★啟用前注意保密2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（一）數(shù)學(xué)本試卷共5頁，19題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣?區(qū)）?學(xué)校?班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡的“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】∵指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴由得，故，∵，∴.故選：B.2.記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)除法及乘法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t.故選：D.

3.已知向量，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合充分條件、必要條件的概念可得結(jié)果.【詳解】由可得，故，所以.由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.綜上得，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.某學(xué)校為了了解學(xué)生美育培養(yǎng)的情況，用分層隨機(jī)抽樣方法抽樣調(diào)查，擬從美術(shù)、音樂、舞蹈興趣小組中共抽取30名學(xué)生，已知該校美術(shù)、音樂、舞蹈興趣小組分別有20,30,50名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，分別求出每個(gè)興趣小組要抽取的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】由題意，美術(shù)組要抽取的學(xué)生數(shù)為，音樂組要抽取的學(xué)生數(shù)為，舞蹈組要抽取的學(xué)生數(shù)為，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的抽樣結(jié)果.故選:C.5.若空間中四個(gè)不同的平面，滿足，則下面結(jié)論一定正確的是（）A. B.C.既不垂直也不平行 D.的位置關(guān)系不確定【答案】D【解析】【分析】在正方體中找到符合條件的平面，結(jié)合找到平面，即可得到的位置關(guān)系，由此可得答案.【詳解】如圖，在正方體中，記平面為平面，平面為平面，平面為平面，滿足，若平面為平面，滿足，此時(shí)，若平面為平面，滿足，此時(shí).由此可得，的位置關(guān)系不確定.故選：D.6.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)椋蓹E圓的定義可得，所以，，因?yàn)?由余弦定理可得所以，整理可得，所以，即.故選：A7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且和分別是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)圖像的單調(diào)性和對(duì)稱性，通過最小正周期求出參數(shù)和，得到函數(shù)的解析式，代入求值即可.【詳解】由題意，函數(shù)的最小正周期滿足，即所以.因?yàn)槭呛瘮?shù)圖像的對(duì)稱軸，所以，解得，又因?yàn)椋?所以，則.故選：B.8.設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，記，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由新定義逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】對(duì)于A，取，則，，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，，，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，其中為整數(shù)，，若，則，，此時(shí)成立，若，，，此時(shí)成立，綜上，D正確；故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與的等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（）A.B.C.數(shù)列是遞增數(shù)列D.當(dāng)時(shí)，的最大值為8【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出，可判斷AB；寫出數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可判斷CD.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是與的等比中項(xiàng)，得，即，解得，故AB正確；則，，，所以，又隨的增大而減小，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為8，故D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則有2個(gè)零點(diǎn)B.若，則的解集為C.在上有極小值D.在上有極大值【答案】ABC【解析】【分析】解方程可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)時(shí)解不等式可得選項(xiàng)B正確；討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)的連續(xù)性畫出的圖象，根據(jù)圖象的變化趨勢(shì)可得選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，由得，，解得或，∴有2個(gè)零點(diǎn)，A正確.B.當(dāng)時(shí)，，由得，解得，∴的解集為，B正確.C.當(dāng)時(shí)，由得或.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，的大致圖象為圖1，由圖象可得函數(shù)在上有極小值，無極大值.當(dāng)，即時(shí)，的大致圖象為圖2，由圖象可得函數(shù)在上有極小值.當(dāng)，即時(shí)，的大致圖象為圖3，由圖象可得函數(shù)在上有極小值.當(dāng)，即時(shí)，的大致圖象為圖4，由圖象可得函數(shù)在上有極小值.當(dāng)，即時(shí)，的大致圖象為圖5，由圖象可得函數(shù)在上有極小值.綜上得，在上有極小值，C正確.D.由圖1可得，當(dāng)時(shí)，在上無極大值，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知正四面體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則下列幾何體能夠整體放入正四面體的有（）A.底面在平面上，且底面半徑為，高為的圓錐B.底面在平面上，且底面半徑為，高為1的圓柱C.軸為直線，且底面半徑為，高為2的圓錐D.軸為直線，且底面半徑為，高為0.2的圓柱【答案】ACD【解析】【分析】A先計(jì)算的內(nèi)切圓半徑與比較，高與比較；B.的內(nèi)切圓半徑以及高為1時(shí)的正四面體截面內(nèi)切圓半徑與比較；C.以為圓錐頂點(diǎn)，高為2時(shí)底面半徑與比較；D找到圓柱的軸中點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌姘霃綖闀r(shí)，計(jì)算此時(shí)圓柱的高與0.2比較.【詳解】對(duì)于A，正四面體，作平面，交平面于，連接，且為正三角形的中心，又棱長(zhǎng)為6，則的內(nèi)切圓半徑為，，正四面體的高，則底面半徑為，且，且高，則可以放到正四面體內(nèi)，故A正確；對(duì)于B，

如圖所示，平面平面，當(dāng)時(shí)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，則，故底面半徑為，高為1的圓柱，無法放到正四面體內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，軸為直線，且底面半徑為，高為2的圓錐,因，在線段上取點(diǎn)使得，，則，，即，則，則軸為直線，且底面半徑為，高為2的圓錐,可以放到正四面體內(nèi)，故C正確；對(duì)于D，采用選項(xiàng)C中的圖，此時(shí)條件變?yōu)椋诰€段上取點(diǎn)使得，則，即得，若圓柱可以放入則其軸中點(diǎn)必然為線段的中點(diǎn)，而，故軸為直線，且底面半徑為，高為0.2的圓柱，可以放到正四面體內(nèi)，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．12.若函數(shù)是奇函數(shù)，則__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出的值，再求分段函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，設(shè)，則，所以，所以，則，所以.故答案為：313.已知是銳角，若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角的正切公式，以及同角三角函數(shù)商的關(guān)系求解即可.【詳解】由得，，因?yàn)槭卿J角，所以，所以，整理得，解得或（舍）.故答案為：14.分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)在雙曲線上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（點(diǎn)在第一象限），直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，若，則的面積為__________．【答案】【解析】【分析】由對(duì)稱性可知，由得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，由弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而由點(diǎn)到直線的距離可得到直線的距離為，進(jìn)而可得的面積.【詳解】如圖，由雙曲線的對(duì)稱性可知，故，設(shè)直線的方程為，，由得，由題意，，，整理得，由得，故直線的方程為，即，則，由題意，點(diǎn)到直線的距離為，則，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性，由題中條件轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程后，利用弦長(zhǎng)公式可得直線的方程，進(jìn)而可得.四?解答題：本題共5小題，共77分．第15題13分，第16?17題15分，第18?19題17分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效．15.已知函數(shù)，曲線在處與直線相切.（1）求、的值；（2）求在上的最大值和最小值.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1），（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）由題意可得，可得出關(guān)于、的方程組，即可解出這兩個(gè)未知數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，其中，則，因?yàn)榍€在處與直線相切，所以，，解得.【小問2詳解】由（1）可得，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得極大值即最大值，則，又，，所以，.16.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）證明：；（2）若的面積為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化角，再利用和角的正弦公式化簡(jiǎn)即可；（2）利用三角形的面積公式，結(jié)合正弦定理得到，利用和角的余弦公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求解即可.小問1詳解】根據(jù)正弦定理設(shè)，則，代入，得，即，整理得，由，得，所以；【小問2詳解】由面積公式得，由正弦定理得，整理得，由，得，由（1）得，由平方關(guān)系得解得或因?yàn)椋裕裕?7.近年來，中國(guó)新能源汽車產(chǎn)業(yè)，不僅技術(shù)水平持續(xù)提升，市場(chǎng)規(guī)模也持續(xù)擴(kuò)大，取得了令人矚目的成就，國(guó)產(chǎn)新能源汽車正逐步引領(lǐng)全球新能源汽車的發(fā)展潮流．某新能源汽車制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行了調(diào)研，數(shù)據(jù)如下：時(shí)間年月年月年月年月年月月份代碼銷量千輛（1）若與線性相關(guān)，求關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)該地區(qū)新能源汽車在年1月份的銷量；（2）該企業(yè)為加強(qiáng)新能源汽車宣傳推廣，計(jì)劃引進(jìn)入工智能工具，并對(duì)宣傳部門員工進(jìn)行人工智能工具使用培訓(xùn)．為節(jié)約培訓(xùn)成本，需要將宣傳部門部分員工調(diào)整至其他部門，剩余宣傳部門員工全部參加培訓(xùn)．培訓(xùn)分為四期，每期培訓(xùn)的結(jié)果是否“優(yōu)秀”相互獨(dú)立，且每期培訓(xùn)中員工達(dá)到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)的概率均為，員工至少兩期培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”標(biāo)準(zhǔn)，才能使用人工智能工具．該企業(yè)宣傳部門現(xiàn)有員工人，開展培訓(xùn)前，員工每人每年平均為企業(yè)創(chuàng)造凈利潤(rùn)萬元，開展培訓(xùn)后，能使用人工智能工具的員工預(yù)計(jì)每人每年平均為企業(yè)創(chuàng)造凈利潤(rùn)萬元，本次培訓(xùn)費(fèi)每人1萬元（計(jì)入年度部門成本）．若要確保調(diào)整后第一年，宣傳部門員工創(chuàng)造的年凈利潤(rùn)不低于調(diào)整前，請(qǐng)應(yīng)用概率知識(shí)進(jìn)行決策，預(yù)計(jì)最多可調(diào)整多少人去其他部門？參考公式：．【答案】（1），千輛；（2）預(yù)計(jì)最多可調(diào)整人去其他部門．【解析】【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得到關(guān)于的線性回歸方程，由此可得結(jié)果.（2）根據(jù)條件可得培訓(xùn)后能使用人工智能工具的人數(shù)，計(jì)算，根據(jù)宣傳部門員工創(chuàng)造的年凈利潤(rùn)不低于調(diào)整前可得結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，，所以，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，由題意得，年月份的月份代碼為，當(dāng)時(shí)，，所以估計(jì)該地區(qū)新能源汽車在年月份的銷量為千輛．【小問2詳解】記事件為“員工經(jīng)過培訓(xùn)后，能使用人工智能工具”，則，設(shè)宣傳部門調(diào)至其他部門人數(shù)為，則參加培訓(xùn)的人數(shù)為，設(shè)為培訓(xùn)后能使用人工智能工具的人數(shù)，則，故，調(diào)整后年凈利潤(rùn)預(yù)計(jì)為：萬元，由題意得，解得，所以預(yù)計(jì)最多可調(diào)整人去其他部門．18.如圖1，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）．當(dāng)時(shí)，．（1）求拋物線的方程；（2）如圖2，把沿翻折為，使得二面角的大小為．①若，求直線與平面所成角的正弦值；②證明：三棱錐的體積為定值．【答案】（1）（2）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）先根據(jù)傾斜角得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)間距離求出，進(jìn)而得出拋物線；（2）①聯(lián)立方程得出點(diǎn)坐標(biāo)，再應(yīng)用空間向量法計(jì)算線面角正弦即可；②應(yīng)用三棱錐體積公式結(jié)合三角形面積公式計(jì)算求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋裕獾茫話佄锞€的方程為．【小問2詳解】①在平面直角坐標(biāo)系中，若，則直線的方程為，聯(lián)立所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．過O點(diǎn)作平面的垂線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，點(diǎn)，即，所以，設(shè)平面的法向量為，則即解得取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．②由題意得．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立得，則，因?yàn)椋裕茫裕C上所述，三棱錐的體積為定值．19.對(duì)于一個(gè)遞增正整數(shù)數(shù)列，如果它的奇數(shù)項(xiàng)為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)，則稱它是一個(gè)交錯(cuò)數(shù)列．規(guī)定只有一項(xiàng)且是奇數(shù)的數(shù)