2024-2025學(xué)年山東省部分學(xué)校高三(下)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合JW={@L*3},N{J|J<2}，則V(C/j.V)=()

A.I-x,2)B.12.31C.{2.3}D.{1.2.3}

2.已知復(fù)數(shù)：「，，,L，；l-為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃()

A.'B.-C.2D.-2

23

3.樣本數(shù)據(jù)12,8,32,10,24,22,12,33的第60百分位數(shù)為()

A.8B.12C.22D.24

4.函數(shù)圖象大致是（）

-1

5.已知加，〃是兩條不同的直線，”，《是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()

A.若m「八，”貝!］「B.若"，>',貝！］八?

C.右…,?1■??,則”，?D.右11?11,11?,則，>1

6.十一國(guó)慶期間，《749局》《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》《浴火之路》《熊貓計(jì)劃》引爆了電影市場(chǎng)，張三和他

的同學(xué)一行四人決定去看這四部電影.若張三要看《存亡之戰(zhàn)》，則恰有兩人看同一部影片的概率為()

7.若函數(shù)，“」的圖像全部在x軸上方，則a的取值范圍為()

A.(Ct.1)B.Il.-x.)C.I',+xID.|<.*x)

c

8.已知/,/二是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且“7ri■,//的垂直平分線

經(jīng)過(guò)點(diǎn)若橢圓的離心率為，，雙曲線的離心率為，一，則?9的取值范圍為()

212

33

A.(-2.4-x)B.(*xIC.|-2,--1D.|-I,4-x)

第1頁(yè)，共19頁(yè)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.現(xiàn)有200根相同的鋼管，若把它們堆放成正三角形垛，且使剩余的鋼管盡可能的少，則下面說(shuō)法正確的

是（）

A.堆放成正三角形垛后，沒(méi)有剩余鋼管

B,堆放成正三角形垛后，剩余鋼管的根數(shù)為10

C.若再增加8根鋼管，則所有的鋼管恰好可以堆放成正三角形垛

D.若再增加10根鋼管，則所有的鋼管恰好可以堆放成正三角形垛

____工〉2

10.函數(shù)/，，是定義域?yàn)镮-山Hl-x的奇函數(shù)，當(dāng).rII時(shí)，：，，，_下列

Ir1-2r4-2,0<X<2

結(jié)論正確的有（）

A.對(duì)…I.且.一…，恒有'n

JT|—J?J

B.對(duì)Vri，+、>恒有*士口）《絲絲幺包

C.函數(shù)V，與/一的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)

D.若當(dāng)J———「時(shí)，/，」，的最大值為I,貝！二川

11.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體,1/*'〃-中，E,尸分別是棱斗〃i，

的中點(diǎn)，G為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)G為/。的中點(diǎn)時(shí)，/<（.

B.若G在線段AD上運(yùn)動(dòng)，三棱錐.1.的體積為定值

C.存在點(diǎn)G,使得平面EFG截正方體所得的截面面積為I2v3

D.當(dāng)G為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐/73的外接球表面積為午

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知丁」，「，寫(xiě)出/，，的一個(gè)解析式.

13.已知，:2,.'i,,<-…，，,、缶,若；,則W在石上的投影向量的坐標(biāo)為.

14.己知/,/:是橢圓丁|的左、右焦點(diǎn)，M點(diǎn)是在第一象限橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，若?,是

（i2

銳角，則橢圓E在M點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍是.

第2頁(yè)，共19頁(yè)

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題12分）

在銳角中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且，“"一1,'，

（1）求證:4=28；

L若/的角平分線交于。，且，3求〃面積的取值范圍.

16.?本小題12分?

如圖，在四棱錐/AbCO中,平面/BCD,4D11（,,A/LLBC，E為尸。的中點(diǎn).

⑴若￡A=￡C，證明：，//平面ZCP；

已知1，B（2，,1/；I，斜線網(wǎng)和平面/BCD所成的角的正切值為2,求平面NCE和平面

PCD的夾角的余弦值.

17.（本小題12分）

過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓C：＞，2-J的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為P0,直線尸。恰為拋物線E：，,」「，?

的準(zhǔn)線.

I求拋物線￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)點(diǎn)T是圓C的動(dòng)點(diǎn)，拋物線E上四點(diǎn)4,B,M,N滿足：/iJ/u,//}?/、'，設(shè)48中點(diǎn)為

D.

「,求直線ZD的斜率；

I，“設(shè)/1〃面積為S,求S的最大值.

18.（本小題12分）

在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，

保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國(guó)某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)

量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量.該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成

以下五組：[100以））.[110.120）.口20.130）」130,140）.[1皿150],得到如圖頻率分布直方圖.規(guī)定:口罩的質(zhì)

量指標(biāo)值越高，說(shuō)明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的

第3頁(yè)，共19頁(yè)

為一級(jí)口罩.

|「將上述質(zhì)量檢測(cè)的頻率視為概率，現(xiàn)從該工廠此類(lèi)口罩生產(chǎn)線上生產(chǎn)出的大量口罩中，采用隨機(jī)抽樣方

法每次抽取1個(gè)口罩，抽取8次，記被抽取的8個(gè)口罩中一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為L(zhǎng)若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立

的，求￡的方差；

,現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再?gòu)闹谐槿?個(gè)，記其中一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為"，

求”的分布列及數(shù)學(xué)期望；

131在2023年“五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲、乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上分別參加48兩

店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購(gòu)，其中每個(gè)訂單由，““2.”個(gè)該型號(hào)口罩構(gòu)成.假定甲、乙兩人在4,B

兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為'，記甲、乙兩人搶購(gòu)成功的口罩總數(shù)量為X,求當(dāng)X的數(shù)

n

學(xué)期望A，，取最大值時(shí)正整數(shù)n的值.

19.?本小題12分，

若有窮數(shù)列卜：',\且".!I滿足it.-11,.?-a.-n,.?-1.2,■■.ti-2,則稱|為M數(shù)列.

U判斷下列數(shù)列是否為初數(shù)列，并說(shuō)明理由；

①1,2,4,；

②4,2,8,:

-已知M數(shù)列上：中各項(xiàng)互不相同.令人.”一?5,1.2.b,求證：數(shù)列）是等差

數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列■；（.（是常數(shù)列；

「已知M數(shù)列｝是….「且，，，5個(gè)連續(xù)正整數(shù)1,2,-,%的一個(gè)排列.若

m-1

',MlI29求冽的所有取值.

第4頁(yè)，共19頁(yè)

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因?yàn)関f.1.1-2},

所以C,',\1.1.1,

又因?yàn)榧螹-{04,2,3）,

故\!C?,VI,?.1；，rr2I："

故選：（二

利用補(bǔ)集和交集的概念求出答案.

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：…?事，I,“+2-”1,為純虛數(shù)，

則解得°=-2.

故選：/.?,

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：樣本數(shù)據(jù)12,8,32,10,24,22,12,33,按從小到大排序?yàn)?,10,12,12,22,24,32,

33,

由、.山\1>,得樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為升序排列的第五個(gè)數(shù)，即2上

故選：「

根據(jù)給定條件，利用第60百分位數(shù)的定義求解即得.

本題主要考查百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：定義域?yàn)椤！薄鲂逻?（丁）-,

-11-fr1

故該函數(shù)為偶函數(shù)，故可排除3、D,

當(dāng)Tr時(shí)，有〃二句U：I）,故可排除J.

故選：，,

第5頁(yè)，共19頁(yè)

通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性與有無(wú)零點(diǎn)，借助排除法即可得.

本題考查根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：由…得-「，或故/錯(cuò)誤；

由，-，，，，，得，，與“相交或,，L故B錯(cuò)誤；

由得…，或…h(huán)故C錯(cuò)誤；

由…八，…/,得，，I,故。正確.

故選：〃

結(jié)合空間線面的位置關(guān)系及平行與垂直的判定與性質(zhì)定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：十一國(guó)慶期間，《749局》《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》《浴火之路》《熊貓計(jì)劃》引爆了電影市場(chǎng),

張三和他的同學(xué)一行四人決定去看這四部電影，

張三要看《存亡之戰(zhàn)》，

樣本空間的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為11,1

在張三看《存亡之戰(zhàn)》的情況下，恰有兩人看同一部影片，分以下兩種情況討論：

〔，張三和其中一人同時(shí)看《存亡之戰(zhàn)》，另外兩人看剩余三部電影中的兩部，

此時(shí)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為(1.、，概率為“

'6132

「，觀看《存亡之戰(zhàn)》的只有張三一人，只需將剩余三人分為兩組，

再將這兩組人分別看剩余三部電影中的兩部，

IK(>

此時(shí)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為，7」.、，概率為

6132

綜上所述，恰有兩人看同一部影片的概率為'*?””

323216

故選：B

先求樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合條件分張三和其中一人同時(shí)看《存亡之戰(zhàn)》，觀看《存亡之戰(zhàn)》的只

有張三一人兩種情況利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：若函數(shù)/I"，"「的圖像全部在x軸上方，

則任意rwR，均有」恒成立，

第6頁(yè)，共19頁(yè)

所以任意JL/?,均有“恒成立,

1

令"UI—二，r-R,

gr

、e-eX1一工

93=―—=，

〃」)<

令”『二1］得J1,

所以在IX.11上，/」I),U一單調(diào)遞增,

在II.-?上，一單調(diào)遞減，

所以中」"i9lI?，

所以“1,

所以。的取值范圍為VL

故選：「.

根據(jù)題意可得任意j三"，均有“J-j”恒成立，即任意了三/?,均有",恒成立，只需“

即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：不妨設(shè)雙曲線的實(shí)軸為x軸，中心為原點(diǎn)，

根據(jù)題意，可得橢圓和雙曲線在同一直角坐標(biāo)系中的大致位置，如圖.

.?尸網(wǎng)的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)打，r.IPB=R，|=2c.

記橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,，2,雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為"一，

由橢圓的定義得|PFi|十|P-」，，，/》「」,，2c；

由雙曲線的定義得，/：PIL,/7」，

.-2(-2“_,.V-2“1,

第7頁(yè)，共19頁(yè)

由函數(shù)Ur?在山」I單調(diào)遞減，可得，一

X白

￡|202.,3、

2e22t|'2'

故選：B

由/,/的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)/?，可得十月—氏/；=2,?，再利用橢圓和雙曲線定義，可得到,“2?1；

故'：'*,-2I,利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求出？的范圍.

2*j2112，？

本題考查橢圓與雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：因?yàn)榘?00根相同的鋼管堆放成正三角形垛，所以正三角形垛從上到下每■層的鋼管根數(shù)組

成首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

所需鋼管總根數(shù)為￡,=1+2+3-…I)

令S,=解得“-1”，此時(shí)、:IMO,由此可得剩余鋼管有10根，故/錯(cuò)誤，8正確；

2

當(dāng)’”時(shí)，'':'

故再增加10根鋼管，則所有的鋼管恰好可以堆放成正三角形垛、故C錯(cuò)誤，。正確.

故選：BD.

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得，1.2.5.?〃即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

2

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)，，函數(shù),的定義域?yàn)?\1」.、，函y"

數(shù)是奇函數(shù),

當(dāng)r“時(shí)，!

2x+2,O<r

作出函數(shù)小門(mén)的大致圖象，如圖所示.

結(jié)合圖象可知函數(shù)在上單調(diào)遞減,

函數(shù)小，，在［-1.山上單調(diào)遞減,

不妨設(shè)I?r?,II,J：?1,

結(jié)合圖象可得，U,II,此時(shí)2/……(I,

第8頁(yè)，共19頁(yè)

"I/l?:.II,ll選項(xiàng)錯(cuò)誤;

*1-Xi

對(duì)于選項(xiàng)5,對(duì)「「，，-XI,

I1_______2

X|-1Jr,-111+g_?

~~2

=________3=量________,

（X|-I）（XJ—1）（X1+工？-2）

由叫-l>0,iTj-1>0,Z|+xj-2>0,（工|一埒’30，

可知j-f,一「-n,

22

從而"'’「….成立，“選項(xiàng)正確；

八2-9

對(duì)于選項(xiàng)C,結(jié)合圖象，可得函數(shù)"「"與"，的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，

，,選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，當(dāng)JI時(shí)，，I-1；

當(dāng)工,？時(shí)，令一--1,解得」-3,

X-1

函數(shù)八，為奇函數(shù)，,1:;I,

要使得當(dāng).一，；.山時(shí)，Jr「的最大值為-1,

可得3-I；-I,即“,；「，"選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性、圖象的“凹凸”性，函數(shù)的值域，逐項(xiàng)判定,即可求解.

本題考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，是中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于/,以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，

第9頁(yè)，共19頁(yè)

則/12.11.I.,/ill2-,CHI.UI）,（；\1.2.0）,

所以//—2,1.2),C0-(1.--2.11M

因?yàn)椤?2-I.I-2：,oIH所以/：7「，，，故/正確;

對(duì)于3,當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)2重合時(shí)，如圖2所示，V.,,,,V,,

*I

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，如圖3所示，

；,所以三棱錐」CE/一的體積不是定值,故5錯(cuò)誤;

對(duì)于C,當(dāng)G為8C中點(diǎn)時(shí)，平面所G截正方體所得的截面為正六邊形EK7田G/,如圖4所示,

其中H,J,K為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則正六邊形EKFHGJ的邊長(zhǎng)為2、2，

所以該截面的面積為6..壯1人J，故存在點(diǎn)G,符合題意，故C正確;

對(duì)于。，當(dāng)G為/。的中點(diǎn)時(shí)，如圖5所示，

第10頁(yè)，共19頁(yè)

由題意知/'L"平面】二（；，

因?yàn)镮,/1（；八7/（；八一＞，所以由余弦定理的推論得:

所以、In/1(.

FG2^210^2r~

設(shè)…I/7；的外接圓半徑為心則J'?；1/J/；'：/~;J，所以,

73

設(shè)三棱錐//（；的外接球半徑為七則,1

299

所以三棱錐I-的外接球的表面積為I-”「’「，故。正確.

故選：

對(duì)于/,以5為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明/1」■（；；對(duì)于3,當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)3重

合時(shí)，求出「，，,,，,?V；i,,；?：?；.；.1；,當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，求出

I；,I,M,：,-'-1.2-2:,從而得到三棱錐.13/U的體積不是定值；對(duì)于C,當(dāng)G為

323

2。中點(diǎn)時(shí)，平面EFG截正方體所得的截面為正六邊形EKFZ7GJ,由此推導(dǎo)出存在點(diǎn)G,使得平面斯G截

正方體所得的截面面積為1入J;對(duì)于。，當(dāng)G為/。的中點(diǎn)時(shí)，尸I3平面1I利用余弦定理、三角

形外接圓、三棱錐外接球能求出結(jié)果.

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、截面面積、余弦定理、三角形外接圓、三棱錐外接球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間

想象能力、運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，落實(shí)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，是中檔題.

12.【答案】八"—答案不唯一

3

【解析】解：設(shè)…：，，則”，、，，

故」」的一個(gè)解析式為答案不唯一

故答案為：/in=答案不唯一

由已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)結(jié)合基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式得答案.

本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】I2sinW.

第11頁(yè)，共19頁(yè)

【解析】解：由題意，了3-in”H,

則請(qǐng)?jiān)谑系耐队跋蛄繛椤?

Ib

弋工+2。?v。+COB*9■(

\shr0+ooei?e

K2y/2X(---)T■-21■(2td口仇一2cos?)

故答案為：I2..-H\.

根據(jù)投影向量的定義即可求解.

本題考查投影向量的概念，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】I*上,

3

【解析】解：由八，幾是橢圓/..「?'/I的左、右焦點(diǎn)，可得

62

居(-2,01,

設(shè)八I-O.i/-III,滿足'+"=|①，

(i2

當(dāng)V"\<1時(shí)，可得：匕JJ-2I+/=0②，

①②聯(lián)立，可得“一；—I,

所以當(dāng)［是銳角時(shí)，“：v：i，

再由「-I,得到“，?開(kāi)方得第一象限曲線解析式為“=

(>23V*3

求導(dǎo)可得：』=\>'」，當(dāng),「、，時(shí)，」',，即此點(diǎn)處的切線斜率為一5’；

-3\333

結(jié)合圖象可知：圓￡在河點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍是?x

'3'

故答案為：Ix._''|

i3

根據(jù)題意，先求出當(dāng)A/"Ml時(shí)，點(diǎn)m的坐標(biāo)，從而可得當(dāng).月、/a是銳角時(shí)，點(diǎn)M橫坐標(biāo)的范圍,

再利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出11"時(shí)在點(diǎn)M處切線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可得解.

本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

15.【答案】證明：(11，2ba?A^b,

由正弦定理可得，H11C2HU.17."；,

.1+4+(,

第12頁(yè)，共19頁(yè)

.sinlA?HI-bin(，

*III2、in/TcosA?血4€0^8+“4.1sin/6-2sin.1>inIf,

.MU.1lh-If,

A6C為銳角三角形,

.1匚“：l,/?E川，

22

71,在?,J上單調(diào)遞增,

.14=4，即.1一28；

口解：；.1_2〃，

在中，/ABC=Z.BA

AOAB2

由正弦定理可得,

sinHsin(ir-2B)mn2/?

S-ABD>xADxwinB—?>inHlan〃，

COB￡>

」/〃'為銳角三角形,

0<￡i<—

2

\U’2”,解得,〃,‘，

2(>I

0<jr-3D<-

2

c■瓜x(chóng)

tan11l.1?,

?9

.?.A4B0面積的取值范圍為J；IL

【解析】I根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及三角函數(shù)的恒等變換，即可求證；

根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，推得m>[,再結(jié)合三角形的面積公式，以及角3的取值

范圍，即可求解.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：I-證明：因?yàn)?>」平面A8C￡>,AD,\1'平面48cD,

可知rPA1CD，

在RtZiP.40中，E為尸。的中點(diǎn)，則Pl\PD,

?>

第13頁(yè)，共19頁(yè)

因?yàn)椤辍???，所以EC=E。一PE，則./(二—”/￡，.DCELCDE^

在APCD中,ZPCE+CPI>Z.DCE+ZCDE180°>

即.''I1H!1MI,

所以.”。'iif,即'<I),

又因?yàn)閞i/￥?r，。八，二平面NCP二平面NCP,

所以，i)平面

2由題意可知：。八，平面/BCD,

所以是斜線網(wǎng)在平面48CD上的射影，即八〃」為PB和平面48CD所成的角,

P4

在即，，」〃中，UliZPAB=-2,所以/＞」2＞

又因?yàn)镮”\1),故N5,AD,/尸兩兩垂直，

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD,/P所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

可得HI.2.|n.l.J,ih,i'1)_II.；,2i，＜7)?1,2.II,

設(shè)平面NCE的法向量為了=I./；,i/i.：iI，

則則|就三=。,即I"；.，

|訪1P譏.1廣=。I，-2幼=0

可取廣⑵1.2i；

設(shè)平面尸CD的法向量為了I;.(，一，

可取12.I.2i；

從而可知|coe?

Mil?阿|"+1

所以平面ACE和平面PCD的夾角的余弦值為‘

第14頁(yè)，共19頁(yè)

【解析】III分別證明，I」?“，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證;

「，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求兩個(gè)平面的夾角.

本題考查線面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：口設(shè)直線尸。與x軸交于山,

由幾何性質(zhì)易得：與相似,

所以制:;

即：'?22,解得：〃=1.

所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y3

I由題意，TA中點(diǎn)M在拋物線￡上，即I'.*'''?2，

**

?

又析—2」.，將./—1代入得：八-2O山力?I」?-iv*IH

同理：-如也+I」％-元=0,

有I就+的:2*此時(shí)0點(diǎn)縱坐標(biāo)為!=

I1/1胱=5-M）2

所以直線7Z）的斜率為0；

I⑴因?yàn)楣ぃ琂二「，/'5二,J_?小門(mén)力廣;

2—i一?一丁

所以點(diǎn)"I配,一

此時(shí)、:/C川一1^1,

\TD\—|—%—--hl=31M—2"'回—同=（Wi+㈤一川的=,8（端—2-to）.

所以S■當(dāng)??J（磋-H尸）

又因?yàn)辄c(diǎn)T在圓。上，有因力+2尸+忌3,即垢-LTD-1,代入上式可得:

c3^2「9IZTJ3v^2h~~"e.2q

、.]y?I〉。11\'?「"+3，4、，

由-2-\二：＜?，-/11*-2-\3.

第15頁(yè)，共19頁(yè)

所以，，」時(shí)，S取到最大值八\74

2

所以S的最大值為卜

【解析】設(shè)直線PQ與X軸交于/力由幾何性質(zhì)易得：（P-（l\C（＞\,帶入數(shù)據(jù)即可求

解〃的值，從而求出拋物線的方程；

⑵設(shè)/：Jii.9ib.Il.1|/!）,，

,中，由于"中點(diǎn)M在拋物線E上，得（號(hào)處）2=2.四產(chǎn)，將川小姐），伙」二,%I,代入聯(lián)立得。

點(diǎn)縱坐標(biāo)為","如，即可解決；

*9~

由得點(diǎn)a蛻盧,加），s*.版_al.苧.‘（睛_2r“戶，又點(diǎn)7在圓C上，得

疝—i,:,可得：S=./-（工明+3）'+瞰即可解決?

本題考查了拋物線的方程、直線與拋物線的綜合問(wèn)題，考查了圓錐曲線中的最值求解，屬于中檔題.

18.【答案】解：1由題知，抽到一級(jí)口罩的頻率為i--2711,

故。⑹8x0.25x0.751.5；

」按分層抽樣抽取8個(gè)口罩，則其中二級(jí)、一級(jí)口罩個(gè)數(shù)分別為"Hl；.In|..|||.；,.in.s（i,

（0.02+0.006）x10x8=2,

故，/可能的取值為0,1,2,

5

*m-fn℃15。、CiC?_3

f,的分布列為：

F>012

515J

P

U28詆

5■15c33

￡(加=0x—+1x—>+2x—=—.

〃1428284

由設(shè)甲乙搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量為匕由題知，y可能的取值為o,1,2,

T2cxM--2COB-2x<XJ?-

PiY-0)=(1--,："：!-------I=1-二+-----———1，

Mnn7nn3

Kit

2con-—2CO8-力2<x)?-4雷CO8.

P(Y1)-三“I-----u二t-----?-----

n*nn*nnn**

2XCOK—

P\Y2：i—

第16頁(yè)，共19頁(yè)

2OM-2ircw-200H.4ircx?-

E(Y)=0x(”二V———fl+——a)-FlX￡T+——-------—S)+2x—=三1r

n2nMri'rtrnn3n1

因?yàn)椤ⅰ盰,所以/,\\「，-'

n2nnn

令，',111.?.設(shè)hri2…-f，-，，則/?.\iff,

ny

因?yàn)?‘IfI:-2二、I“;，-vin-,r?,

2

所以當(dāng).，?；“'時(shí)，fih當(dāng)f?J1時(shí)，fifi-u,

662

所以：,在HL上單調(diào)遞增，在JJ上單調(diào)遞減，

6ti2

故當(dāng)f—1,即”5時(shí)，/，取最大值，

所以\:;?一,所以/「\，取最大值時(shí)，正整數(shù)I，(>

utex66

【解析】1由題知，抽到一級(jí)口罩的頻率為且；不、「一1,根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式，計(jì)算即

可；

」「根據(jù)題意可知，9可能的取值為0,1,2,計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，寫(xiě)出分布列和期望即可；

口|設(shè)甲乙搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量為匕由題知，y可能的取值為0,I,2,計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，求出/，｝I,結(jié)

合X求出/」、，，最后利用利用導(dǎo)數(shù)，找出最大值，求解即可.

本題考查離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：1①因?yàn)椤?「」，所以該數(shù)列不是M數(shù)列，

②因?yàn)閨1-2?|2-、-N-11,所以該數(shù)列是M數(shù)列.

證明：iL先證必要性：

若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為力

則兒，—〃「-.?—/,

所以數(shù)列4」是常數(shù)列，

再證充分性：

若數(shù)列;卜是常數(shù)列，

則除一以*1(”；*1