資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題03空間幾何解答題考法一平行【例1-1】（2023春·河北邯鄲）如圖，在三棱柱中，G，O，H，M分別為DE，DF，AC，BC的中點，N為GC的中點.

(1)證明：平面ABED.(2)證明：平面平面BCFE.【解析】（1）證明：如圖，連接BG.∵M為BC的中點，N為GC的中點，∴.∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.

（2）∵G，O分別為DE，DF的中點，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.∵且，∴四邊形OFCH是平行四邊形，∴.∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.又，∴平面平面BCFE【例1-2】（2023·青海）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，M為CD中點，連接BM，CE交于點F，G為△ABE的重心，證明：平面ABC.【解析】延長EG交AB于N，連接NC,因為G為△ABE的重心，所以點N為AB的中點，且,因為,故,所以,故，故,而平面ABC，平面ABC,故平面ABC；【變式】1．（2023春·浙江金華）在正方體中，分別是和的中點，求證

(1)(2)平面．(3)平面平面．【解析】（1）連接，因為底面是正方形，且點是中點，所以，即點也是中點，又因為點是中點，所以由三角形中位線定理可得；（2）由（1），因為平面，平面，所以平面；（3）連接，因為分別是和的中點，所以由正方體的性質可知：，所以四邊形是平行四邊形，所以有，而，所以，因為平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.

考法二垂直【例2-1】（2023秋·海南海口）已知三棱錐中，底面，，分別為，的中點，于．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．【解析】（1）∵底面，底面，∴；又，為的中點，∴，又∵平面，，∴平面，平面，∴，又，平面，，∴平面；（2）由平面知，；又分別為的中點，∴是的中位線，∴，∴，即，由平面可知，，，為平面與平面的二面角，又，∴平面平面．【例2-2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點，點D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．

【答案】證明見解析【解析】證明：由條件、為等邊三角形，為的中點，則，，，由余弦定理得從而在中，，得為直角三角形，且，又面面，面面，且，面，則由面面垂直的性質定理可得面，由面,所以因此由，，，平面，所以平面，即面POD.【變式】1．（2023秋·山東）如圖所示，在正方體中，為棱的中點，N為棱上的點，且，求證：.

【解析】連接，設，則，，，又，∴.

∴，又，∴，即，又平面，平面，所以，平面，所以平面，平面，∴.考法三空間角之向量法【例3-1】（2022·天津·統考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個法向量為，則，故，平面，故平面.（2）解：，，，設平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.（3）解：，，設平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.【變式】1．（2023·云南·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點．

(1)證明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）在四邊形中，，取中點，連接，由，得，則四邊形是平行四邊形，又，因此是矩形，即有，有，，從而，即，而平面，平面，則，又平面，于是平面，而平面，所以.

（2）由（1）知兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，依題意，，，設平面的一個法向量，則，令，得，設平面的一個法向量，則，令，得，因此，顯然二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為.考法四空間角之幾何法【例4】（2023秋·四川遂寧）如圖，多面體中，四邊形為平行四邊形，，，四邊形為梯形，，，，，平面(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）由四邊形是平行四邊形，得，而平面，平面，則平面，由，平面，平面，得平面，又，平面，因此平面平面，而平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，連接，則，在平面內過作于，連接，顯然，而平面，于是平面，則為直線與平面所成的角，又，則，因此，所以直線與平面所成角的正弦值為.【變式】1．（2023春·福建寧德）四棱錐中，底面為平行四邊形，側面底面，已知，，，．

(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）作，垂足為，連接，由側面底面，側面,且側面底面，得底面．因為，所以，又，故為等腰直角三角形，，且平面，所以平面，又因為平面，所以,即.（2）證明：由（1）知，依題，故，由，，，又，作，垂足為，側面底面，平面,且側面底面，得平面，連接,所以為直線與平面所成的角，所以，即直線與平面所成角的正弦值為．

考法五空間距離之向量法【例5】（2023·重慶·統考模擬預測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點，求證：直線平面；(2)若點在棱上且，求點C到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】（1）連接，設，由題意可得為的中點，連接，因為分別為的中點，則//，平面，平面，所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點，連接，因為△ABC是正三角形，則，又因為平面，平面，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標原點，為軸，軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設平面的法向量，則，令，則，即，所以點C到平面的距離.

【變式】1．（2023·天津北辰·校考模擬預測）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)求點到PD的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）如圖，取中點，連接

因為為中點，，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為為中點，為中點，則，又平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，又平面，故平面．（2）

根據題意，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，由條件可得，，則，設平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個法向量為，設直線PB與平面所成角為，則.所以直線PB與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）可知，，所以點到PD的距離為.考法六空間距離之幾何法【例6】（2023·江西景德鎮·統考三模）如圖，等腰梯形ABCD中，，，現以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且.

(1)證明：平面平面；(2)若M為PD的中點，求點P到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在梯形ABCD中取AD得中點N，連接CN，

則由BC平行且等于AN，可知ABCN為平行四邊形，所以，由可得C點在以AD為直徑的圓上，所以.又，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）取AC得中點O，連接PO，OD，由得，

由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又M為PD的中點，所以，因為平面，平面，所以，，又M為PD的中點，所以，則，所以，，，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，因為平面，所以點到平面的距離CD是點到平面距離的2倍，即點M到平面PAC的距離為1，，設點P到平面的距離為，因為，所以，解得.【變式】1．（2023·江西景德鎮·統考三模）如圖，等腰梯形ABCD中，，，現以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且.

(1)證明：平面平面；(2)若M為PD的中點，求點P到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在梯形ABCD中取AD得中點N，連接CN，

則由BC平行且等于AN，可知ABCN為平行四邊形，所以，由可得C點在以AD為直徑的圓上，所以.又，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）取AC得中點O，連接PO，OD，由得，

由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又M為PD的中點，所以，因為平面，平面，所以，，又M為PD的中點，所以，則，所以，，，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以，因為平面，所以點到平面的距離CD是點到平面距離的2倍，即點M到平面PAC的距離為1，，設點P到平面的距離為，因為，所以，解得.考法七折疊問題【例7】（2023秋·山東泰安）如圖1，四邊形為矩形，，E為的中點，將、分別沿、折起得圖2，使得平面平面，平面平面．

(1)求證：平面；(2)若F為線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在圖2中，取、的中點M、N，連接、、，在圖1中，，且E為AB的中點，則，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理，平面，所以.又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面.（2）在圖1中，，，.以點E為坐標原點，，所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，

設，則，向量，設平面的法向量為由，得，令，得平面的一個法向量為，又，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．【變式】1．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）長方形中，，點為中點（如圖1），將點繞旋轉至點處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點在線段上，當二面角大小為時，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】（1）證明：在長方形中，，為中點，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面.（2）

如圖，取的中點，的中點，連接，由題意可得兩兩互相垂直，以為坐標原點，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，則，設平面的一個法向量為，則，，令，得，，又平面，是平面的一個法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點時，二面角的平面角為，平面，且，到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的體積考法八動點【例8】（2023春·山西運城·高一統考期中）如圖，正三棱柱中，E、F、G分別為棱、、的中點．

(1)證明：∥平面；(2)在線段是否存在一點，使得平面∥平面？若存在，請指出并證明；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；N為的中點，證明見解析【解析】（1）證明：取的中點，連接，，在中，因為E、M分別為、的中點，所以且．又為的中點，，所以且，即且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．

（2）當N為的中點時，平面平面．證明：連接，．因為N，F分別是和的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，，所以．因為平面，平面，所以平面．又因為平面，平面，，所以平面平面．

【變式】1．（2023·全國·統考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．【答案】(1)證明見解析；(2)1【解析】（1）以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設，則，設平面的法向量，則，令，得，，設平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.考點九外接球【例9】（2023湖南）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）求證：平面；（2）若直線與底面所成的角的余弦值為，求三棱錐的外接球表面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在四邊形中，，，，，為等腰直角三角形，即，平面平面，，平面平面，平面，又平面，，，平面，平面.（2）平面，平面，，，又，，，即，，平面，平面，平面，，即，均為直角三角形，且公共斜邊為，中點到三棱錐四個頂點的距離相等，三棱錐的外接球半徑；平面，為直線與底面所成的角，，又，，三棱錐的外接球表面積.【變式】1．（2023·全國·高三專題練習）如圖矩形中，，沿對角線將折起，使點A折到點P位置，若，三棱錐的外接球表面積為．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)M為的中點，點N在邊界及內部運動，若直線與直線與平面所成角相等，求點N軌跡的長度．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）證明：設O為矩形對角線的中點，∴．即．∴O為三棱錐外接球的球心．又∵三棱錐外接球表面積為，∴外接球半徑為2．即．過P點作，垂足為E，過點C作，垂足為F，則，，，，∴而，在中，滿足∴為直角三角形，∵，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）以E為坐標原點，所在直線分別為x軸、z軸，以平面內過E且垂直于的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．可知：且設平面的法向量為，得，取，則，設平面的法向量為，得，取，則設平面與平面夾角為，則所以平面與平面夾角余弦值為是．（3）由（2）中空間直角坐標系可設N為，，，，取平面法向量為．∵直線與直線與平面所成角相等，∴得：整理得：，即∵N點在邊及其內部，∴N的軌跡為圓落在邊及內部的部分．∴軌跡長度為半徑為1的圓周長為．得∴N點軌跡長度為．專題03空間幾何解答題鞏固練習1.（2023秋·云南）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形．設平面與平面的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求證：．【解析】（1）因為、、分別為、、的中點，底面為平行四邊形，所以，，又平面，平面，則平面，同理平面，平面，可得平面，又，平面，所以平面平面.（2）因為，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.2.（2023湖北）如圖，在側棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點，是線段靠近點的四等分點，點在線段上，求證：【解析】由題意，在直三棱柱中，，不妨設，則，由余弦定理可得，因為，可得，又由是線段的中點，所以，且，因為平面，平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以,在直角中，，因為是線段靠近點的四等分點，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因為平面，所以.3.（2023·全國·統考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．

(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設，，．，，又，平面平面．以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設，設平面與平面的一個法向量分別為，二面角平面角為,而，因為，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為．4．（2023秋·山東濰坊·高三校考階段練習）如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點.

(1)證明：；(2)若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）連接AF，則，又，，∴，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又平面PAF，∴平面PAF，又平面PAF，∴；（2）平面，是與平面所成的角，且．，∵平面PAF，∴，，∴為平面PFD與平面CFD所成銳角，∴，故二面角的余弦值為.5．（2023·江西景德鎮·統考三模）如圖，等腰梯形中，，，現以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

(1)證明：面面；(2)若為上的一點，點到面的距離為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在梯形中，取中點，連接，

，，四邊形為平行四邊形，，，；，，平面，平面，平面，平面平面.（2）分別取中點，連接，，為中