試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page77頁，共=sectionpages77頁空間向量與立體幾何一、單選題1．在正四棱臺中，，高為，則該正四棱臺的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．已知一個(gè)圓柱形容器的軸截面是邊長為3的正方形，往容器內(nèi)注水后水面高度為2，若再往容器中放入一個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球，則此時(shí)水面的高度為（

）A． B． C． D．3．已知某圓臺的側(cè)面展開圖如圖所示，，，，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．4．某同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為2的正方形，，，，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直，則該包裝盒的容積為（

）A． B． C． D．205．已知長方體外接球的表面積為，其中為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與直線垂直，點(diǎn)在平面與底面形成的交線段上，且，則四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．6．如圖1的方斗杯古時(shí)候常作為盛酒的一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一個(gè)上大下小的正四棱臺，，，現(xiàn)往該方斗杯里加某種酒，當(dāng)酒的高度是方斗杯高度的一半時(shí)，用酒，則該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e為（

）

A． B． C． D．7．如圖組合體是由正四棱錐與正四棱臺組合而成，，則PA與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．在正四棱臺中，，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，則該正四棱臺的表面積是（

）A．36 B．40 C．52 D．569．已知棱長為4的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)作與直線垂直的平面，則截球所得截面面積為（

）A． B． C． D．10．在封閉的圓錐內(nèi)有一個(gè)表面積為的球，若圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，則該球表面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．已知正四棱臺上底面的邊長為2，下底面邊長為4，棱臺的體積為56，則下列說法正確的是（

）A．該四棱臺的高為3 B．該四棱臺的側(cè)棱長為C．該四棱臺的側(cè)面積為 D．該四棱臺一定不存在內(nèi)切球12．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使平面B．存在點(diǎn)，使平面C．若點(diǎn)為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為D．二面角夾角最大時(shí)，13．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為線段上動點(diǎn)（含線段的端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，三棱錐的體積是定值C．點(diǎn)到直線距離的最小值為D．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，直線AP與直線所成角的余弦值為14．在直三棱柱中，，，，分別是BC，的中點(diǎn)，在線段上，則下面說法中正確的有（

）A．平面B．直線EF與平面所成角的余弦值為C．直三棱柱的外接球半徑為D．直線BD與直線EF所成角最小時(shí)，線段長為15．在正方體中，，點(diǎn)分別在棱和上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），若，下列命題正確的是（

）A． B．平面C．線段長度的最大值為 D．三棱錐體積不變16．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．平面平面C．直線BC與平面相交D．直線與平面所成的角為17．設(shè)長方體的中心為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（

）A．點(diǎn)到平面的距離 B．點(diǎn)到平面的距離C．點(diǎn)到平面的距離的 D．點(diǎn)到平面的距離的18．在直三棱柱中，，，，分別為棱，的動點(diǎn)且，點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則（

）A．存在一半徑為的球，使得三棱柱的所有頂點(diǎn)都在該球面上B．存在一半徑為2的球與三棱柱的所有側(cè)棱相切，與上、下底面也相切C．的中點(diǎn)在以為球心，半徑為的球面上D．點(diǎn)的軌跡長為19．已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．向量不共面C．平面與平面的夾角的正切值為D．平面截該正方體所得的截面面積為20．已知正方體的棱長為分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．向量不共面C．平面與平面的夾角的正切值為D．平面截該正方體所得的截面面積為三、填空題21．在正四棱臺中，，則該正四棱臺的高為；若點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)運(yùn)動，且，則點(diǎn)P的軌跡長度為．22．已知正三棱臺的上底面邊長是下底面邊長的一半，側(cè)棱長為2，過側(cè)棱中點(diǎn)且平行于底面的截面的邊長為3，則正三棱臺的體積為.23．已知體積為的球O與正四棱錐的底面和4個(gè)側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長為，則該正四棱錐的體積是．24．在底面邊長為2的正三棱柱中，異面直線與所成角的余弦值為，則該正三棱柱的體積為．25．已知是棱長為6的正方體，分別是棱上的動點(diǎn)，且．當(dāng)共面時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為．26．某種游戲中，黑，黃兩個(gè)“電子狗”從棱長為1的正方體的頂點(diǎn)出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”．黑“電子狗”爬行的路線是，黃“電子狗”爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第2段與第ⅰ段所在直線必須是異面直線（其中ⅰ是正整數(shù)）．設(shè)黑“電子狗”爬完2022段，黃“電子狗”爬完2023段后各自停在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑，黃“電子狗”間的距離是．27．已知球與圓臺的上、下底面和側(cè)面都相切.若圓臺上、下底面半徑分別為、，且.若球和圓臺的體積分別為和，則的最大值為.28．如圖所示，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿x軸折成鈍二面角，夾角為，此時(shí)A，B之間的距離為，則．29．如圖，平面，，，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)到平面的距離為.30．《九章算術(shù)·商功》中有如下類似問題：今有芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一個(gè)芻童，上底面寬1尺、長2尺，下底面寬3尺、長4尺，高1尺．芻童是上、下底面為相互平行的不相似長方形，且兩底面的中心連線與底面垂直的六面體，如圖，若A是該六面體上底面的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M在下底面的外接圓上，則線段AM長度的最大值為尺．關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》，獲取更多實(shí)用性資料！答案第=page3333頁，共=sectionpages2626頁《空間向量與立體幾何》參考答案題號12345678910答案CDBCCCADCB題號11121314151617181920答案BCABCBCACDACDCDACDBCACAC1．C【分析】根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征及其外接球半徑與兩個(gè)底面對角線的關(guān)系列方程求球心到一個(gè)底面的距離，再求球體的半徑，進(jìn)而求體積.【解析】由題設(shè)及下圖，知，若是在面上投影，易知在上，且面，所以，若外接球球心到面的距離為，球體半徑為，則，且，可得（負(fù)值舍），所以，故正四棱臺的外接球的體積為.故選：C2．D【分析】根據(jù)已知條件，容器中放入鐵球后，總體積為，由此列方程求解即可.【解析】由已知可得圓柱的底面半徑為，往容器內(nèi)注水后水面高度為2，此時(shí)放入一個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球，鐵球的直徑為，所以鐵球完全沒入水中，設(shè)此時(shí)水面的高度為，則，解得.故選：D3．B【分析】根據(jù)題設(shè)求出圓臺的上，下底面半徑及圓臺的高，再利用圓臺的體積公式，即可求解.【解析】設(shè)圓臺的上，下底面半徑分別為，，則，解得，所以圓臺的上，下底面半徑分別為．如圖1，因?yàn)椋裕钟桑玫剑桑玫剑詧A臺的母線，設(shè)圓臺的高為，如圖2，易知，所以圓臺的體積，故選：B．4．C【分析】將幾何體補(bǔ)全為長方體，包裝盒的容積為，進(jìn)而可得.【解析】如圖，把幾何體補(bǔ)全為長方體，則，，所以該包裝盒的容積為，故選：C5．C【分析】先根據(jù)長方體外接球半徑公式計(jì)算得出，再根據(jù)線面垂直判定定理得出四面體的特征計(jì)算得出外接球半徑即可求解.【解析】依題意得，解得，如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，平面，平面，所以，因?yàn)椋杂制矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫孢^點(diǎn)，所以平面即為平面，所以點(diǎn)在線段上，因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，且邊上的高為，故為等腰直角三角形，且其外接圓半徑.設(shè)四面體外接球的半徑為，則，故所求外接球的體積為.故選:C.

6．C【分析】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，利用臺體的體積公式計(jì)算出棱臺與棱臺的體積之比，即可得該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e.【解析】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，因?yàn)榫€段、的中點(diǎn)分別為、，則，設(shè)棱臺的高為，體積為，則棱臺的高為，設(shè)其體積為，則，則，所以，，所以，該方斗杯可盛該種酒的總?cè)莘e為.故選：C.7．A【分析】根據(jù)已知，將幾何體補(bǔ)全為正八面體，得到且，即可確定異面直線的夾角.【解析】延長，，，交于Q，易知：，故是正八面體，故，，∠APD即為所求異面直線所成角，余弦值為.故選：A8．D【分析】過點(diǎn)作，垂足為H，則.結(jié)合條件“側(cè)棱與底面所成角的余弦值為”，求出，還有高，進(jìn)而求出表面積.【解析】過點(diǎn)作，垂足為H，則.因?yàn)閭?cè)棱與底面所成角的余弦值為，所以，所以，則梯形的高，故該正四棱臺的表面積是.故選：D.9．C【分析】先證明線面垂直，再根據(jù)點(diǎn)到平面距離及得出，結(jié)合球的性質(zhì)即可得出求出截面面積.【解析】如圖，連接，平面，平面，平面，則直線垂直于平面，則為過點(diǎn)且與平面平行的平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)到平面的距離就是平面與平面的距離，又，所以，球的半徑，所以截球所得截面圓的半徑，該圓面積為．故選:C．10．B【分析】根據(jù)題意球體與圓錐內(nèi)部相切時(shí)球表面積的最大，根據(jù)圓錐軸截面求球體的半徑，進(jìn)而求其表面積.【解析】要使球表面積的最大，只需球體與圓錐內(nèi)部相切，此時(shí)圓錐軸截面如下，所以球體半徑，即最大面積為.故選：B11．BC【分析】利用正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合體積公式、側(cè)面積公式，計(jì)算判斷ABC；結(jié)合球的結(jié)構(gòu)特征判斷D.【解析】對于A，設(shè)該四棱臺的高為，則，解得，A錯(cuò)誤；對于B，該四棱臺的側(cè)棱長，B正確；對于C，該四棱臺的斜高為，側(cè)面積為，C正確；對于D，若該四棱臺有內(nèi)切球，內(nèi)切球必與兩底相切，球的直徑為四棱臺的高6，而該球的直徑一定小于正四棱臺下底邊長4，矛盾，因此該四棱臺不存在內(nèi)切球，D錯(cuò)誤.故選：BC12．ABC【分析】根據(jù)特殊位置即可根據(jù)線線平行求解A，建立空間直角坐標(biāo)系，求解向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系即可求解B，求解平面法向量，即可根據(jù)空間距離求解C，根據(jù)法向量的夾角即可求解D.【解析】對于A，當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)平面，平面，故平面，A正確，對于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由于，故，設(shè)，則，則，要使平面，則，解得，故存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，平面，故平面，B正確，對于C，點(diǎn)為中點(diǎn)，此時(shí)，設(shè)平面的法向量為，故，，，令，則，則點(diǎn)到平面的距離為，故C正確，對于D，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，故，，，令，則，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，，顯然時(shí)，此時(shí)并不是最值，此時(shí)二面角夾角不是最大，故D錯(cuò)誤，故選：ABC13．BC【分析】A選項(xiàng)，由勾股定理逆定理證明出，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出；B選項(xiàng)，證明線面垂直，得到到平面的距離為，等體積法求出三棱錐的體積等于，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，利用點(diǎn)到直線的向量距離公式計(jì)算出，求出最小值；D選項(xiàng)，利用異面直線的夾角向量公式求出答案.【解析】因?yàn)橹比庵校晒垂啥ɡ砟娑ɡ淼茫运谥本€分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，為定值，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈妊苯侨切危浴停帧推矫妫矫妫浴停驗(yàn)椋矫妫浴推矫妫遥值狡矫娴木嚯x為，故三棱錐的體積等于，B正確；C選項(xiàng)，，設(shè)，，，則，，點(diǎn)到直線距離為，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，，，則，設(shè)直線AP與直線所成角的大小為，則，D錯(cuò)誤.故選：BC14．ACD【分析】利用空間向量法可判斷線面平行，求解線面角，線線角結(jié)合二次函數(shù)值域分別判斷A，B，D，再根據(jù)正方體外接球計(jì)算外接球半徑即可判斷C.【解析】直三棱柱中，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，、分別是、的中點(diǎn)，在線段上，、、、、、，對于A，為平面的一個(gè)法向量，，則，又平面，平面，故A正確；對于B，為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，故B錯(cuò)誤；對于C，三棱柱是直棱柱，，，所以直三棱柱的外接球半徑等于邊長為4的正方體的外接球的半徑，所以，所以，故C正確；對于D，設(shè)，則，，設(shè)直線與直線所成角為，則，當(dāng)即時(shí)，取最大值，此時(shí)直線與直線所成角最小，，，故D正確．故選：ACD．15．ACD【分析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得.根據(jù)即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；根據(jù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)等體積法計(jì)算即可判斷D.【解析】在正方體中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

，設(shè)，則，而，所以，.對于A選項(xiàng)：，則，即，故A正確；對于B選項(xiàng)：，，即CM與MN不垂直，從而MN與平面不垂直，故B不正確；對于C選項(xiàng)：，則線段BN長度，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故C正確；對于D選項(xiàng)：不論點(diǎn)M如何移動，點(diǎn)M到平面的距離均為3，而，所以三棱錐體積為定值，故D正確．故選：ACD16．CD【分析】利用線面垂直判定性質(zhì)來判定A；過點(diǎn)A作垂直于，垂足為M，連接，借助余弦定理求出，得到與不垂直，來判定B；運(yùn)用與直線相交，判定C；找出線面角，求出大小來判定D.【解析】對于選項(xiàng)A，若，已知平面，平面，.又因?yàn)椋移矫妫云矫?又平面，可知，這與已知條件矛盾，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.判斷選項(xiàng)B，過點(diǎn)作垂直于，垂足為M，連接，在中，設(shè)，因?yàn)椋鶕?jù)勾股定理可得.可得，即，解得.再根據(jù)勾股定理可得.已知，，同理可得.在中，根據(jù)余弦定理，可求出.在中，根據(jù)余弦定理，可求出.在中，根據(jù)余弦定理，可求出，所以，即與不垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)C，因?yàn)樵诶忮F的底面內(nèi)，直線與直線相交，所以與平面相交，選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫鍭BC，所以就是直線與平面所成的角.在中，，因?yàn)椋裕粗本€與平面所成的角為，選項(xiàng)D正確.故選：CD.17．ACD【分析】根據(jù)長方體中線面關(guān)系,把點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為平行直線到面的距離,判斷選項(xiàng)的正誤.【解析】連，取中點(diǎn)，由點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，可得，易證平面，點(diǎn)到平面的距離相等，又線段的中點(diǎn)在平面上，所以點(diǎn)到平面的距離相等；因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離相等，而，，且點(diǎn)都在平面上，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的；過作交于，延長至點(diǎn)，使得，延長至點(diǎn)，使得，則三點(diǎn)共線，，且，所以，，且點(diǎn)都在平面上，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的，即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的.故選：ACD18．BC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合直棱柱的結(jié)構(gòu)特征及球的結(jié)構(gòu)特征依次判斷ABC；確定點(diǎn)位置并求出長，進(jìn)而求出軌跡長判斷D.【解析】對于A，在直三棱柱中，，則，的外接圓半徑為，三棱柱的外接球半徑，A錯(cuò)誤；對于B，分別是的中點(diǎn)，則以的中點(diǎn)為球心，2為半徑的球，球心到三條側(cè)棱的距離都等于2，且到上下底面距離也都為2，滿足題意，B正確；對于C，，令的中點(diǎn)為，在直角中，，即的中點(diǎn)在以為球心，半徑為的球面上，C正確；對于D，平面，則平面，而平面，則，且點(diǎn)在上，則，，，在直角中，，則點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)與重合，點(diǎn)為的中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)為中點(diǎn)，而四邊形為正方形，則，因此點(diǎn)的軌跡所對圓角為，軌跡長為，D錯(cuò)誤．故選：BC19．AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷ABC；作出截面，結(jié)合余弦定理、三角形面積公式計(jì)算判斷D.【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，對于A，，則，即，而平面，因此平面，A正確；對于B，，則向量共面，B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)平面的法向量，，則，取，得，平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，因此平面與平面的夾角的正切值為，C正確；對于D，連接并延長交的延長線于，連接交于，交延長線于，連接交于，則五邊形即為所求截面，，，則，，，為的中位線，則，，因此截面面積小于，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：正確作出截面是求解判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵.20．AC【分析】對A選項(xiàng)，可以用向量法得到平面的法向量與共線；對B選項(xiàng)，可以利用坐標(biāo)法，得到三個(gè)向量共平面；對于C選項(xiàng)，先求兩個(gè)向量的法向量，兩個(gè)法向量所在直線的夾角即為兩個(gè)平面的夾角，然后求出所求的正切值即可；對于D選項(xiàng)，可做出截面計(jì)算面積.【解析】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，,為，和軸正向建立坐標(biāo)系：，，，，，，對于選項(xiàng)A，可以設(shè)平面的一個(gè)法向量，根據(jù)線面垂直的判定可知，，可令得，，可得與共線，即平面，選項(xiàng)A正確；對B選項(xiàng)，，，，可利用坐標(biāo)計(jì)算得到，三個(gè)向量共面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對C選項(xiàng)，可設(shè)平面的一個(gè)法向量為平面的一個(gè)法向量為，由，得到，令，，可設(shè)與得夾角為，則，由題意兩平面夾角為銳角，設(shè)兩平面夾角為，則與互補(bǔ)，，，，選項(xiàng)C正確;對選項(xiàng)D，如圖做出截面：過在平面內(nèi)做的平行線，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)做的平行線，交于點(diǎn)，根據(jù)平面平行的性質(zhì)，易證和為平面與立方體外表面的交線，連接，可得五邊形即為所求截面.，，，可求得，，，結(jié)合圖可知截面五邊形面積小于，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC21．【分析】根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知條件計(jì)算出高，再判斷確定點(diǎn)的軌跡，再應(yīng)用弧長公式求出軌跡長度.【解析】

取正方形的中心為，正方形ABCD的中心為O，連接，則平面ABCD．過點(diǎn)作于點(diǎn)H，則，所以平面ABCD，且四邊形為矩形，，．在中，，即該正四棱臺的高為．

連接PH，在中，，點(diǎn)P的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)的部分，即．過點(diǎn)H作于點(diǎn)E，過H作于點(diǎn)F，則．在中，．同理，，的長度為，故點(diǎn)P的軌跡長度為.故答案為：；.22．/【分析】將該正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，結(jié)合題意可得三棱臺的上、下底面邊長，則可得正三棱錐的側(cè)棱長，再計(jì)算出三棱錐的高后結(jié)合體積公式計(jì)算即可得解.【解析】如圖，延長三棱臺的側(cè)棱交于一點(diǎn)O，可以得到正三棱錐，設(shè)三棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，則有，即，則正三棱錐的側(cè)棱長為，過點(diǎn)O作平面ABC，交平面于點(diǎn)，記的中點(diǎn)為，則，故三棱錐的高為，故三棱臺的體積為.故答案為：.23．/【分析】由正四棱錐的內(nèi)切球作圖，根據(jù)勾股定理、三角形相似，求出四棱錐的高即可.【解析】如圖，設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為R，H為底面中心，由內(nèi)切球的體積為，得．連接PH．由題意得平面ABCD，球心O在PH上，，取CD的中點(diǎn)F，連接HF，PF．設(shè)點(diǎn)O在側(cè)面PCD上的投影為點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q在PF上，且，．設(shè)O到P的距離為h，所以，即，解得，所以．故答案為：##..24．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用體積公式即可求得答案。【解析】設(shè)正三棱柱的高為h，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，在底面內(nèi)過點(diǎn)A作的垂線為x軸，以所在直線為軸，建立空間直角標(biāo)系，則，則，因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的余弦值為，故，由于，即，解得，故該正三棱柱的體積為，故答案為：25．/【分析】可以先建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，，平面夾角的余弦值即為兩個(gè)法向量所成角的余弦值的絕對值，代入坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【解析】解析：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，易知當(dāng)取點(diǎn)和點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)時(shí)，，坐標(biāo)為：，，四點(diǎn)共面．設(shè)平面的法向量為，依題意得：，令，可取，同理可得平面的一個(gè)法向量為．故平面與平面夾角的余弦值為．

故答案為：26．1【分析】由題意確定黑、黃狗的爬行路線，確定最