高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)專題07圓錐曲線新定義問題解決圓錐曲線的新定義問題的關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進行解答題型一新定義圖形【例1】阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點處的切線交于點，則為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線段經(jīng)過拋物線的焦點時，具有以下特征：（1）點必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）；（3）．若經(jīng)過拋物線的焦點的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點在直線上，則直線的方程為（

）A．B．C． D．【跟蹤訓(xùn)練】橢圓中，點為橢圓的右焦點，點A為橢圓的左頂點，點B為橢圓的短軸上的頂點，若，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（

）A． B． C． D．題型二新定義曲線【例2】中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象關(guān)于原點對稱B．曲線經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）C．曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過3D．若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為【跟蹤訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M不與原點О重合，稱射線OM與的交點N為點M的“中心投影點”，曲線上所有點的“中心投影點”構(gòu)成的曲線長度是題型三新定義方法【例3】古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓C的面積為，分別是橢圓C的兩個焦點，過的直線交橢圓C于A，B兩點，若的周長為8，則橢圓C的離心率為．【跟蹤訓(xùn)練】定義：點為曲線外的一點，為上的兩個動點，則取最大值時，叫點對曲線的張角.已知點為拋物線上的動點，設(shè)對圓的張角為，則的最小值為.1．若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（

）A． B． C． D．2.加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（

）

A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為183.某數(shù)學(xué)愛好者以函數(shù)圖像組合如圖“愛心”獻給在抗疫一線的白衣天使，向他們表達崇高的敬意！愛心輪廓是由曲線與構(gòu)成，若a，，c依次成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．4.曲率半徑是用來描述曲線上某點處曲線彎曲變化程度的量，已知對于曲線上點處的曲率半徑公式為，則下列說法：①對于半徑為R的圓，其圓上任一點的曲率半徑均為R②橢圓上一點處的曲率半徑的最大值為a③橢圓上一點處的曲率半徑的最小值為④對于橢圓上點處的曲率半徑隨著a的增大而減小其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．（多選）在平面內(nèi)，若曲線上存在點，使點到點，的距離之和為10，則稱曲線為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（

）A． B．C． D．6．（多選）已知曲線C的方程為，集合，若對于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線C為Σ曲線.下列方程所表示的曲線中，是Σ曲線的有（

）A． B． C． D．7.在平面直角坐標(biāo)系中，，，若在曲線C上存在一點P，使得∠APB為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點”，下列曲線中，有“鈍點”的曲線為．（填序號）①；②；③；④；⑤．8．城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不能沿直線到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點、之間的“出租車距離”.給出下列四個結(jié)論：①若點，點，則；②到點的“出租車距離”不超過的點的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是；③若點，點是拋物線上的動點，則的最小值是；④若點，點是圓上的動點，則的最大值是.其中，所有正確結(jié)論的序號是.9.給定橢圓C：(a>b>0)，稱圓心在原點O，半徑為的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為.（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（2）若點P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動點，過點P作橢圓的切線l1，l2交“準(zhǔn)圓”于點M，N.證明：l1⊥l2，且線段MN的長為定值．（1）橢圓方程為，“準(zhǔn)圓”方程為x2＋y2＝4；（2）證明見解析.10.．焦距為2c的橢圓（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求的值；(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關(guān)于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．11.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結(jié)”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的伯努利雙紐線.在平面上，我們把與定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個焦點.