試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁概率一、單選題1．將3個1和2個0隨機排成一個五位數，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．2．已知甲袋里只有紅球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里這三種球都有.現從這四個袋子中隨機抽取一個袋子，設事件為“所抽袋子里有紅球”，事件為“所抽袋子里有白球”，事件為“所抽袋子里有黑球”，則下列說法正確的是（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨立C．事件與事件相互對立 D．事件與事件相互獨立3．從集合中任取三個數，取出的三個數之和是3的倍數的概率為（

）A． B． C． D．4．一枚質地不均勻的正四面體骰子，各面分別標有1，2，3，4，擲出點數朝下為1，2，3，4點的概率依次成等差數列，獨立地先后擲該骰子兩次，所得的點數分別記為，若事件“”發生的概率為則事件“”發生的概率為（

）A． B． C． D．5．甲乙兩人參加一項戶外挑戰賽，該挑戰賽設置了多道關卡，已知兩人是否通過某道關卡是相互獨立的，且兩人中至少有一人通過當前關卡，才有資格同時進入下一關挑戰，否則挑戰結束.已知在第一關中甲乙兩人通過的概率分別為，若兩人有資格挑戰第二關，則在第一關中，甲通過的概率為（

）A． B． C． D．6．為了加快生產進度，公司決定使用某種檢測機器對加工零件的等級（分為一等品和二等品）進行初篩和復查，已知該機器初篩的過程中零件被標記為一等品的概率為，被標記為二等品的概率為，被標記為一等品的零件有的概率為二等品，被標記為二等品的零件中也有的概率為一等品.在初篩的過程中，已知一個零件是二等品，則它被正確標記的概率為（

）A． B． C． D．7．離散型隨機變量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．8．公司選拔部門總監，根據投票數與業績評分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在選拔中脫穎而出.現在人事部、財務部與科研部要分別選擇人擔任部門總監，其余人隨機分別調到個部門中擔任項目經理，設事件{甲、乙兩人不在同一部門}，事件{甲擔任財務部部門總監}，則（

）A． B． C． D．9．下列說法正確的個數是（）．①從10名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為②若隨機變量，則方差③若隨機變量，，則④已如隨機變量X的分布列為，則A．1 B．2 C．3 D．410．某超市在春節期間舉行抽獎活動，在箱子里裝有個寫有“秋綏”的小球和5個寫有“冬禧”的小球，這些小球除文字外完全相同.顧客從中一次性抽取兩個小球，恰好抽出“秋綏”和“冬禧”視為中獎，其余情況均未中獎.設在連續3次抽獎中（每次抽完后將小球放回箱子再進行下一次抽獎）恰好中獎一次的概率為，則當取到最大值時的值為（

）A．15 B．20 C．25 D．30二、多選題11．連續地擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數分別為，，記，則下列說法錯誤的是（

）A．事件“”的概率為B．事件“是奇數”的概率為C．事件“”與“”互為對立事件D．事件“是奇數”與“”互為互斥事件12．某飲料廠商開發了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”．甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則（

）A．事件A和事件B是對立事件 B．事件A和事件C是對立事件C． D．13．若事件互斥，事件中的事件滿足，則（

）A．事件獨立B．事件獨立C．若事件對立，則事件獨立D．若事件不對立，則事件不獨立14．現從甲、乙兩名射擊運動員中選擇一人參加大型選拔賽，各進行了10次射擊，射擊成績（單位：環）如下表所示：次數12345678910甲77898910999乙89781071010710依據該次選拔賽成績，下列說法中正確的是（

）A．甲的平均成績高于乙的平均成績B．預計對手平均成績較差，穩定發揮水平就能獲得冠軍，則選擇乙參加比賽C．預計對手平均成績9.2環，則選擇乙參加比賽D．預計對手平均成績8.8環，則選擇甲參加比賽15．已知某工人需至少使用甲，乙兩種儀器中的一種對某產品進行質量檢測，記事件“該工人在檢測過程中使用過甲儀器”，事件“該工人在檢測過程中使用過乙儀器”，事件“該工人在檢測過程中使用過甲，乙兩種儀器”，事件“該工人在檢測過程中僅使用過甲，乙兩種儀器中的一種”，已知，則（

）A．與相互獨立 B．與互為對立C． D．三、填空題16．大學生小明與另外3名大學生一起分配到某鄉鎮甲、乙、丙3個村小學進行支教，若每個村小學至少分配1名大學生，則小明恰好分配到甲村小學的概率為．17．將1，2，3，4，5，6隨機排成一行，前3個數字構成三位數a，后三個數字構成三位數b.記，則m的最小值為，m小于100的概率為.18．據教育部網站最新消息，教育部辦公廳，財政部將啟動2024年“三區”人才支持計劃教師專項計劃，根據《通知》，2024—2025學年全國計劃選派15952名教師到各脫貧地區進行支教工作.現有甲、乙、丙、丁四位教師報名參加三個地區的支教工作，每人只能參加一個地區，每個地區至少有一人報名，且甲、乙兩人不能報同一地區，則甲和乙恰好有一人報地區的概率為.19．甲、乙進行發球比賽，他們實力相當，每次發球命中3分或者命中2分或者未命中，三種情況的概率均為．規則如下：甲、乙輪流發球，一方發完球后交給另一方發球，此時叫做一輪發球，現在甲先發球，乙后發球，經過2輪發球后，甲得分比乙得分高的概率為．20．從邊長為1的正八邊形的頂點中隨機選3個點作為三角形的頂點，從棱長為2的正方體的頂點中隨機選3個點作為三角形的頂點，則為直角三角形的概率是為等腰三角形的概率的倍．關注公眾號《品數學》，獲取更多實用性資料！答案第=page1414頁，共=sectionpages1010頁《概率》參考答案題號12345678910答案CBBADBDCCB題號1112131415答案ACBCACDCDBCD1．C【分析】通過插空法確定基本事件個數，再由古典概型概率公式求解即可；【解析】將3個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法.首先萬位必須是1，則余下的2個1產生3個空，若2個0相鄰，則有3種排法；若2個0不相鄰，則有種排法.故2個0不相鄰的概率為，故選：C.2．B【分析】根據要寫條件，利用互斥事件、對立事件和相互獨立的定義，逐一判斷選項即可.【解析】對于A，事件和事件可以同時發生，即抽取丁袋，事件與事件不互斥，A錯誤；對于B，，，，事件與事件相互獨立，B正確；對于C，事件與事件可以同時發生，即抽取丁袋，事件與事件不對立，C錯誤；對于D，，，，事件與事件不獨立，D錯誤.故選：B3．B【分析】分析和為3的可能性情況，結合組合數運算求解即可.【解析】設集合，，，任取三個數的和為3的倍數，分為兩類情形，一類是從集合或取三個數，一類是從三個集合各取一個數，所以概率是故選：B.4．A【分析】根據題意設出所得各點數的概率，由獨立性事件同時發生的概率公式、互斥事件的和事件的概率公式求解.【解析】設擲出點數朝下為1，2，3，4點的概率依次為，則，又事件“”為所得點數是，其發生的概率為，即，代入，可解的，，事件“”即為所得點數是，其概率為.故選：A5．D【分析】利用對立事件及相互獨立事件的概率公式求出兩人有資格挑戰第二關的概率，再利用條件概率公式計算得解.【解析】在第一關中甲乙兩人通過的事件分別為，兩人有資格挑戰第二關的事件為，則，，，所以若兩人有資格挑戰第二關，則在第一關中，甲通過的概率.故選：D6．B【分析】先分別設事件先應用對立事件求概率，再應用全概率和條件概率計算即可.【解析】設事件表示“零件為一等品”，事件表示“零件為二等品”，事件表示“零件被標記為一等品”，事件表示“零件被標記為二等品”，則，故，故選:B.7．D【分析】根據分布列的性質得，再由期望的求法列方程求得，最后結合期望的性質、方差公式及概率的性質判斷各項的正誤.【解析】由題設，則，A對；由，則，聯立，所以，則，D錯；，B對；，C對.故選：D8．C【分析】根據條件，利用排列、組合及古典概率公式，求出，，再利用條件概率公式，即可求解.【解析】由題知，，所以，故選：C.9．C【分析】根據對立事件的概率可判斷①；根據二項分布的方差以及方差的性質即可判斷②，根據正態分布的對稱性可判斷③，根據隨機變量的分布列即可判④.【解析】設至少有一名女生為事件，則，則，①錯誤；因為隨機變量，所以，，②正確；根據正態分布的性質，，所以，，③正確；，得，可得，解得，所以，④正確；綜上，正確命題的個數為3.故選：C.10．B【分析】根據給定條件，求出單次中獎概率，再求出連續3次中獎1次的概率，構造函數并利用導數求解.【解析】依題意，單次抽獎中獎的概率，則連續3次抽獎中恰好中獎一次的概率，令，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，當時，取得最大值，因此當取最大值時，，而，解得，所以當取到最大值時的值為.故選：B11．AC【分析】利用列舉法和古典概型概率公式可得A錯誤，B正確，再由互斥事件、對立事件的概念可知C錯誤，D正確.【解析】連續地擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數有：，，，，，，共36種；對于A，事件“”所包含的基本事件為，，，，，，，，共8個，所以事件“”的概率為，即A錯誤；對于B，事件“是奇數”的共有18個，因此事件“是奇數”的概率為，可得B正確；對于C，易知的所有取值為，當時，可知事件“”與“”可以同時發生，因此C錯誤；對于D，若，則，此時是偶數，因此“是奇數”與“”不可能同時發生，互為互斥事件，可得D正確.故選：AC12．BC【分析】由對立事件、和事件及獨立事件的概念逐個判斷即可；【解析】因為表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”，但甲可能獲得二等獎，即事件A和事件B不是對立事件，故A錯誤；事件A表示“甲沒有中獎”，事件C表示“甲中獎”，則事件A和事件C是互斥事件且和事件為必然事件，則事件A和事件C是對立事件，故B正確；又因為，所以，故C正確；，故D錯誤．故選：BC13．ACD【分析】應用對立事件及獨立事件概率乘積公式計算判斷各個選項即可.【解析】由，所以，所以獨立，A選項正確；事件互斥，不能判斷事件是否獨立，B選項錯誤；由條件可得，當事件對立時，，所以事件獨立，C選項正確；當事件不對立時，，所以，，所以事件不獨立，D選項正確；.故選：ACD.14．CD【分析】選項A根據平均數比較可得；選項B根據方差比較可得；選項C根據射擊一次大于環的概率比較可得；選項D根據射擊一次大于環的概率比較可得.【解析】選擇A：甲的平均數為：，乙的平均數為：，故A錯誤；選擇B：甲的方差為：，乙的方差為：，因，故B錯誤；選擇C：甲射擊一次大于環的概率為，乙射擊一次大于環的概率為，故C正確；選擇D：甲射擊一次大于環的概率為，乙射擊一次大于環的概率為，故D正確，故選：CD15．BCD【分析】根據給定條件，利用概率的基本性質、對立事件、相互獨立事件及條件概率逐項分析判斷.【解析】對于A，依題意，，則，A錯誤；對于B，，，，，則，互為對立，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D正確.故選：BCD16．【分析】由計數原理確定總的分配方法，再確定小明恰好分配到甲村小學的分配方法，由古典概型概率公式即可求解；【解析】依題意，小明與另外3名大學生分配到某鄉鎮甲、乙、丙3個村小學的分配方法是1個學校2人，另外2個學校各1人，共有（種）分配方法，若小明恰好分配到甲村小學，有（種）分配方法，根據古典概型的概率計算公式得所求的概率為．故答案為：17．47【分析】根據給定條件，結合差的絕對值的對稱性，逐一分析各個數位上的數字即可求出最小值；分兩步探討，結合古典概率列式計算得解.【解析】由中的對稱性，不妨令，要最小，百位必相鄰，的百位為4，的百位為3；對于十位，的十位盡可能的大，為6，的十位盡可能的小，為1；同理的個為5，的個位為2，因此，所以m的最小值為47；要m小于100，百位必相鄰，且較大數的十位小于較小數的十位，個位無限制，分兩步：取百位的概率為；取十位，在剩下的4個數字中取兩數分配給作十位，而的十位大于的十位與的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率為，所以m小于100的概率為.故答案為：；【點睛】關鍵點點睛：按兩步分析，分別求出各步發生的概率求得第二空.18．【分析】利用分組分配求得總的總的情況數，以及分類加法原理求得符合題意的情況數，根據古典概型的概率計算，可得答案.【解析】依題意，甲，乙，丙，丁四位教師報名三個地區所有的方法數共有種，甲、乙兩人報同一地區的方法數共有，甲、乙兩人不能報同一地區的方法數共有，甲和乙恰好有一人報地區有如下情況：①地區只有1人報名，則有種情況；②地區有2人報名，則有種情況，所以共有20種情況，所以.故答案為：.19．【分析】分乙得五種情況討論，再結合獨立事件的概率公式即可得解.【解析】兩輪發球后，甲、乙可能的得分有0，2，3，4，5，6，甲得分比乙得分高的情況有如下可能，乙得分甲得分概率02，3，4，5，623，4，5，634，5，645，656總和所以甲得分比乙