2024年新高考I卷數學真題解題技巧

（1題2.4解）

本節導航

^■

真題01集合真題解題技巧

真題02復數真題解題技巧

真題03平面向量真題解題技巧

真題04三角恒等變換真題解題技巧

真題05立體幾何體積計算解題技巧

真題06分段函數單調性解題技巧

真題07三角函數圖象與性質真題解題技巧

真題08函數的性質判斷函數值大小關系真題解題技巧

真題09正態分布真題解題技巧

真題10導數及其應用真題解題技巧

真題11平面軌跡曲線方程真題解題技巧

真題12離心率真題解題技巧

真題13公切線真題解題技巧

真題14均值及概率真題解題技巧

真題15解三角形解答題真題解題技巧

真題16圓錐曲線解答題真題解題技巧

真題17立體幾何解答題真題解題技巧

真題18導數解答題真題解題技巧

真題19數列新定義真題解題技巧

HI

真題01集合真題解題技巧

3

（2024年新高考I卷高考真題）已知集合A={%|-5＜X＜5},B={-3,-1,0,2,3}，則3=（)

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0)D.{-1,0,2)

圖駁型用裱

本題是集合運算中的交集求解問題，給定一個由不等式確定的無限集合A={x|-5＜爐＜5）和一個有

限集8={-3,—1,0,2,3},要求找出既屬于集合A又屬于集合3的元素，即求Ac5。

裁彼運用

【解法一】直接計算法【解法二】逐一驗證法【解法三】選項排除法【解法四】精確范圍法

省L法ti固球"

1.(2025?福建?模擬預測)已知集合4={-1,。,1,2,3},3=，彳€?^高€?^,則()

A.{2,3}B.{1,2,3}C.{-1,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3)

2.(2024?陜西西安?一模)已知集合4=何了=3左一1,左€陰,8={乂一4/+4》+15>0},則Ap3=()

A.{-1,0}B.10,1}C.{-1,1}D.{-1,2}

3.(2024?河南?模擬預測)已知集合人=付了<1},B={x\-l<x<2],則為(4。為=()

A.(-co,-l]B.(-oo,-l]U[l+0°)

C.[2,+co)D.(-oo,-1]D[2,+OO)

真題02復數真題解題技巧

7

＞哀鈉（2024年新高考I卷高考真題）若一-=l+i貝！Jz=（)

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

駁型解裱

本題是關于復數運算的題目，已知一個復數等式二=1+7,要求出復數z的值，主要考查復數的運

z-1

算法則以及方程求解的能力。

〃—〃/〃〃讖勿////〃///勿法用

【解法一】常規方程求解法【解法二】構造法

【解法三】設2二Q+初法【解法四】利用復數的倒數性質法

1.(2025?廣東佛山?一模)若*+2i=l,則2=()

Z

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

z+1-if?

2.(2024?湖北?一模)若復數z滿足---------=l+2i,.貝I」z=()

z

A.----iB.--+-iC.-l+iD.-l-i

2222

3.（2025?江西景德鎮?二模）已知復數|4-3”-z=l-第必，則復數z的虛部為（）

2.2J_

A.—iB.—cD.

55-%5

真題03平面向量真題解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）已知向量商=（0,1）,方=（2,%）,若5。—旬,則犬=)

A.-2B.-1C.1D.2

侈題幽裱

本題是平面向量垂直條件應用的題目。已知兩個向量無B的坐標，以及B與B_44垂直的關系，要求

出向量B中未知數x的值。解題關鍵在于利用向量垂直的性質（兩向量垂直，其數量積為0）建立關于x的

方程求解。

【解法一】常規坐標運算【解法二】展開數量積運算

【解法三】答案回代法【解法四】數形結合作圖法（略）

1.（2025?廣東肇慶?二模）已知向量前=（—2,3）,5=（m—1,3間,。//（4+26），貝1］加=（）

111

A.-BC.——D.--

3-I3

立，則在在。上的投影向量為（）

2.（2025?江西九江?一模）已知向量萬萬滿足aZ=B，且同=

2

A.$B.當

C.-2aD.2a

33

3.（2025?河南?模擬預測）已知向量商=（4,機—1）3=（機+2,—2）,若皿,則機=（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

真題04三角恒等變換真題解題技巧

＞哀鈉（2024年新高考I卷高考真題）已知85（二+￡）=機/@11112114=2,貝!Jcos（。—萬）二（）

m-m

A.—3mB.——C.—D.3m

33

本題是三角函數求值問題，已知cos（a+/7）與tancHan/?的值，要求cos（e—/?）的值，需要運用三角

函數的兩角和與差公式以及同角三角函數的基本關系來進行求解。

枝逡迄用

【解法一】利用兩角和與差的余弦公式及弦化切

【解法二】設輔助變量法

【解法三】構造特殊角法（假設特殊值滿足條件）

【解法四】通過比例關系求解

,——e、4an\a7i1ri/、

1.(2025?廣東?一模)右tan[耳+工J+tanl,-]J=cosa,貝Jsina=()

A.75-2B.C.D.72-1

42

2.(2025?福建廈門?一模)已知0<a<],^tan^+^=2(sin6Z+cos6f),則sin2a=()

134

A.-BC.一D.

3-I4?

3.（2025?福建?模擬預測）已知，若sin（a+/?）=3sin（a—/?）,當tan（a—￡）取得最大值時，tan￡=

)

A.5/2C.6

真題05立體幾何體積計算解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均

為8,則圓錐的體積為（）

A.2山兀B.36兀C.667rD.9扃

、.燃型解裱

本題是一道關于圓柱和圓錐幾何性質的題目，已知圓柱和圓錐底面半徑相等、側面積相等且高均為出,

要求出圓錐的體積。主要考查圓柱和圓錐側面積公式、體積公式的運用，以及通過建立等式求解未知量的

能力。

技彼運用

【解法一】常規公式推導法

【解法二】比例關系法

【解法三】特殊值法

【解法四】極限思想法

1.（2025?江西九江?一模）在棱長為目的正方體A5CO-A5G2中，點尸在正方體內（包含邊界）運動.若

直線A?與。c所成角為￡，則動點尸所圍成的圖形的面積是（）

6

7t713兀

A.-B.—C.—D.兀

424

2.（2025?廣東肇慶?二模）已知正三棱錐的底面是邊長為6的正三角形，高為2,則該三棱錐的外接球的

體積為（）

125兀25兀64兀64兀

A.----B.---C.---D.---

484253

3.（2025?廣東?一模）已知圓柱初％與圓錐NM的體積與側面積均相等，若NM的軸截面為等腰直角三角

形，則加陷與的底面半徑之比為（）

D,正

A.血CV

B.當6

真題06分段函數單調性解題技巧

（2。24年新高考I卷高考真題）已知函數/（M：+；1m。°在R上單調遞增，則。的取

值范圍是（）

A.(-℃,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

■敦幽裱

本題是給定一個分段函數，已知其在R上單調遞增，要求確定參數。的取值范圍。對于分段函數單調

性問題，需分別考慮各段函數自身單調性，同時保證在分段點處函數值的大小關系符合遞增性質。

【解法一】根據二次函數對稱軸與區間關系

【解法二】特值探路法

^t法]寅彳夫.

ax-sinx,x<0,

1.（2024?山東?模擬預測）"°21"是"函數〃尤）=2；c在R上單調遞增"的()

x+ax-a+2,x>0

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

2.（2。25?湖南永州?模擬預測）已知函數〃加[x+口4a+,分%＞+0心皿是R上的,增函數，則實數。的取值范圍

是（）

A.[0,4]B.（0,4）C.（0,4]D.[0,4）

x-2,x＜2,

3.（2025?福建,模擬預測）若。＞0且。/1,已知/（力=?/\.是R上的單調函數，則實數。的

log”（無2一ax）,尤＞2

取值范圍為（）

A.（0,1）C.(1,2]D.(1,+<?)

真題07三角函數圖象與性質真題解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）當/[0,2乃]時，曲線y=sinx與＞=2呵3—之的交點個數

為（）

A.3B.4C.6D.8

?觀型解篌

本題是在給定區間XI[0,2汨內，求兩個三角函數y=sinx與y=2sin3x-2圖象交點個數的問題,

本質上是求解方程5垣％=25由卜》一看在該區間內的解的個數，可通過多種方法，如利用三角函數性質、

圖象變換，方程求解等思路來解決。

教彼運用

【解法一】五點作圖法數形結合

【解法二】平移變換法數形結合（略）

TT37rIT

1.（2025?浙江?模擬預測）函數/（%）=sin（x+彳）+4山（二-2%）在區間［-不兀］內的零點個數為（）

3262

A.2B.3C.4D.5

2.（2025嘿龍江?模擬預測）函數〃x）=2Gcos［s:—Tjcoss—2sin2s:+1圖象如圖所示，若函數〃x）在

TTTTTT

3.（2025?江蘇蘇州,模擬預測）已知函數/（幻=$皿0尤+夕）（0>0,|9|<彳），/（-A=0,x=：為/⑺圖象

244

的對稱軸，且/'3在（=jr,丁Sir）上單調，則。的最大值為（）

1836

A.11B.9C.7D.5

真題08函數的性質判斷函數值大小關系真題解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）已知函數/（x）的定義域為R,/（無）>/（尤-1）+/（*-2）,且當x<3

時/（尤）=x,則下列結論中一定正確的是（）

A./(10)>100B.f(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

■莖蛆裱

本題是一道關于抽象函數性質與具體函數值計算結合的題目。已知函數/(x)的定義域為R,給出了

/(x)與/(x-2)的大小關系不等式，以及x<3時/(x)的具體表達式，要求判斷關于

/(10)/(20)與一些數值大小關系的結論。

【解法一】逐步迭代法

【解法二】斐波那契數列對比法

【解法三】指數增長分析法

【解法四】倍數關系遞推法(結合解法一)

旗技法演秣

1.(2025?河南洛陽?模擬預測)已知函數/⑺的定義域為(0,+8),當x>l時，/(力>-2；且滿足

〃孫)=〃x)+〃y)+2,則關于煙不等式-，+"2)+2的解集為()

A.(-2,1)B.(-2,O)u(O,l)

C.(一8,-2)。(1,2)D.1g,0)50,l)

2.(2025?江西九江?一模)定義在R上的函數“X)滿足：①對任意xeR,都有〃2+x)=〃l)-)；

②〃2x)的圖象關于直線x=l對稱：③"2)=1,*]=卓則下列說法正確的是()

A.〃x+2)是奇函數B./(x+1)是偶函數

3.（2025?安徽?模擬預測）己知可導函數〃x）的定義域為R,且有/（x）-/（4-x）=4x-8,設g（x）是〃x）

2025

的導函數，若g（x+l）為偶函數，則?（2左+1）=（）

左=0

A.2025B.2026C.4050D.4052

真題09正態分布真題解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）隨著"一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動

茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入

的樣本均值于=2.1,樣本方差/=0.01,已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布N（L8,012）,假設推

動出口后的畝收入y服從正態分布N仔,52）,則（）（若隨機變量Z服從正態分布

P（Zv〃+b）。0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（7>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

本題是關于正態分布概率計算的題目，已知茶葉種植區以往收入和推動出口后收入分別服從不同參數

的正態分布，給出了相關均值、方差等信息，要求判斷不同選項中概率的取值范圍。

枝彼運用

【解法一】利用正態分布的對稱性（基本性質法）

【解法二】另一種形式

,////////////////////////////////////////,/////////A法1/海f黛

1.（2024?山東泰安?模擬預測）已知隨機變量X服從正態分布，即X~N（4,5）,貝|（）

A.E（X）=20B.￡>（X）=5

C.P（X<2）+P（X<6）=1D.P（X>8）<P（X<-1）

2.（2024?浙江杭州?模擬預測）為了解鴨梨種植園的畝收入（單位：萬元）情況，從“高標準梨園”種植區抽

取樣本，得到的畝收入樣本均值y=。.86,樣本方差S2=0,0009;從"標準化梨園”種植區抽取樣本，畝收入

X服從正態分布N（0.72,0.042）,假設，，高標準梨園，，的畝收入y服從正態分布N。,52）,貝。（）.（若Z服

從正態分布N（〃,4），則P（Z<〃+0a0.8414）

A.尸（X>0.8）>0.2B,尸（X>0.8）<0.5

C.P（r>0.8）>0.5D.P（r>0.8）<0.8

3.（2025?河南?模擬預測）坐位體前屈（SitAndReach）是一種體育鍛煉項目，也是大中小學體質健康測試

項目，通常使用電動測試儀進行測試.為鼓勵和推動學生積極參加體育鍛煉，增強學生體質，我國于2002

年開始在全國試行《學生體質健康標準》，坐位體前屈屬于該標準規定的測試內容之一.已知某地區進行

體育達標測試統計得到高三女生坐位體前屈的成績J（單位:cm）服從正態分布"（20,4）,且

P（^>22）=0.1,現從該地區高三女生中隨機抽取3人，記4不在區間（18,22）的人數為X,貝U（）

A.尸（18<彳<22）=0.9B,E（3X+2）=3.8

C.D（A/5X）=2.4D.P（X>1）=0.476

真題10導數及其應用真題解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）設函數/（X）=（X-1）2（X-4）,則（）

A.x=3是/（x）的極小值點B.當0<x<l時，/(x)</(x2)

C.當l<x<2時，-4</(2%—1)<0D.當一lv無<0時，f(2-x)>f(x)

■敦幽裱

本題為高中數學函數類多選題，給出函數/（x）=（x-l）2（x-4）,需判斷關于其極值點、不同區間函數

值大小關系等多個命題的正確性，考查函數求導、單調性、特殊值應用等知識。

?林法運用

【解法一】導數分析法

【解法二】特殊值驗證法

勿勿勿"""法,寅彳東"勿

1.(2025?浙江?模擬預測)設函數“可二%3-3V+2,則()

A.x=0為〃尤)的極大值點B.〃尤)的圖象關于(1,0)中心對稱

C.函數y=/(x)的三個零點成等差數列D.Hxe(ro,3],/(x)-/(2-x)>4

2.(2025?江西?一模)已知函數〃x)=(x-a)2(x-2),且x=l是〃尤)的一個極值點，下列說法正確的是

()

A.實數々的值為1或-1

B.〃x)在(1,4w)上單調遞增

C.若x=l是〃x)的一個極小值點，則當x>l時，/(2x+l)>/(x+2)

D.若x=l是〃尤)的一個極大值點，貝IJ當0<x<l時，/(2X-1)>/(X2-1)

3.(2024?山東泰安?模擬預測)已知函數〃x)=efin，+e-,則()

A.〃x)的圖象關于直線尤=:對稱

B./(x)+/(x+7l)的最大值為4

37r

c.“X)在區間-彳,0上單調遞減

D.〃x)在區間兀上的極小值為2e用

真題11平面軌跡曲線方程真題解題技巧

)靠州(2024年新高考I卷高考真題)設計一條美麗的絲帶，其造型K可以看作圖中的曲線C的一部分.

已知C過坐標原點。.且C上的點滿足:橫坐標大于-2,到點/(2,0)的距離與到定直線x=a(a<0)的距離之

B.點(23,0)在C上

/、4

c.c在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點(%,%)在c上時，T

本題圍繞曲線。展開，已知曲線C過原點且其上點滿足到定點/(2,0)的距離與到定直線

x=a(a<0)的距離之積為4這一條件，需據此求出曲線相關信息并判斷各選項正誤。

【解法一】選項判斷法

【解法二】特殊點優先法

1.(2024?湖北?一模)雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數學曲線領域占有至關重要的地位，同時

也具有特殊的有價值的藝術美.雙紐線的圖形輪廓像"8"，是許多藝術家設計作品的主要幾何元素.已知

在平面直角坐標系中，4(-2,0),月(2,0),滿足\PF.\-\PF2\=4的動點P的軌跡為曲線C,則下列結

論正確的是()

A.曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形

B.曲線C上滿足|尸制=|尸閶的點尸有2個

C.|OP|<2A/2

D.曲線C上存在四個不同的點，使曲線在該點處切線的斜率為0

2.（2025,浙江?模擬預測）設平面內兩點的坐標為A&,%）,8（%為），定義L（A8）=旨歸―即+比一為|-

已知點耳（-1,0）,區（1,0）,記平面內滿足K）+乙）=4括的動點M的軌跡為曲線E,則（）

A.點（2,0）在曲線E上

B.曲線E圍成的面積為6g

C.L（M,耳）的最大值為3

D.對曲線E上任意點”,都有|乙（跖"）一“現硝歸"居，凡）

3.（2024?廣東河源?模擬預測）"8"可以看作數學上的無窮符號，也可以用來表示數學上特殊的曲線.如

圖所示的曲線C過坐標原點0,C上的點到兩定點耳罵0）（。＞0）的距離之積為定值.則下列說

B.若C上的點到兩定點可、F?的距離之積為16,則點（T,0）在C上

C.若a=3,點（3,%）在C上，則2＜巾＜3

0CCL

D.當。=3時，C上第一象限內的點P滿足皮耳&的面積為；，則戶片『-「k『=18百

真題12離心率真題解題技巧

22

（2024年新高考I卷高考真題）設雙曲線C:3-當=1（。＞01＞。）的左右焦點分別為不尺，

ab

過F?作平行于y軸的直線交C于A,8兩點，若I耳41=13,1431=10,則C的離心率為

駁型解裱

本題是關于雙曲線性質應用的題目，已知雙曲線的相關幾何關系，要求出雙曲線的離心率。離心率是

雙曲線的一個重要性質，反映了雙曲線的形狀特征，其求解通常需要結合雙曲線的定義、標準方程以及幾

何性質來進行。

【解法一】直接計算+定義法

【解法二】利用雙曲線的定義和勾股定理（定義-勾股法）

【解法三】利用通徑公式（通徑法）

眩］寅彳東〃〃〃〃〃〃〃〃〃///〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃///〃/,

22

1.（2024?四川成都?模擬預測）橢圓!7+方=1（〃〉/?〉0）的左、右焦點分別為小巴，焦距為2c,若直線

y=g（x+c）與橢圓的一個交點M滿足耳巴=2/"與片，則該橢圓的離心率等于—.

22

2.（2025?浙江溫州?模擬預測）已知P為橢圓3+2=1（。>6>0）上一點，耳,月分別為橢圓的左，右焦點，

ab

直線尸片交y軸于點Q,O為坐標原點，若|Q?|=|尸耳|工。尸1,則橢圓的離心率等于.

3.（2025?廣東佛山?一模）直線/過雙曲線cJf=l（a>0/>0）的左焦點尸，交C的漸近線于A,2兩

點.若麗=3雨，且周=6,則C的離心率為

真題13公切線真題解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）若曲線y=e，+x在點（0,1）處的切線也是曲線y=ln（x+l）+。的

切線，則。=

駁型解裱

本題是一道關于曲線切線的導數應用問題。已知一條曲線在某點處的切線同時也是另一條曲線的切線,

需要通過求導得出切線斜率，進而得到切線方程，再根據切線與另一曲線的關系求出未知參數。的值

【解法一】常規求導求解法

【解法二】切線方程通式法

【解法三】利用斜率相等與切點關系法

1.（2023?全國?模擬預測）試寫出曲線y=2e'與曲線y=21n（x+2）的一條公切線方程.

2.（2024?陜西榆林?模擬預測）已知曲線，（月=/與g（尤）=ln（依）（。＞0）有公共切線，則實數。的最大值

為.

3.（2024?河北滄州?模擬預測）已知直線/：y="是曲線"尤）=e㈤和g（x）=Inx+a的公切線,則實數a=

真題14均值及概率真題解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡

片上分別標有數字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中,

兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的

人得。分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總

得分不小于2的概率為.

年題型解裱

本題是一個關于古典概型的概率計算問題。甲、乙兩人進行四輪比賽，從各自持有的四張卡片中隨機

選一張比較大小計分，且選過的卡片不再使用，要求計算四輪比賽中甲的總得分不小于2的概率。需要先

確定所有可能的基本事件總數，再找出甲總得分不小于2的事件數，最后根據古典概型概率公式計算概率。

教彼運用

【解法一】常規求解法

【解法二】直接法

◎技法演煉

1.（2024?遼寧?三模）一個書包中有標號為"1,1,2,2,3,3,…”的2〃張卡片.一個人每次從中拿出一張卡片，

并且不放回；如果他拿出一張與已拿出的卡片中有相同標號的卡片，則他將兩張卡片都扔掉；如果他手中

有3張單張卡片或者書包中卡片全部被拿走，則操作結束.記書包中卡片全部被拿走的概率為匕，則

月=-4=-

2.（2024?河北張家口?三模）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到1。:10時，需要

3

一人比另一人多得兩分，比賽才能結束.已知甲贏得每一分的概率為了，在兩人的第一局比賽中，兩人達

到了10:10,此局比賽結束時，兩人的得分總和為小則此時的概率尸5）=.

3.（2024?江西?一模）斐波那契數列（Fibonaccisequence）,又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多?斐波那

契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在數學上，斐波那契數列以如下遞推的方式定義：

%=Lq=1,4“=。“-1+4_2（,上…,陶^/，臺三人且8x0中，則B中所有元素之和為奇數

的概率為—.

真題15解三角形解答題真題解題技巧

（2024年新IWJ考I卷IWJ考真題）記VABC的內角A、3、C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=A/2COSB，

/+H—yf^cib

⑴求&

(2)若VA2C的面積為3+石，求a

■莖蛆裱

本題是解三角形問題，綜合考查了余弦定理、正弦定理以及三角形面積公式的應用，通過已知條件建

立邊與角的關系來求解角的大小和邊的長度。

枝飯運用

【解法一】常規余弦定理與正弦定理結合法

【解法二】邊化角結合三角函數恒等變換法

?技法演稼

1.(2025?江西景德鎮?二模)在VABC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,。，AD,BE分別為BC,AC

An3

邊上的高，—sin(C-B)=2sinAcos2B.

BE4

⑴求證：A=2B；

7

(2)若c=§,求

h—c

2.(2025?福建?模擬預測)記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosA=-^

(1)證明：A=2C；

(2)若a=2,且VA3C為銳角三角形，求VABC的周長的取值范圍.

3.(2025?福建廈門?一模)在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosC=(缶-c)cosA.

⑴求A;

(2)設。為邊AB的中點，若c=2,且sin/C￡)B=M0,求a.

10

真題16圓錐曲線解答題真題解題技巧

（2024年新高考I卷高考真題）己知4（0,3）和尸卜,|22

為橢圓C：，+-yy=l(a>b>0)上兩點.

ab

⑴求。的離心率;

⑵若過尸的直線,交。于另一點8,且尸的面積為9,求/的方程.

■敦幽裱

本題是圓錐曲線中橢圓相關的綜合問題，第一問求橢圓的離心率，需根據橢圓上的點的坐標求出橢圓

方程中的參數關系進而得到離心率；第二問根據三角形面積求直線方程，要先設出直線方程，再聯立橢圓

方程，利用弦長公式、點到直線距離公式等求解。

⑥I妓收運用

【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【附加解法五+解法六】

Y2?571

1.（2025?河南洛陽?模擬預測）已知雙曲線C:宏-1=1（。>0,。>0）的一條漸近線的傾斜角為焦距

為4.過點（1,0）的直線與雙曲線C相交于A8兩點，點B關于x軸對稱的點為點。.

⑴求雙曲線C的標準方程；

⑵證明：直線AD過定點；

⑶若直線AD的斜率為-逅，求直線AB的方程.

6

2.（2025?江蘇蘇州?模擬預測）已知橢圓，+，=1（。>6>0）,離心率為手，且過點［應，孝］

⑴求橢圓的標準方程；

（2）設直線/與橢圓交于A、B兩點，坐標原點。到直線/的距離為|石，求AAOB面積最大值.

22

3.（2025?安徽?模擬預測）已知雙曲線C：4-4=1（?>0,b>0）的右頂點E（l,0）,斜率為1的直線

ab

交C于M、N兩點，且"N中點。（1,3）.

⑴求雙曲線C的方程;

(2)證明：AMEN為直角三角形;

⑶經過點7(0,2)且斜率不為零的直線/與雙曲線C的兩支分別交于點A,3.若點。是點B關于＞軸的對稱

點，試問，不論直線/的斜率如何變化，直線AD是否過定點?若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，說

明理由.

真題17立體幾何解答題真題解題技巧

(2024年新高考I卷高考真題)如圖，四棱錐尸-ABCD中，PAL底面ABC。，R4=AC=2,

BC=I,AB=B

(1)^AD±PB,證明：AD〃平面P3C；

(2)若AOJLOC,且二面角A-CP-。的正弦值為這，求AD.

7

侈敦幽裱

本題是立體幾何中關于線面平行證明以及二面角相關的問題。第一問證明線面平行，關鍵在于利用線

線垂直關系推出線線平行，進而證明線面平行；第二問根據二面角的正弦值求線段長度，需建立空間直角

坐標系，利用向量法求解，也可幾何法求解。

枝逡迄用

【解法一】純幾何法

【解法二】向量法證明線面平行(第一問)

【解法三】向量法（第二問）

【解法四】面積射影法（略）

◎救法演揀

1.（2025?吉林?二模）如圖，一個直三棱柱ABC-A4G和一個正四棱錐P-A&Vk組合而成的幾何體中,

A4，AG，44=4G=2.

⑴證明：平面尸A耳，平面ACGA；

（2）若平面BB￡C與平面PBBi夾角的余弦值為反,求正四棱錐尸-A84A的高.

10

2.（2025?安徽?模擬預測）如圖所示，半圓柱的軸截面為平面BCC4，BC是圓柱底面的直徑，。為底面

圓心，44為一條母線，點E在棱CG上，且CE=4CG，O<A<1,MAB=AC=A4,=4.

（1）當2=g時，求證：OELAg；

⑵當人（時,求平面陰￡與平面皿用夾角的余弦直

3.（2025?浙江溫州?模擬預測）如圖，已知四棱錐尸-ABCZ）中，頂點尸在底面ABCD上的射影”落在線段

AC上（不含端點）,底面ABCD為直角梯形，A￡?〃8C,AB_LARABuZ,BCuZADuZ魚.

⑴求證：平面PAC；

⑵若二面角A-BC-P的大小為a,直線PC與平面ABCD所成的角為

tana

①求的值;

tan0

②當a=60。時，求八4的最小值.

真題18導數解答題真題解題技巧

(2024年新高考I卷高考真題)已知函數/(x)=In—+依+6(尤-Ip

2-x

⑴若6=0,且/'(無)*0,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

⑶若，。)>-2當且僅當1<X<2,求6的取值范圍.

■莖蛆裱

本題是一道關于函數性質與不等式求解的綜合題。涉及到函數的導數應用、函數的對稱性以及不等式

恒成立與取值范圍問題。第一問通過導數