高考數學高考數學勤思篤學勤思篤學勤思篤學勤思篤學專題08概率與統計新定義問題解概率與統計下的新定義題，就是要細讀定義關鍵詞，理解本質特征，適時轉化為“熟悉”問題．總之，解決此類問題，取決于已有知識、技能、數學思想的掌握和基本活動經驗的積累，還需要不斷的實踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題．題型一排列組合新定義【例1】對于各數互不相等的正數數組（是不小于2的正整數），如果在時有，則稱與是該數組的一個“逆序”，一個數組中所有“逆序”的個數稱為此數組的“逆序數”．例如，數組中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序數”等于4．若各數互不相等的正數數組的“逆序數”是2，則的“逆序數”是（

）A．13 B．24 C．15 D．25【答案】A【解析】在各數互不相等的正數數組（是不小于2的正整數）中任取2個數，這2個數要么“順序”（當時有），要么“逆序”，因此“順序數”與“逆序數”的和為，各數互不相等的正數數組的“逆序數”是2，則其“順序數”為，顯然數組的“逆序數”等于數組的“順序數”，所以的“逆序數”是13.故選：A【跟蹤訓練】由0和1組成的序列稱為0－1序列，序列中數的個數稱為這個序列的長度，如01011是一個長度為5的0－1序列，在長度為8的0－1序列中，所有1互不相鄰的序列個數為（

）A．20 B．54 C．55 D．280【答案】B【解析】當長度為8的0－1序列中，若有一個1，則有種；當長度為8的0－1序列中，若有兩個1，則有種；當長度為8的0－1序列中，若有三個1，則有種；當長度為8的0－1序列中，若有四個1，則有種；當長度為8的0－1序列中，若有超過四個1，一定不滿足題意；所以共有種.故選：B題型二二項式定理新定義【例2】產品抽樣檢查中經常遇到一類實際問題，假定在件產品中有件不合格品，在產品中隨機抽件做檢查，發現件不合格品的概率為，其中是與中的較小者，在不大于合格品數（即）時取0，否則取與合格品數之差，即根據以上定義及分布列性質，請計算當時，；若，請計算.（兩空均用組合數表示）【答案】(或)【解析】當時，,因為，所以.當時，因為,所以,所以.【跟蹤訓練】中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究．設，，為整數，若和同時除以所得的余數相同，則稱和對模同余，記為．若，，則的值可以是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【解析】，所以除以的余數為，選項中除以余數為的數只有.故選：C.題型三概率新定義【例3】條件概率與條件期望是現代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對隨機現象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經被廣泛的利用到日常生產生活中.定義：設X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發生的概率．某射擊手進行射擊訓練，每次射擊擊中目標的概率均為p（），射擊進行到擊中目標兩次時停止.設表示第一次擊中目標時的射擊次數，表示第二次擊中目標時的射擊次數．(1)求，；(2)求，．【解】（1）由題設，，.（2）由題設，；同（1），，，所以.【跟蹤訓練】混管病毒檢測是應對單管病毒檢測效率低下的問題，出現的一個創新病毒檢測策略，混管檢測結果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數，這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數．(1)證明：；(2)若，．證明：某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．【解】（1）由題意可得滿足二項分布，由知，，當且僅當時取等號；（2）記（混管中恰有1例陽性|混管檢測結果為陽性），（混管中恰有i例陽性）=，，令，，則，當時，，為單調遞減，當時，，為單調遞增，所以，且，，所以當，即，兩邊取自然對數可得，所以當，時，所以，則．故某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.題型四統計方法新定義【例4】為了精準地找到目標人群，更好地銷售新能源汽車，某4S店對近期購車的男性與女性各100位進行問卷調查，并作為樣本進行統計分析，得到如下列聯表：購買新能源汽車（人數）購買傳統燃油車（人數）男性女性(1)當時，將樣本中購買傳統燃油車的購車者按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人調查購買傳統燃油車的原因，記這3人中女性的人數為X，求X的分布列與數學期望；(2)定義，其中為列聯表中第i行第j列的實際數據，為列聯表中第i行與第j列的總頻率之積再乘以列聯表的總頻數得到的理論頻數.基于小概率值的檢驗規則：首先提出零假設（變量X，Y相互獨立〉，然后計算的值，當時，我們推斷不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為X和Y獨立.根據的計算公式，求解下面問題：（i）當時，依據小概率值的獨立性檢驗，請分析性別與是否喜愛購買新能源汽車有關；（ⅱ）當時，依據小概率值的獨立性檢驗，若認為性別與是否喜愛購買新能源汽車有關，則至少有多少名男性喜愛購買新能源汽車?附：0.10.0250.0052.7065.0247.879【解】（1）當m=0時，用分層抽樣的方法抽取購買傳統燃油車的6人中，男性有2人，女性有4人.由題意可知，X的可能取值為1，2，3.X的分布列如下表X123.（2）（i）零假設為：性別與是否購買新能源汽車獨立，即性別與是否購買新能源汽車無關聯.當m=0時，，，∴根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為性別與是否購買新能源汽車有關聯，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005.（ⅱ）由題意可知，整理得，，所以的最大值為4，又，至少有76名男性購買新能源汽車.【跟蹤訓練】在學業測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第i題的難度，為答對該題的人數，N為參加測試的總人數.現對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客觀題.測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：題號12345考前預估難度0.90.80.70.60.4測試后，隨機抽取了20名學生的答題數據進行統計，結果如下題號12345實測答對人數161614148(1)根據題中數據，估計這240名學生中第5題的實測答對人數；(2)定義統計量,其中為第i題的實測難度，為第i題的預估難度(i=1，2，…，n).規定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理.試據此判斷本次測試的難度預估是否合理.【解】（1）因為第5題的實測難度為所以估計這240名學生中第5題的實測答對人數為（人）.（2）根據題干中數據可得：，故，.故本次測試的難度所估合理.1．第14屆國際數學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數符號，換算成現代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數換算成十進制數，則換算后這個數的末位數字是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【解析】由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：，因為是10的倍數，所以，換算后這個數的末位數字即為的末尾數字，由可得，末尾數字為5.故選：C2．在明代珠算發明之前，我們的先祖從春秋開始多是用算籌為工具來記數、列式和計算的．算籌實際上是一根根相同長度的小木棍，如圖是利用算籌表示數1～9的一種方法，例如：47可以表示為“”，已知用算籌表示一個不含“0”且沒有重復數字的三位數共有504種等可能的結果，則這個數至少要用8根小木棍的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】至少要用8根小木棍的對立事件為用5根，6根，7根這三種情況．用5根小木棍為1，2，6這一種情況，組成三位數包括6個樣本點，用6根有1，2，3；1，2，7；1，6，3；1，6，7這四種情況，每種情況包含6個樣本點，共24個樣本點用7根有1，2，4；1，2，8；1，6，4；1，6，8；1，3，7；2，6，7；2，6，3這七種情況，每種情況包含6個樣本點，共42個樣本點又表示一個不含“0”且沒有重復數字的三位數有504種情況故至少要用8根小木棍的概率為1－，故選：D．3．英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件A，B存在如下關系：.若某地區一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設檢驗結果呈現陽性為事件，此人患病為事件，，，則.故選：C4．定義；各位數字之和為9的四位數叫“好運數”，比如1008，2205，則所有“好運數”的個數為（

）A．165 B．162 C．156 D．144【答案】A【解析】因為各位數字之和為9的四位數叫好運數，所以按首位數字分別計算：當首位數字為9，則剩余三個數字分別為0，0，0，共有1個好運數；當首位數字為8，則剩余三個數字分別為1，0，0，共有3個好運數；當首位數字為7，則剩余三個數字分別為1，1，0或2，0，0，共有個好運數；當首位數字為6，則剩余三個數字分別為3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有個好運數；當首位數字為5，則剩余三個數字分別為4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有個好運數；當首位數字為4，則剩余三個數字分別為5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有個好運數；當首位數字為3，則剩余三個數字分別為6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有個好運數；當首位數字為2，則剩余三個數字分別為7，0，0或6，1，0或5，2，0或5，1，1或4，3，0或4，2，1或3，3，1或3，2，2，共有個好運數；當首位數字為1，則剩余三個數字分別為8，0，0或7，1，0或6，2，0或6，1，1或5，3，0或5，2，1或4，4，0或4，3，1或4，2，2或3，3，2，共有個好運數；所以共有個好運數.故選：A.5．（多選）電子計算機是二十世紀最偉大的發明之一，當之無愧地被認為是迄今為止科學和技術所創造的最具影響力的現代工具，被廣泛地應用于人們的工作和生活之中，計算機在進行數的計算和處理加工時，內部使用的是二進制計數制，簡稱二進制.一個十進制數n（n∈N*）可以表示為二進制數（a0a1a2…ak）2，即，其中a0=1，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…k，k∈N*，用f（n）表示十進制數n的二進制表示1的個數，則（

）A．f（7）=2B．f（7）=3C．對于任意r∈N*，D．對于任意r∈N*，【答案】BC【解析】因為，所以，所以，A錯誤，B正確；設，則使得的有個，故，C正確，D錯誤.故選：BC6．（多選）在次獨立重復試驗（即伯努利試驗）中，每次試驗中事件發生的概率為，則事件發生的次數服從二項分布，事實上，在無限次伯努利試驗中，另一個隨機變量的應用也很廣泛，即事件首次發生時試驗進行的次數，我們稱從“幾何分布”，經過計算，由此推廣在無限次伯努利試驗中，試驗進行到事件和都發生后停止，此時所進行的試驗次數記為，則，，那么下列說法正確的是（

）A． B．，C．的最大值為 D．【答案】BCD【解析】對A項，因為，所以，故A錯誤；對B項，表示進行了次，前次未發生，所以，故B正確；對C項，，令，，所以，解得或（舍）當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減，所以，即的最大值為，故C正確；對D項，所以①用代換得：②由①②得，故D正確.故選：BCD.7．除數函數（divisorfunction）的函數值等于n的正因數的個數，例如，，．則．【答案】【解析】因為，它的因數形如，其中，所以不同的因數有個，即.8．我們稱元有序實數組為維向量，為該向量的范數.已知維向量，其中，，記范數為奇數的的個數為，則.（用含的式子表示，）【答案】【解析】當為偶數時，范數為奇數，則的個數為奇數，即的個數為，根據乘法原理和加法原理得到，，，兩式相減得到；當為奇數時，范數為奇數，則的個數為偶數，即的個數為，根據乘法原理和加法原理得到，，，兩式相加得到.綜上所述：.9．某區域中的物種擁有兩個亞種（分別記為種和種）.為了調查該區域中這兩個亞種的數目，某生物研究小組計劃在該區域中捕捉個物種，統計其中種的數目后，將捕獲的生物全部放回，作為一次試驗結果.重復進行這個試驗共次，記第次試驗中種的數目為隨機變量.設該區域中種的數目為，種的數目為，每一次試驗均相互獨立.(1)求的分布列；(2)記隨機變量.已知，；（ⅰ）證明：，；（ⅱ）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為.數據的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計值.【解】（1）依題意，均服從完全相同的超幾何分布，故的分布列為.（2）（ⅰ）由題可知，，故，（ⅱ）由（ⅰ）可知的均值先計算的方差所以依題意有解得，．所以可以估計，．10．品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采用的測試方法如下：拿出（且）瓶外觀相同但品質不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序．這稱為一輪測試，根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分．現分別以，，，…，表示第一次排序時被排在，，，…，的種酒在第二次排序時的序號，并令，則是對兩次排序的偏離程度的一種描述．下面取研究，假設在品酒師僅憑隨機猜測來排序的條件下，，，，等可能地為，，，的各種排列，且各輪測試相互獨立．（1）直接寫出的可能取值，并求的分布列和數學期望；（2）若某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有，則認為該品酒師有較好的酒味鑒別功能．求出現這種現象的概率，并據此解釋該測試方法的合理性．【解】（1）的可能取值為，，，，，，，，，所以的分布列為從而的數學期望．（2）記“在相繼進行的三輪測試中都有”為事件，“在某輪測試中有”為事件，則，又各輪測試相互獨立，，因為表示僅憑隨機猜測得到較低偏離程度的結果的概率，而，該可能性非常