義，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024秋?鶴山市校級期末）集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∪B＝A，則a＝0或12【考點(diǎn)】集合并集關(guān)系的應(yīng)用．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】0或12【分析】由題意可知A＝{2}，分a＝0和a≠0兩種情況討論，結(jié)合B?A求解即可．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4x+4＝0}＝{2}，因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，當(dāng)a＝0時(shí)，B＝?，符合題意，當(dāng)a≠0時(shí)，B＝{1a}，則1a解得a=1綜上所述，a＝0或12故答案為：0或12【點(diǎn)評】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?威海期末）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B={（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求A∪B；（2）若A∩B＝B，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】求集合的并集；解一元二次不等式；集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】（1）{x|x＝0或x＝4或x＝1}；（2）{a|a≤0或a＝2}．【分析】（1）根據(jù)并集的定義可解；（2）若A∩B＝B，則B?A，從而可解．【解答】解：已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}＝{x|x＝0或x＝4}，B={（1）當(dāng)a＝1時(shí)，B＝{x|x＝1}，則A∪B＝{x|x＝0或x＝4或x＝1}；（2）若A∩B＝B，結(jié)合題意A≠B，若B＝?，則a＜0，若B＝{x|x＝0}，則a＝0；若B＝{x|x＝4}，則a＝2．故a的取值范圍為{a|a≤0或a＝2}．【點(diǎn)評】本題考查集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024秋?河池期末）已知集合U＝{1，2，3，5，7，9}，A＝{2，3，5}，B＝{1，3，5，9}．（1）求A∩（?UB），（?UA）∩（?UB）；（2）若集合C＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}，是否存在實(shí)數(shù)a，使得A∪C＝A？若存在，試求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】（1）A∩（?UB）＝{2}，（?UA）∩（?UB）＝{7}；（2）存在，a＝2或3或5．【分析】（1）求出?UA，?UB，再求A∩（?UB），（?UA）∩（?UB）；（2）分類討論求出集合C，根據(jù)A∪C＝A得C?A，可得答案．【解答】解：（1）∵A＝{2，3，5}，B＝{1，3，5，9}，U＝{1，2，3，5，7，9}，∴?UB＝{2，7}，?UA＝{1，9，7}，∴A∩（?UB）＝{2}，（?UA）∩（?UB）＝{7}；（2）存在．C＝{x|（x﹣2）（x﹣a）＝0}，①當(dāng)a＝2時(shí)，C＝{2}，滿足A∪C＝A，所以a＝2；②當(dāng)a≠2時(shí)，C＝{2，a}，要滿足A∪C＝A，則C?A，因?yàn)锳＝{2，3，5}，所以a＝3或5；綜上所述，a＝2或3或5．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024秋?上城區(qū)校級期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求A∩（?RB）；（2）若A∩B＝B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算；集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】（1）{x|﹣3≤x＜1或2＜x＜4}．（2）{m|m≥﹣1}．【分析】（1）先計(jì)算?RB，再計(jì)算A∩（?RB）；（2）由A∩B＝B得B?A，再分類討論．【解答】解：（1）當(dāng)m＝1時(shí)，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．則B＝{x|1≤x≤2}，則?RB＝{x|x＜1或x＞2}，集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，則A∩（?RB）＝{x|﹣3≤x＜1或2＜x＜4}．（2）若A∩B＝B，則B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，2m﹣1＞m+1，即m＞2；當(dāng)B≠?時(shí)，﹣3≤2m﹣1≤m+1＜4，得﹣1≤m≤2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≥﹣1}．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024秋?鹽城期末）設(shè)全集U＝R，已知A={x|5x+2≥1}，B＝{x|（x﹣a）（x（1）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】集合交集關(guān)系的應(yīng)用；必要不充分條件的應(yīng)用．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】（1）（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）；（2）[﹣2，1]．【分析】（1）解不等式化簡集合A，B，根據(jù)交集運(yùn)算列式求解即可；（2）分析可知集合B是集合A的真子集，根據(jù)包含關(guān)系列式求解即可．【解答】解：（1）A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|a＜x＜a+2}，若A∩B＝?，則a≥3或a+2≤﹣2，可得a≥3或a≤﹣4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）；（2）由（1）可知：集合A＝{x|﹣2＜x≤3}，集合B＝{x|a＜x＜a+2}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，可知集合B是集合A的真子集，則a+2≤3a≥-2，解得﹣2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣2，1]．【點(diǎn)評】本題考查了分式不等式的解法，交集和空集的定義，必要不充分條件的定義，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．常用數(shù)集及其記法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記為R．﹣【解題方法點(diǎn)撥】熟練掌握幾個(gè)常見數(shù)集的符號與含義，能判斷給出的數(shù)是否屬于這些數(shù)集．【命題方向】給出下列關(guān)系：（1）3∈Q；（2）17∈R；（3）3.1?Z；（4）0解：（1）3∈Q錯(cuò)誤；（2）17∈R正確；（3）3.1?Z正確；（4故答案為：2．2．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的．即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．3．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗(yàn)證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．【命題方向】驗(yàn)證元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．4．元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．5．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】概念：1．如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個(gè)數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．6．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】設(shè)m為實(shí)數(shù)，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當(dāng)m＞2m﹣1時(shí)，即m＜1時(shí)，B＝?，符合題意；當(dāng)m≥1時(shí)，可得-3≤m綜上所述，m≤32，即m故答案為：(-∞，7．子集與真子集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集定義：一般地，對于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個(gè)集合中的全部元素是另一個(gè)集合中的元素，有可能與另一個(gè)集合相等；真子集就是一個(gè)集合中的元素全部是另一個(gè)集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個(gè)（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個(gè)；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時(shí)，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時(shí)成立的；子集個(gè)數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個(gè)數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．8．子集的個(gè)數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個(gè)元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個(gè)（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個(gè)；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個(gè)子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】公式計(jì)算：若一個(gè)集合有n個(gè)元素，則它的子集個(gè)數(shù)為2^n．理解冪集：冪集是一個(gè)集合的所有子集組成的集合．【命題方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，當(dāng)x∈Z時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)．解：當(dāng)x∈Z時(shí)，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8個(gè)元素，∴A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28﹣2＝254個(gè)；9．求集合的并集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點(diǎn)撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝解：依題意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．10．集合并集關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合中，元素含有待確定的變量，需要通過集合的子集、相等、交集、并集、補(bǔ)集等關(guān)系求出變量的取值等問題．【解題方法點(diǎn)撥】求參數(shù)的取值或取值范圍的關(guān)健，是轉(zhuǎn)化條件得到相應(yīng)參數(shù)的方程或不等式．本題根據(jù)元素與集合之間的從屬關(guān)系得到參數(shù)的方程，然后通過解方程求解．求解中需注意兩個(gè)方面：一是考慮集合元素的無序性，由此按分類討論解答，二是涉及其它知識點(diǎn)例如函數(shù)與方程的思想，函數(shù)的零點(diǎn)，恒成立問題等等．【命題方向】集合中的參數(shù)取值范圍問題，一般難度比較大，幾乎與高中數(shù)學(xué)的所以知識相聯(lián)系，特別是與函數(shù)問題結(jié)合的題目，涉及恒成立，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識命題，值得重視．11．求集合的交集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個(gè)集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因?yàn)锳＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．12．集合交集關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】兩個(gè)或兩個(gè)以上的集合中，元素含有待確定的變量，需要通過集合的子集、相等、交集、并集、補(bǔ)集等關(guān)系求出變量的取值等問題．【解題方法點(diǎn)撥】求參數(shù)的取值或取值范圍的關(guān)健，是轉(zhuǎn)化條件得到相應(yīng)參數(shù)的方程或不等式．本題根據(jù)元素與集合之間的從屬關(guān)系得到參數(shù)的方程，然后通過解方程求解．求解中需注意兩個(gè)方面：一是考慮集合元素的無序性，由此按分類討論解答，二是涉及其它知識點(diǎn)例如函數(shù)與方程的思想，函數(shù)的零點(diǎn)，恒成立問題等等．【命題方向】集合中的參數(shù)取值范圍問題，一般難度比較大，幾乎與高中數(shù)學(xué)的所以知識相聯(lián)系，特別是與函數(shù)問題結(jié)合的題目，涉及恒成立，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等知識命題，值得重視．13．集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．設(shè)全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）?U（A∩B）；（Ⅱ）（?UA）∪（?UB）；（Ⅲ）A∩（?UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴?U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（?UA）∪（?UB）＝?U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴?UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（?UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．14．Venn圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．Venn圖表示N∩（?UM）為：．【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】如圖，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，則陰影部分表示的集合是（）解：由題意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{