數學

貴州專版2025第二部分

貴州中考專題突破專題一幾何探究開放型問題欄目導航分類探究型問題類型一類比探究型問題類型二對于圖形不明確的問題，我們要分情況討論圖形會出現哪些可能的情況：當面對點的位置時，我們需要確定點在線段上還是在線段的延長線上；當面對直角三角形時，我們需要確定哪個角是直角，并據此展開不同情況的討論；分類探究型問題(8年1考：2024·25)類型一核心技法對于等腰三角形，我們需要辨別給定的邊是腰還是底邊，并相應地分析角是頂角還是底角，以此為基礎進行分類討論；如果題目中涉及兩個相似三角形，我們需要細致地探討它們各邊之間的對應關系，以進行分類討論；在圓的討論中，對于非直徑的弦，我們常根據其對應的優弧和劣弧來分情況進行探討；另外，在求圓中兩條平行弦的距離時，我們還需要考慮這兩條弦是在圓心的同側還是兩側，以便進行分類討論.例1(2024煙臺)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為直線BC上任意一點，連接AD.將線段AD繞點D按順時針方向旋轉90°得線段ED，連接BE.典例精析典例精析【嘗試發現】(1)如圖1，當點D在線段BC上時，線段BE與CD的數量關系為______________；過點E作EM⊥CB延長線于點M，利用一線三垂直全等模型證明△ACD≌△DME，再證明BM＝EM即可；

【類比探究】(2)當點D在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段BE與D的數量關系并證明；

同(1)中方法證明△ACD≌△DME，再證明BM＝EM即可；【聯系拓廣】(3)若AC＝BC＝1，CD＝2，請直接寫出sin∠ECD的值.

分兩種情況：當點D在線段CB延長線上時，當點D在線段BC延長線上時.分別畫出圖形，求出sin∠ECD.

針對訓練A2.如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當△PAB為直角三角形時，求AP的長.

類比法是將兩個相似對象對比，發現它們的共同屬性，從而推斷出一個對象可能具有的另一屬性.在初中數學中，運用類比法可助于理解新概念或解決新問題，先對相關問題提出可能的結論或解決策略的猜想，隨后努力證明或反駁這些猜想，從而達到解決數學問題的目的.類比探究型問題(8年1考：2017·24)類型二核心技法例2(1)如圖1，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為G.求證：△ADE∽△DCF；典例精析典例精析證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠C＝90°.∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°.∴∠CDF＋∠AED＝90°.∴∠AED＝∠DFC.∴△ADE∽△DCF.∠ADE＝∠DCF＝90°，進而得到∠CDF＋∠DFC＝90°，再結合題意即可得到∠AED＝∠DFC，進而根據相似三角形的判定即可求解；【問題解決】(2)如圖2，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點H，使CH＝DE，連接DH.求證：∠ADF＝∠H；證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL).∴DE＝CF.又∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵點H在BC的延長線上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS).∴∠H＝∠DFC.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝∠H.可先根據正方形的性質得到AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再根據三角形全等的判定證明Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)即可得到DE＝CF，進而得到CF＝CH，再結合題意證△DCF≌△DCH(SAS)即可得到∠H＝∠DFC，進而運用平行線的性質即可求解；【類比遷移】(3)如圖3，在菱形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長.解：如圖，延長BC到點G，使CG＝DE＝8，連接DG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC.∴∠ADE＝∠DCG.∴△ADE≌△DCG(SAS).∴∠DGC＝∠AED＝60°，DG＝AE.∵AE＝DF，∴DG＝DF.∴△DFG是等邊三角形.∴FG＝FC＋CG＝DF＝11.∴FC＝11－CG＝11－8＝3.延長BC到點G，使CG＝DE＝8，連接DG，類比第2問中的思路，證明△ADE≌△DCG(SAS)，進而得到