北京臨川學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第四次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
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北京臨川學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第四次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.2.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.4.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.605.復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為1 D.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限6.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.7.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B. C. D.8.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.9.已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn)(設(shè)點(diǎn)位于第一象限),過點(diǎn),分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為點(diǎn),,拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn),若,則直線的斜率為A.1 B. C. D.11.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.若實(shí)數(shù)、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為,,若,則該雙曲線的離心率為________.14.對(duì)定義在上的函數(shù),如果同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:(1)對(duì)任意的總有;(2)當(dāng),,時(shí),總有成立.則稱函數(shù)稱為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.15.已知平面向量,的夾角為,且,則=____16.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)是_____,_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù),且與直線4x+3y﹣29=0相切.(1)求圓的方程;(2)設(shè)直線ax﹣y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過點(diǎn)P(﹣2,4),若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程;(2)點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn),試判斷點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:,恒成立.20.(12分)為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢(mèng),把我國建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國,黨和國家為勞動(dòng)者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動(dòng)的舞臺(tái).借此“東風(fēng)”,某大型現(xiàn)代化農(nóng)場(chǎng)在種植某種大棚有機(jī)無公害的蔬菜時(shí),為創(chuàng)造更大價(jià)值,提高畝產(chǎn)量,積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng).該農(nóng)場(chǎng)采用了延長(zhǎng)光照時(shí)間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別,該農(nóng)場(chǎng)選取了40間大棚(每間一畝),分成兩組,每組20間進(jìn)行試點(diǎn).第一組采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案,第二組采用降低夜間溫度的方案.同時(shí)種植該蔬菜一季,得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖:(1)如果你是該農(nóng)場(chǎng)的負(fù)責(zé)人,在只考慮畝產(chǎn)量的情況下,請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息,對(duì)于下一季大棚蔬菜的種植,說出你的決策方案并說明理由;(2)已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案,光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝;若采用夜間降溫的方案,降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場(chǎng)共有大棚100間(每間1畝),農(nóng)場(chǎng)種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次,且該蔬菜市場(chǎng)的收購均價(jià)為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù),用樣本估計(jì)總體,請(qǐng)計(jì)算在兩種不同的方案下,種植該蔬菜一年的平均利潤(rùn);(3)農(nóng)場(chǎng)根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗(yàn),認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點(diǎn)的20間大棚中隨機(jī)抽取3間,記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為,求的分布列及期望.21.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,若同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):①;②;③;④.(1)滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些?(2)在(1)所有組合中任選一組,并求對(duì)應(yīng)的面積.(若所選條件出現(xiàn)多種可能,則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分)22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對(duì)任意的和恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

用列舉法,通過循環(huán)過程直接得出與的值,得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時(shí)應(yīng)該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.2.D【解析】因?yàn)椋屎瘮?shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點(diǎn):1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.3.C【解析】

畫出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.4.D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題,也考查了頻率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題5.D【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,求得,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限,故選D.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化,其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為.6.C【解析】

先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對(duì)導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.7.B【解析】

分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域?yàn)椋_;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域?yàn)椋e(cuò)誤;對(duì)于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯(cuò)誤.故選:.本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家,基本事件總數(shù),甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項(xiàng):本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.9.A【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合的表示,求解函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合的表示,根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系,結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】,.因?yàn)椋杂校虼擞?故選:A本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問題,考查了解一元二次不等式,考查了函數(shù)的定義域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10.C【解析】

根據(jù)拋物線定義,可得,,又,所以,所以,設(shè),則,則,所以,所以直線的斜率.故選C.11.A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí),直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,得,可得點(diǎn),由得,平移直線,當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最小,此時(shí)取最小值,即.故選:D.本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2【解析】

由題得,再根據(jù)求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為:2.本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

由不等式恒成立問題采用分離變量最值法:對(duì)任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,從而可得.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上G函數(shù),所以對(duì)任意的總有,則對(duì)任意的恒成立,解得,當(dāng)時(shí),又因?yàn)椋瑫r(shí),總有成立,即恒成立,即恒成立,又此時(shí)的最小值為,即恒成立,又因?yàn)榻獾?故答案為:本題是一道函數(shù)新定義題目,考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查了學(xué)生分析理解能力,屬于中檔題.15.1【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得,再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得;將化簡(jiǎn)并代入即可求得.【詳解】,則,平面向量,的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,根據(jù)平面向量模的求法可知,代入可得,解得,故答案為:1.本題考查了平面向量模的求法及簡(jiǎn)單應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),從而得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和的模.【詳解】,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,且.故答案為:;.本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】

(2)設(shè)圓心為M(m,0),根據(jù)相切得到,計(jì)算得到答案.(2)把直線ax﹣y+5=0,代入圓的方程,計(jì)算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,過點(diǎn)M(2,0),計(jì)算得到答案.【詳解】(2)設(shè)圓心為M(m,0)(m∈Z).由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切,且半徑為5,所以,即|4m﹣29|=2.因?yàn)閙為整數(shù),故m=2.故所求圓的方程為(x﹣2)2+y2=2.(2)把直線ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圓的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直線ax﹣y+5=0交圓于A,B兩點(diǎn),故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是().(3)設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,則直線l的斜率為,l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圓心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在實(shí)數(shù)使得過點(diǎn)P(﹣2,4)的直線l垂直平分弦AB.本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18.(1)(2)點(diǎn)在曲線外.【解析】

(1)先消參化曲線的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標(biāo)方程;(2)由點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn),利用的范圍判斷的范圍,即可判斷位置關(guān)系.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為可得曲線的普通方程為,則曲線的極坐標(biāo)方程為,即(2)由題,點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn),因?yàn)?所以,即,所以點(diǎn)在曲線外.本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.19.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)將不等式化為,利用零點(diǎn)分段法,求得不等式的解集.(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證,恒成立,由的最小值為,得到只要證,即證,利用絕對(duì)值不等式和基本不等式,證得上式成立.【詳解】(1)∵,∴,即當(dāng)時(shí),不等式化為,∴當(dāng)時(shí),不等式化為,此時(shí)無解當(dāng)時(shí),不等式化為,∴綜上,原不等式的解集為(2)要證,恒成立即證,恒成立∵的最小值為-2,∴只需證,即證又∴成立,∴原題得證本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、解法,基本不等式等知識(shí);考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化,分類與整合思想.20.(1)見解析;(2)(i)該農(nóng)場(chǎng)若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法,預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為426千元;(ii)若采用降低夜間溫度的方法,預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為424千元;(3)分布列見解析,.【解析】

(1)估計(jì)第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)來選擇.(2)對(duì)于兩種方法,先計(jì)算出每畝平均產(chǎn)量,再算農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn).(3)估計(jì)頻率分布直方圖可知,增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間,由題意可知,的可能取值有0,1,2,3,再算出相應(yīng)的概率,寫出分布列,再求期望.【詳解】(1)第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝,第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝,可知第一組方法較好,所以采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法;((2)(i)對(duì)于采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法:每畝平均產(chǎn)量為千斤.∴該農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn)為千元.(ii)對(duì)于采用降低夜間溫度的方法:每畝平均產(chǎn)量為千斤,∴該農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn)為千元.因此,該農(nóng)場(chǎng)若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法,預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為426千元;若采用降低夜間溫度的方法,預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為424千元.(3)由圖可知,增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間,由題意可知,的可能取值有0,1,2,3,;;;.所以的分布列為0123所以.本題主要考查樣本估計(jì)總體和離散型隨機(jī)變量的分布列,還考查了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算求解的能力,屬

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