數(shù)學(xué)模型

MathematicalModel2025/4/1011數(shù)學(xué)模型概述建立數(shù)學(xué)模型1.

什么是數(shù)學(xué)模型2.研究數(shù)學(xué)模型的意義3.數(shù)學(xué)建模示例4.數(shù)學(xué)建模的方法和步驟5.數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類6.如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模2025/4/1021數(shù)學(xué)模型概述玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型（2）模型:模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.什么是數(shù)學(xué)模型（1）我們常見的模型：2025/4/1031數(shù)學(xué)模型概述（3）數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）

數(shù)學(xué)模型：

數(shù)學(xué)建模：2025/4/1041數(shù)學(xué)模型概述2.

研究數(shù)學(xué)模型的意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數(shù)學(xué)在許多高新技術(shù)上起著十分關(guān)鍵的作用。

數(shù)學(xué)模型在其它科學(xué)中的應(yīng)用；傳統(tǒng)領(lǐng)域：物理、力學(xué)新興領(lǐng)域：化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)、軍事等2025/4/1051數(shù)學(xué)模型概述

數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)技術(shù)：

在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的數(shù)學(xué)模型：

產(chǎn)品的設(shè)計(jì)與制造

系統(tǒng)的控制與優(yōu)化

質(zhì)量控制資源環(huán)境

預(yù)報(bào)與決策其它：氣象預(yù)報(bào)等

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具

數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)。

高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。2025/4/1061數(shù)學(xué)模型概述3.

數(shù)學(xué)建模示例示例1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析：模型假設(shè)：通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地。

四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。2025/4/1071數(shù)學(xué)模型概述建立模型：用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是

的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個(gè)距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性2025/4/1081數(shù)學(xué)模型概述用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意

,f(

),g(

)至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問題：已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);

對(duì)任意

，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地2025/4/1091數(shù)學(xué)模型概述模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因?yàn)閒(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子

和f(

),g(

)的確定2025/4/10101數(shù)學(xué)模型概述示例2

商人們?cè)鯓影踩^河問題(智力游戲)：3名商人

3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析：多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)2025/4/10111數(shù)學(xué)模型概述建立模型xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題2025/4/10121數(shù)學(xué)模型概述模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機(jī)

圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,

，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}2025/4/10131數(shù)學(xué)模型概述狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題所謂狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題討論的是在一定的條件下，系統(tǒng)由一狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)是否可能，如果可以轉(zhuǎn)移的話，應(yīng)如何具體實(shí)現(xiàn)？

人、狗、雞、米過河問題這是一個(gè)人所共知而又十分簡(jiǎn)單的智力游戲。某人要帶狗、雞、米過河，但小船除需要人劃外，最多只能載一物過河，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，狗要咬雞、雞要吃米，問此人應(yīng)如何過河。在本問題中，可采取如下方法：一物在此岸時(shí)相應(yīng)分量為1，而在彼岸時(shí)則取為0，例如（1,0,1,0）表示人和雞在此岸，而狗和米則在對(duì)岸。2025/4/10141數(shù)學(xué)模型概述（i）可取狀態(tài)：根據(jù)題意，并非所有狀態(tài)都是允許的，例如（0,1,1,0）就是一個(gè)不可取的狀態(tài)。本題中可取狀態(tài)（即系統(tǒng)允許的狀態(tài)）可以用窮舉法列出來，它們是：人在此岸人在對(duì)岸(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1)總共有十個(gè)可取狀態(tài)，對(duì)一般情況，應(yīng)找出狀態(tài)為可取的充要條件。（ii）可取運(yùn)算：狀態(tài)轉(zhuǎn)移需經(jīng)狀態(tài)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際問題中，擺一次渡即可改變現(xiàn)有狀態(tài)。為此也引入一個(gè)四維向量（轉(zhuǎn)移向量），用它來反映擺渡情況。例如（1，1，0，0）表示人帶狗擺渡過河。根據(jù)題意，允許使用的轉(zhuǎn)移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）四個(gè)。2025/4/10151數(shù)學(xué)模型概述規(guī)定一個(gè)狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之間的運(yùn)算。規(guī)定狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之和為一新的狀態(tài)向量，其運(yùn)算為對(duì)應(yīng)分量相加，且規(guī)定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。

在具體轉(zhuǎn)移時(shí)，只考慮由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。問題化為：由初始狀態(tài)（1，1，1，1）出發(fā)，經(jīng)奇數(shù)次上述運(yùn)算轉(zhuǎn)化為（0，0，0，0）的轉(zhuǎn)移過程。我們可以如下進(jìn)行分析：（第一次渡河）2025/4/10161數(shù)學(xué)模型概述（第二次渡河）＝以下可繼續(xù)進(jìn)行下去，直至轉(zhuǎn)移目的實(shí)現(xiàn)。上述分析實(shí)際上采用的是窮舉法，對(duì)于規(guī)模較大的問題是不宜采用的。＝2025/4/10171數(shù)學(xué)模型概述

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)4

數(shù)學(xué)建模的方法與過程2025/4/10181數(shù)學(xué)模型概述

數(shù)學(xué)建模的一般過程了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’形成問題：假設(shè)與簡(jiǎn)化：針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中2025/4/10191數(shù)學(xué)模型概述用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模的一般過程建立模型：模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)：如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性2025/4/10201數(shù)學(xué)模型概述各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)

數(shù)學(xué)建模的一般過程模型的改進(jìn)：現(xiàn)實(shí)世界形成問題模型應(yīng)用簡(jiǎn)化問題歸結(jié)模型模型評(píng)價(jià)模型求解模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷那蠼猓?025/4/10211數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐2025/4/10221數(shù)學(xué)模型概述5.

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性（魯棒性）模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

?數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)2025/4/10231數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域：人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)…數(shù)學(xué)方法：初等數(shù)學(xué)、微分方程、