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陜西省咸陽市永壽縣中學(xué)2025屆高三第六次適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個(gè)空間幾何體的正視圖是長為4,寬為的長方形,側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形,俯視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.3.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.4.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.5.已知定義在上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上是減函數(shù),令,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.6.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.7.集合中含有的元素個(gè)數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.128.已知集合,集合,則().A. B.C. D.9.下圖是我國第24~30屆奧運(yùn)獎(jiǎng)牌數(shù)的回眸和中國代表團(tuán)獎(jiǎng)牌總數(shù)統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)表和統(tǒng)計(jì)圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎(jiǎng)牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)一直保持上升趨勢(shì)B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實(shí)際意義C.第30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比,奧運(yùn)金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)的中位數(shù)是54.510.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.11.已知,是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn),若曲線在點(diǎn),處的切線重合,則實(shí)數(shù)的最小值是()A. B. C. D.112.年某省將實(shí)行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知兩點(diǎn),,若直線上存在點(diǎn)滿足,則實(shí)數(shù)滿足的取值范圍是__________.14.若隨機(jī)變量的分布列如表所示,則______,______.-10115.近年來,新能源汽車技術(shù)不斷推陳出新,新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn),在汽車市場(chǎng)上影響力不斷增大.動(dòng)力蓄電池技術(shù)作為新能源汽車的核心技術(shù),它的不斷成熟也是推動(dòng)新能源汽車發(fā)展的主要?jiǎng)恿?假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車上,車載動(dòng)力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2000次的概率為85%,充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2500次的概率為35%.若某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電,那么他的車能夠充電2500次的概率為______.16.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù),1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元,實(shí)際增長了242倍多,綜合國力大幅提升.將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替,并表示為;表示全國GDP總量,表中,.326.4741.90310209.7614.05(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表,判斷與(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由),并求出關(guān)于的回歸方程.(2)使用參考數(shù)據(jù),估計(jì)2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:,.參考數(shù)據(jù):45678的近似值551484031097298118.(12分)為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng),并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果,在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績,并作成如下莖葉圖:(Ⅰ)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人,請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;(Ⅲ)記表示學(xué)生的考核成績?cè)趨^(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù),規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效,并說明理由.19.(12分)己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))和曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)是射線與直線的公共點(diǎn),點(diǎn)是與曲線的公共點(diǎn),求的最大值.21.(12分)如圖所示,已知平面,,為等邊三角形,為邊上的中點(diǎn),且.(Ⅰ)求證:面;(Ⅱ)求證:平面平面;(Ⅲ)求該幾何體的體積.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線與曲線的交點(diǎn)為,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
由三視圖確定原幾何體是正三棱柱,由此可求得體積.【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.2.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進(jìn)而得出,由得出可計(jì)算出,由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),,則,,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4.D【解析】
設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
可設(shè),根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到:,可設(shè),,且,根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出,從而得出在上單調(diào)遞增,再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到、、的大小關(guān)系,從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解:因?yàn)?,即,又,設(shè),根據(jù)條件,,;若,,且,則:;在上是減函數(shù);;;在上是增函數(shù);所以,故選:C【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的定義,減函數(shù)及增函數(shù)的定義,根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過程:設(shè),通過條件比較與,函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.6.A【解析】
根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域?yàn)?,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項(xiàng),觀察選項(xiàng)的圖象,可知代入,解得,排除選項(xiàng),即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)?,所以的定義域?yàn)椋瑒t,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除選項(xiàng),且當(dāng)時(shí),,排除選項(xiàng),所以正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.7.B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B8.A【解析】
算出集合A、B及,再求補(bǔ)集即可.【詳解】由,得,所以,又,所以,故或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.9.B【解析】
根據(jù)表格和折線統(tǒng)計(jì)圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢(shì),29屆最多,錯(cuò)誤;B.折線統(tǒng)計(jì)圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運(yùn)會(huì)相比,奧運(yùn)金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯(cuò)誤;D.統(tǒng)計(jì)圖中前六屆奧運(yùn)會(huì)中國代表團(tuán)的奧運(yùn)獎(jiǎng)牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)圖,關(guān)鍵點(diǎn)讀懂折線圖,屬于簡(jiǎn)單題目.10.D【解析】
先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn),然后用模長公式求模長.【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點(diǎn)處的切線方程,再利用兩直線斜率相等且縱截距相等,列出關(guān)系樹,從而得出,令函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,則;當(dāng)時(shí),則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn),當(dāng)或時(shí),,不符合題意,故.則在處的切線方程為;在處的切線方程為.由兩切線重合可知,整理得.不妨設(shè)則,由可得則當(dāng)時(shí),的最大值為.則在上單調(diào)遞減,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了推理論證能力,考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點(diǎn)是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算.12.B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),的取值范圍,利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.【詳解】解:直線,點(diǎn),,直線上存在點(diǎn)滿足,的軌跡方程是.如圖,直線與圓有公共點(diǎn),圓心到直線的距離:,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.14.【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計(jì)算公式,方差的計(jì)算公式,方差的性質(zhì)等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15.【解析】
記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A,“他的車能夠充電2500次”為事件B,即求條件概率:,由條件概率公式即得解.【詳解】記“某用戶的自用新能源汽車已經(jīng)經(jīng)過了2000次充電”為事件A,“他的車能夠充電2500次”為事件B,即求條件概率:故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
先求出導(dǎo)數(shù),再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正時(shí)對(duì)應(yīng)的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號(hào),本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),;(2)148萬億元.【解析】
(1)由散點(diǎn)圖知更適宜,對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得,令,,,則,再利用線性回歸方程的計(jì)算公式計(jì)算即可;(2)將代入所求的回歸方程中計(jì)算即可.【詳解】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷,更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程.對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得,令,,,得.因?yàn)?,所以,所以關(guān)于的線性回歸方程為,所以關(guān)于的回歸方程為.(2)將代入,其中,于是2020年的全國GDP總量約為:萬億元.【點(diǎn)睛】本題考查非線性回歸方程的應(yīng)用,在處理非線性回歸方程時(shí),先作變換,轉(zhuǎn)化成線性回歸直線方程來處理,是一道中檔題.18.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析【解析】
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可;(Ⅱ)結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu),從而求出滿足條件的概率即可;(Ⅲ)求出滿足的成績有16個(gè),求出滿足條件的概率即可.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件,由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道,30名同學(xué)中,有7名同學(xué)考核優(yōu)秀,所以所求概率約為(Ⅱ)設(shè)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人,至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件,因?yàn)楸碇谐煽冊(cè)诘?人中有2個(gè)人考核為優(yōu),所以基本事件空間包含15個(gè)基本事件,事件包含9個(gè)基本事件,所以(Ⅲ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),滿足的成績有16個(gè),所以所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖問題,考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想,是一道常規(guī)題.19.(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因?yàn)椋瑒t,因?yàn)椋?,故,解得,故,則.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20.(1),;(2)【解析】
(1)先將直線l和圓C的參數(shù)方程化成普通方程,
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