高考數學勤思篤學勤思篤學高考數學勤思篤學勤思篤學專題06數列新定義問題新定義數列題是指以學生已有的知識為基礎，設計一個陌生的數學情境，或定義一個概念，或規定一種運算，或給出一個規劃，通過閱讀相關信息，根據題目引入新內容進行解答的一類數列題型．由于新定義數列題背景新穎，構思巧妙，而且能有效地考查學生的遷移能力和思維品質，充分體現“遵循教學大綱，又不拘泥于教學大綱”的特點，所以備受命題專家的青睞解決方案及流程(1)讀懂題意，理解研究的對象，理解新定義數列的含義；(2)特殊分析，例如先對n＝1,2,3，…的情況討論；(3)通過特殊情況尋找新定義的數列的規律及性質，以及新定義數列與已知數列(如等差與等比數列)的關系，仔細觀察，探求規律，注重轉化，合理設計解題方案，最后利用等差、等比數列有關知識來求解．題型一遞推關系中的新定義【例1】（2022全國乙卷）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]:常規解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設則故D正確.【跟蹤訓練】定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的和都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等和數列，這個常數叫做等和數列的公和.設甲：數列滿足；乙：數列是公差為2的等差數列或公和為2的等和數列，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】對于甲：由得，即或，則數列是公和為2的等和數列或公差為2的等差數列，又因為，所以或；對于乙：當數列是公和為2的等和數列或公差為2的等差數列時，通項未必為或，如擺動數列，……和（其中）所以，甲是乙的充分不必要條件.故選：A.題型二等差數列中新定義【例2】定義“等方差數列”：如果一個數列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等方差數列，這個常數叫做該數列的方公差．設數列是由正數組成的等方差數列，且方公差為2，，則數列的前項和（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，則數列是以為首項，為公差的等差數列，則，由，故，即（負值舍去），故，故，則，故.故選：A.【跟蹤訓練】南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了高階等差數列的問題，即一個數列本身不是等差數列，但從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列，則稱數列為一階等差數列，或者仍舊不是等差數列，但從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列，則稱數列為二階等差數列，依次類推，可以得到高階等差數列．類比高階等差數列的定義，我們亦可定義高階等比數列，設數列1，1，2，8，64，……是一階等比數列，則該數列的第10項是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設數列為，且為一階等比數列，設，所以為等比數列，其中，，公比，，則，，，故選D.題型三等比數列中的新定義【例3】若數列滿足，則稱數列為牛頓數列，若，數列為牛頓數列，且，，數列的前n項和為，則滿足的最大正整數的值為．【答案】【解析】因為，所以，則，又因為，且，所以是首項為，公比的等比數列，則，令，則，因為在定義域內單調遞增，且，所以，所以最大正整數的值為.【跟蹤訓練】數列中，是其前項的和，若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱數列為“某數列”現有如下兩個命題：①等比數列為“某數列”；②對任意的等差數列，總存在兩個“某數列”和，使得.則下列選項中正確的是（

）A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題【答案】C【解析】對于①，由等比數列，得，若對任意正整數，總存在正整數，使得，則，即，顯然不成立，①為假命題；對于②，設等差數列的公差為，則.令，，則，下面證是“某數列”.設的前項和為，則，于是對任意的正整數，總存在正整數，使得，所以是“某數列”.同理，可證也是“某數列”.所以對任意的等差數列，總存在兩個“某數列”和，使得成立，故②為真命題.故選：C題型四數列求和中的新定義【例3】定義為個正數的“均倒數”，若已知數列的前項的“均倒數”為，又，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據“均倒數”的定義，有，故，故，兩式相減得，當時，也符合上式，故.所以，注意到，故.故選：D【跟蹤訓練】若數列滿足，若，抽去數列的第3項、第6項、第9項、、第項、，余下的項的順序不變，構成一個新數列，則數列的前100項的和為．【答案】【解析】由，得，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，所以，設數列的前項的和為，則.1.我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1，2，…，9填入的方格內，使三行?三列?對角線的三個數之和都等于15，如圖所示.一般地.將連續的正整數1，2，3，…，n2填入個方格中，使得每行?每列?每條對角線上的數的和相等，這個正方形叫做n階幻方.記n階幻方的數的和即方格內的所有數的和為Sn，如圖三階幻方記為，那么（

）A．3321 B．361 C．99 D．332．定義，已知數列為等比數列，且，則（

）A． B．2 C． D．43．任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圖，這就是數學史上著名的“冰霓猜想”（又稱“角谷猜想”等）．已知數列滿足：，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44.“提丟斯數列”是由18世紀德國數學家提丟斯給出,具體如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易發現,從第三項起,每一項是前一項的2倍．將每一項加上4得到一個數列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再將每一項除以10得到“提丟斯數列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,則“提丟斯數列”的前50項的和為（

）A． B． C． D．5．（多選）在無窮數列中，若，總有，此時定義為“階梯數列”.設為“階梯數列”，且，，，則（

）A． B．C． D．6．（多選）給定數列，定義差分運算：.若數列滿足，數列的首項為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得7.在數列中，若存在常數t，使得恒成立，則稱數列為“數列”若數列為“數列”，且，數列為等差數列，且則（寫出通項公式）8.數學家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率.由于，取3為弱率，4為強率，計算得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續計算，….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續計算得到新的近似值，依此類推.已知，求9．已知數列為“二階等差數列”，即當時，數列為等差數列，，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的最大值10．設數列的前n項和為,若對任意正整數n,總存在正整數m,使得,則稱是“H數列”;(1)若數列