第02講4.2.1等差數列的概念

01學習目標

k

課程標準學習目標

①理解等差數列的定義.會推導等差數列的

通項公式，能運用等差數列的通項公式解決

能應用等差數列的定義判斷等差數列，會應用等差數列

一些簡單的問題.掌握等差中項的概念。

的通項公式進行基本量的求解，能應用等差數列的性質

②能根據等差數列的定義推出等差數列的

解決與等差數列相關的問題

常用性質.能運用等差數列的性質解決有關

問題。

02思維導圖

一般地，如果T數歹囚第2項起,每一項與它的前一項的爰等于同T譚凱那么這個數歹憎叫做等翱列

H這個段叫做等差數列的公差通常解母d表示.

等差數列的概念

03知識清單

知識點01：等差數列的有關概念

一般地，如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列,

這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母1表示.

知識點02：等差中項

由三個數。，Z,b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時，Z叫做。與b的等差中項.這三個

數滿足關系式2A=a+b.

【即學即練。（24-25高二上?全國?隨堂練習）若。，6是方程X?-2x-3=0的兩根，則。，6的等差中項

為（）

33

A.—1B.—C.1D.一

22

【答案】C

【知識點】等差中項的應用

【分析】應用韋達定理及等差中項計算即可.

【詳解】因為。+6=-彳=2,

所以的等差中項為4=1.

故選：C.

知識點03：等差數列的通項公式

首項為q,公差為d的等差數列｛4｝的通項公式為%=%+(〃-l)d.

(1)等差數列的通項公式是關于三個基本量q,d和〃的表達式,所以由首項為和公差d可以求出數列中的

任意一項.

⑵等差數列的通項公式可以推廣為%=%,+(〃-制)應由此可知，已知等差數列中的任意兩項，就可以求

出其他的任意一項.

【即學即練2](24-25高二上,全國?隨堂練習)已知等差數列-5,-2,1,則該數列的第20項為()

A.52B.62C.-62D.-52

【答案】A

【知識點】利用定義求等差數列通項公式、等差數列通項公式的基本量計算

【分析】由題意先求出等差數列的首相和公差，可求出等差數列的通項公式，令〃=20即可得出答案.

【詳解】由題意設等差數列的首相和公差分別為qH,

所以q=—5,d=—2—(—5)=3,

所以%=%—5+3(?-1)=3?-8,

所以出。=3x20-8=52.

故選：A.

知識點04：等差數列與一次函數

等差數列一次函數

f(x)=kx+b(kw0)

an=%+(〃一l)d

表達式：

n+(q-d)

①定義域N**.

不同點②圖象是一系列均勻分布在同一①定義域為R.

直線上的孤立的點.②圖象是一條直線.

①當dw0時,等差數列的通項公式與一次函數的

解析式都是關于自變量的一次式.

相同點②等差數列中的q,d,〃，氏四個量中知三求一和

一次函數中求左，b的方法都是解方程(組).

知識點05：等差數列的單調性

①當d〉0,等差數列｛4｝為遞增數列

②當d<0,等差數列｛4｝為遞減數列

③當d=0,等差數列｛4｝為常數列

【即學即練3](23-24高二上?安徽馬鞍山?期中)設｛與｝是公差不為0的無窮等差數列，則"｛%｝為遞減數

歹『'是"存在正整數黑，當〃〉既時，。，<0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識點】充要條件的證明、等差數列的單調性

【分析】由等差數列的通項公式和一次函數性質，結合充分、必要性定義判斷條件間的推出關系即可.

【詳解】令｛6｝公差為d且d/0的無窮等差數列，且=4|+("-1)(/=赤+(q-4),

若｛%｝為遞減數列，則"<0,結合一次函數性質，

不論4為何值，存在正整數或，當〃>乂時為<0,充分性成立；

若存在正整數乂，當"〉乂時。“<0,由于dwO,即｛。“｝不為常數列，

故%=加+(%-4)單調遞減，即d<0,所以｛%｝為遞減數列，必要性成立；

所以“｛%｝為遞減數列"是“存在正整數或，當">乂時，。"<0”的充分必要條件.

故選：C

知識點06：等差數列的四種判斷方法

(1)定義法4+1—4=d(或者%=d(〃22))(d是常數)=｛%,｝是等差數列.

(2)等差中項法：2an=an_x+an+1(?>2)(〃eN*)=｛%｝是等差數列.

(3)通項公式：%=2"+](P應為常數)=｛%｝是等差數列.“可以看做關于〃的一次函數)

(4)前〃項和公式：S“=2〃2+8"(45為常數)=｛%｝是等差數列.(S.可以看做關于〃的二次函數，但

是不含常數項C)

提醒;證明一個數列是等差數列,只能用定義法或等差中項法

知識點07：等差數列的性質

a

①%=m+(〃-

②若n+m=p+q,則(特別的，當〃+機=22，有%+%=2%)

③若｛an｝是等差數列,公差為d,貝曙々J也是等差數列,公差為2d.

④若｛4｝是公差為d的等差數列，則縱，ak+m,冬+2m，…（左，機eN*）組成公差為機d的等差數列.

⑤若數列也J為等差數歹U,公差為d,則僅為+m]（%機為常數）是公差為/W的等差數列.

⑥若｛%｝,也｝分別是以4,d2為公差的等差數列，則｛pa,,+qbn｝是以pel】+qd2為公差的等差數列.

【即學即練4]（24-25高二上?全國?課前預習）在等差數列｛廝｝中，/+%+2%5=40,求生o.

【答案】10

【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、利用等差數列的性質計算

【分析】方法一：由等差數列的通項公式展開即可；方法二：由等差數列的性質計算即可.

【詳解】方法一：設數列｛冊｝的公差為d.

貝a3+%+24]5=aI+2d+at+6d+2[aA+14d）

=4al+36d=4（q+9d）=4a10=40,所以為=10.

萬1：因6/3+07+2。]5=%+Q7+%5+。15=2a9+2%]—4。]。—40,

所以4o=1。.

04題型精講

題型01等差數列的判定

【典例1]（23-24高二上?廣東深圳?期末）若數列｛%｝是等差數列，則下列數列不一定是等差數列的是（）

A.｛|??|）B.｛a?+l-a?]

C.｛pa?+q｝為常數）D.｛2%+〃｝

【答案】A

【知識點】判斷等差數列

【分析】根據題意，結合等差數列的定義和特殊數列，逐項判定，即可求解.

【詳解】因為數列｛an｝為等差數列，設公差為1，可得

對于A中，例如：等差數列則同=1,卜2|=0,同=1，|。4|=2,

此時數列｛瓦|｝不是等差數列，所以A符合題意；

對于B中，數列｛4「%｝中，可得知+所以數列｛%+「與｝為常數列，

所以數列｛%,+「％｝一定是等差數列，所以B不符合題意；

對于C中，數列｛網”+劣中,可得（0。“+|+4）-（0。“+4）=0（。“+1-。“）=濃（常數）,

所以數列｛p%+4｝一定是等差數列，所以C不符合題意；

對于D中,數列｛20"+〃｝中,可得(2%+1+”+1)-(2%+〃)=2(%+1-％)+1=24+1,

所以數列｛2??+n｝一定是等差數列，所以D不符合題意.

故選：A.

【典例2](23-24高二上?江蘇?課前預習)設S“為數列｛%｝的前〃項和，log2(5?+l)=w+l.

⑴求q及%;

(2)判斷這個數列是否是等差數列.

[3,H=1

【答案】⑴％=3,。“=

[2,n>2

⑵不是

【知識點】判斷等差數列、利用an與sn關系求通項或項

【分析】(1)求出S,，再利用%求％即可，注意驗證外;

(2)直接通過2a2。%來判斷.

【詳解】(1)由1暇0+1)=〃+1得S〃+l=2向，即必=2向-1,

當〃N2時，％=S〃—=2計]—1—(2〃—1)=2〃，

又〃=1時，%=22-1=3,不符合%=2〃，

(2)由(1)得q=3,4=4,〃3=8,

則2a2wq+〃3，

故數列｛%｝不是等差數列.

【變式1](23-24高二上?吉林?期末)已知｛%｝為等差數列，則下面數列中一定是等差數列的是()

A.[JB.｛也｝C.｛anan+｝]D.｛阮｝

【答案】B

【知識點】判斷等差數列

【分析】令等差數列通項公式為4=",根據等差數列定義依次判斷各項.

【詳解】若等差數列通項公式為見=",此時,=La?a?+i=?(?+1)>kan=kn,弧=小,

a?n

iiii_r11

-----------=1一-不為常數，所以一不是等差數列；

??+ia,n+\n[an\

。“+。+2-44+1=("+1)("+2)-〃("+1)=2(〃+1)不為常數，所以｛%%｝不是等差數列，

履用-也=坳+1-〃)=左為常數，所以｛版」是等差數列,

向-]鼠=而1-6不為常數，所以｛阮｝不是等差數列.

故選：B

【變式2](24-25高二上?全國?課前預習)判斷下列數列是否為等差數列:

(1)??=3?-1；

【答案】(1)是等差數列

(2)不是等差數列

【知識點】判斷等差數列

【分析】(1)根據等差數列的定義判斷；

(2)根據等差數列的定義判斷.

【詳解】(1)當“22時，an-an_x=3W-1-(3M-4)=3,

所以這個數列是等差數列.

(2)由通項公式%=<1知q=1,&T，%=2.

[n-l,n>2

a2-ax^a3-a2,所以該數列不是等差數列.

題型02等差數列的通項公式及其應用

【典例1](23-24高二下?河南鄭州)已知數列｛%｝滿足％=1,且一匚-L=；("21),則％$等于()

an+\an2

1118

A.-B.-C.-D.—

87315

【答案】A

【知識點】利用定義求等差數列通項公式

【分析】由題可知數列，-14是等差數列，首項為，=i,公差為!，由此可以求出數列的通項，進而

%2[an\

得到｛%｝的通項.

【詳解】因為一

aa

?+in2

所以知數列,I是等差數列，首項為工=1,公差為:，

〔44%2

11/1、IH+l

所以一=1+("-1)、3=丁，

%22

2

an=---；，

77+1

故選：A.

【典例2］（24-25高二上?全國?隨堂練習）已知在數列｛%｝中，q=5,a“=%+3（”22）,則數列｛叫的

通項公式。，=.

【答案】3〃+2,3（〃+1）/2+3〃

【知識點】利用定義求等差數列通項公式

【分析】根據等差數列的定義，結合題目中的遞推公式，找出數列的首項和公差，利用等差數列的通項公

式，可得答案.

【詳解】由““=%_1+3（”22）,可得%-的=3（心2）,則數列｛%｝是等差數列，即公差〃=3,

由數列首項％=5,則。“=%+（〃-l）d=3〃+2.

故答案為：3〃+2.

【典例3］（23-24高二下?廣東汕尾?階段練習）已知數歹叫。“｝的前〃項和S"="+〃+c（其中。為常數，

ceR）,寫出使｛七｝為等差數列的一個通項公式。，=.

【答案】2〃

【知識點】利用定義求等差數列通項公式、利用an與sn關系求通項或項

【分析】利用%=S,-Si（〃22）可得答案.

【詳解】"=1時，a1=l2+3l+c=2+c,

2

心2時，an=Sn-Sn_x=7：+H+c-（w-1）--（H-1）-C=2n,

所以%=2〃（〃>2）是首項為&=4,公差為2的等差數列,

若｛an｝為等差數列,則％=2即c=0,

此時=2?（?>1）.

故答案為：2n.

【變式1］（24-25高二上?全國?課后作業）在數列｛an｝中，％=5,3%=3%-2（”e2）,則知等于（）

217217217217

A.-n-\----B.——n-\C.——n------D.—n-----

33333333

【答案】B

【知識點】利用定義求等差數列通項公式

2

【分析】根據等差數列的定義知｛即｝為首項為5,公差為的等差數列，進而求出通項公式.

22

【詳解】依題意％=5,3%+［=3a“-2（〃eN+）,所以%+|=%-鼠即々用

3,

222217

所以數列｛冊｝是首項為5,公差為的等差數列，所以%=-§〃+5+§=-

故選：B

2

【變式2］（24-25高二上?全國?課后作業）在數列｛an｝中，。用=武丁，?i=＞則的）=.

2

【答案】—

【知識點】由遞推關系式求通項公式、利用定義求等差數列通項公式

a11r

【分析】對。用一n取倒數得—=—+3,利用等差數列定義判斷并求出其通項公式，從而求出。2。.

1+3。“％an

【詳解】對%+1=1?取倒數得」~=」~+3,-----=3,

1+3%an+1anan+ian

是為:首項，3為公差的等差數列.

2

H5

2

故答案為：五不

【變式3］（23-24高二下?河南駐馬店?期末）已知等差數列｛%｝滿足。i=l,a2+fl4=2a5-4,則｛%｝通項

公式為—,

【答案】an=n

【知識點】利用定義求等差數列通項公式、等差數列通項公式的基本量計算

【分析】設等差數列｛%｝的公差為d,解出公差由等差數列的通項公式求解即可.

【詳解】設等差數列｛叫的公差為d,q=1,g+/=2%-4,

所以2%+4d=2%+84-4,解得"=1,所以=%+（〃一l）d=1+〃-1=〃.

故答案為：an=n

題型03等差數列通項公式基本量計算

【典例1】（2024?廣東佛山?模擬預測）已知數列｛%｝是等差數列，若出+%+2%=24,則%=（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】B

【知識點】等差數列通項公式的基本量計算

【分析】根據等差數列的通項公式即可得解.

【詳解】設公差為d,則：出+為+2/=4+〃+/+3d+2（%+6d）=4q+16d=24,

%+4d=%=6.

故選：B.

【典例2】（23-24高二下?甘肅慶陽?期中）在數列｛%｝中,=5,。8=10.若為等差數列，則％2=

【答案】-30

【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、利用等差數列的性質計算

【分析】設數列的公差，由4=5,6=1。求得公差，再由的通項公式求得結果.

r11,,iiii11

【詳解】設一的公差為（所以紜=------=高一￡=一高，所以1=-白，

a

[an\%5I。51030

所以-^='+4"=[+4><[-5]=-：，解得％2=-30.

〃1210V30J30

故答案為：-30.

【典例3】（2024?四川?模擬預測）已知數列｛%｝中，%=1，且滿足an+2+%=an+\+2,若｛%,｝的前3項構

成等差數列，則%。。=.

【答案】3

【知識點】由遞推數列研究數列的有關性質、等差數列通項公式的基本量計算

【分析】由“〃+2+an=an+\+2,得。〃+3+。〃+1=。〃+2+2,然后兩式相加，進而相減得到。〃+6=%求解.

【詳解】解：由％+2+。〃=%+1+2,得a〃+3+4+1=%+2+2,

兩式相力口得。〃+3=4,故。〃+6+。〃+3=4,

兩式相減得。升6=a〃,

所以數列｛冊｝是以6為周期的周期數列，

所以=。7=1，則％=4-。7=4-1=3,/00=。4=3.

故答案為：3

【變式1]（2024?遼寧大連?一模）數列｛%｝中，4=5,%=9,若數列｛。"+/｝是等差數列，則｛七｝最大

項為（）

45

A.3B.3或4C.——D.11

4

【答案】D

【知識點】確定數列中的最大（小）項、利用定義求等差數列通項公式、等差數列通項公式的基本量計算

【分析】根據等差數列的基本量確定數列｛見+/｝的首項與公差，從而可得通項4,作差。向“確定差的

符號，從而確定數列｛6｝的單調性，從而可得最大項.

【詳解】若數列｛。,+/｝是等差數列，則數列的首項為%+儼=6,公差為（g+22）-（4+F）=7,

所以q+“2=6+（“-1）x7=7“-1,則a“=-n2+7w-l,

所以%+i_a?=[―(〃+1)+7(〃+1)-]]—(―"2+7〃—1)=—2n+6,

則當"=1,2,3時,an+l-an>0,則%=%>%;

當〃24時，。“+1-%<0,故此時數列｛6｝單調遞減，則%，…

綜上，｛%｝最大項為名=。4=11.

故選：D.

【變式2](24-25高二上?全國?課堂例題)若關于x的方程尤2-尤+加=0和x2-x+〃=0(S,”R且

m2的四個根組成首項為;的等差數列，則數列的公差d=，加+〃的值為.

【答案】713=1

672

【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、等差數列的應用

【分析】設X?-X+心=0的根為網戶2'X?-X+〃=0的根為工3,苫4,由韋達定理得X]+X?=X3+X4=1,根據等

差數列的性質可得以及馬,匕，結合韋達定理求私“，即可得結果.

【詳解】設X。-X+7”=0的根為尤1，工2,/-X+"=0的根為鼻,匕，

貝I]X]+%=X3+X4=1(1—4機>0,1-4/Z>0).

設數列的首項為為，

則根據等差數列的性質，數列的第4項為無2.

13

由題意知玉=工，則馬=；,數列的公差.441；

44-4-1-6

所以數列的中間兩項分別為9+)=2，2+

461212612

35735

nT得1YYl—Xs'X-)—--,J2=X-i'=-X—=---,

1216341212144

所以加+〃=二3+335=j3.1

1614472

131

故答案為：-;777-

672

【變式3](24-25高二上?全國?隨堂練習)三個數成等差數列，這三個數的和為6,積為-24,則這三個數

為.

【答案】-2,2,6或6,2,-2

【知識點】等差數列通項公式的基本量計算、利用等差數列的性質計算

【分析】先根據等差數列設出三個數，再根據條件得出方程計算即可.

【詳解】設這三個數分別為由題意可得

(Q—d)+q+(a+d)=6,

(〃-d)a(a+d)=-24,

故所求三個數為-2,2,6或6,2,-2.

故答案為：-2,2,6或6,2,-2.

題型04等差中項及其應用

【典例1］（24-25高二上?全國?課前預習）已知加和2”的等差中項是4,2加和"的等差中項是5,則2加-〃

和2〃-加的等差中項是（）

A.8B.6C,4.5D,3

【答案】D

【知識點】求等差中項、等差中項的應用

【分析】運用等差中項概念及性質可解.

【詳角星】m+2n=S,2m+n=10,

二.3加+3〃=18,:.m+n=6,

八力入山口（2加一〃）+（2〃一加）m+n-

2m―〃和277—1TI的等差中項----------------=-----=3.

22

故選：D.

【典例2］（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）已知在各項均為正數的等差數列中，有連續四項依次為加,

a,4m,b,則，等于（）

b

5111

A.—B.—C.-D.4

1154

【答案】A

【知識點】等差中項的應用、利用等差數列的性質計算

【分析】根據等差數列的性質可得仇加的等式關系，再計算/即可.

b

【詳解】因為加，。,4m,b為等差數列，所以2a=加+4加，Sm=a+b,

5m11ma5

所以a=＜，6=--,所以

22b11

故選：A.

【典例3］（23-24高二下?貴州銅仁?階段練習）已知a=6-26,c=6+26.若〃，b,c成等差數列，則

b-.

【答案】6

【知識點】等差中項的應用

【分析】用等差中項的性質求解即可.

【詳解】因為4=6—2g，b,c=6+2后成等差數歹U,

所以26=（6-26）+（6+26）=12,解得6=6.

故答案為：6

【變式1］（24-25高三上?云南昆明?階段練習）己知等差數列｛6｝的前3項分別為a+1,2a+3,則

此數列的通項為（）

A.2n—5B.2〃一3C.2n-\D.2〃+1

【答案】B

【知識點】利用定義求等差數列通項公式、等差中項的應用

【分析】根據等差中項解得。=0,可得等差數列｛%｝的首項為-1,公差為2,進而可得通項公式.

【詳解】因為。-1,a+1,2a+3為等差數列，

則2（a+1）=（a-1）+（2a+3）,解得a=0,

可知等差數列｛為｝的前3項分別為-1,1,3,即首項為-1,公差為2,

所以此數列的通項為%=-1+2（〃-1）=2〃-3.

故選：B.

【變式2】（23-24高一下?上海,期末）若等差數列｛%｝的前三項依次為1,a+1,。+3,則實數。的值為.

【答案】2

【知識點】等差中項的應用

【分析】根據等差中項的性質計算可得.

【詳解】因為1,a+\,。+3為等差數列｛aj的前三項，

所以l+a+3=2（a+l）,解得a=2.

故答案為：2

【變式3］（23-24高二下?上海?期中）若3+a與a的等差中項為18,則實數a的值為.

33

【答案】y/16.5

【知識點】等差中項的應用

【分析】根據等差中項的定義計算即可.

【詳解】由已知得3+a+a=2x18,

故答案為：—.

題型05等差數列性質的應用

【典例1】（2024?山西運城?三模）已知數列｛%｝是等差數列，（。3-%=2,則%+%?-/=（）

A.4B.-2C.-4D.-8

【答案】C

【知識點】利用等差數列的性質計算

【分析】利用下標和性質計算可得.

【詳解】因為:。3-。5=2,則。3-2。5=4,又2a5=4+。7，則〃3-（〃3+%）=4,

解得的=-4,

a

所以〃5+40—=%+—〃8=i--4.

故選：C

【典例2】（2024?全國?模擬預測）在數列｛%｝中，己知2a?+1=a?+an+2（neN*）,且%+%=16,則q+a?+...+仆=

（）

A.256B.196C.144D.96

【答案】D

【知識點】利用等差數列的性質計算

【分析】由已知，｛an｝為等差數列，所以由等差數列的性質即可得到答案.

【詳解】由2%=%+%+2,得%+1-％=%+2-*+1,則為等差數列，

又氏+%=16,所以由等差數列的性質知％+。2+…+/=6（%+3=96.

故選：D.

【變式1］（23-24高一下?上海閔行,期末）在等差數列｛%｝中％94。=1940嗎。2+%922=2024,貝.

【答案】84

【知識點】利用等差數列的性質計算

【分析】由等差數列的性質，有%94。+/4=%。2+%922,結合己知，即可求得.

【詳解】等差數列｛%｝中，％94。=1940嗎。2+%922=2024,

因為。1940+084=%02+%922=2024,

所以％4=84.

故答案為：84.

【變式2】（23-24高二上?西藏拉薩?期末）在等差數列｛七｝中，出+&+%。=120,則&=,

【答案】40

【知識點】利用等差數列的性質計算

【分析】根據等差數列的性質，有出+%+%。=3&=120,然后求解即可.

【詳解】由題意有出+&+%0=34=120,得6=40.

故答案為40.

題型06等差數列的單調性

【典例1］（23-24高三上?北京?階段練習）己知等差數列｛%｝單調遞增且滿足/+俶=6,則4的取值范圍

是（）

A.（-oo,3）B.（3,6）C.（3,+oo）D.（6,+co）

【答案】C

【知識點】等差數列的單調性、利用等差數列的性質計算

【分析】設出公差，根據單調遞增，得至IJd>0,結合等差數歹U的性質得至1」％+。8=2&-3"=6,變形為

24-6=3d>0,解不等式求出答案.

【詳解】因為｛。“｝為等差數列，設公差為d,

因為數列｛%｝單調遞增，所以d>0,

所以q+/=牝+。6=2a6—3d=6,

則2a6-6=32〉0,解得：a6>3,

故選：C

【典例2】（23-24高三上?四川?階段練習）在正項等差數列｛%｝中，%=2,則公差d的取值范圍是

【答案】［0,1）

【知識點】等差數列的單調性、等差數列通項公式的基本量計算

【分析】利用題給條件列出關于d的不等式，解之即可求得d的取值范圍.

【詳解］依題意可得％=/_2d=2_2d>0,則d<l

又等差數列｛%｝各項為正，則dZO,所以04d<l.

故答案為：［0,1）

【變式1】（2024?廣東廣州）首項為-21的等差數列從第8項起開始為正數，則公差d的取值范圍是

（）

777

A.d>3B.d<—C.3<d<—D.3VdV—

222

【答案】D

【知識點】等差數列的單調性、等差數列通項公式的基本量計算

【分析】根據從第8項起開始為正數，可得。7支，。8>0,利用"4,d”法求解.

【詳解】an=-21+（n-1）d.

???從第8項起開始為正數，

■■.a7=-21+6c/<0,a8=-21+7d>0,

7

解得3Vd4引

故選：D.

【點睛】本題主要考查等差數列的單調性及通項公式，還考查了分析求解問題的能力，屬于基礎題.

【變式2］（23-24高二上?吉林長春。在公差為d的等差數列｛。"｝中，"">1"是"｛%｝是遞增數列”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既

不充分也不必要條件

【答案】A

【知識點】等差數列的單調性、判斷命題的充分不必要條件

【分析】利用充分條件、必要條件的定義判定

【詳解】若4>1,則V〃eN*,an+l-a?=d>l>0,所以，｛5｝是遞增數列；

若｛aj是遞增數列,則V為eN*,an+l-an=d>0,推不出d>l,

貝>1"是"｛an｝是遞增數列"的充分不必要條件，

故選：A.

題型07等差數列中的最大（小）項

【典例1］（23-24高二上?上海浦東新?期中）在等差數列｛%｝中，％=17且Q=2%+1,S”是數列｛%｝前〃

項的和，若S“取得最大值，貝1］“=

【答案】9

【知識點】求等差數列中的最大（小）項

【解析】求出公差，與通項公式%,由%20可得使國取得最大值時的"值.

【詳解】設公差為"，貝|4=2%+1得17+3d=2（17+6"）+l,解得"=-2,

a,=17+（M-1）X（-2）=19-2H,

19

由。“=19一2〃20,H<—,即。9>0,%0<0,

???S"取得最大值時，〃=9.

故答案為：9.

【點睛】本題考查等差數列的前〃項，考查前〃項和的最值問題.

S”是等差數列的前"項和，q>0,d<0時，求其最大值的兩種方法：

（1）若*0,an+1<0,則S"最大;

（2）可利用二次函數的性質求得最大值.

【典例2］（23-24高一?全國?課后作業）設等差數列｛%｝的通項公式為%=10-且

ai+a2+...+am=\ai\+\a2\+...+\am\,則正整數m的最大值是

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【知識點】求等差數列中的最大（小）項、等差數列通項公式的基本量計算

【分析】根據題目所給含有絕對值的式子分析可知絕對值等于本身，故即10-2mN0,mW5,由此

得到最大的心的值.

【詳解】根據題意可知，%是非負數，故冊=10-2加20,“45,故加的最大值為5.所以選反

【點睛】本題主要考查對題目所給還有絕對值的式子進行分析，得到關鍵點是數列中為非負數的項.根據數

列的通項公式可求得加的最大值.

【典例3］（23-24高三上?浙江紹興）已知公差為2的等差數列｛an｝,且《，%，生成等比數列.

（1）求數列｛an｝的通項公式；

（2）若數列值|｝的前"項和為S",求數列的最小項.

【答案】⑴（2）最小項為第7項為彳29.

【知識點】求等差數列中的最大（小）項、等差數列通項公式的基本量計算

【解析】（1）由等比中項的性質以及等差數列的通項公式求出數列的通項公式；

（2）當時，由?|=11-2”得出S,，由二次函數的性質得出數列的最小項，當〃>6時，由

%=2”-11得出S"結合導數數列的最小項.

【詳解】（1）由題知：貝!］（12+%）2=%.（%+8）得：4=-9

即%=%+(〃-1)(7=2H-11

..Q11_

2

(2)當“W5時，\an\=l\-2n,Sn=---------XH=l0n-n

則2=10"-"2=10一〃,即〃=5時，(邑］=5

nnI〃7min

1+2W2

當時，a?=2?-11,=55+--x(；7-5)=H-10/7+50,貝彥=〃+亞-10

2nn

人々50［八、么ri(\150x2—50

令f(%)=%■1----10,x>6,f(x)=1—-=---z—

xxx

當6Vx<50時，/'(x)<0,當x>50時，>0

即函數在(6,5也)上單調遞減，在卜近,+oo)上單調遞增

r,(sy29

即〃=7時，——=—

k"min7

29

最小項為第7項為萬

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于先討論的正負，從而確定｛,“|｝的通項公式，進而得出

S?,最后由二次函數的性質以及導數得出數列，的單調性，由此得出最小值.

【變式1］（23-24高二下?江西宜春?開學考試）等差數列｛%｝中，設S“為其前"項和，且可>0,53=5n,

則當“為時，S“最大.

【答案】7

【知識點】等差數列前n項和的二次函數特征、求等差數列中的最大（小）項、等差數列的單調性

【分析】方法一:因為公差不為零的等差數列的前〃項和S,是關于〃的二次函數，由S3=配可知對稱軸為

〃=7,又開口向下，即可得出結果.

方法二:由$3=%,%>0可得的+%=。,"<0,則%>。，即可得出結果.

【詳解】解法一：由于/（x）=ax2+bx是關于x的二次函數，且（",S"）在二次函數/（X）的圖象上，由

53=幾,可知〃》）=1+法的圖象關于直線工=等=7對稱.由2%+134=0,可知。=弓=一看<0,故當

x=7時J（%）最大，即當”=7時,S”最大.

解法二：由邑=%，可得2%+13d=0,

即（％+6d）+（%+7d）=0,

故%+。8=°，又由％>0,$3=用可知4<0,

所以的>0,。8<°，所以當"=7時，S"最大.

故答案為：7.

【點睛】本題考查了等差數列前〃項和的性質等差數列單調性的綜合應用.等差數列性質的簡單應用.屬于基

礎題.

【變式2】（2024,安徽）中國古代經典數學著作《孫子算經》記錄了這樣一個問題："今有物不知其數，三

三數之剩二（除以3余2）,五五數之剩三（除以5余3），問物幾何？”現將1到200共200個整數中，

同時滿足“三三數之剩二，五五數之剩三"的數按從小到大的順序排成一列，構成數列｛%｝,則該數列最大項

和最小項之和為.

【答案】196

【知識點】求等差數列中的最大（小）項、利用定義求等差數列通項公式

【分析】被3除余2且被5除余3的數構成首項為8,公差為15的等差數列，再通過等差數列求數列最大

項和最小項之和即可.

【詳解】被3除余2且被5除余3的數構成首項為8,公差為15的等差數列，

則%=8+15（〃-1）=15?-7,

令15〃一7W200,解得〃K13.8,

則數列｛對｝的最大項為15x13-7=188,

所以該數列最大項和最小項之和為188+8=196.

故答案為：196.

【變式3】(23-24高二上?全國?課后作業)已知等差數列-4.2,-3.7,-3.2,...的前"項和為S"，S”是否

存在最大(小)值？如果存在，求出取得最值時〃的值.

【答案】5“存在最小值，w=9

【知識點】求等差數列前n項和的最值、求等差數列中的最大(小)項、等差數列的單調性、利用定義求

等差數列通項公式

【分析】由己知可求得數列的通項公式%=0.5〃-4.7,令%>0,可知">9且“eN*,可知數列的前9項

都是負數，第10項為正數，即值S”存在最小值.

【詳解】由已知可知等差數列的首項%=-4.2,公差1=-3.7+4.2=0.5

a=a

則數歹U的通項公式為n\+(〃—l)d=—4.2+(H—1)x0.5=0.5H—4.7

令%>0,即0.5及一4.7>0,又neN*,.二〃>9且〃EN*

即數列的前9項都是負數，第10項為正數，

故當〃=9時，S”存在最小值.

題型08構造等差數列

【典例1](23-24高二下?廣西桂林?期末)己知數列｛%｝的各項均不為0,%=1,--—=3,則%=

an+lan

()

1111

A.—B.—C.—D.—

20212223

【答案】C

【知識點】利用定義求等差數列通項公式、等差數列通項公式的基本量計算、由遞推關系證明數列是等差

數列

【分析】為公差為3的等差數列，求出%=代入求解即可.

l??J3n-2

【詳解】由二-一，=3,可知為公差為3的等差數列，且首項為'=1,

a

。〃+1n[an\%

故1+3(〃—1)=3〃—2,

工乙111

故"〃=Qo，-T=二?

3〃一224-222

故選：C

【典例2](23-24高二下?遼寧大連?階段練習)己知數列｛%,｝滿足5+1”用-("+2”"=5+1)("+2乂”€4

。2=3,貝。2025=（）

A.2024B.2025C.20242-!D.20252-l

【答案】D

【知識點】由遞推關系式求通項公式、由遞推關系證明數列是等差數列、利用等差數列通項公式求數列中

的項

【分析】先利用條件得&-47=1,再根據［氣］為等差數列求解即可.

n+2n+l1H+1J

【詳解】由（”+1）--（"+2"“=（"+1）（"+2）得%一4=1,

n+2n+1

所以［衛」為公差為i的等差數列，又3=1，

L//+1J2+1

所以出025=—+（2025-2）x1=