第六章A卷

選擇題（共8小題）

1.C70CIQ-Cf0=（）

A.119B.120C.1199D.1200

2.每年的5月25日是全國大中學生心理健康日.某高校計劃在這一天開展有關心理健康的宣傳活動，現

計劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，則不同的排法總數為（）

A.540B.120C.90D.60

3.某書架的第一層放有7本不同的歷史書，第二層放有6本不同的地理書.從這些書中任取1本歷史書

和1本地理書，不同的取法有（）

A.13種B.42種C.67種D.7種

4.某中學舉行排球賽，共有5個隊參加，每兩個隊比賽一場，共需比賽（）

A.6場B.8場C.10場D.20場

5.五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽.若

將這五個音階排成一列,形成一個音序，且要求宮、羽兩音節不相鄰，可排成不同的音序的種數為（）

A.12種B.48種C.72種D.120種

6.在（?-2＞的展開式中，x的系數為（）

A.-80B.-40C.40D.80

7.從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動，所有選擇的方法有（）種.

A.120種B.60種C.20種D.40種

8.東陽市一米陽光公益組織主要進行“敬老”和“助學”兩項公益項目，某周六，組織了七名大學生開

展了“筑夢前行，陽光助學”活動后，大家合影留念，其中米一同學想與佳艷、劉西排一起，且要排在

她們中間，則全部排法有（）種.

A.120B.240C.480D.720

二.多選題（共4小題）

（多選）9.對于二項式（2x-1）8,下列說法正確的是（）

A.其展開式一共有8項

B.其展開式的二項式系數和為256

C.其展開式的所有項的系數和為1

D.其展開式的第三項為俏（2x）5（-1尸

（多選）10.3名學生，2名教師站成一排參加文藝匯演，則下列說法正確的是（）

A.任意站成一排，有120種排法

B.學生不相鄰，有24種排法

C.教師相鄰，有48種排法

D.教師不站在兩邊，有72種排法

（多選）11.在（2/一68的二項展開式中，下列說法正確的是（）

A.展開式中所有項的系數和為256

B.展開式中所有奇數項的二項式系數和為128

C.展開式中含x項的系數為-448

D.展開式中二項式系數的最大項為第四項

（多選）12.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法就給出著名的楊輝三角，由此可見我國

古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關于楊輝三角的猜想中正確的是（）

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

A.由“與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等"猜想管=C廠加

B.由“在相鄰兩行中，除1以外的每個數都等于它肩上的兩個數字之和猜想噩+1=CT】+&

C.第9條斜線上個數字之和為55

D.在第-525）條斜線上，各數從左往右先增大后減少

三.填空題（共5小題）

13.“九江之夜”文旅街區是我市重點引進的文旅項目，它坐落在我市濂溪區芳蘭湖畔，一經開業便引得

廣大市民游客爭相打卡.為了更好的服務招親廣場、電音舞臺、簿火廣場、水系舞臺這四個網紅打卡點，

主管單位向我市征集了5名志愿者，若要求每個網紅點至少安排一名志愿者，每名志愿者只服務一個網

紅點，則電音舞臺恰好安排兩人的方法有種.

14.已知某圓上的10個不同的點，過每3個點畫一個圓內接三角形，一共可畫個圓內接三角

形.

15.（-1+X）9展開式中/的系數為.

16.有且僅有語文、數學、英語、物理4科老師布置了作業，同一時刻3名學生都在做作業，則這3名學

生做作業的可能情況有種.

17.用4種不同的顏色對如圖所示的6個區域(圖中A,B,C,D,E,F)進行著色，要求相鄰區域顏色

不同，則共有種不同的著色方法.

四.解答題(共5小題)

18.已知6件不同的產品中有2件次品，現對這6件產品一一進行測試，直至找到所有次品并立即停止測

試.

(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第5次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的

測試情況？

(2)若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？

19.(1)從6名同學中選4名同學組成一個代表隊，參加4X400米接力比賽，問有多少種參賽方案？

(2)從6名同學中選4名同學參加場外啦啦隊，問有多少種選法？

(3)4名同學每人可從跳高、跳遠、短跑三個項目中，任選一項參加比賽，若恰有一項比賽無人參加，

問有多少種參賽方案？

20.已知二項式。-得)71的展開式中，所有項的二項式系數之和為。，各項的系數之和為6,a+b=32.

(1)求w的值；

(2)求其展開式中所有的有理項.

21.已知(V^x-1)5=ao+xai+x%2+x%3+x%4+x%5.

(1)求|。1|+|。2|+|。3|+|。4|+畫的值;

(2)求7^41+2。2+2&<73+4。4+4a。5的值.

22.已知8件不同的產品中有2件次品，現對這8件產品一一進行測試，直至找到所有次品.

(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的

測試情況？

(2)若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？

第六章A卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案ACBCCACB

選擇題（共8小題）

1.C/0C^-C00=（）

A.119B.120C.1199D.1200

【考點】組合及組合數公式.

【專題】轉化思想；轉化法；排列組合；運算求解.

【答案】A

【分析】根據已知條件，結合組合數的公式，即可求解.

【解答】解：*~=C^o-1=120-1=119.

故選：A.

【點評】本題主要考查組合數的公式，屬于基礎題.

2.每年的5月25日是全國大中學生心理健康日.某高校計劃在這一天開展有關心理健康的宣傳活動，現

計劃將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講，則不同的排法總數為（）

A.540B.120C.90D.60

【考點】排列組合的綜合應用.

【專題】轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】先將6位老師平均分成三組，再將三組分配即可.

【解答】解：因為需要將6位老師平均分成三組分別到三個不同的班級進行宣講,

將6位老師平均分成三組，共有種可能,

則有,*=90種排法.

故選：C.

【點評】本題主要考查排列組合知識的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

3.某書架的第一層放有7本不同的歷史書，第二層放有6本不同的地理書.從這些書中任取1本歷史書

和1本地理書，不同的取法有（）

A.13種B.42種C.67種D.7種

【考點】分步乘法計數原理.

【專題】整體思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】B

【分析】根據分步計數原理求解.

【解答】解：從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有7X6=42種.

故選：B.

【點評】本題考查分步乘法計數原理，屬于基礎題.

4.某中學舉行排球賽，共有5個隊參加，每兩個隊比賽一場，共需比賽（）

A.6場B.8場C.10場D.20場

【考點】簡單排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】利用組合數公式直接求解.

【解答】解：某中學舉行排球賽，共有5個隊參加，每兩個隊比賽一場，

所以共需比賽程=10場.

故選：C.

【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題.

5.五聲音階（漢族古代音律）是按五度的相生順序，從宮音開始到羽音，依次為宮，商，角，徵，羽.若

將這五個音階排成一列,形成一個音序,且要求宮、羽兩音節不相鄰,可排成不同的音序的種數為（）

A.12種B.48種C.72種D.120種

【考點】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】對應思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】先排其它三個，然后在空檔插入宮、羽兩音節即可得.

【解答】解：先排其它三個，然后在空檔插入宮、羽兩音節，方法數為居幽=72.

故選：C.

【點評】本題考查排列組合相關知識，屬于基礎題.

6.在（五一2）5的展開式中，x的系數為（）

A.-80B.-40C.40D.80

【考點】二項式系數的性質.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；二項式定理；邏輯思維；運算求解.

【答案】A

【分析】直接利用二項式的展開式求出結果.

【解答】解：根據二項式的展開式Tr+1=Cf?久丁?（一2），（r=0,1,2,3,4,5）,當廠=3時，x的

系數為田?（―2）3=-80.

故選:A.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

7.從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動，所有選擇的方法有（）種.

A.120種B.60種C.20種D.40種

【考點】排列組合的綜合應用.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】C

【分析】由排列、組合及簡單計數問題求解即可.

【解答】解：從4個男生2個女生中任選3個人參加一個活動，所有選擇的方法有俏=20種，

故選：C.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，屬基礎題.

8.東陽市一米陽光公益組織主要進行“敬老”和“助學”兩項公益項目，某周六，組織了七名大學生開

展了“筑夢前行，陽光助學”活動后，大家合影留念，其中米一同學想與佳艷、劉西排一起，且要排在

她們中間，則全部排法有（）種.

A.120B.240C.480D.720

【考點】簡單排列問題.

【專題】常規題型；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】B

【分析】根據米一同學想與佳艷、劉西排一起，且在他們中間，將米、佳艷、劉西捆綁在一起，與剩余

4個同學作為5個元素全排列，由排列數公式計算可得答案.

【解答】解：因為米一同學想與佳艷、劉西排一起，

所以捆綁在一起，與剩余4個同學作為5個元素全排列有由種，

又因為米一同學想與佳艷、劉西排一起，且在他們中間，則佳艷、劉西全排列有國種，

所以全部排法有：鹿掰=240種.

故選：B.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.對于二項式（2x-1）8,下列說法正確的是（）

A.其展開式一共有8項

B.其展開式的二項式系數和為256

C.其展開式的所有項的系數和為1

D.其展開式的第三項為俏（2x）5（-1尸

【考點】二項展開式的通項與項的系數；二項式系數的性質.

【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】BC

【分析】利用二項展開式的項數可判斷A選項；利用二項展開式的二項式系數和可判斷8選項；在二

項式中，令x=l,結合所有項的系數和可判斷C選項；利用二項展開式的通項可判斷。選項.

【解答】解：二項式（2尤-1）8,

展開式的項數為8+1=9,A錯；

其展開式的二項式系數和為28=256,8對；

其展開式的所有項的系數和為（2X1-1）8=1,c對；

其展開式的第三項為鬣（2嗎6（-1）2,。錯.

故選：BC.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

（多選）10.3名學生，2名教師站成一排參加文藝匯演，則下列說法正確的是（）

A.任意站成一排，有120種排法

B.學生不相鄰，有24種排法

C.教師相鄰，有48種排法

D.教師不站在兩邊，有72種排法

【考點】部分元素不相鄰的排列問題.

【專題】整體思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】AC

【分析】根據全排列可求得A,根據不相鄰問題用插空法可求得8,根據相鄰問題用捆綁法可求得C,

根據特殊位置優先排可求得D.

【解答】解：任意站成一排，有4=120種排法，A正確；

先排老師，然后插空，即彩a=12種排法，8錯誤；

教師相鄰用捆綁，即彩題=48種排法，C正確；

教師不站兩邊，先將兩邊排上學生，剩下的人全排列，即幽幽=36種排法，O錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查排列的應用，屬于基礎題.

（多選）H.在（2/—的二項展開式中，下列說法正確的是（）

A.展開式中所有項的系數和為256

B.展開式中所有奇數項的二項式系數和為128

C.展開式中含x項的系數為-448

D.展開式中二項式系數的最大項為第四項

【考點】二項展開式的通項與項的系數.

【專題】方程思想；定義法；二項式定理；運算求解.

【答案】BC

【分析】令尤=1可判斷選項A;所有奇數項的二項式系數和為2丁1可判斷選項&由展開式的通項可

判斷選項C；利用展開式中二項式系數的性質可判斷選項D

【解答】解：令尤=1,可得展開式中所有項的系數和為（2-1）8=1,故A錯誤；

28

展開式中所有奇數項的二項式系數和為一=27=128,故8正確；

2

二項式（2/一§8的展開式的通項為或（2久2）8-k（—1=c^28-fc（-l）kx16-3k,

令16-3左=1,得左=5,則展開式中含x項的系數為磴28-5（_1）5=—56x8=—448,故C正確；

展開式中共有9項，中間項第五項的二項式系數最大，故。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查二項式系數的性質，考查運算求解能力，是基礎題.

（多選）12.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法就給出著名的楊輝三角，由此可見我國

古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的，以下關于楊輝三角的猜想中正確的是（）

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

A.由“與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等"猜想C針=印一機

B.由“在相鄰兩行中，除1以外的每個數都等于它肩上的兩個數字之和猜想墨+i=+Cr

C.第9條斜線上個數字之和為55

D.在第”(">5)條斜線上，各數從左往右先增大后減少

【考點】二項式定理的應用.

【專題】計算題；對應思想；分析法；二項式定理；運算求解.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據二項式系數與楊揮三角判斷A5通過觀察歸納出第"條斜線上的數的特征，進而判斷8

選項.

【解答】解：根據二項式系數的性質，結合楊輝三角即可得c7=ck機，C>1=C+C；；成立,

故AB選項正確；

對于C。選項，第1條斜線上的數為C3第2條斜線上的數為

第3條斜線上的數為以，盤，第4條斜線上的數為或，廢，

第5條斜線上的數為傘,白，弓，第6條斜線上的數為Cg,Cl，Cl，

第7條斜線上的數為啜，程，Cl，戲，…，

由此，歸納得到：第2〃(?￡N*)條斜線上的數依次為：C黑_】，。昂_2,嗡.3，…，印t，

第(2〃+1)(nGN)條斜線上的數依次為：4nt，啕_2，…，Cn

所以，第9條斜線上各數字為:或，的,Cl，Cl，4,和為4+6+北+底+酸=1+7+15+10+

1=34,故C錯誤；

在第〃(”25)條斜線上，各數從左往右先增大后減少，故D正確.

故選：ABD

【點評】本題考查楊輝三角，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

三.填空題(共5小題)

13.“九江之夜”文旅街區是我市重點引進的文旅項目，它坐落在我市濂溪區芳蘭湖畔，一經開業便引得

廣大市民游客爭相打卡.為了更好的服務招親廣場、電音舞臺、簿火廣場、水系舞臺這四個網紅打卡點，

主管單位向我市征集了5名志愿者，若要求每個網紅點至少安排一名志愿者，每名志愿者只服務一個網

紅點，則電音舞臺恰好安排兩人的方法有60種.

【考點】排列組合的綜合應用；簡單排列問題.

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】60.

【分析】根據題意，分2步進行分析：①將5人分為4組，②將2人組安排到電音舞臺，剩下的3組全

排列，安排到其他3個網紅打卡點，由分步計數計算可得答案.

【解答】解：根據題意，分2步進行分析：

①將5人分為4組，有量=10種分組方法，

②將2人組安排到電音舞臺，剩下的3組全排列，安排到其他3個網紅打卡點，有“=6種情況，

則有10X6=60種安排方法.

故答案為：60.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題.

14.已知某圓上的10個不同的點，過每3個點畫一個圓內接三角形，一共可畫120個圓內接三角形.

【考點】簡單組合問題.

【專題】整體思想；定義法；排列組合；運算求解.

【答案】120.

【分析】根據不共線的三點確定一個圓，可得從10個點任選3個點取法有C；。，即可求得答案.

【解答】解：.某圓上的10個不同的點不共線，且從10個點任選3個點取法有CK=120,

...一共可畫120個圓內接三角形.

故答案為：120.

【點評】本題考查組合數的應用，屬于基礎題.

15.（-1+x）9展開式中/的系數為-36.

【考點】二項展開式的通項與項的系數.

【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；運算求解.

【答案】-36.

【分析】利用二項展開式的通項公式求解即可.

【解答】解：（-1+x）9展開式中/的系數為番（-1）7=-36.

故答案為：-36.

【點評】本題考查二項展開式的通項公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

16.有且僅有語文、數學、英語、物理4科老師布置了作業，同一時刻3名學生都在做作業，則這3名學

生做作業的可能情況有64種.

【考點】排列組合的綜合應用；計數原理的應用.

【專題】對應思想；分析法；排列組合；運算求解.

【答案】64.

【分析】根據分步乘法，每個學生做作業的情況都是4,相乘即可.

【解答】解：因為4科老師都布置了作業，在同一時刻每個學生做作業的情況有4種可能，

所以3名學生都做作業的可能情況4X4X4=64種.

故答案為：64.

【點評】本題考查排列組合的應用，屬于基礎題.

17.用4種不同的顏色對如圖所示的6個區域（圖中A,B,C,D,E,F）進行著色，要求相鄰區域顏色

不同，則共有120種不同的著色方法.

【考點】部分位置的元素有限制的排列問題.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】120種.

【分析】由題意可知A,B,C,D,E五個區域中必有兩組不相鄰的區域分別涂同一種顏色，再結合排

列組合知識求解.

【解答】解：根據題意，用4種不同顏色標注6個區域，相鄰區域顏色不相同，則A,B,C,D,E五

個區域中必有兩組不相鄰的區域分別涂同一種顏色，

共有：{UA和C”且“B和￡>"},{“A和C”且“B和和D”且“C和￡”},{“&和D”

且“8和E"},{“B和。”且“C和E”},5種情況，

所以不同的涂色共有5X題=120.

故答案為：120種.

【點評】本題主要考查了排列組合問題，屬于基礎題.

四.解答題（共5小題）

18.已知6件不同的產品中有2件次品，現對這6件產品一一進行測試，直至找到所有次品并立即停止測

試.

(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第5次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的

測試情況？

(2)若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？

【考點】計數原理的應用.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運算求解.

【答案】(1)48；

(2)18.

【分析】(1)根據分步乘法計數原理可求得結果；

(2)分兩種情況討論：(力測試2次找到所有次品；(z7)測試3次找到所有的正品.求出兩種情況下

不同的測試情況種數，相加即可.

【解答】解：(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第5次測試時，找到第二件次品，

則第一、三、四次抽到的都是正品，

由分步乘法計數原理可知，不同的測試情況種數為4X2X3X2X1=48種；

(2)至多測試3次就能找到所有次品，有兩種情況：

(/)測試2次找到所有次品，不同的測試情況種數為2X1=2種，

(拓)測試3次找到所有的次品，則第三次抽到次品，前兩次有一次抽到次品，

則不同的測試情況種數為2X2X4=16種，

綜上所述，不同的測試情況種數為2+16=18種.

【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了計數原理的應用，屬于基礎題.

19.(1)從6名同學中選4名同學組成一個代表隊，參加4X400米接力比賽，問有多少種參賽方案？

(2)從6名同學中選4名同學參加場外啦啦隊，問有多少種選法？

(3)4名同學每人可從跳高、跳遠、短跑三個項目中，任選一項參加比賽，若恰有一項比賽無人參加，

問有多少種參賽方案？

【考點】排列組合的綜合應用.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；直觀想象.

【答案】⑴360；

(2)15；

(3)42.

【分析】(1)結合排列、組合知識，先選后排即可；

(2)結合組合知識，只從6名同學中選4名同學即可；

(3)先從跳高、跳遠、短跑三個項目中選二個項目，再討論4名同學參加這二個項目的參賽方案即可.

【解答】解：(1)從6名同學中選4名同學組成一個代表隊，參加4X400米接力比賽，有維=360種

參賽方案；

(2)從6名同學中選4名同學參加場外啦啦隊，有琮=15種選法；

(3)4名同學每人可從跳高、跳遠、短跑三個項目中，任選一項參加比賽，若恰有一項比賽無人參加，

有量義(24-2)=42種參賽方案.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數問題，重點考查了運算能力，屬基礎題.

20.已知二項式(X-意產的展開式中，所有項的二項式系數之和為。，各項的系數之和為6,。+6=32.

(1)求"的值；

(2)求其展開式中所有的有理項.

【考點】二項式系數與二項式系數的和.

【專題】轉化思想；轉化法；二項式定理；運算求解.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)先利用題給條件列出關于〃的方程，解之即可求得〃的值；

(2)利用二項展開式的通項公式即可求得其展開式中所有的有理項.

【解答】解：(1)因為。=2%b=(-2)",所以2"+(-2)"=32,

當〃為奇數時，此方程無解，

當"為偶數時，方程可化為2X2"=32,解得〃=4；

(2)由通項公式%+1=Clx4-r.盛丫=(一3)r-C；x44r,

當4一會為整數時，7什1是有理項，則r=0,2,4,

所以有理項為Ti=(―3)叱/4=K4,丁3=(—3)2盤爐=54x,T=(―3)4。拉-2

5=81X-2

【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎題.

21.已知(虎X-1)5=〃0+少〃1+%2〃2+工3〃3+式%4+/5〃5.

(1)求|。1|+|。2|+|。3|+|〃4|+|。引的值；

(2)求魚41+2〃2+2立43+4〃4+4魚〃5的值.

【考點】二項式系數與二項式系數的和.

【專題】轉化思想；轉化法；二項式定理；運算求解.

【答案】⑴29四+40；

(2)2.

【分析】(1)結合賦值法，即可求解；

(2)結合(1)的結論，以及賦值法，即可求解.

【解答】解：(1)(&X-1)5的展開式中，當尤=0時，<70=-1,

因為。0,<72,446(-8,0),。3,asE.(0,+8),

所以|。0|+|。1|+|及|+|。3|+|。4|+|。5|=-ao+a\-。2+。3-。4+。5,

"

當X=1時，CZQ_Cl]+a?—+=(一V2-I)，,

所以|%J+|。2|+|<^3I+I。/+1^51=(V2+1)6—1=29V2+40;

5

(2)根據題意，令x=V2,得(2—I)=a0++2a2+2V2a3+4a4+4V2a5,

由(1)知，ao=-1,

所以V^cii+2a2+2V2CI3+4a4+4V2ci5=1—(-1)=2.

【點評】本題主要考查賦值法的應用，屬于基礎題.

22.已知8件不同的產品中有2件次品，現對這8件產品一一進行測試，直至找到所有次品.

(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的

測試情況？

(2)若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？

【考點】排列組合的綜合應用.

【專題】轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解.

【答案】(1)720,

(2)26.

【分析】(1)分步驟確定每次測試的情況數，再根據排列組合的乘法原理計算總的測試情況數.

(2)要分測試2次找到所有次品和測試3次找到所有次品這兩種情況分別計算，最后根據加法原理得

到總的測試情況數.

【解答】解：(1)第1次測試的是正品，從6件正品中選1件，有得=6種選擇，

第2次測試找到第一件次品，?.?有2件次品，.?.第2次測試的次品有2種選擇，

第3次到第5次測試的是正品，從剩下的5件正品中選3件進行排列，有題=5X4X3=60種選擇,

第6次測試找到第二件次品，此時只剩下1件次品，.?.只有1種選擇，

根據排列組合的乘法原理，總的測試情況數為2X6X60X1=720種.

(2)測試2次就找到所有次品的情況：

第1次測試找到一件次品，有2種選擇，第2次測試找到另一件次品，有1種選擇，，這種情況共有2

XI=2種測試情況.

測試3次找到所有次品的情況：

第1次測試找到一件次品，有2種選擇，第2次測試找到一件正品，從6件正品中選1件，

有廢=6種選擇，第3次測試找到另一件次品，有1種選擇，這種情況共有2X6X1=12種測試情況,

第1次測試找到一件正品，從6件正品中選1件，有盤=6種選擇，第2次測試找到一件次品，

有2種選擇，第3次測試找到另一件次品，有1種選擇，這種情況共有6X2X1=12種測試情況，

根據加法原理，至多測試3次就能找到所有次品的測試情況數為2+12+12=26種.

【點評】本題考查了排列組合，屬于基礎題.

考點卡片

1.分步乘法計數原理

【知識點的認識】

1.定義：完成一件事需要分成兩個步驟：做第1步有機種不同的方法，做第2步有w種不同的方法，那

么完成這件事共有：N=%X〃種不同的方法.

2.推廣：完成一件事需要分成w個步驟：做第1步有制種不同的方法，做第2步有他種不同的方法，…,

做第"步有加種不同的方法，那么完成這件事共有：N=7W1><%2義…X'"”種不同的方法.

3.特點：完成一件事的幾個步驟相互依存，必須依次完成”個步驟才能完成這件事;

4.注意：與分類加法計數原理區別

分類加法計數原理分步乘法計數原理

相同點計算”完成一件事”的方法種數

不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

每類方案中的每一種方法都每步依次完成才算完成這件

能獨立完成這件事事情(每步中的每一種方法

不能獨立完成這件事)

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整

【解題方法點撥】

如果完成一件事情有力個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則

可使用分步乘法計數原理.

實現步驟：

(1)分步；

(2)對每一步的方法進行計數;

(3)用分步乘法計數原理求積;

【命題方向】

與實際生活相聯系，以選擇題、填空題的形式出現，并綜合排列組合知識成為能力型題目，主要考查學生

分析問題和解決問題的能力及分類討論思想.

例：從1,2,3,4,5,6,7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中

奇數的個數為()

A.432B.288C.216D.108

分析:本題是一個分步計數原理，先從4個奇數中取2個再從3個偶數中取2個共好窗,再把4個數排列，

其中是奇數的共超蜀種，根據分步計數原理得到結果.

解答：?.?由題意知本題是一個分步計數原理，

第一步先從4個奇數中取2個再從3個偶數中取2個共盤方=18種，

第二步再把4個數排列，其中是奇數的共般題=12種，

所求奇數的個數共有18X12=216種.

故選C.

點評：本題考查分步計數原理，是一個數字問題，數字問題是排列中的一大類問題，把排列問題包含在數

字問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，很多題目要分類討論，要做到不重不漏.

2.計數原理的應用

【知識點的認識】

1.兩個計數原理

(1)分類加法計數原理：N=mi+m2+--+mn

(2)分步乘法計數原理：N=miXm2X?-?Xmn

2.兩個計數原理的比較

分類加法計數原理分步乘法計數原理

共同點都是計數原理，即統計完成某件事不同方法種數的原理.

不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘

n類方案相互獨立，且每類n個步驟相互依存，每步依次

方案中的每種方法都能獨立完成才算完成這件事情(每

完成這件事步中的每一種方法不能獨立

完成這件事)

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整

【解題方法點撥】

1.計數原理的應用

(1)如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類加法計數原

理;

(2)如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完

成這件事的方法數時，使用分步乘法計數原理.

2.解題步驟

(1)指明要完成一件什么事，并依事件特點確定是“分〃類”還是“分〃步”；

(2)求每“類”或每“步”中不同方法的種數；

(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數；

(4)作答.

【命題方向】

分類計數原理、分步計數原理是推導排列數、組合數公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思

想方法.

常見考題類型：

(1)映射問題

(2)涂色問題(①區域涂色②點的涂色③線段涂色④面的涂色)

(3)排數問題(①允許有重復數字②不允許有重復數字)

3.簡單排列問題

【知識點的認識】

-簡單排列問題通常涉及無任何限制條件的排列情況.w個不同元素的全排列總數為4*=n!.

-該類問題通常是排列問題的基礎，強調對基本排列公式的理解與應用.

【解題方法點撥】

-直接應用排列公式進行計算.對于全排列問題，計算階乘即可得到排列數.

-在計算過程中，注意排列數中的階乘表示法，并理解排列的意義.

-對于涉及排列的實際問題，可以通過具體化問題，將其轉化為排列數計算.

【命題方向】

-基本排列問題的命題常見于簡單元素排列的計算，如全排列數的求解、特定位置的排列數計算.

-可能涉及對排列數公式的直接應用，以及對排列問題的基礎性理解與操作.

4.部分位置的元素有限制的排列問題

【知識點的認識】

-部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現在特定位置或區域.例如：特定元素只

能出現在排列的前幾位或某些位置.

-這種問題通常要求考生在處理排列時，先考慮限制條件，再進行一般排列.

【解題方法點撥】

-處理此類問題時，首先對有限制的部分進行排列，將有限制的元素排好位置，然后對剩余元素進行排列

組合.

-使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數.

-對于較復雜的限制條件，可能需要分類討論，并對每種情況進行單獨計算.

【命題方向】

-常考察在特定位置或區域內元素的排列，如規定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列

問題.

-命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運用排列數公式.

5.部分元素不相鄰的排列問題

【知識點的認識】

-部分元素不相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須保持不相鄰.例如：在排列中，兩個特定

元素不能排在一起.

-這類問題通常通過排除法、間隔法或插空法來解決.

【解題方法點撥】

-使用間隔法，首先將不受限制的元素排列，然后在排列間隙中插入受限制的元素，保證其不相鄰.

-排除法是先計算不考慮相鄰條件的排列總數，再減去相鄰元素排列的情況.

-對于更復雜的排列問題，可以結合插空法或利用遞推關系進行解題.

【命題方向】

-命題方向可能要求考生求解特定元素不相鄰的排列總數，或者分析多個元素不相鄰的組合情況.

-題目可能涉及多個不相鄰條件的疊加，要求考生準確處理這些條件.

6.組合及組合數公式

【知識點的認識】

1.定義

(1)組合：一般地，從w個不同元素中，任意取出機(mWn)個元素并成一組，叫做從〃個元素中任取

m個元素的一個組合.

(2)組合數：從w個不同元素中，任意取出機GnWn1個元素的所有組合的個數，叫做從〃個不同元素

中，任意取出機個元素的組合數，用符號C針表示.

2.組合數公式：制=的T)S-2)(…1)=,；eN+1且mWn.

nmlm\(n—m)\

3.組合數的性質：

性質ic鏟=crm

性質2需1=C$+C$T.

7.簡單組合問題

【知識點的認識】

-簡單組合問題涉及無任何特殊限制的組合情況.〃個不同元素中選出廠個元素的組合總數為C=

-這類問題是組合問題的基礎，強調對基本組合公式的理解與應用.

【解題方法點撥】

-直接應用組合公式進行計算.在實際問題中，注意理解組合與排列的區別，組合不考慮順序，而排列考

慮順序.

-對于簡單組合問題，可以通過列舉法或公式直接求解.

-在復雜組合問題中，分類討論和遞推公式可能是有效的解題工具.

【命題方向】

-常見命題包括基本組合問題的計算，如從一組元素中選出子集的總數，或計算特定組合情況的可能性.

-命題可能涉及對組合數公式的直接應用，以及對組合問題的基礎性理解與操作.

8.排列組合的綜合應用

【知識點的認識】

1、排列組合問題的一些解題技巧：

①特殊元素優先安排；

②合理分類與準確分步；

③排列、組合混合問題先選后排；

④相鄰問題捆綁處理；

⑤不相鄰問題插空處理；

⑥定序問題除法處理；

⑦分排問題直排處理；

⑧“小集團”排列問題先整體后局部；

⑨構造模型；

⑩正難則反、等價轉化.

對于無限制條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質分類，二是按時間發生的過程進行分

步.對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：

①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；

②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；

③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數.

2、排列、組合問題幾大解題方法：

(1)直接法；

(2)排除法；

(3)捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們

“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”；

(4)插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元

素不相鄰問題”；

(5)占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然后再排其他一般元素；從位置

的特殊性