數學

貴州專版2025第三章函數微專題二次函數幾何問題(8年3考：2022·24(3)，2021·24(2)，2019·24(2))欄目導航二次函數與線段問題類型一二次函數與面積問題類型二例1如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)與x軸交于A(4，0)和B(－1，0)兩點，與y軸交于點C，P是直線AC下方的拋物線上一動點.典例精析典例精析二次函數與線段問題類型一根據有關信息求函數表達式(1)求拋物線及直線AC的表達式；

(1)求拋物線表達式：把A(4，0)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx－4，解方程組即可求得；求直線AC的表達式：通過拋物線表達式求出點C的坐標，設直線的表達式為y＝kx＋b1，把A(4，0)，C(0，－4)代入，即可求得；利用表達式表示并計算線段長度(2)過點P作PD⊥x軸于點D，交直線AC于點E，求線段PE的最大值及此時點P的坐標；解：令P(m，m2－3m－4)，則E(m，m－4)，∴PE＝(m－4)－(m2－3m－4)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4.∴當m＝2時，PE有最大值為4.∴P(2，－6).(2)設P(m，m2－3m－4)，則E(m，m－4)，則PE＝－(m－2)2＋4，由此求出最值即可；垂直于一次函數的線段最大值問題(3)若過點P作PF⊥AC于點F，求線段PF的最大值；

長度之和最小問題(4)若P是該拋物線對稱軸上的一個動點，求出使△PBC周長最小的點P的坐標.

(4)聯系“將軍飲馬“模型，連接PA，由A，B關于對稱軸l對稱，得BC＋PB＋PC＝BC＋PA＋PC≥BC＋AC，則AC與對稱軸l的交點即為所求的點P，從而可求得點P的坐標.1.確定線段長關系式(根據已知線段關系求點坐標)：①先在圖中找出對應線段，弄清已知點和未知點.②再聯立二次函數和一次函數，設出未知點的坐標，使其只含一個未知數.③繼而表示出線段的長度(如果該線段與坐標軸平行的話，則利用橫、縱坐標相加減確定；如果與坐標軸不平行的話，先轉化為有邊在與坐標軸平行的三角形中，再利用勾股定理，銳角三角函數或相似確定).方法指導2.線段數量關系問題：根據前面所得的線段長的關系式，結合題干列出滿足線段數量關系的方程，解方程求解即可(注意排除不符合題意的數值).3.線段最值問題：①求一條線段的最值時，首先想到用二次函數表示出線段的長度，進而求得最值.②求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯想到“將軍飲馬“等模型.例2如圖，拋物線y＝ax2＋3x＋c(a≠0)與x軸交于點A(－2，0)和點B，與y軸交于點C(0，8)，P為直線BC上方拋物線上的動點，連接CP，PB，直線BC與拋物線的對稱軸l交于點E.典例精析典例精析二次函數與面積問題類型二根據有關信息求函數表達式(1)求拋物線與直線BC的表達式；

(1)求拋物線表達式：把A(－2，0)，C(0，8)代入y＝ax2＋3x＋c(a≠0)，解方程組即可求得；求直線BC的表達式：通過拋物線表達式求出點B的坐標，設直線的表達式為y＝kx＋b，把點B和點C的坐標代入，即可求得；已知面積求拋物線上點的坐標(2)當點P在該拋物線上什么位置時，滿足S△ABP＝60，并求出此時點P的坐標；

(2)求出線段AB的長度，再根據S△ABP＝60，求得點P的縱坐標，把縱坐標代入拋物線的表達式，即可求得點P的坐標；拋物線內接三角形的面積問題(3)是否存在點P，使△BCP與△ABC的面積相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(4)求△BCP的面積最大值.

解法一：設出動點P的坐標，然后用代數式表達各線段的長.通過公式計算，表示出三角形的面積，利用二次函數性質求最值即可.此