試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁函數與導數一、單選題1．已知函數在處取得極值0，則（

）A．6 B．12 C．24 D．12或242．定義在上的函數滿足，若在區間上單調遞增，，，，則（

）A． B． C． D．3．已知是定義在R上的奇函數，是函數的導函數且在上，若，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知函數滿足對任意恒成立，又函數的圖象關于點對稱，且，則（

）A．2024 B． C．2025 D．5．函數的圖象大致是（

）A． B． C． D．6．函數，若，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知曲線與曲線只有一個公共點，則（

）A． B．1 C．e D．8．已知函數，，若有一個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．碳14具有放射性.活體生物組織內的碳14含量大致不變，當生物死亡后，其組織內的碳14開始衰減.已知碳14的半衰期約為5730年，即生物死亡年后，碳14含量，其中為活體生物組織內碳14的含量.科學家一般利用碳14這一特性測定生物死亡年代.2025年科學家在我國發現的某生物遺體中碳14的含量約為原始含量的0.92，已知，則根據所給的數據可推斷該生物死亡的朝代為（

）A．宋（公元年） B．元（公元年）C．明（公元年） D．清（公元年）10．是平面直角坐標系內一點，我們以軸正半軸為始邊，射線為終邊構成角，的長度作為的函數，若其解析式為：，則的軌跡可能為：（

）.A． B．C． D．二、多選題11．設函數則下列說法正確的有（

）A．函數僅有1個零點B．是的極小值點C．函數的對稱中心為D．過可以作三條直線與的圖象相切12．已知函數，為的導函數，則（

）A．曲線在處的切線方程為B．在區間上單調遞增C．在區間上有極小值D．在區間上有兩個零點13．設函數，則（

）A．是的極大值點B．C．的解集為D．當時，14．湖南矮寨特大懸索橋，創造了4個世界第一，堪稱世界建橋史上的經典之作.它的兩個主塔之間的懸索可近似看作一條“懸鏈線”，通過適當建立坐標系，懸鏈線可以為雙曲余弦函數的圖象，相應的雙曲正弦函數為.則下列說法正確的是（

）A．B．是偶函數C．函數的值域為，D．當直線與和共有3個交點時，15．若m，n分別是函數，的零點，且，則稱與互為“零點相鄰函數”.已知與互為“零點相鄰函數”，則a的取值可能是（

）A． B． C． D．16．已知，，則下列說法正確的是（

）A．曲線與有公共點B．曲線關于直線對稱的曲線是C．曲線關于直線對稱的曲線是D．直線與曲線、的交點分別是A、B，則的最小值為17．已知是定義在上的奇函數，且滿足，若當時，，則下列選項正確的是（

）A．圖象關于點中心對稱B．8為的周期C．D．方程在上共有1526個不同的實數解18．下列說法中正確的有（

）A．已知在上是增函數，若，則B．“”是“”的必要條件C．若命題“”是真命題，則的取值范圍為D．函數的減區間是19．已知函數的定義域為，且為奇函數，當時，，則（

）A．B．的圖象關于點對稱C．D．20．已知函數的圖象關于直線對稱，且對都有，當時，.則下列結論正確的是（

）A．B．在區間上單調遞減C．的圖像關于點對稱D．函數有2個零點三、填空題21．已知函數，若，則的取值范圍是.22．已知函數在定義域上單調遞增，則的取值范圍為．23．已知函數的定義域為為偶函數，為奇函數，則．24．已知函數是定義在上的偶函數，其導函數為，且當時，，則不等式的解集為．25．定義在上的函數的導函數為，當時，且，則不等式的解集為．26．已知函數，函數，其中，若函數恰有3個零點，則m的取值范圍是．27．已知定義在上的函數，則關于的不等式的解集為．28．若過點可以作曲線的兩條切線，則實數的取值范圍是．29．已知函數，若函數與的圖象有且僅有三個交點，則實數的取值范圍是.30．已知函數是定義在R上的函數，，且曲線在點處的切線斜率為，則.關注公眾號《品數學》，獲取更多實用性資料！答案第=page2525頁，共=sectionpages1919頁《函數與導數》參考答案題號12345678910答案CDBDCBBCBB題號11121314151617181920答案ACDBCABDACABCBCDACACACDABD1．C【分析】根據在處取得極值0可得，解出即可.【解析】由題意知，，又在處取得極值0，則，解得或，當時，，函數在R上單調遞增，無極值，不符合題意；當時，，令或，，所以在、上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極小值，符合題意，所以，，則.故選：C.2．D【分析】依題意可得，再根據對數函數的性質得到，結合函數的單調性判斷即可.【解析】因為在上的函數滿足，所以.因為，又，，所以.因為在上單調遞增，所以，即，即.故選：D.3．B【分析】構造函數，根據條件判斷的單調性，奇偶性進而解不等式即可.【解析】設，則，又上，，則，即函數在上單調遞減，又是定義在R上的奇函數，則函數為R上的奇函數，故在R上單調遞減，又，即，可得，解得．故選：B.4．D【分析】由，令，可得，的圖象關于直線對稱，又由的圖象關于點對稱可得8是函數的一個周期，據此可得答案.【解析】因為對任意，都有，令，得，解得，則，即，所以函數的圖象關于直線對稱．又函數的圖象關于點對稱，則函數的圖象關于點對稱，即函數為奇函數，所以，所以，所以8是函數的一個周期，所以．故選：D5．C【分析】應用奇偶性定義判斷的奇偶性，結合對應函數值符號及排除法，即可得答案.【解析】由題意，函數定義域為R，且，所以為偶函數，排除A、B；當，則恒成立，排除D.故選：C6．B【分析】先應用奇函數定義及單調性判斷，再轉化恒成立問題為最值問題，最后應用基本不等式求最小值，計算一元二次不等式即可.【解析】因為函數，為減函數；又因為所以為奇函數，若，不等式恒成立，則不等式，因為為奇函數，所以，因為為減函數，所以恒成立，所以恒成立，所以，，當且僅當時取最小值3，所以，所以，所以實數m的取值范圍是.故選：B.7．B【分析】方法一：把兩曲線與有一個公共點，轉化為方程只有一個實數解，通過分離常數求出值；方法二：把兩曲線與有一個公共點，轉化成兩曲線只有一個公切點，再利用幾何意義求解；方法三：利用原函數和反函數圖像關于對稱，且兩函數圖像都與相切于點，巧妙求出值.【解析】方法一：由已知曲線與曲線只有一個公共點，方程只有一個實數解，而，則只考慮，即，令，則，而在單調遞增，且，所以時，單調遞減，時，單調遞增，而時，；時，，所以．方法二：由已知曲線與曲線只有一個公共點，則曲線與曲線只有一個公切點，設其坐標為，根據函數的圖像與函數的圖像之間的關系，所以有，即，所以，設，則在單調遞減，而，所以，所以．方法三：由于函數的反函數為，兩函數關于對稱，由于，令，則，即函數與函數相切于點，同理，，令，即函數．與函數也相切于點，于是函數與函數相切于點，由選項可知，．故選：B.8．C【分析】根據給定條件，利用零點的意義將問題轉化為函數的圖象與直線交點，再利用數形結合求出范圍.【解析】由，得，因此有一個零點，當且僅當函數的圖象與直線有且僅有一個公共點，函數在上單調遞增，函數值集合為，在上單調遞增，函數值集合為R，在同一坐標系內作出函數的圖象與直線的圖象，觀察圖象知，當時，函數的圖象與直線有兩個交點，當時，函數的圖象與直線有1個交點，所以m的取值范圍是.故選：C9．B【分析】根據碳14含量的計算公式列出方程，然后結合已知條件求解出生物死亡的時間，進而判斷該生物死亡的朝代.【解析】已知碳14含量公式，某生物遺體中碳14的含量約為原始含量的0，92，即，代入公式可得，因為，兩邊同時除以，得到，對兩邊取以為底的對數，可得，則，因為，，即，所以，將代入，可得（年），已知是在2025年發現該生物遺體，那么該生物死亡的時間約為（年），因為，所以該生物死亡的朝代為元（公元年）.故選：B10．B【分析】證明得到是以為周期的函數，排除C、D.再研究的函數性質，借助導數即可.【解析】，，可以得到是以為周期的函數，所以的軌跡在四個象限內應相似，故排除C、D.由于A、B項均關于對稱，所以僅研究，此時，令

，，令，則，解得(負數根舍去)，則

在單調遞減，單調遞增，即在單調遞增，在有且僅有一個極值點，所以不會一直增大，B正確.

（注：本題在A、B當中選擇亦可使用特殊值法，，選B）故選：B11．ACD【分析】先求導函數，根據導函數正負得出函數的單調性得出極值進而得出零點判斷A，B；應用對稱性定義計算判斷C，先設切點再得出切線方程代入計算求參即可得出三個根判斷D.【解析】對AB，，，當或時，，當時，，所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以，，又，所以函數僅有1個零點，且該零點在區間上，故A正確，B錯誤；對C，由，得，所以函數的圖象關于對稱，故C正確；對D，設切點為，則，故切線方程為，又過點，所以，整理得，即，解得或或，所以過可以作三條直線與的圖象相切，故D正確．故選：ACD．12．BC【分析】求出函數，再利用導數的幾何意義求解判斷A；結合單調性、極小值意義判斷BC；求出零點個數判斷D.【解析】依題意，，對于A，，，所求切線方程為，A錯誤；對于B，當時，，在區間上單調遞增，B正確；對于C，在上都單調遞增，則函數在上單調遞增，，，則存在唯一，使得，當時，；當時，，因此在處取得極小值，C正確；對于D，由選項C知，在上有唯一零點，又，當時，，即，，因此在區間上有1零點，D錯誤.故選：BC13．ABD【分析】先由導數求出函數的單調區間，再結合函數的單調性逐一判斷即可．【解析】對于選項A：因為的定義域為，且，當時，，當或時，，可知在，上單調遞增，在上單調遞減，所以是函數的極大值點，故A正確對于選項B：因為，故B正確；對于選項C：對于不等式，因為，即為不等式的解，但，所以不等式的解集不為，故C錯誤對于選項D：因為，則，且，可得，因為函數在上單調遞增，所以，故D正確；故選：ABD14．AC【分析】利用指數運算即可判斷A選項；利用函數的奇偶性即可判斷B選項；利用指數函數的值域即可判斷C選項；利用導數求出雙曲余弦函數的單調區間，結合函數的單調性即可判斷D選項.【解析】A選項，，故A正確；B選項，由于雙曲余弦函數為偶函數，雙曲正弦函數為奇函數，則為奇函數，故B錯誤；C選項，由，又，所以，則，故C正確；D選項，，令得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以在處取得最小值1.在上單調遞增，且當，；當，.所以，當直線與和共有3個交點時，，故D錯誤.故選：AC15．ABC【分析】求出函數的零點為，根據題中定義可得出函數的零點為，令，可知，直線與函數在上的圖象有公共點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可得出實數a的取值范圍.【解析】易證是上的增函數，且，則.因為與互為“零點相鄰函數”，所以，即，解得.因為，所以，所以在上有解，即在上有解.設，則.由，得，由，得，則在上單調遞減，在上單調遞增.因為當時，，且，如下圖，所以，即，解得.故選：ABC16．BCD【分析】對于A，設，利用導數判斷的零點是否存在；對于B，求函數的反函數即可判斷；對于C，設曲線關于直線對稱的曲線是，設是曲線上任意一點，則關于直線的對稱點在曲線上，代入可求解析式；利用A選項的結論可得D選項的結果.【解析】已知，，對于A，設，函數定義域為，，解得，解得，則在上單調遞減，在上單調遞增，的最小值為，恒成立，無解，所以曲線與沒有公共點，A選項錯誤；對于B，函數的反函數為，所以關于直線對稱的曲線是，B選項正確；對于C，設曲線關于直線對稱的曲線是，設是曲線上任意一點，則關于直線的對稱點為，代入中，得，即，所以曲線關于直線對稱的曲線是，C選項正確；對于D，由A選項可知，當時，的最小值為，D選項正確.故選：BCD.17．AC【分析】利用奇函數和中心對稱性可得A正確；由可得B錯誤；由可得C正確；設，由周期性可得D錯誤.【解析】對于A，因為，所以，又是定義在上的奇函數，所以，即，所以圖象關于點中心對稱，故A正確；對于B，，所以，所以，又是定義在上的奇函數，所以，所以，所以，所以8不為的周期，故B錯誤；對于C，因為，所以，又當時，，所以，所以，故C正確；對于D，因為，設，則所以4為的周期，又是定義在上的奇函數，所以，所以方程等價于在上共有507個不同的實數解.故選：AC.18．AC【解析】結合全稱命題真假求參數、充分必要條件，函數單調性問題等逐項判斷即可.【分析】對于A，由，得，由在R上是增函數，得，因此，A正確；對于B，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；因此“”是“”的既不充分也不必要條件，B錯誤；對于C，，因此，即的取值范圍為，C正確；對于D，解不等式，得，函數的定義域為，開口向下，對稱軸為，則函數的減區間是，D錯誤.故選：AC19．ACD【分析】根據函數的奇偶性結合“賦值法”可求，判斷A的真假，根據奇函數的性質，可判斷B的真假；根據函數滿足的條件，遞推可判斷C的真假，再結合奇函數的性質，可判斷D的真假.【解析】對A：因為為奇函數，所以，令，則，A正確．對B：由，得，則，即的圖象關于點對稱，B錯誤．對C：當時，，則，，，故C正確；對D：根據C選項，遞推可得：，因為，所以，則，得，故D正確．故選：ACD20．ABD【分析】A選項，根據對稱性得到，再結合得到，即可得到的周期，然后利用周期求函數值即可；B選項，利用對稱性求解析式，然后判斷單調性；C選項，根據得到對稱中心；D選項，將函數的零點個數轉化為與圖象的交點個數，然后結合圖象求零點個數.【解析】因為的圖象關于對稱，所以，又，所以，則，所以，所以，所以的周期為8，所以，故A正確；當時，，所以，所以，當時，，所以，所以，所以在上單調遞減，故B正確；由得的圖象關于點對稱，故C錯；函數的零點個數可以轉化為與圖象的交點個數，由題意得與的圖象如下：由此可得與的圖象有2個交點，所以有2個零點，故D正確.故選：ABD.21．【分析】畫出草圖，借助對數性質，得到范圍.【解析】根據題意畫出圖象，得到，，則，即，則，則，則.故答案為：.22．【分析】由單調遞增得出所滿足的不等式組，求解即可.【解析】分段函數要是單調遞增函數，必須每一段都是單調遞增函數，且左邊一段的最大值小于等于右邊一段的最小值.所以，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.23．【分析】根據奇偶性得到，進而推導出是周期為4的函數，利用周期性求函數值即可.【解析】由為偶函數，，即，由為奇函數，，即，所以，即，即，所以，即是周期為4的函數，所以，又，所以.故答案為：24．或【分析】由題意構造，進而在上是增函數，根據奇偶函數的定義判斷的奇偶性，原不等式等價于，結合函數的奇偶性和單調性解不等式即可.【解析】令，則，由當時，，所以，即在上是增函數，由題意是定義在上的偶函數，所以，所以，所以是偶函數，在遞減，所以，，即不等式等價為，所以，解得或．故答案為：或25．【分析】構造，求導得出函數的單調性，利用單調性解不等式即可．【解析】解：令則，，當時，，所以當時，，，故在上為減函數，令，則，所以，故不等式的解集為故答案為：26．【分析】要使函數恰有3個零點，即與的圖象有3個