目錄Contents考情精解讀考點1考點2考點4考點3A.知識全通關B.題型全突破考法1考法2考法3C.能力大提升專題1/33考情精解讀2/33

考綱解讀命題趨勢命題規(guī)律考情精解讀1數學選修4-5不等式選講考試綱領011.了解絕對值幾何意義,并能利用含絕對值不等式幾何意義證實以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2.會利用絕對值幾何意義求解以下類型不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.3.了解證實不等式基本方法:比較法、綜正當、分析法、反證法、放縮3/33考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀2命題趨勢數學選修4-5不等式選講考點全國全國全國自主命題區(qū)域不等式性質與絕對值不等式【100%】全國Ⅰ,24,10分全國Ⅱ,24(Ⅰ)全國Ⅲ,24,10分全國Ⅰ,24,10分全國Ⅰ,24,10分全國Ⅱ,24,10分浙江,14,4分不等式證實【20%】全國Ⅱ,24(Ⅱ)全國Ⅱ,24,10分4/33考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀3返回目錄1.熱點預測絕對值不等式解法與證實是高考考查熱點和重點,題型以解答題為主,往往包括含有兩個絕對值問題或不等式證實問題,難度中等,分值10分.2.趨勢分析預測,含參不等式求解、證實及恒成立問題,絕對值不等式解法,不等式證實可能會成為命題方向,多與函數和數列綜合考查,應引發(fā)關注.命題趨勢數學選修4-5不等式選講5/33知識全通關6/33知識全通關1考點1

不等式性質繼續(xù)學習數學選修4-5

不等式選講1.不等式基本性質不等式基本性質,詳見《高考幫》P187不等式性質.2.基本不等式定理1

假如a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.定理2

(基本不等式)假如a,b>0,那么,當且僅當a=b時,等號成立.即:兩個正數算術平均大于(大于或等于)它們幾何平均.定理3

假如a,b,c∈R+,那么

，

當且僅當a=b=c時,等號成立.即:三個正數算術平均大于它們幾何平均.推廣

對于n個正數a1,a2,…,an,它們算術平均大于它們幾何平均,即當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立.7/33知識全通關2數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習1.絕對值三角不等式定理1

假如a,b是實數,則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時,等號成立.定理2

假如a,b,c是實數,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)≥0時,等號成立.考點2絕對值不等式8/33知識全通關3高考幫數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習選修4-4

坐標系與參數方程數學選修4-4

坐標與參數方程|a+b|與|a|-|b|,|a-b|與|a|-|b|,|a|+|b|之間關系(1)|a+b|≥|a|-|b|,當且僅當a>-b>0時,等號成立.(2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,當且僅當|a|≥|b|且ab≥0時,左邊等號成立,當且僅當ab≤0時,右邊等號成立【辨析比較】9/33知識全通關4數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習2.絕對值不等式解法(1)含絕對值不等式|x|<a與|x|>a解集:(2)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式解法:①若c>0,則|ax+b|≤c等價于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等價于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后依據a,b值解出即可.②若c<0,則|ax+b|≤c解集為?,|ax+b|≥c解集為R.不等式a>0a=0a<0|x|<a{-a<x<a}??|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x≠0且x∈R}R【說明】這種解絕對值不等式方法只需將“ax+b”看成一個整體,即可化成|x|≤c,|x|≥c型不等式求解.注意變形過程中,應該確保是“同解”變形.10/33知識全通關5數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習(3)|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≥c)(c>0)型不等式解法:①零點分區(qū)間法零點分區(qū)間法普通步驟為:(i)令每個絕對值符號內代數式為零,并求出對應根;(ii)將這些根按從小到大排序,并把實數集分成若干個區(qū)間;(iii)由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個不等式,解這些不等式,求出解集;(iv)取各個不等式解集并集即可得到原不等式解集.【注意】分區(qū)間討論時,一是不要把分成區(qū)間端點遺漏,二是原不等式解集是若干個不等式解集并集,而不是交集.11/33知識全通關6數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習②幾何法:利用|x-a|幾何意義因為|x-a|+|x-b|與|x-a|-|x-b|分別表示數軸上與x對應點到與a,b對應點距離之和與距離之差,所以對形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)不等式,利用絕對值幾何意義求解更直觀.③數形結正當經過結構函數,利用函數圖象求解,表達函數與方程思想,正確求出函數零點并畫出函數圖象(有時需要考查函數單調性)是解題關鍵.【說明】結構函數時,應準確分類討論并寫出正確分段函數,畫出對應圖象是解題關鍵.(4)|f(x)|>g(x),|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式解法①|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).②|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x).12/33知識全通關7數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習1.比較法(1)作差法:要證實a>b,只需證a-b>0.(2)作商法:要證實a>b,b>0,只要證>1.2.綜正當從已知條件、不等式性質和基本不等式等出發(fā),經過邏輯推理,推導出所要證實結論.3.分析法從要證結論出發(fā),逐步尋求使它成立充分條件,直至所需條件為已知條件或一個顯著成立事實(定義、公理或已證實定理、性質等),從而得出要證命題成立,這種證實方法叫分析法.考點3證實不等式基本方法13/33知識全通關8數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習4.反證法先假設要證命題不成立,以此為出發(fā)點,結合已知條件,應用公理、定義、定理、性質等,進行正確推理,得到和命題條件(或已證實定理、性質、顯著成立事實等)矛盾結論,以說明假設不正確,從而證實原命題成立,這種證實方法叫反證法.5.放縮法

證實不等式時,經過把不等式中一些部分值放大或縮小,簡化不等式,從而到達證實目標.這種證實方法叫放縮法.14/33題型全突破15/33考法1絕對值不等式解法繼續(xù)學習數學選修4-5

不等式選講題型全突破1考法指導

解絕對值不等式慣用方法(1)基本性質法:對a∈R+,|x|<a?-a<x<a,|x|>a?x<-a或x>a.

(2)平方法:兩邊平方去掉絕對值符號.(3)零點分區(qū)間法(或叫定義法):含有兩個或兩個以上絕對值符號不等式,可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號,將其轉化為與之等價不含絕對值符號不等式(組)求解.(4)幾何法:利用絕對值幾何意義,畫出數軸,將絕對值問題轉化為數軸上兩點距離問題求解.(5)數形結正當:在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應兩個函數圖象,利用函數圖象求解.16/33數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習題型全突破2考法示例1

(1)若關于x不等式|ax-2|<3解集為{x|-5/3<x<1/3}1,則a=

.

(2)不等式|x+3|-|2x-1|<x/2+1解集為

.

17/33數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習題型全突破3

18/33數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習題型全突破4【突破攻略】在分類討論含多個絕對值不等式時,分類應做到不重不漏;在某個區(qū)間上解出不等式后,不要忘了與前提條件求交集.19/33數學選修4-5

不等式選講考法2含絕對值不等式恒成立問題繼續(xù)學習題型全突破5考法指導

含絕對值不等式恒成立問題常見類型及其解法(1)分離參數法利用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可處理恒成立中參數范圍問題.求最值思緒:①利用基本不等式和不等式相關性質處理;②將函數解析式用分段函數形式表示,作出函數圖象,求得最值;③利用性質“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.(2)更換主元法不少含參不等式恒成立問題,若直接從主元入手非常困難或不可能處理時,可轉換思維角度,將主元與參數交換,常可得到簡捷解法.(3)數形結正當在研究曲線交點恒成立問題時,若能數形結合,揭示問題所蘊含幾何背景,發(fā)揮形象思維與抽象思維各自優(yōu)勢,可直觀處理問題.【注意】不等式解集為R是指不等式恒成立問題,而不等式解集為?對立面也是不等式恒成立問題,如f(x)>m解集為?,則f(x)≤m恒成立.20/33數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習題型全突破6考法示例2

設函數f(x)=x+|x-a|.(1)當a=2018時,求函數f(x)值域;(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立時a取值范圍.思緒分析

(1)把a值代入已知函數式f(x)→去掉絕對值符號→求得結論(2)轉化已知不等式→依據不等式恒成立條件,結構關于a不等式→解不等式,得出a取值范圍21/33數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習題型全突破7解析

點評

處理含參數絕對值不等式問題關鍵是依據條件確定參數所滿足條件,基本思緒就是先去掉絕對值符號,然后將其轉化為一次方程求解.22/33數學選修4-5

不等式選講考法3不等式證實繼續(xù)學習題型全突破8考法指導

證實不等式慣用方法有比較法、綜正當、分析法.假如已知條件與待證結論直接聯(lián)絡不顯著,可考慮用分析法;假如待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“最少”“至多”等方式給出,則考慮用反證法.在必要情況下,可能還需要使用換元法、結構法等技巧簡化對問題表述和證實,用換元法證實不等式時,要注意新元取值范圍.證實不等式慣用思緒:利用基本不等式、絕對值三角不等式、絕對值含義將問題轉化為函數問題求解.23/33數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習題型全突破924/33數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習題型全突破11考法示例4

設a,b,c為△ABC三邊,求證:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).思緒分析

要證此不等式→能夠把不等式兩邊作差化簡整理→然后利用三角形三邊關系比較大小→從而得證25/33數學選修4-5

不等式選講繼續(xù)學習題型全突破12

解析

a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2-a2-b2-c2=[(a-b)2-c2]+[(b-c)2-a2]+[(c-a)2-b2].而在△ABC中,|b-a|<c,所以(a-b)2<c2,即(a-b)2-c2<0.同理(a-c)2-b2<0,(b-c)2-a2<0,所以a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0.故a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).26/33返回目錄數學選修4-5

不等式選講題型全突破13【溫馨提醒】

比較法證實不等式最慣用是差值比較法,其基本步驟是:作差—變形—判斷差符號—下結論.其中“變形”是證實關鍵,普通經過因式分解或配方將差式變形為幾個因式積或配成幾個代數式平方和形式,當差式是二次三項式時,有時也可用判別式來判斷差值符號.27/33能力大提升28/33繼續(xù)學習數學選修4-5

不等式選講能力大提升1絕對值三角不等式應用應用絕對值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|能夠很方