2024年中考數學二輪專題復習（全國通用版）

二次函數與幾何圖形綜合型專題

題型解讀

二次函數綜合題是中考的必考題，一方面考查了一次函數、二次函數的圖象與性質，幾何圖形的

性質與判定，圖形變換等；另一方面考查了方程與函數思想、數形結合思想、分類討論思想、數學建

模思想等.主要類型包括：線段問題，角度問題，面積問題，全等、相似三角形存在性問題，平行四

邊形存在性問題，特殊三角形存在性問題等.

類型一線段問題

解法指導

1.確定線段長

兩點之間的距離可以根據兩點坐標表示線段長度，已知點A（xi，-），點8（血，/），則

垃+（%-,也可以構造直角三角形，利用勾股定理求出.在求這類問題時首先應該明白

與龍軸平行的直線上點的縱坐標都相同，且兩點間的距離是橫坐標相減的絕對值；與y軸平行的直線

上點的橫坐標都相同，且兩點間的距離是縱坐標相減的絕對值.

2.線段數量關系問題

根據前面所得的線段長，結合題干中線段間的數量關系，利用勾股定理或相似三角形對應邊成比

例，列出方程求解即可.（注意排除不符合題意的數值）

3.求線段最大值問題

根據前面所得的線段長的關系式，構建二次函數模型，利用二次函數性質求最值，可得到線段長

的最大值（注意自變量的取值范圍）；求兩條線段和的最小值時，常用“將軍飲馬”模型.

典例精析

例1如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c經過A（0,3）和兩點，直線AB

與無軸相交于點C,P是直線AB上方拋物線上的一個動點，尸。,無軸交AB于點D

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若PE//X軸交AB于點E,求PD+PE的最大值.

c=3,

解析：⑴將A（0,3）,3（1,一2）代入y=-J+Zzx+c,得＜79解得

24+/。=一了‘一?

所以該拋物線的解析式為y=-7+公+3.

(2)設直線AB的解析式為y=fcc+w.

/C、-J，1J

將4(0,3),8工,一2代入〉=丘+”，得卜_9解得｛=一展

5"一了[“=3.

3

所以直線A3的解析式為y=-|x+3.

33

在》=--x+3中，令y=0,則-—x+3=0,解得％=2.所以C(2,0).

因為尸O_Lx軸，PE〃x軸，所以N0EP=NACO,ZDPE=ZAOC=90°.所以RtZ\OPEsRt/\AOC

所以p必n=土PF，即P2D=O絲A=三3.所以pE=*2p￡>.所以pQ+pE=5?pD

OAOCPEOC233

設P(a,-fl2+2a+3),則。[a,-ga+3；

所以PD=(-(r+2a+3)

所以。+差.

因為-±5<0,所以當。=7'時，PO+PE有最大值，最大值為24坦5.

3448

跟蹤訓練

1.如圖，在平面直角坐標系中，經過點A(4,0)的直線AB與y軸交于點8(0,4).經

過原點。的拋物線產-尤2+bx+c交直線于點A,C,拋物線的頂點為D.

(1)求拋物線y=-x2+6x+c的解析式；

(2)M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當MN〃y軸且MN=2時，求點M的坐

標.

類型二角度問題

解法指導

如果要證明兩角相等，可通過平行線、等邊對等角、軸對稱或相似三角形求解；如果要構造一個

45。的角，可通過等腰直角三角形、同弧所對圓周角等于90。圓心角的一半、平分直角等解決；在二倍

角的問題中，可利用等腰三角形頂角的外角等于底角的2倍，構造二倍角，再利用正切三角函數計算.

典例精析斗

例2如圖2,拋物線>=0?+%無+c(aWO)與x軸交于Z^\

A(-2,0),B(8,0)兩點，與y軸交于點C(0,4),連接AC,BC.

(1)求拋物線的解析式；70B

(2)尸是拋物線上一動點，當時，求點P的坐標.圖2

解析：(1)由A(-2,0),8(8,0),設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-8).

將C(0,4)代入y=a(尤+2)(尤-8),得4=-16a,解得。=-；.

2

所以拋物線的解析式為y=」(x+2)(x-8)=-1X+-X+4.

-442

(2)①當點尸在BC上方時，如圖3所示.

因為所以PC〃A8所以C,尸兩點的縱坐標相等.所以點P的縱坐標為4.

將力=4代入>=-—x2+—x+4,得4=-—/+—x+4,解得不=0,&=6.

4242

所以點P的坐標為(6,4).

圖3圖4

②當點P在BC下方時，如圖4所示.

設PC交x軸于點H.因為所以HC=HB.

設HC=HB=m,貝l|OH=OB-HB=8-m.

在RtZ\COH中，由勾股定理，得OC2+OH2=CH2,即4?+(8-加2=m2,解得m=5.

所以。8=3.所以H(3,0).

設直線PC的解析式為y=kx+n.

[〃=4,k=—

將C(0,4),H(3,0)代入y=fci+〃，得＜解得《3

3k+〃=0,.

i[n=4.

4

所以直線PC的解析式為y=-§x+4.

4,34

y=——x+4,x——，

x=0,3所以點尸的坐標為f—?——

聯立《；解得＜或<

y=4100

y=——x2+—x+4,y=----

42-9

<34100

綜上，點尸的坐標為（6,4）或鼻，—刀

跟蹤訓練

2.如圖，拋物線y=-7+bx+c與x軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,直線8c的解析式為y=x-3.

（1）求拋物線的解析式;

（2）點。是拋物線上一點，若/ACQ=45°,求點0的坐標.

第2題圖

類型三面積問題

解法指導

在平面直角坐標系內，如果三角形的一邊與坐標軸平行或重合，就把這邊作三角形的底邊，直接

用面積公式計算；如果三角形的三邊都不與坐標軸平行或重合，可用“鉛垂高”法.如圖，過△ABC的

三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫做^A8C的“水平寬”（a）,

中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫做的“鉛垂高”。7）,則SAABc='a/i，即三角形

2

面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.求圖形面積的最值時，常利用二次函數的性質解決.

典例精析

例3如圖5,已知直線y=：x+4與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線》二蘇+及十。經過A,

C兩點，且與工軸的另一個交點為5,對稱軸為％=-1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)。是第二象限內拋物線上的動點，設點。的橫坐標為徵，求

四邊形ABCD面積S的最大值及此時點D的坐標.

圖5

4一

解析：(1)在y=§x+4中，當y=0時，％=-3,當x=0時，y=4,所以A(-3,0),C(0,4).

因為拋物線的對稱軸為x=-1,所以5(1,0).

設拋物線的解析式為y=“(x-1)(X+3).

4

將C(0,4)代入y=a(x-1)(x+3),得4=-3a,解得a=--.

所以拋物線的解析式為y=-±(x-1)(x+3)=--x2--x+4.

333

(2)如圖5,過點。作OE〃y軸交AC于點E

因為點O的橫坐標為機，所以￡)(加,—gm?一[m+4],根+“.

48(4)4

所以DE=--m2-—m+4-—m+4=--m2-4m.

3313J3

所以S^ADC=—DE,OA=—x?——m2—4m|x3=-2m2-6m.

22I3)

ii(3Y25

因為S^ABC=-AB-OC=-x4x4=8,所以S=S?ADC+S^ABC=-2m2-6m+8=-2m+-+一.

22V2

因為-2<0,所以當根=-士時，S取得最大值，最大值為2.

22

當根=-3時，-匕扇-§〃什4=--§、[_2]+4=5.所以此時點￡＞的坐標為(一3,5].

2333I2J3I2J(2)

跟蹤訓練

3.如圖，拋物線y=a？+b尤+c與x軸交于點4(-4,0),B(2,0),與y軸交于點C(0,2).

(1)求這條拋物線所對應的函數解析式;

(2)點尸為拋物線上一點，連接CP,若直線CP把四邊形C8B4的面積分為1：5的兩部分，求點P

的坐標.

類型四相似三角形存在性問題

解法指導

探究兩個三角形相似的存在性問題，往往沒有明確指出兩個三角形的對應角(尤其是以文字形式

出現讓證明兩個三角形相似)，或者涉及動點位置的不確定，此時應考慮不同的位置關系，分情況討

論.

典例精析

例4

如圖6,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(-1,0),8兩點，交y軸于點C(0,3),頂點。的橫

坐標為1.

(1)求拋物線的解析式;

(2)過點C作直線/與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E,連接A。，AE,DE,在直線/下

方的拋物線上是否存在一點過點〃作ME，/,垂足為凡使以M,F,E三點為頂點的三角

形與△AOE相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖6

解析：(1)因為頂點。的橫坐標為1,所以拋物線的對稱軸為尤=1.

因為A(-1,0),所以8(3,0).

設拋物線的解析式為y=a(尤+1)(x-3).

將C(0,3)代入y=a(尤+1)(x-3),得3=-3a,解得a=-l.

所以拋物線的解析式為產-(x+1)(x-3)=-x12+2x+3.

(2)因為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以。(1,4).

由拋物線的對稱性可知E(2,3).

因為A(-1,0),所以+42=2迅,DE=^/(2-1)2+(4-3)2=,AE=J(2+1J+3?

=3后.

因為(2石)2=(0)2+(30)I即小，所以△AOE是直角三角形，且NAE

止90。，匹

AE3

設M"-產+2什3)(Y0或1>2),貝！JEb二小2|,MF=3-(-尸+2什3)=t2-2t.

FF1MF1

因為NMbE=NAEO=90°,所以當△MEb與△A0后相似時，有——=—和——=一兩種情況：

MF3EF3

①當空=!時，上二4=工，整理，得(t-2)2(t2-9)=0,解得t=2(舍去)或t=3或t=-3；

MF3t2-2t3

②當

竺時，1二#='，整理，得(t-2)2(9t2-l)=0,解得t=2(舍去)或t=!(舍去)或t

EF3|r-2|33

-..1.

3，

所以點"的坐標為(3,0)或(-3,-12)或卜

綜上，存在點使以M,F,E三點為頂點的三角形與△&￡>￡相似，此時點"的坐標為(3,

0)或(-3,-12)或

跟蹤訓練

4.如圖，已知拋物線y=-2f+b元+c與無軸交于點A,B(2,0)(A在B的左側),與y軸交于點C,

對稱軸是苫=,，尸是第一象限內拋物線上的任一點.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點P作x軸的垂線與線段BC交于點垂足為若以P,M,C為頂點的三角形與△BMW

相似，求點尸的坐標.

類型五平行四邊形存在性問題

解法指導

已知平行四邊形的三個頂點，利用平行四邊形對邊平行且相等或對角線互相平分的性質可以確定

第四個頂點；已知平行四邊形的兩個頂點，通過平移或者過中點作直線可以確定另外兩個頂點.矩形

的存在性問題可轉化為直角三角形的存在性問題來解決.菱形的存在性問題可轉化為等腰三角形的存

在性問題來解決.正方形的存在性問題可轉化為等腰直角三角形的存在性問題來解決.

典例精析

例5如圖7,在平面直角坐標系尤中，己知拋物線y=a/+x+c經過A(-2,0),B(0,4)兩

點，直線x=3與無軸交于點C.

(1)求a,c的值；

(2)P是拋物線上位于第一象限內的一個動點，在線段OC和直線x=3上是否分別存在點F,G,

使8,F,G,P為頂點的四邊形是以8尸為一邊的矩形？若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說

明理由.

圖7

解析：(1)把A(-2,0),B(0,4)代入y=/+x+c,得，一之+°-°，解得產--展

c=4，

i[c=44.

所以。的值為-工，C的值為4.

2

(2)由(1)知拋物線的解析式為y=-」/+x+4.

2

設P['-g/+r+4).

當B,F,G,尸為頂點的四邊形是以8尸為一邊的矩形時，有點尸在點G上方和點尸在點G下方兩

種情況：

①當點P在點G上方時，如圖8所示，過點P作尸HJ_y軸于點H,則/尸“8=/八76=/80/=90°.

因為四邊形3PG尸是矩形，所以8P=GRNPBF=/BFG=90°.

KZCFG+ZBFO=ZBFO+ZOBF=ZOBF+ZPBH=ZPBH+ZHPB=900,所以/CFG=/OBE

ZHPB,/PBH=NBFO.所以APf/B2AFCG.所以CF=PH=3OF=3-t.

因為NPBH=NBFO,所以tan/PB#=tanN8F0.

匚匚zPHOBt4

所以一=—，R即n一；--------------，解得九=0(舍去)，t2=l.

BHOF二/+/+4-43—t

2

②當點尸在點G下方時，如圖9所示，過點G作GN，y軸于點N,過點P作尸軸于點

同①可得MF=GN=3,OF=t-3,ZMPF=ZOFB,所以tan尸尸=tanNO尸A

MFOB34?曰1+720Tl-^/20T...

所以——二——，即Rn「--------二——，解得ti=」——，t2=---(z舍去).

MPOF，由+4—44

2

所以OF=yT1.所以《嗎Tl,o].

綜上，存在點FG,使8,F,G,P為頂點的四邊形是以8F為一邊的矩形，點尸的坐標為(2,0)

跟蹤訓練

5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>="2+6尤+2經過A(-；，0j,兩點，與y軸交于

點C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點尸在拋物線上，過點尸作尸。，犬軸，交直線BC于點D若以P,D,O,C為頂點的四邊

形是平行四邊形，求點尸的橫坐標.

類型六特殊三角形存在性問題

解法指導

探究等腰三角形存在性問題，常用“兩圓一線”法，即分別以定長線段的兩端點為圓心，以定長

為半徑畫兩個圓，再作定長線段的垂直平分線，則圓上各點及垂直平分線上各點都是符合題意的等腰

三角形的第三個頂點(三個頂點在同一直線上的點除外)，如圖①所示；探究直角三角形存在性問題,

常用“一圓兩線”法，即以定長線段為直徑畫圓，再分別過定長線段的兩端點作這條線段的垂線，則

圓上各點及垂線上各點都是符合題意的直角三角形的第三個頂點(三個頂點在同一直線上的點除外)，

如圖②所示.

典例精析

例6如圖10,拋物線y=o?+2x+c的對稱軸是x=l,與x軸交于點A,B(3,0),與y軸交于點C,

連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)己知。是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作。無軸，垂足為M,OW交直線2C

于點N,是否存在這樣的點N,使得以A,C,N為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出點N

的坐標；若不存在，請說明理由.

解析：(1)因為拋物線y=a/+2x+c的對稱軸是x=LB(3,0),所以A(7,0).

,.八、O(a—2+c=0,-jrfa=—1,

將A(-1,0),B(3,0)代入y=a?+2無+c,得《解得《

[9a+6+c=0,[c=3.

所以拋物線的解析式為y=-/+2x+3.

(2)由(1)可知C(0,3),故設直線3c的解析式為y=fcv+3.

將8(3,0)代入y=fcc+3,得女+3=0,解得左=7.

所以直線BC的解析式為y=-尤+3.

設。G,-P+27+3),則N(f,-f+3),其中0<t<3.

因為A(-1,0),C(0,3),所以AC2=12+32=10,AV=(f+1)2+(-Z+3)2=2於-4汁10,

C砰=F+(3+-3)2=2/.

當以A,C,N為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況：

①當AC=AN時，4。2=4解，即10=2--4什10,解得〃=2,a=0(舍去).

所以點N的坐標為(2,1)；

②當AC=CN時，AC2^CN2,即10=2巴解得君，t2=-下(舍去).

所以點N的坐標為(君，3-逐)；

③當AN=CN時，4儲=。M，即2戶-4什10=2匕解得f=之.

2

所以點N的坐標為段）

綜上，存在這樣的點N,使得以A,C,N為頂點的三角形是等腰三角形，點N的坐標為（2,1）或

（小，3-百）

跟蹤訓練

6.如圖，拋物線y=-—無2+法+。經過點8（4,0）和點C（0,2）,與x軸的另一個交點為A,連接

2

AC,BC.

（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；

（2）如圖，若。是線段AC的中點，連接8。，在y軸上是否存在點E,使得△BOE是以8。為斜邊

的直角三角形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

AO

第6題圖

參考答案

—16+4Z?+c=0,解得ri'

1.解:(1)將A(4,0),0(0,0)代入廠--+人工+和得

c=0,[c=Q

所以拋物線的解析式為產-爐+4%.

（2）設直線A5的解析式為y=Zx+zn.

{4k+tn—0,（左二—],

將A（4,0）,B（0,4）代入廠乙+徵，得1解得《

[m=4,[m=4.

所以直線A8的解析式為y=-x+4.

設M（3-/+4）,則N（3-尸+4。，其中0&S4.

當點M在點N上方時，MN=-t+4-（-產+4f）=?2-5/+4=2,整理，得

產-5什2=0,解得仁三晅，仁把晅（舍去）.所以點用的坐標為

22

當點M在點N下方時，MN="2+4t-（“+4）=-r+5t-4=2,整理，得R-5什6=0,解得。=2,七=3.

所以點M的坐標為（2,2）或（3,1）,

綜上，點M的坐標為（三姮，土叵]或（2,2）或（3,1）.

122J

2.解：（1）在y=x-3中，當y=0時，X=3,當x=0時，y=-3,所以3（3,0）,C（0,-3）.

一9+3b+c=0,fb=4,

將8(3,0),C(0,-3)代入丁=-/+法+小得。解得

c=-3,c=-3

所以拋物線的解析式為尸-?+4x-3.

(2)因為03=0C,所以NOC3=NOBC=45°.因為NACQ=45°，所以N3CQ=N0CA.

如圖，過點C作/BCQ=/OCA交拋物線于點。，過點8作BE,8c交CQ于點E,過E點作￡尸，無

軸于點F.

因為。4=1,0c=3,所以tan/0CA=，J^以tan/8CE=^=L

3BC3

因為BC=JOB：+oc?=3&,所以8后=應.

因為NOBC=45°,所以/班戶=45°.所以尸=1.所以￡(4,-1).

設直線CE的解析式為y=kx+a.

將E(4,-1),C(0,-3)代入y=fcv+a,得尸""-一!解得＜%=5

\a=-3,,

i[a=~：

所以直線CE的解析式為y=1x-3.

y=-x+4x-3,iy=.

3.解：(1)因為拋物線y=a/+6x+c與x軸交于點A(-4,0),B(2,0),所以設拋物線的解析

式為

y=a(x+4)(x-2).將C(0,2)代入y=a(x+4)(尤-2),得2=-8“，解得a=-1.

所以這條拋物線所對應的函數解析式為y=-工(尤+4)(x-2)=--%2--x+2.

442

(2)如圖，設直線CP交x軸于點E

因為直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5的兩部分，S&PCB：SNCA=gBE?(yc-yp):

X(yc-yp)=BE：AE,所以BE：AE=1：5或5：1.

因為A8=6,所以AE=5或AE=1,即點E的坐標為(1,0)或(-3,0).

因為直線CP過點C(0,2),所以設直線CP的解析式為y=fct+2.

7

將(1,0),(-3,0)分別代入〉=依+2,解得七-2或七］

7

所以直線C尸的解析式為y=-2x+2或尤+2.

14

y=—2,x+2,y=-x+2,X=—

-3x—6,3

聯立11。或??解得(舍去)或或＜

y=—x2----x+2,12y=-1010

42yx—x+2,y=—

=-429

-10)或H10

~9

4.解：(1)因為拋物線經過點3(2,0),對稱軸是苫=工，所以A(-1,0).

2

所以拋物線的解析式為>=-2(x+1)(x-2)=-2X2+2X+4.

(2)設尸(f,-2r+2r+4),貝！IOH=t.所以BH=2-t.

由(1)知8(2,0),C(0,4),所以02=2,OC=4.

因為NCMP=NBMH,ZBHM=90°,所以當以P,M,C為頂點的三角形與△BMH相似時，有/

CPM=90°和/PCM=90°兩種情況：

①當/CPM=90°時，如圖①所示，則/8HM=/CPM=90°.

所以C尸〃x軸.所以點C與點尸關于拋物線的對稱軸對稱.

因為C(0,4),拋物線的對稱軸為x=4，所以尸(1,4)；

2

第4題圖

②當/PCM=90°時，如圖②所示，過點P作尸軸于點E,則/尸￡^=/8。^=/尸皿=90°.

所以ZPCE+ZCPE=NPCE+NBCO=9Q。.所以/CPE=ZBCO.所以△PECs△。。區

r-r-KIPECEt—2廠+2/+4—4A^jzg?/小+、3r>(335A

所以一=—,即Bn一=-------------,解得ri=0(舍去)，叁=一.所以用一,一

COBO424(48J

綜上，點尸的坐標為(1,4)或

—a——b+2=0,a——1,