2024-2025學年湖南省新邵縣高一上學期第一次聯考數學檢測試題

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.）

1.已知集合/=集合N={T0,1,2},則》

A{-1,0,1}B.{0,1,2）

C.1x|-l<x<21D.|x|-l<x<2}

2已知命題p：DxwR,〉1,命題q:Hx>0,/=%，貝ij（）

A.2是真命題，q是假命題B.2是假命題，鄉是真命題

C.P和都是真命題D.夕和都是假命題

3.使一<9成立的一個充分不必要條件的是（）

A.x<3B.0<x<3C.-3WxW3D.x>0

4.下列命題為真命題的是（）

A.若a>6,貝!JB.若貝!

什皿11,,,八e6+1b

C.右a>b,則一<一D.右。〉b>0,則---->一

aba+ia

5.設集合M,N,P均為R的非空真子集，且MUN=R,McN=P,則Mc（0P）=

（）

A.MB.NC.D.”

6.已知集合A滿足{1,2}。/{1,2,3,4,5},且3e/,則滿足條件的集合A有（）

A.2個B.4個C.8個D.16個

7.已知正實數滿足。+6=3°6,則a+46的最小值為（）

8

A.9B.8C.3D.-

3

1〃1

8,已知集合5=〈1％=加+—€Z>,P-\xx=—+一,neZ\,

'12J[312

k1

Q—<xx————^keZ>,則S,P,0之間的關系是（）

A.S^P^QB.S^P=Q

C.S=P^QD.P=Q=S

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.已知不等式辦2+bx+c<0的解集為{x|xVT或x23},則下列結論正確的是（）

A.a>0

B.a+b+c>0

C.4a-2b+c<0

D.ex2-bx-\-a<0的解集為<xxV或x>1>

10.已知Q〉0,b>0,且。+26=2,則下列說法正確的是（）

2

C./+〃的最小值為1D.&+J蘇<2

11.對任意A,B項R,記={x|xeZeB},并稱為集合A,8的對

稱差.例如：若/={1,2,3},5={2,3,4},則4\6={1,4}.下列命題為真命題的是（）

A.若/={x|x>0},5={x|x<2},則AAB={x|x>2^x<0}

B.若ZuR,且/△{l,2,3}qZ,則NQ{1,2,3}

C.若A,BjR,則/△翩=R（AAB）

D.若A,B,CcR,貝=

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知集合/={4,一2加},5={4,加2},且N=5,則加的值為.

13.若命題：“VxeR,不等式Y+（a—2）x+；>0成立”為假命題，則實數。的取值范圍是

14.設集合/={x|O<xK0}，5={X||X2-^|<2},若ZU8=3,則實數°的取值范圍

是.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.已知集合尸={x|a+lWxV2a+1},Q={x]-2<x<5},其中實數a>0.

(1)若a=3,求集合(<P)nQ；

(2)若？。。=0,求實數a的取值范圍.

16.已知集合/={1,2}和非空集合8={H/—2ax+a=0},C=1x|x2-wx+3>O1.

(1)若命題都有xe4"為真命題，求實數a的取值；

(2)若“xeC”是“xe/”的必要條件，求實數加的取值范圍.

17.如圖，長沙湘江新區有一塊半徑為10米的圓形景觀，圓心為C,有兩條與圓形景觀相切

且互相垂直的道路.最初規劃在拐角處(圖中陰影部分)只有一塊綠化地，后來有眾多市民建

議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規劃部門采納了此建議，決定在綠

化地中增建一條與圓。相切的小道N5.設點A到道路2的距離為a米，點B到道路1的距離

為力米.

道路21一_、

O\A道路1

(1)當a=8,求6的值；

(2)求V/05面積的最大值，并求此時a,6的值.

18.已知函數y=ax2-(a+l)x+l,<7eR.

(1)若a=2,當x>l時，求—2x+10的最小值;

x-1

(2)求關于x的不等式a/一(a+i)x+l>0(a>0)的解集；

(3)當a<0時，已知/=卜|一2<xV-1},5={x[y+a>0},若/口5,求a的取值范

圍.

19.已知二次函數ynaV+bx+l,對X/xeR,都有＞之0,且當x=—2時，j=0.

(1)求a,b的值；

(2)存在feR,對任意xe{x|/Wx＜加+4，都有yKxT+1,求正實數加的最大值;

(3)若％=。見2+笈,+1?=1,2),是否存在正整數西＜》2,使得秘匚為正整數？

%一必

2024-2025學年湖南省新邵縣高一上學期第一次聯考數學檢測試題

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.）

1.已知集合/=集合N={T0,1,2},則》

A.{-1,0,1}B.{0,1,2）

C.{x|-l<x<21D.{x|-l<x<2}

【正確答案】A

【分析】利用交集的定義直接求解即可.

【詳解】因為M={H—2<X<2},JV={-l,0,l,2},

所以McN={—1,0,1},故A正確.

故選：A

2.已知命題p：Vx￡R,〉1,命題^:改>0,x3=x則（）

A.2是真命題，9是假命題B.2是假命題，9是真命題

C.）和^都是真命題D.P和鄉都是假命題

【正確答案】B

【分析】舉出反例得到夕為假命題，舉出實例得到^為真命題.

【詳解】對于命題夕：當x=o時，k+i|=i,故夕為假命題；

對于命題q：當x=i時，x3=1=%>故q為真命題.

故選：B.

3.使/<9成立的一個充分不必要條件的是（）

A.x<3B.0<x<3C.-3WxW3D.x>0

【正確答案】B

【分析】首先解不等式/<9得到-3<x<3,根據題意找到{#3<x<3}的一個真子集即

可.

【詳解】由/<9得—3<x<3,

對于A,因為｛43<x<3｝是｛#<3｝的真子集，所以x<3是—3<x<3的必要不充分條

件，故A錯誤；

對于B,因為｛x|0<x<3｝是｛N—3<x<3｝的真子集，所以0<x<3是—3<x<3的充分不

必要條件，故B正確；

對于C,因為｛巾3<》<3｝是｛H—3WXV3｝的真子集，所以-3Wx《3是—3<x<3的必要

不充分條件，故C錯誤；

對于D,因為｛可-3<x<3｝與｛巾〉0｝不是包含關系，所以x>0是—3<x<3的既不充分

也不必要條件，故D錯誤.

故選：B.

4.下列命題為真命題的是()

A.若,則/B.若貝

C.若則工〈工D.若Q〉b〉O,則^

ab。+1a

【正確答案】D

【分析】對A,B,C舉反例說明，對D,作差法求解判斷.

【詳解】若。>6,取。=0,b=-\,則/</,故A錯誤；

若a>b,當。=0時，則故B錯誤；

若Q〉6,取。=1,b=—l,則故C錯誤；

ab

b+1b0+l)Q—(Q+l)ba-b八，

若a>b>0,貝！Jr=--------7-----：------=-----37〉°,故D正確.

Q+1a磯Q+1)磯Q+1)

故選：D.

5.設集合M,N,P均為R的非空真子集，且MUN=R,McN=P,則Mc(\P)=

A.MB.NC.QRMD.6RN

【正確答案】D

【分析】利用文氏圖，表示集合的關系，求解

【詳解】如圖，中間的陰影和左邊的空白是集合中間的陰影和右邊的空白表示集合N,

如圖，備尸表示兩邊空白區域，則表示集合河的空白區域，即表示為6&N

P

N

故選：D

6.已知集合A滿足｛1,2｝7/｛1,2,3,4,5｝,且3e/，則滿足條件的集合人有（）

A.2個B.4個C.8個D.16個

【正確答案】B

【分析】根據子集和真子集的概念求解即可.

【詳解】由題意可知，集合A中一定包含元素1,2,一定不包含元素3,

且A是｛1,2,3,4,5）的真子集，所以/=｛1,2｝或｛1,2,4｝或｛1,2,5｝或｛1,2,4,5）,

即滿足條件的集合A有4個.

故選：B.

7.已知正實數滿足。+6=3他，則a+43的最小值為（）

8

A.9B.8C.3D.-

【正確答案】C

【分析】利用“1”的代換,結合基本不等式進行求解即可

【詳解】由條件知4+工

=3,

ab

z+4b=；（a+4b）L小+*卜1+2居

當且僅當a=26=1時取等號.

故選：C

1〃1

8,已知集合5=〈工工=加+一GZ>,P=<xx=—+一.n€Z>,

12J[312

ki

Q=<xx=§—W#￡Z>,則S,P,0之間的關系是（）

A.S^P^QB.S^P=Q

C.S=P^QD.PJQJS

【正確答案】B

【分析】先將集合結構化為一致，然后根據集合關系即可判斷.

12m+l-4x3〃+l_

【詳解】丁5==m+—.m€Z><xx=-----€Z><xx--------,nGZ>

121212

…一〃eZ

12

A-"〃eZ，

Q=\xx=---,keZ>=xX￥=

341212

:.S^P=Q

故選：B.

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.已知不等式a?+bx+cWO的解集為卜,<-1或x?3},則下列結論正確的是（）

A.a>0

B.a+b+c>0

C.4a-2b+c<0

D.cx2—bx+a<0的解集為<敢〉1〉

【正確答案】BC

【分析】根據題意，由條件可得a<0,b=—2a,c=-3a,即可判斷ABC,將不等式化簡

可得3f—2x-1<0,求解即可判斷D.

a<0,

【詳解】由不等式"2+bx+cVO的解集為1或X23},得<

-1x3=-,

所以6=-2。，c=—3a,故A錯誤；

a+6+c=—4Q>0,故B正確；

4。一26+。=5。<0,故C正確；

因為ex?-bx+a<o,所以一3ax2+2。1+。<0,

則3必一2%一1<0，解得一;<x<l,故解集為<x—；<x<1-，故D錯誤.

故選：BC.

10.已知a>0,b>0,且a+26=2,則下列說法正確的是（）

,111c

A.ab>—B.—+—>2

2a2b

2

c./+〃的最小值為《D.4a+41b<2

【正確答案】BD

【分析】根據基本不等式及其變形可判斷A；利用常值代換可判斷B；利用消元法可判斷C；

根據重要不等式2ab<a2+b-得到a+b<,2（出+7）,代入即可判斷D.

【詳解】對于A,a.2b<（^^]=1，即的<,，

當且僅當a=26,即a=l,6=工時等號成立，故A錯誤;

2

因為:+:=]_/2bQ)

對于B,(a+2b)=-2+>2,

221a2bJ

當且僅當a=23,即。=1,6=工時等號成立，故B正確;

2

對于C,因為。+26=2,所以。=2-26,

2-26>0

因為a>0,b>0,所以〈，八，則0</?<1,

b>Q

2

44

所以/+b2=(2-2b^+b2=5b2-8b+4=5\b+一，

5

44

當6時，/+〃取最小值《，故c錯誤；

對于D,由2乃4/+/得（°+6）2<2（/+62）,即a+小［2（/+/）,

所以JZ+J為<J2(a+2b)=2

當且僅當JZ=叵，即a=l,6=（時等號成立，故D正確.

故選：BD.

11.對任意A,B項R,記22\3={》,€/。8,工￡2門3},并稱/為集合A,8的對

稱差.例如：若/={1,2,3},3={2,3,4},則={1,4}.下列命題為真命題的是（）

A.若/={乂x>0},5={乂x<2},則AAB={x|x?2或X〈O}

B.若N=R,且/△{1,2,3}口/,則2={1,2,3}

C.若A,BjR,則2△翻=R（AAB）

D.若A,B,CcR,貝i］（NA8）4C=/4（84C）

【正確答案】ACD

【分析】A選項，求出根據定義得到A正確；B選項，舉出反例；CD選項,

可利用韋恩圖進行說明.

【詳解】A選項，ZuB=R,/nB={x[0<x<2},故/△B={x|xN2或x<0},A正

確；

B選項，/△{1,2,3仁],不妨設/={1,2,3,4},

則43L2,3}={L2,3,4},4C0,2,3}={L2,3},故/《1,2,3}={4}口3,

但不滿足幺口{1,2,3},B錯誤;

C選項，當且A與B不是包含關系時，如圖1,

①為集合{x|xeZ且xe/c8},②為集合{x|xe5且xe/c8},

③為集合{x|xeZCB},④為集合{x|xe4（Zu8）},

表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集，

為集合①，故/為集合③④的并集，

/為集合①②的并集，故％(NAB)為集合③④的并集，故24底8=R(NA8)；

當/C5=0時，如圖2,①為集合{x|xe4(/u8)},6KB表示集合①和集合A的并集,

表示集合①和集合A的并集，為集合A,故/為集合①，

4△2為集合48的并集，故％(ZAB)為集合①，R(ZA8)；

如圖3,當/口5時，表示集合①，4c8KB為集合0,

故為集合①和集合A的并集，

/為集合48的并集去掉48的交集，即集合②部分，

故％(NAB)為集合①和集合A的并集，故Z△雇3=R(ZA3)；

如圖4,當時，②為{x|xe/且xe/cB},①為{x|xe'(ZuB)},

表示集合①和②的并集，=

表示集合②，故為集合①和集合3的并集，

/為集合48的并集去掉48的交集，即集合②部分，

故%(/AB)為集合①和集合8的并集，故N△底8=R(NAB).

綜上，C正確；

D選項，畫韋恩圖，如下：

①為｛x|xeZ且xgZClB且xe/c。｝,

②為｛x|xe8且xgZClB且xeBcC｝,

③為｛x|xeZcB且xe/cBcC｝,④為｛x|xe4(/uBuC)｝,

⑤為｛X]X62門(7且工e/八5門0｝,⑥為｛x|xeNcBcC｝,

⑦為｛x|xeBcC且xeZcBc。｝,⑧為｛x|xeC且xgZPlC且xeBcC｝,

4AB表示集合①⑤②⑦的并集，故(/△B/C表示集合①②⑥⑧的并集，

BAC表示集合②③⑤⑧的并集，AA(BAC)表示集合①②⑥⑧的并集，

故(/ABbC=,

當43,C滿足其他關系時，經檢驗，也滿足(4△B)AC=/4BAC),故D正確.

故選：ACD.

方法點睛：當集合之間的關系較為復雜或解決容斥原理的題型時，常常使用韋恩圖來進行求

解，其直觀易懂，可減少思維量.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知集合/={4,一2加},8={4,加2},且/=5，則加的值為.

【正確答案】0

【分析】根據集合相等，列出關于m的方程，結合集合元素的互異性，即可得答案.

【詳解】因為N=5,所以加2=-2加，解得加=0或—2,

當m=-2時，m2=—2m=4>

而集合的元素具有互異性，故加2,所以〃7=0,

故0

13.若命題：“VxeR,不等式Y+(a—2)x+；>0成立”為假命題，則實數。的取值范圍是

【正確答案】{a|a<l或a?3}

【分析】由題可知命題的否定為真命題，根據一元二次不等式在R上恒成立求解即可.

【詳解】由題意得：3xeR,不等式必+(”2)x+；<0成立為真命題，

?1

所以△之0,即(a—2)，—4x^20,解得a<l或a23.

所以實數a的取值范圍是{。|。<1或。》3}.

故{a|a<l或a之3}.

14.設集合/={x|O<xW0}，B=^\x--ax<2,若ZU8=3,則實數a的取值范圍

是.

【正確答案】{?|0<a<2V2}

【分析】由ZU8=5可知因此當0<x〈血時，不等式N-辦|42恒成立,分類

討論并數形結合求解即可.

【詳解】由ZU5=8知/

即當0<x?行時，不等式恒成立,

設y=卜2_蜀,

①當a<0時，”/一詞的大致圖象如圖1所示，因為0<x<J5,

③當a>0時，y=,-。耳的大致圖象如圖2所示,

因為0<x<

所以爪=（碼-ax42=42a-2<2,得2VL矛盾;

當孩〈血<a,即8〈a<20時，因為0<x〈近，所以

<272；

a<V2.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.己知集合尸={x[a+lWxV2a+1},Q=[x\-2<x<5],其中實數a>0.

（1）若a=3,求集合（二尸）PlQ；

（2）若PnQ=0,求實數。的取值范圍.

【正確答案】(1)(\P)nO={x1—2Wx<4}

(2){a\a>4}.

【分析】（1）根據集合的交集和補集運算求解；

（2）根據集合的交集的定義及空集的概念求解.

【小問1詳解】

當a=3時，集合尸={x|4WxW7},、尸={x|x<4或x>7},

又集合Q={引—2〈X〈5},所以（\P）n0={x|—2Wx<4}.

【小問2詳解】

因為a>0,所以a+l<2a+l,則集合尸非空，

因為所以a+l>5或2a+l<-2,

....3一

解得。>4或—，又a〉0,所以。>4,

2

故實數a的取值范圍是M。>4｝.

16.已知集合/=｛1,2｝和非空集合8=｛小2-2ax+a=0｝,C=1x|x2-/nx+3>01.

(1)若命題P:“Vxe5,都有xe4"為真命題，求實數a的取值；

(2)若“xeC”是“xe/”的必要條件，求實數加的取值范圍.

'7'

【正確答案】(1)1(2)<mm<—\.

2

【分析】(1)由題意得到分臺=｛1｝或｛2｝或｛1,2｝三種情況，得到方程，求出a=l；

(2)由題意得到從而得到不等式，求出加的取值范圍.

【小問1詳解】

由命題P:“VxeB,都有xe/,“為真命題知3口/,

因為集合3非空，所以佳=律或｛2｝或息2｝.

1—2a+a=0,

當3=｛1｝時，\,解得a=l；

(-2?)-4a=0,

4-4a+a=0,

當5={2}時，\2，無解；

i)[(-2a=-4a=0,

l-2a+a=0,

當5={1,2}時，＜4—4a+a=0,,無解.

(-2a)--4a〉0,

綜上，實數。的取值是1.

【小問2詳解】

因為“xeC”是“xe/”的必要條件，所以

l-m+3>0,

所以4CO八，

4-2m+3>0,

7

解得m<-.

2

[7、

故實數加的取值范圍是〈加m<-\.

2

17.如圖，長沙湘江新區有一塊半徑為10米的圓形景觀，圓心為C,有兩條與圓形景觀相切

且互相垂直的道路.最初規劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建

議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規劃部門采納了此建議，決定在綠

化地中增建一條與圓。相切的小道N5.設點A到道路2的距離為。米，點B到道路1的距離

為力米.

（1）當a=8,求6的值；

（2）求V/05面積的最大值，并求此時a,6的值.

【正確答案】（1）Z?=—

3

（2）最大值為300—200&平方米，a=b=2O—lO0米.

【分析】（1）根據題意分別設出切點坐標，利用切線長定理和勾股定理得到關系式

ab+200=20（a+b）,將a=8代入即可求出b的值；

（2）利用（1）中得到的關系式仍+200=20（a+?結合基本不等式求出仍的范圍即可求

出面積的最大值以及此時a,b的值.

【小問1詳解】

設圓C與道路1、道路2、直線42的切點分為E,F,連接CD,CE,CF,

由切線長定理可知BE=3/，AF=AD,則8￡+4D=48,

由題知ODOE且OD=OE=10,OA=a,OB=b,

SP(10-tz)+(10-Z))=AMr+67-化簡得a6+200=20(a+方).①

把a=8代入①，解得6="；

3

【小問2詳解】

由題有0<。<10,0<6<10,

因為a+6所以ab+200=20(a+Z))240石3，

令1=癡(0<1<10),則戶+200240/,解得0<Y20-10夜，

所以0<仍4600-400夜，

當且僅當a=6時等號成立，即/+200=40a，

解得a=6=20_10VI，止匕時0<a<10，0<Z?<10,

貝！1S/M\/CivJBD=-fit&<300-200V2，

所以V405的面積的最大值為300-200拒平方米，此時a=6=20-10夜米.

18.已知函數>=辦2-(a+l)x+l,aeR.

(1)若a=2,當x>l時，求z=^—2x+l。的最小值;

x—1

(2)求關于x的不等式a/—(a+l)x+l>0(。>0)的解集；

(3)當a<0時，已知N=卜|一2<xW-1},B={x\y+a>0},若,求a的取值范

圍.

【正確答案】(1)7(2)答案見解析

3八

(3)<a——<a<0>.

7

【分析】(1)變形后，利用基本不等式求出最小值；

(2)因式分解，得到y=(ax—l)(x—1),分工＞1,工＜1和4=1三種情況，得到不等式的

aaa

解集;

(3)>+a>0化為ox?—(。+1)》+1+。>0,根據/7臺，轉化為函數不等式恒成立問題,

結合二次函數的開口方向，得到不等式，求出答案.

【小問1詳解】

當Q=2時，

y-2x+10_2X2-5X+11_2(x-l)2-(x-l)+8

x—1x—1x—1

Q

當且僅當2(n-1)=不工，即x=3時取等號,

故當X>1時，—2X+11的最小值為7.

x—1

【小問2詳解】

由題知V-(Q+1)X+1=(QX—1)(X—1),

當工〉1,即0<〃<1時，解原不等式得或x<l,

aa

當!<1,即。>1時，解原不等式得x<1或x>l,

aa

當工=1,即。=1時，解原不等式得XW1.

a

綜上，

當4>1時，原不等式解集為｛X|X<1或X>1｝;

a

當0<。<1時，原不等式解集為｛x|x<l或x〉L｝；

a

當4=1時，原不等式解集為｛HXW1｝.

【小問3詳解】

不等式y+Q>0可化為ax?-(Q+1)X+1+Q〉0,

因為4=5,所以不等式ax?—(Q+1)X+1+Q〉0在—2<x?—1時恒成立,

4a+2(a+l)+l+a>0

,3

又。＜0,結合二次函數圖象知，＜a+(a+l)+l+a>0，解得—<a<0.

7

a<0

故。的取值范圍是--<o<0>.

7

19.已知二次函數yuaV+bx+l,對VxeR,都有＞之0,且當x=—2時，j=0.

(1)求a,b的值；

(2)存在/eR,對任意xe{x|/Wx＜加+1},都有＞＜x7+l,求正實數加的最大值;

(3)若％=ax；+bx,+l?=