2024-2025學年浙江省溫州市高一上學期10月聯考數學學情檢測試題

親愛的高一新同學，你是否已經適應了高中的學習生活？高中數學的學習同初中沒有大的區

別，一是“運算”，二是“推理”，三是“圖形”（即借助圖形分析解決問題），同時要注意“文字

語言”、“符號語言”、“圖形語言”之間的轉換.愿你用上面的方法能輕松地完成這次考試，祝

你考出好成績！

一、選擇題：每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請

把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.設集合Z={3,5,6,8},3={4,5,7,8},則（）

A,{3,4,5,6,7,8}B,{5,8}C.{6,8}D.{8}

【答案】B

【解析】

【分析】根據條件，利用集合的運算，即可求解.

【詳解】因為/={3,5,6,8},5={4,5,7,8）,所以213={5,8},

故選：B.

2.命題“*eR,x+120”的否定是（）

A.HxeR,x+1<0B.R,x+1>0

C.VxeR,x+1<0D.VxR,x+1>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據全稱命題與存在性命題的關系,準確改寫，即可求解.

【詳解】根據全稱命題與存在性命題的關系,可得：

命題“3xeR,x+120”的否定是"X/xeR,x+l<0”.

故選：C.

3.下列命題為假命題的是（）

A.若。>6,c>d,貝!Jac〉bdB.若。>方，c>d,貝！Ja-d>b-c

C.若a〉6〉0,則一7<-yD.若a>b>0,則白>JK

ab

【答案】A

【解析】

【分析】選項A,通過取特殊值，即可判斷選項A的正誤；選項B,利用不等式的性質，即可求解；選項

C和D,根據條件，通過作差，即可判斷出選項C和D的正誤.

【詳解】對于選項A,取。=3/=-4,。=-2,d=-5,顯然有。>6,,但。。=一6<20=儀/,所

以選項A為假命題，

對于選項B,因為。>6,c>d,則a+c>Z?+d,可得到Q—d>b—c,所以選項B為真命題，

對于選項c,因為。〉6〉0,由二—二="￡=生耳卑包<o,得到二<與，所以選項c為

/b1a2b°a2b2a2b2

真命題，

對于選項D,因為。〉6〉0,由夜-加=:b>0,得到標>6，所以選項D為真命題，

yja

故選：A.

4.做一個體積為8m3,高為2m的長方體包裝箱，則所用材料的最小值為（）

A.4m2B.8m2C.16m2D.24m2

【答案】D

【解析】

【分析】設底面的長和寬分別為am,Am（a〉0/>0）,即可得到ab=4,再由長方體的表面積公式及基

本不等式計算可得.

【詳解】設底面的長和寬分別為am,Am（a>Q,b>0）,

因為體積為8m3,高為2m,

所以底面積為4m2,即ab=4,

所用材料的面積S=2ab+2Z）x2+2ax2=8+4（a+Z））

>8+4x2^=8+16=24，當且僅當a=b=2時取等號，

所以當底面的長和寬均為2m時，所用的材料表面積最少，其最小值為24m之.

故選：D

5.下列命題為真命題的是（）

人“。>6”是“力〉/”的充分不必要條件

B.-A\JB=A”是“BqA”的必要不充分條件

C.“a=1”是“a2=1”的充要條件

D.“x>1”是“x<2”的既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例可得A錯誤，D正確；由集合間的關系可得B錯誤；當a=-1時可得C錯誤；

【詳解】對于A,若。=0,6=-1,則但/〉/不成立，故A錯誤；

對于B,"ZU8=Z”是“5=4”的充要條件；

對于C,/=1時。=±1,所以/=1不能推出。=1,故c錯誤；

對于D,當x=3時滿足x>l,但不滿足x<2,充分性不成立；

當x=0.5時，滿足x<2,但不滿足x>l,必要性不成立，故D正確.

故選：D.

6.已知集合2=卜|1<%<。},5={x|l<x<2},若4n5=5,則實數a的取值范圍為（）

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

【答案】B

【解析】

【分析】根據交集的結果，可得集合間的包含關系，建立不等式，可得答案.

【詳解】由=則可得2Wa.

故選：B.

4

7.若x>0,則/（%）=2-x—（）

x

A,最大值為-2B,最小值為-2C,最大值為6D.最小值為6

【答案】A

【解析】

【分析】先用定義法證明函數/（x）在（0,2）單調遞增，在（2,+co）單調遞減，從而即可求出函數最大值.

【詳解】任取0<苞</<2,

（4。4）//44）//4）

則=2—玉-2-X2---=（x2-xj+-------=（x2-xj1------,

卜X\J\x27\X2X\JIX2X\/

4

因為0<占<12<2,所以％2—項〉0，%2玉<4，故1----<0，

所以/（再）—/（々）<0即/（再）</（々）,

所以/（X）在（0,2）單調遞增；同理可證/（x）在（2,+8）單調遞減，

所以〃X）3=/（2）=—2.

故選：A.

8.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的祛碼放

在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些

黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.顧客實際購買的黃金（）

A.大于10g；B.小于10g；C.等于10g；D.不能判斷大小.

【答案】A

【解析】

【分析】設出天平的左右臂及兩次稱得的黃金質量，利用杠桿原理和基本不等式的性質即可得出結論.

【詳解】設天平左臂長為。，右臂長為6,a手b,設第一次稱得黃金為xg,第二次稱得黃金為？g,

則6x=5a,ay=5b,即x=",j=—,而a〉0,b〉0,

ba

因此x+v=2+色=5（^+2）25x2、^^=10,

baba\ba

cih

當且僅當一=—,即。二人時等號成立，但awb,即等號不成立，則％+歹>10,

ba

所以顧客購得的黃金大于10g.

故選：A

二、選擇題：每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部

選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.請把正確的選項填涂在答題卡相應的

位置上.

9.已知集合^={xeN|l<x<2},則下列結論成立的是（）

A.0^AB.2eAC.{x11<x<2}口ZD.{2}口/

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據條件得到幺={1,2},再利用元素與集合，集合與集合間的關系，對各選項分原判斷即可求

解.

【詳解】由題知幺={1,2},所以2eA,{2}A,即選項A,B和D正確,

33

對于選項C,顯然有一e{x|l<x<2},但一仁幺，以選項C錯誤，

2iJ2

故選：ABD.

10.下列命題為真命題的是（）

A.若a〉6〉0,則以？〉6c2B.若a〉b〉0,則/

C.若a<6<0,則4〉口6〉/D.若a<b<0,則工〉工

ab

【答案】BCD

【解析】

【分析】選項A,通過取特殊值，即可判斷；選項B,C和D,根據條件，通過作差比較，即可判斷.

【詳解】對于選項A,當c=0時，由a〉b〉0,得不到42〉加2,所以選項A為假命題，

對于選項B,因為。〉6〉0,由/=（。—b）（a+b）〉0,得到二〉〃，所以選項B為真命題，

對于選項C,因為a<6<0,由a?一。6=。（。-b）〉0,ab-b2=b{a-b）>0,得至1Ja?〉ab〉/，所

以選項C為真命題，

對于選項D,因為a<b<0,由工一;=號>0,得到工〉工，所以選項D為真命題，

ababab

故選：BCD.

11.關于x的方程af+2x+a=0恰有一個實數根的充分不必要條件可以是（）

A.a<2B.a=l或a=-lC.。=0或。=±1D.a-0

【答案】BD

【解析】

【分析】求出恰有一個實數根的等價條件后可得正確的選項.

【詳解】若4=0,則原方程為X=0,恰有一個實數根，符合；

若"0,則A=4-4/=0，故。=±1,

故關于x的方程ax2+2x+a=0恰有一個實數根的等價條件為a=0或a=±1,

ABCD個選項中，只有BD對應的選項中的元素構成的集合為{0,±1}的真子集，

故選：BD.

三、填空題：每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應的位置上.

12.設集合2=卜卜2_3》一4=。1,8=1/=1},則/|J5=.

【答案】{一1,1,4}

【解析】

【分析】首先化簡集合A、B,再根據并集的定義計算可得.

［詳解］因為幺=1x,2_3x_4=0}={—1,4},5=卜,2=

所以ZU8={-M,4}.

故答案為：{TL4}

13.根據下述事實，寫出一個含有量詞的命題是.

I3=I2>

I3+23=(1+2)2,

F+2,+33=0+2+3)2,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2

【答案】V〃eN*，13+23+---+?3=(1+2+---+?)2

【解析】

【分析】根據條件，能過類比歸納，即可得出結果.

【詳解】由題知，一個含有量詞的命題是V〃eN*，F+23+…+/=。+2+…+〃y,

故答案為：eN*,F+23H---\-n3=(1+2H---

14.已知集合2={1,3,/},8={l,a+2},若ZU8=Z,則實數.

【答案】2

【解析】

【分析】

由已知及/U8=Z可得則a+2=3或0+2=/,分別解出。得值，再檢驗集合A、3滿足互

異性即可.

【詳解】由已知及ZU8=Z可得BDA,

所以a+2=3或。+2=口2,

當。+2=3即。=1時，此時/={1,3,1}不滿足元素互異性，不符合題意,

當。+2=。2即。=一1或。=2,

若a=-1則/={1,3,1}不滿足元素互異性，不符合題意，

若a=2則2={1,3,4},8={1,3},滿足8UA,符合題意.

所以實數。=2,

故答案為：2.

四、解答題：共5小題，共77分.解答應寫出證明過程或演算步驟.

15已知全集。={xeN|x<10},集合2={1,2,3,4},3={4,5,6,7,8,9},求：

（1）AcB；

（2）d（ZU5）；

（3）（。⑷「尻

【答案】（1）Nc8={4}

（2）d（ZU8）={0}

（3）={5,6,7,8,9}

【解析】

【分析】（1）根據條件，利用集合交集的運算，即可求出結果；

（2）先求出全集U,利用集合并集的運算，得到4U8,再利用集合補集的運算，即可求解;

（3）用集合補集的運算得到。N,再利用集合交集的運算，即可求解.

【小問1詳解】

因為N={1,2,3,4},8={4,5,6,7,8,9},

所以Nc8={4}.

【小問2詳解】

因為。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},又ZU8={1,2,3,4,5,6,7,8,9）,

所以a（NU5）={0}.

【小問3詳解】

因為。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,4},

所以常Z={0,5,6,7,8,9},又8={4,5,6,7,8,9},得至1]（立幺）口8={5,6,7,8,9}.

16.已知集合幺=卜,三1一4或x>l+a},5={x[x<-l或x22}.

（1）當。=-1時，求/U8；

（2）若“xeB”是“xeZ”的必要不充分條件，求實數。的取值范圍；

（3）若“xeB”是“xeZ”的充分不充分條件，求實數。的取值范圍.

【答案】（1）R

（2）（2,+00）

（3）（-co,1]

【解析】

【分析】（1）當a=-1時，得到/=R,結合并集的概念，即可求解；

（2）根據題意，轉化為A是2的真子集，結合集合的包含關系，列出不等式組，即可求解；

（3）根據題意，轉化為8是A的真子集，分aWO和。〉0,兩種情況討論，列出不等式組，即可求解.

【小問1詳解】

解：當。=一1時，N={x|xW2或x>O}=R,所以ZU8=R.

【小問2詳解】

解：因為是xeZ的必要不充分條件，可得A是2的真子集，

1—a<—1

則滿足<c，解得a>2,所以實數。的取值范圍為（2,+co）.

l+a>2

【小問3詳解】

解：因為xe8是xe幺的充分不充分條件，可得5是A的真子集，

①當1一。之1+。時，即aWO時，此時/=R,符合題意；

a>0tz>0

②當1—a<l+a時，即。>0時，則滿足l1—1,即解得0<。<1,

1+a<2a<1

綜上可得，實數。的取值范圍為

17.如圖，居民小區要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形N5CD和

EFG”構成的面積為200機2的十字形地域，計劃在正方形ACVPQ上建一座花壇，造價為4200元/加2；在

四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/加之；再在四個空角（圖中四個三角

形）上鋪草坪，造價為80元/加2.設總造價為s（單位：元），長為x（單位：m）.當x為何值時，S最

【答案】x=JIUm時，S最小且S最小=118000兀.

【解析】

【分析】

先求出=4000x2+400000+38000(0<無<1072),再利用基本不等式求解.

X

【詳解】解：由題意，有雙=200一廠,又幺〃>0,有0<X<108.

4x

^200-x2?

5=4200X2+210X(200-X2)+80x2x

、4x,

42

=4200/+42000—210/+400000+1Ox-4000%

x2

240000

see2400000+38000(0<x<10V2)...2^4000X^+38000

=4000x+----------X

x

=80000+38000=118000

當且僅當4000x2=竺學3，即x=9時取

X

???當x=VTOm時，S最小且S最小=118000兀.

【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

18.在“基本不等式”應用探究課中，老師提出了下列問題：已知正實數。，6滿足2。+6=1,求工+工的

a2b

最小值.

甲、乙兩位同學對該問題給出了兩種不同的解法，甲給出的解法是:

l=2a+b>Zy/labyjab<—\=>2^/2,>2.—=^L>2A/2XV2=4,

2。2yjaba2b2abyjab

所以—I—~的最小值為4.

a2b

?11（11I-,\ba1Jba59

乙給出的解法是：一+—=—+一\（2a+b）=2+—+—+->2.----+—=一,

a2blei2b）ab2\ab22

119

所以—?—~的最小值為一.

a2b2

（1）請你判斷哪位同學的解法正確，并指出解法錯誤的原因；

（2）結合上面的材料，求解下面的問題：

12

①已知正實數。，6滿足一+—=1,求2。+6的最小值，并求出取得最小值時。，6的值;

ab

211

②已知0<x<一,試求一+------的最小值，并求出取得最小值時x的值.

3x2-3x

【答案】（1）乙的解法正確，原因見解析

（2）①最小值為8,o=2,6=4；②最小值為2+石，x=l-—

一一3

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式“一正二定三相等”的原則，分析甲乙的解法即可得解；

（2）①②利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【小問1詳解】

乙的解法正確；甲的解法錯誤原因如下：

甲的解法中，2a+b22"石成立的條件是2a=b=；,

而工+工22、口成立的條件是工=4,即a=26=2,

a2bVlaba2b5

顯然兩次基本不等式的等號不能同時成立，所以甲的解法錯誤.

【小問2詳解】

12

①因為正實數e6滿足一+7=1,

ab

所以2Q+〃=（2a+b）\+|^=2+2+?+2>2l--+4=8,

bJab\ab

b4Q

當2二一，即〃=2,6=4時，等號成立，

ab

2a+b的最小值為8.

2

@vO<x<y,.\2-3x>0,

+l^|x|>4+2.3(2-3%)3「

3+3(2-3x)+3xx—=2+VJ,

3x2-3x3x2-3x2

當3(2—3x)=4^,即》=1—立時，等號成立,

3x2-3x3

~+—-一的最小值為2+百.

x2-3x

19.迪卡爾是法國偉大的數學家之一，他對現代數學的發展作出過重要的貢獻，由于他的幾何坐標系的公

式化而被后人認為是“解析幾何之父”.高一某同學在網上查閱資料時，無意間發現“迪卡爾積”是一個很有趣

的問題.

設A,8是任意兩個非空集合，則稱集合Nx8={(a,6)|ae//e8}為“A與8的迪卡爾積”，并記集合

AxB的元素個數為Mx8].

(1)若/={0,1},B={1,2,3},求4xB與Bx4；

[Zx4]+81x[BxB]

(2)若[Zx8]=掰29,[圖。[切，機為素數，且i----」；-----對任意素數加恒成立，求實

[AxB]

數。的取值范圍，并寫出當。取到最值時機應滿足的條件及一組符合條件的集合A,B.

一11

(提不：當x2〃，且〃〉—/=時，式子—