2024-2025學年廣東省江門市高一上學期第一次段考數學

檢測試題

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設集合'={0/'2,3},8={-1,0/23},則zn5=（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】根據集合交集運算求解即可.

【詳解】={0,1,2,3},

故選：C.

2.下列說法正確的是（）

A.若。〉6,則ac1>be1

B.若a>b,c>d,則

C.若—2VQ<3,1<b<2,則—3<a—b<1

,,,mm

D.右4>b>0,加〉0,則—<—

ab

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例判斷AB；利用不等式的性質可判斷C；做差可判斷D.

【詳解】對于A,當。=0時，則42=歷2=0,故A錯誤；

對于B,若〃=3,6=-1,。=1,4=-3,則〃。=6/=一3,故B錯誤；

對于C,若—2<。<3,1<6<2,則一2<—6<-1,所以—4<Q—b<2,故C錯誤；

對于D,若。>6>0,加>0,則劭〉0,h―a<0,所以‘一生—"）<o,

abab

mm

所以一<一,故D正確.

ab

故選：D.

3.命題“Vx>O,x2—xwo，，的否定是（）

A3x>0,x2-x<0B.3x>0,x2-x>0

C.Vx>0,x2-x>0D.Vx<0,x2-x>0

【答案】B

【解析】

【分析】根據全稱量詞命題的否定方法寫出命題的否定即可.

【詳解】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

所以命題“Vx〉。,/—“WO”的否定為：“女>0"2一x>0,,

故選：B.

/(/(x+5)),x<10

4.設/(%)=,則/（9）的值為（

2x-15,x>10

A.9B.11C.28D.14

【答案】B

【解析】

【分析】代入分段函數，結合分段函數自變量范圍，逐步求出函數值.

【詳解】/（9）=/（/（14））=/（2xl4-15）=/（13）=2x13-15=11.

故選：B

5.下列四個函數中，與y=x表示同一函數的是（）

A.y=（五）B.y=E

LY2

C.y=D.y=一

【答案】C

【解析】

【分析】根據函數的三要素逐一判斷即可.

【詳解】因為V=x,xeR,

A,因為y=（五『的定義域［0,+s）,與歹=%的定義域不同，與歹=工不是同一函數；

B,因為的定義域R,與y=x的定義域相同，但^二而引劉，與>=x的對應關系不同，不

是同一函數;

C,因為y=鹿的定義域R,與V=X的定義域相同，且y=#/=x，與y=X的對應關系相同，表示

同一函數；

D,因為y=二的定義域(TO,0)11(0,+?)),與歹=%的定義域不同，與歹=工不是同一函數.

X

故選：C.

6.己知函數y=/(x)的定義域是[-2,2],函數g(x)=/(x+D,則函數>=g(x)的定義域是()

X

A.[—3,0)u(0,l]B,[-3,1]C,[1,3]D.(0,3]

【答案】A

【解析】

【分析】根據定義域列出不等式組求解即可.

【詳解】???函數y=/(x)的定義域是-2,2],.?.由two,得—3WXW1,且XH0,

二函數g(x)=小+1)的定義域是[—3,0)o(0,l],

X

故選：A.

7.給定函數=2,g(x)=—gx+1,用河(x)表示函數/(x),g(x)中的較大者，即

M(x)=max(x),g(x)},則〃(x)的最小值為()

D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意求“(X)的解析式，結合圖象求最值.

13

【詳解】令/(x)2g(x),即丁―22—5X+I,解得2或％2萬；

13

令/(x)〉g(x),即J—2<—5X+L解得—2<x<5；

3

X-2,x€u一,+。

2

作出/（x）的圖象（圖中實線部分）,

、、、!2

y=x2-2\/

、，

由圖可知：“（X）的最小值為;.

故選：C.

8.《幾何原本》中的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成為了后世數學家處理問題的重要依據.通

過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明，如圖所示的圖形中，

在45上取一點C,使得NC=a,BC=b,過點C作CD交以4g為直徑的半圓弧于。，連結

0D,作CE1QD,垂足為E,由CD2可以直接證明的不等式是（）.

OcB

A.~~~->0,6>0)B.a1+b2>y[ab{a>0,b>0)

__O7

<y[ab,(a>0,b>0)D.4ab>——(tz>0,Z7>0)

a+b

【答案】A

【解析】

【分析】根據圓的性質、射影定理求出和。E的長度，利用CDNOE即可得到答案..

AT)0?

連接DB,因為是圓。的直徑，所以NZD5=90°，所以在RtZUOB中，中線。。=——=——，

22

由射影定理可得CO?=/OC5=ab，所以CQ=J法.

一「CD2ab2ab

在RtAOCO中，由射影定理可得CD?即以一op—"r"b，

2

由CD2DE得,

a+b

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.已知f(x)=x2+x-1,則/(x+1)=*+3x+1；

B.已知/(4+1)=x+24+l,則/(x)=%2(x>1)；

C.已知一次函數/(%)滿足/[/(x)]=4x+6,則〃>)=2%+2；

x

D.定義在R上的函數/(x)滿足2/(x)—/(—x)=x+l,則/(幻=]+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,用x+1替換/(x)中的無，求出/(x+1)的解析式，即可判斷；對于B,由題意可得

/(?+1)=(?+1)2,再由&+121，即可得/(x)的解析式，即可判斷；對于C,設

/(x)=丘+6(左/0),根據題意求出左,6的值，即可判斷；對于D,用-x替換/(x)中的無，由兩式中

消去/(-X),可得/(x)的解析式，即可判斷.

【詳解】解：對于A,因為/(乃=/+》_1,

所以/(x+1)=(x+l)2+(x+l)-l=x2+3x+l,故正確；

對于B,因為/(6'+1)=X+24+1=(?+1)2,

因為石+121，

所以/(X)=/Qi1),故正確;

對于C設/(x)=Ax+b(kwO),

則/[/(x)]=k(kx+b)+b=k~x+kb+b=4x+6,

左2=4k=2[k=-2

所以《成4

kb+b=6b=2-b=—6

所以/(x)=2x+2或/(x)=—2x—6,故錯誤;

對于D,因為定義在R上的函數/(x)滿足2/(x)—/(—x)=x+l①,

所以27(-x)-/(x)=-X+1②,

由①x2+②，得3/(x)=x+3,

V

所以/(x)=§+l，故正確.

故選：ABD.

10.下列結論中，錯誤的結論有()

A.y=x(4-3x)取得最大值時光的值為1

B.若x<—1,則x+一一的最大值為—2

X+1

+5

C.函數/(x)=不——的最小值為2

Vx2+4

D.若a>0,b>Q,且。+6=2,那么:+2的最小值為3+2J2

ab2

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據二次函數的性質判斷A,利用基本不等式判斷B、C、D.

【詳解】對于A,因為y=x(4-3x)=-3/+4x=—+g,則函數的對稱軸為x=g,

2

所以>=x(4-3x)取得最大值時x的值為§,故A錯誤；

對于B,=x+=x+l+-1,

“x+1x+1

若x<-l,x+1<0,-(x+1)>0,-(x+1)------->2,當x=—2時取等號，

x+1

所以（x+l）+，W—2,則y=x+l+」——1<-3,則>=》+，的最大值為—3,故B錯誤;

x+1x+lX+1

對于C,函數/（1）=/==d'2+4+,2/y/x2+4-.=2,

y/x+4Jx+4VJx+4

令t=G+4N2,當，+；=2時，解得/=1,不滿足題意，故C錯誤;

對于D,若〃>0,Z）>0,且a+b=2,

所以工+2=￥4+2］（“+，）=」1+2+2+生卜3+2行

ab2（QbJ2（ab）-2

i2

當時，即a=2a—2,b=4—2J5時取等號,

ab

所以4+2的最小值為3+2&,故D正確.

ab2

故選：ABC.

11.我們知道，如果集合NqS,那么S的子集A的補集為QZ={x|xeS且xeZ},類似地，對于集合

48我們把集合{x|xwZ且xe8},叫作集合A和臺的差集，記作8,例如：

/={1,2,3,4,5},3={4,5,6,7,8},則有4—8={1,2,3},8—2={6,7,8},下列解答正確的是（）

A.已知2={4,5,6,7,9},8={3,5,6,8,9},則8-2={3,7,8}

B.已知幺={x|x<-l或x>3},8={x|-24x<4},則幺―8={x[x<-2或x24}

C.如果那么4—8=0

D.已知全集、集合A、集合8關系如上圖中所示，則N-5=

【答案】BCD

【解析】

【分析】依題意根據的定義可知，可先求出Nc8,再求出其以A為全集的補集，結合具體選項中

集合的關系逐項判斷，即可得出結論.

【詳解】根據差集定義8—/即為{x|xe8且xeZ},

由/={4,5,6,7,9},8={3,5,6,8,9},可得={3,8},所以A錯誤；

由定義可得/一8即為{x|x?4且xe8},

由/={x|x<-l或x>3},8={x|-24x<4},可知4一8={x[x<-2或x24},即B正確；

若/73,那么對于任意xeZ,都滿足xeB,所以{x|xe4且x任8}=0,因此4—8=0,所以

C正確；

易知4-8={x|xe幺且xe8}在圖中表示的區域可表示為、（幺口8）,也即幺0（18）,可得

N—5=/口5）,所以D正確.

故選：BCD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數/（x）=Jl-x+1--=-1的定義域為

yjX+3

【答案】（-3』

【解析】

【分析】根據二次根式的性質及分母不為0,即可求解.

1-x>0

【詳解】由題意可知.八，解得—3<xWl,

x+3>0

所以函數的定義域為

故答案為：（—3,1].

13.已知Q,6>0且ab=a+b+3,則Q+b的取值范圍為.

【答案】[6,+8）

【解析】

【分析】利用基本不等式變形，然后解不等式即可.

（a+ba=b

【詳解】由題意凡6〉0,且ab=a+b+3W,當且僅當《,,,時，即。=6=3時等號

（2J[ab=a+b+3

成立,

令l=a+6>0,則上式為：/+，即/_4/—1220，

解得的6或，4-2(舍)，所以6的取值范圍為[6,+co).

故答案為：[6,+00).

14.我國南宋著名數學家秦九韶(約1202?1261)獨立發現了與海倫公式等價的由三角形三邊求面積的公

式，他把這種稱為“三斜求積”的方法寫在他的著作《數書九章》中.具體的求法是：“以小斜幕并大斜幕減

中斜塞，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之,為實一為從隅，開平方得積.”如果把以上

<r222丫]

這段文字寫成公式，就是S=-a2c2-土士~—.現將一根長為20cm的木條，截成三段構成一

VL12JJ

個三角形，若其中有一段的長度為6cm,則該三角形面積的最大值為_________cm2.

【答案】6V10

【解析】

【分析】先化簡得5=!」4a2c2一+2℃一~\2

-b2，再利用基本不等式可求S的得最大值.

4VL''」

【詳解】令b=6,則a+c=14,

(222、2|

S=八2_「+：-b14a2c2_[(c+a)2_2ac—的2

代入得s=；J[(2ac)2-(160-2*y]=；Jl60(4ac-160),

由基本不等式：14=a+c22疝，所以4acW196,可得SW6aU

當且僅當a=c=7時取等號，

所以a=c=7時，面積S取得最大值6&U.

故答案為：6A/10

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚.

15.已知函數=

3x-l

（1）先判斷函數/（X）在區間+8）上的單調性，再用定義法證明;

（2）求函數/（x）在區間［1,5］上的最值.

【答案】（1）/（x）在15+s］上單調遞減，證明見解析；

（2）最大值為/⑴=；,最小值為/（5）==.

【解析】

【分析】（1）將令;<再<%應用作差法判斷/（西），/（々）的大小判斷單調性;

（2）利用/（x）的單調性求區間的最值.

【小問1詳解】

/（X）=--—在上單調遞減，

3x-l<3）

令;<石<x2,

則/（再）一/（%2）=-----------

人」八1，八2，3-2人［_iJL3Jx人？_1X

3X2—1—（3X）—1）3X2—

―（3X］-1）（3胃-1）―（3萬-1）（3胃-1）

3（X2-xj

一（3石-1）（3胃-1）'

又3X］-1〉0,3X2-1>0,,x2-Xj>0,

所以/區）一/卜）>0,故/（西）〉/（》2）,

則/（X）在區間［；,+8］上的單調遞減.

【小問2詳解】

由（1）知：/（x）在上的單調遞減，所以/（x）在［1,5］上遞減,

11

即/(Hmax=/(1)=1-7=2，/(x)min=^(5)=

3X1-1Z3x5-114

故函數/（X）在區間［1,5］上的最大值為了⑴=；,最小值為/（5）='.

16.設aeR,已知集合N=卜產<1卜B=^x\l-a<x<2+.

（1）當a=3時，求4U8，CR（ZC8）；

（2）若“xe8”是“xe/”的必要不充分條件，求。的取值范圍.

【答案】（1）2。3=卜|一^<》<51,以（幺|08）={》|》<—1或x21}.

7

（2）a>—

2

【解析】

【分析】（1）當。=3時，分別解出集合A與集合8,然后求得進而求得ZU8。（4八8）.

（2）xe8是xw4的必要不充分條件，故A是2的真子集，由此列不等式組，解不等式組可求得。的取

值范圍.

【小問1詳解】

3%+2

x-1

當a=3時，5={x|-l<x<5},

A<JB=^x\--<x<5y|-1<x<lj

所以4（2C8）=卜|》<一1或》21}.

【小問2詳解】

24=|x|--1<x<lj,5={x|2-（7<x<2+a}

因為“xe8”是“xe4”的必要不充分條件，所以A是2的真子集,

2—CLV2+Q

3

則《2-QV-大且端點處等號不同時成立，化簡得<a>-\.

2

a>0

2+tz>1

7

所以。之一.

2

17.已知關于龍的一元二次不等式(2a—l)x—2〉0,其中a<0.

(1)若不等式的解集是［g,6,求a,b值.

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)a=—2,b=2；(2)當。=—工時，不等式的解集為0；當—時，不等式的解集

22

為。,一:)當a<—g時，不等式的解集為2)

【解析】

【分析】(1)先將不等式左邊含參部分利用因式分解變形，然后求得不等式解集與［g/1作對比即可求出

a,6的值;

(2)根據。<0對a進行分類：a=--,--<a<0,a<--,對此三類進行討論，分別求出解集.

222

【詳解】⑴???不等式(ax+l)(x—2)>0的解集是:力，.?.「"=5'解得a=—2,b=2；

［2J［b=2

(2)(ax+l)(x—2)>0,a<0,(xH——2)<0,

11

當—==2,即。=—萬時，不等式為(x—2)9<0,則不等式的解集是0,

當—>2,即—<。<0時，解不等式得2<x<—；

a2a

當—<2,即a<—,解不等式得—<x<2；

a2a

綜上所述，當。=-工時，不等式的解集為0;

2

當一g<a<0時，不等式的解集為［2,—

當。<一心時，不等式的解集為［一：,2、

【點睛】解含參數的一元二次不等式需注意：

(1)不等式含參數部分是否可以進行因式分解；

(2)參數范圍是否影響不等式解集求解，注意分類討論的使用；

(3)最后對所有情況進行總結.

18.如圖，設矩形(AB>BC)的周長為24,把它沿NC翻折，翻折后48'交DC于點P,設

(1)用x表示DP,并直接寫出x的取值范圍

(2)用x表示△ADP的面積，并求A4DP面積的最大值及此時x的值.

【答案】(1)DP=12-----(6<x<12)

x

(2)面積最大值為108-72夜，此時x=60.

【解析】

72

【分析】(1)表達出ZD=8C=12—x,并得到6<x<12,利用勾股定理得到方程，求出。尸=12——

x

(6<x<12)；

(2)表達出A4DP的面積，并利用基本不等式求△/￡>尸面積的最大值，并得到x的值

【小問1詳解】

,/AB=x,

AD=BC=\2-x,

AB>BC,

x>12-x,解得x>6,

又矩形4BCD的周長為24,故x<12,則6<x<12,

又DP=PB',；.AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP,

???由勾股定理得AD2+DP?=AP?,即(12—x)2+DP2=(x-DP)2