試題PAGE1試題2024北京育英學校高二（下）期中數學一.選擇題（共12道題，每題4分，共48分）1．（4分）已知數列{an}滿足an+1＝an+2，且a1＝2，那么a3＝（）A．4 B．5 C．6 D．72．（4分）函數y＝x+cosx的導數為（）A．y′＝1+sinx B．y′＝1﹣sinx C．y′＝x+sinx D．y′＝x﹣sinx3．（4分）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節電影市場．某電影院同時段播放這三部電影，小李和他的三位同學每人只能選擇看其中的一場電影，則不同的選擇方案有（）A．43種 B．34種 C．種 D．種4．（4分）記等差數列{an}的前n項和為Sn，若a5＝7，a10＝2，則S14＝（）A．49 B．63 C．70 D．1265．（4分）在100件產品中有6件次品，現從中任取3件產品，至少有1件次品的不同取法的種數是（）A． B．﹣ C． D．﹣6．（4分）已知函數f（x）的導函數f′（x）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（）A．曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率小于零 B．函數f（x）在區間（﹣1，1）上單調遞增 C．函數f（x）在x＝1處取得極大值 D．函數f（x）在區間（﹣3，3）內至多有兩個零點7．（4分）由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字，且1，3不相鄰的六位數的個數是（）A．36 B．72 C．480 D．6008．（4分）已知Sn為數列{an}的前n項和，a1＝﹣2，an+1＝Sn，那么a5＝（）A．﹣4 B．﹣8 C．﹣16 D．﹣329．（4分）已知函數f（x）＝aex﹣lnx在（1，2）上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．（4分）若數列{an}為等比數列，則“a3≥1”是“a1+a5≥2”的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件11．（4分）一個信息設備裝有一排六只發光電子元件，每個電子元件被點亮時可發出紅色光、藍色光、綠色光中的一種光．若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，根據這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數共有（）A．60種 B．68種 C．82種 D．108種12．（4分）已知函數f（x）＝ex﹣e﹣x，下列命題正確的是（）①f（x）是奇函數；②f（x）在R上是增函數；③方程f（x）＝x2+2x有且僅有1個實數根；④如果對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值為2．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二.填空題（共8道題，每題4分，共32分）13．（4分）設函數f（x）的導函數為f′（x），若f′（x0）＝a，則＝．14．（4分）曲線y＝﹣x2+7x+lnx在點（1，6）處的切線的斜率為．15．（4分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an+1﹣an＝2n，則Sn＝．16．（4分）在等比數列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，則其前5項的和S5的值為．17．（4分）一個圓桌有八個座位，編號為1至8．現有四個學生和四個家長入座，要求學生坐在偶數位．家長與其孩子相鄰．滿足要求的坐法共有種．18．（4分）設數列{an}滿足“a1＞a2，an＜an+1（n≥2）”，則{an}的通項公式可以為．19．（4分）如圖：某城市有縱向道路和橫向道路若干條，構成如圖所示的矩形道路網（圖中黑線表示道路），則從西南角A地到東北角B地的最短路線共有條．（用數字作答）20．（4分）隨著自然語言大模型技術的飛速發展，ChatGPT等預訓練語言模型正在深刻影響和改變著各衍各業．為了解決復雜的現實問題，預訓練模型需要在模擬的神經網絡結構中引入激活函數，將上一層神經元的輸出通過非線性變化得到下一層神經元的輸入．經過實踐研究，人們發現當選擇的激活函數不合適時，容易出現梯度消失和梯度爆炸的問題．某工程師在進行新聞數據的參數訓練時，采用作為激活函數，為了快速測試該函數的有效性，在一段代碼中自定義：若輸x的x滿足|f（x+1）﹣f（x）|＜a則提示“可能出現梯度消失”，滿足則提示“可能出現梯度爆炸”，其中a表示梯度消失閾值，b表示梯度爆炸間值．給出下列四個結論：①f（x）是R上的增函數；②當b＝e時，?x∈R，輸入x會提示“可能出現梯度爆炸”；③當a＝e﹣5時，?x≥5，輸入x會提示“可能出現梯度消失”；④?a＞0，?x∈R，輸入x會提示“可能出現梯度消失”．其中所有正確結論的序號是．三、解答題（共5道題，共70分）21．（12分）已知函數f（x）＝x2﹣5x+alnx在x＝2時取得極值．（1）求實數a；（2）若，求f（x）的單調區間和極值．22．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，CD⊥平面ADP，AB∥CD，CD＝2AB＝4，△ADP是等邊三角形，E為DP的中點．（1）證明：AE⊥平面PDC；（2）若PA＝6，求平面PBC與平面ABE夾角的余弦值．23．（14分）已知Sn為等差數列{an}的前n項和，Tn為等比數列{bn}的前n項和，a1＝b1＝1，a2+b2＝2．（1）若b4＝8，求a3的值；（2）從以下三個條件中選擇一個條件作為已知，使得{bn}單調遞增，求出{bn}的通項公式以及Tn．條件①：a5＝3；條件②：a3+b3＝3；條件③：S3＝9．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．24．（16分）已知函數．（1）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）當a＜0時，求f（x）的極值；（3）當時，判斷f（x）零點個數，并說明理由．25．（16分）對于數列{an}，如果存在正整數T，使得對任意n（n∈N*），都有an+T＝an，那么數列{an}就叫做周期數列，T叫做這個數列的周期．若周期數列{bn}，{cn}滿足：存在正整數k，對每一個i（i≤k，i∈N*），都有bi＝ci，我們稱數列{bn}和{cn}為“同根數列”．（Ⅰ）判斷下列數列是否為周期數列．如果是，寫出該數列的周期，如果不是，說明理由；①an＝sinnπ；②．（Ⅱ）若{an}和{bn}是“同根數列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：k≤6；（Ⅲ）若{an}和{bn}是“同根數列”，且周期的最小值分別是m+2和m+4（m∈N*），求k的最大值．

參考答案一.選擇題（共12道題，每題4分，共48分）1．【答案】C【解答】解：由題意，得an+1﹣an＝2，得數列{an}是等差數列，公差d＝2，a3＝a1+2d＝2+4＝6．故選：C．2．【答案】B【解答】解：y′＝x′+（cosx）′＝1﹣sinx．故選：B．3．【答案】B【解答】解：依題意，每個人選擇方案有3種，所以4個人不同的選擇方案有34種．故選：B．4．【答案】B【解答】解：因為等差數列{an}中，a5＝7，a10＝2，則d＝＝﹣1，a1＝11，則S14＝14×11+＝63．故選：B．5．【答案】B【解答】解：在100件產品中有6件次品，現從中任取3件產品，共有C1003種結果，至少有1件次品的對立事件是沒有次品，沒有次品的事件有C943，∴至少有1件次品的不同取法有C1003﹣C943，故選：B．6．【答案】D【解答】解：對于A，由題意可得f′（1）＝0，所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率等于零，故錯誤；對于B，由題意可得當x∈（﹣1，1）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上單調遞減，故錯誤；對于C，由題意可得當x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x＞1，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，所以x＝1不是f（x）的極值點，故錯誤；對于D，由題意可得當x∈（﹣3，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，當x∈（﹣2，3）時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減，所以當f（﹣2）＜0時，f（x）在（﹣3，3）上沒有零點；當f（﹣2）＝0時，f（x）在（﹣3，3）上只有一個零點；當f（﹣2）＞0時，f（x）在（﹣3，3）上有兩個零點；綜上所得函數f（x）在區間（﹣3，3）內至多有兩個零點，故正確．故選：D．7．【答案】C【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①，將2、4、5、6四個數全排列，有＝24種排法，②，四個數排好后，有5個空位，在5個空位中任選2個，安排1和3，有＝20種情況，則有24×20＝480個符合題意的六位數；故選：C．8．【答案】C【解答】解：n≥2時，an+1＝Sn，an＝Sn﹣1，可得：an+1﹣an＝an，化為an+1＝2an．n＝1時，a2＝a1＝﹣2．∴數列{an}從第二項起為等比數列，公比為2，首項為﹣2．那么a5＝﹣2×23＝﹣16．故選：C．9．【答案】C【解答】解：因為函數f（x）＝aex﹣lnx在（1，2）上是單調遞增函數，所以f′（x）＝對任意x∈（1，2）恒成立，所以，令，則g'（x）＝，所以g（x）在（1，2）內為減函數，所以，則．故選：C．10．【答案】C【解答】解：數列{an}為等比數列，a3≥1，則a3，a1，a5同號，都為正數，∴a1+a5≥＝≥2，當且僅當a1＝a5時取等號，∴“a3≥1”是“a1+a5≥2”的充分條件，例如q＝，等比數列8，1，，，，滿足a1+a5≥2，但a3＝＜1，則不成立，是不必要條件，則“a3≥1”是“a1+a5≥2”的充分不必要條件．故選：C．11．【答案】D【解答】解：一個信息設備裝有一排六只發光電子元件，每個電子元件被點亮時可發出紅色光、藍色光、綠色光中的一種光．若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，根據這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數共有×3×3×3＝108種．故選：D．12．【答案】B【解答】解：對于①，因為f（x）＝ex﹣e﹣x的定義域為R，且f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數，所以①正確，對于②，由f（x）＝ex﹣e﹣x，得f′（x）＝ex+e﹣x＞0，所以f（x）在R上是增函數，所以②正確，對于③，令g（x）＝f（x）﹣x2﹣2x＝ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，因為g（0）＝0，所以方程所以f（x）＝x2+2x有一個根為0，因為g（2）＝e2﹣e﹣2﹣8＜0，g（3）＝e3﹣e﹣3﹣15＞0，所以方程f（x）＝x2+2x在（2，3）至少有一個根，所以③錯誤，對于④，若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即ex﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，令h（x）＝ex﹣e﹣x﹣kx，則h′（x）＝ex+e﹣x﹣k，，當且僅當ex＝e﹣x，即x＝0時取等號，因為x＞0，所以取不到等號，所以ex+e﹣x＞2，若k≤2，則h′（x）＞0恒成立，所以h（x）在x∈（0，+∞）上遞增，所以h（x）＞h（0）＝0，即ex﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，若k＞2，則存在x0∈（0，+∞）使h′（x0）＝0，所以當0＜x＜x0時，h'（x）＜0，當x＞x0時，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，所以h（x）在（0，x0）上，有h（x）＜h（0）＝0不合題意，綜上，k≤2，所以k的最大值為2，所以④正確．故選：B．二.填空題（共8道題，每題4分，共32分）13．【答案】2a．【解答】解：因為f′（x0）＝a，則＝2＝2f′（x0）＝2a．故答案為：2a．14．【答案】6．【解答】解：∵y＝﹣x2+7x+lnx，∴，∴曲線y＝﹣x2+7x+lnx在點（1，6）處的切線的斜率為．故答案為：6．15．【答案】2n+1﹣n﹣2．【解答】解：因為，所以，，???，a2﹣a1＝2，以上各式左右分別相加，得：an﹣a1＝2n﹣1+2n﹣2+???+2＝＝2n﹣2，又因為a1＝1，所以，所以+（22﹣1）+?+﹣2．故答案為：2n+1﹣n﹣2．16．【答案】．【解答】解：根據題意，等比數列{an}中，設其公比為q，若a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，則q＝＝﹣，又由a1+a3＝10，即a1+a1＝10，解可得a1＝8，則其前5項的和S5＝＝＝．故答案為：．17．【答案】48．【解答】解：先排四個學生，因為四個學生坐在偶數位，所以四個學生的坐法有種，再排四個家長，每一種學生的坐法都對應2種家長坐法，所以滿足要求的坐法共有2＝48種．故答案為：48．18．【答案】見試題解答內容【解答】解：取an＝n+，滿足條件a1＞a2，an＜an+1（n≥2）”，則{an}的通項公式可以為：an＝n+，（答案不唯一）．故答案為：an＝n+．19．【答案】66．【解答】解：由題意，從西南角A地到東北角B地的最短路線，共需要走9步，其中4步向上，5步向右，共有種不同的走法，又由中間的矩形中沒有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要連續走2步，共有種不同的走法，所以從西南角A地到東北角B地的最短路線共有種不同的走法．故答案為：66．20．【答案】①③④．【解答】解：對于①：因為f（x）的定義域為R，且y＝1+e﹣x在R上單調遞減，所以f（x）是R上的增函數，故①正確；對于②：因為對任意x∈R恒成立，則，令，整理得ex+1＞ex+2，且y＝ex是R上的增函數，則ex+1＜ex+2，即ex+1＞ex+2無解，所以不存在x∈R，輸入x會提示“可能出現梯度爆炸”，故②錯誤；對于③④：因為f（x）是R上的增函數，則f（x+1）＞f（x），即f（x+1）﹣f（x）＞0，則，令，則，令h（x）＝e2x+1﹣1，則h（x）在R上單調遞增，且，當時，h（x）＞0，即g′（x）＜0，可知g（x）在上單調遞減；當時，h（x）＜0，即g′（x）＞0，可知g（x）在上單調遞增；對于③：因為g（x）在[5，+∞）上單調遞減，所以，且，即g（x）＜e﹣5對任意x≥5恒成立，所以當a＝e﹣5時，?x≥5，輸入x會提示“可能出現梯度消失”，故③正確；對于④：，且當x趨近于+∞或﹣∞時，g（x）趨近于0，所以g（x）的值域為，所以對?a＞0，?x∈R，輸入x會提示“可能出現梯度消失”，故④正確；故答案為：①③④．三、解答題（共5道題，共70分）21．【答案】（1）2；（2）答案見解答．【解答】解：（1）因為f（x）＝x2﹣5x+alnx，所以，由題意得f′（2）＝0，即，解得a＝2，經檢驗符合題意；（2）由（1）得f（x）＝x2﹣5x+2lnx，，則，由f′（x）＞0得或2＜x＜4，f′（x）＜0得，即f（x）的單調遞增區間為，（2，4），單調遞減區間為，所以f（x）的極大值為，極小值為f（2）＝﹣6+2ln2．22．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：因為△ADP是等邊三角形，E為DP的中點，所以AE是等邊△ADP的中線，所以AE⊥PD，又CD⊥平面ADP，AE?平面ADP，所以CD⊥AE，又CD?平面PDC，PD?平面PDC，CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PDC；（2）解：取PC的中點F，連接EF，BF，因為CD⊥平面ADP，EF∥CD，所以EF⊥平面ADP，以E為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系E﹣xyz，則P（3，0，0），，C（﹣3，0，4），則，，設平面PBC的法向量為，則，即，令x＝2，則y＝0，z＝3，即，顯然平面ABE的一個法向量為，設平面PBC與平面ABE的夾角為θ，所以cosθ＝，故平面PBC與平面ABE夾角的余弦值為．23．【答案】（1）a3＝﹣1；（2）答案見解析．【解答】解：（1）∵{bn}為等比數列，b1＝1，b4＝8，設{bn}的公比為q，則．解得q＝2．∴b2＝2．∵a2+b2＝2，∴a2＝0．∵{an}為等差數列，a1＝1，∴公差d＝a2﹣a1＝﹣1，則a3＝﹣1．（2）若選擇條件①，∵{an}為等差數列，{bn}為等比數列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，a5＝3，設{an}的公差為，∴，，此時{bn}不是遞增數列，故不符題意，則不能選條件①．若選擇條件②，∵{an}為等差數列，{bn}為等比數列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝3，設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則即解得q＝2或q＝0（舍），故條件②符合題意，∴，．若選擇條件③，∵{an}為等差數列，{bn}為等比數列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，，∴a3＝6，設{an}的公差，∴，，此時{bn}不是遞增數列，故不符題意，則不能選條件③．24．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）當a＝1時，則，f′（x）＝lnx+1﹣x，所以f′（1）＝0，所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），且f′（x）＝alnx+a﹣x+（1﹣a）＝alnx﹣x+1，令g（x）＝f′（x）＝alnx﹣x+1，則，因為a＜0，所以g′（x）＜0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上單調遞減，即f′（x）在（0，+∞）上單調遞減，又f′（1）＝0，所以當0＜x＜1時f′（x）＞0，當x＞1時f′（x）＜0，則f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，所以f（x）在x＝1處取得極大值，無極小值．（3）令f（x）＝0，即，因為x＞0，所以，令，所以判斷f（x）的零點個數，即判斷F（x）的零點個數，又，，所以當0＜x＜2a時F′（x）＞0，當x＞2a時F′（x）＜0，所以F（x）在（0，2a）上單調遞增，在（2a，+∞）上單調遞減，所以F（x）max＝F（2a）＝aln（2a）﹣2a+1，令，x∈[1，2]，則，因為x∈[1，2]，所以，所以H（x）在[1，2]上單調遞減，所以H（x）≤H（1）＝0，所以F（2a）≤0，當且僅當時等號成立，所以當時F（x）有一個零點，即f（x）有一個零點，當時F（x）無零點，即f（x）無零點，綜上可得當時f（x）有一個零點，當時f（x）無零點．25．【答案】（Ⅰ）數列{an}是周期數列，其周期為1（或任意正整數），數列{bn}是周期數列，其周期為6（或6的正整數倍）；（Ⅱ）證明過程見解析；（Ⅲ）當m是奇數時，k的最大值為2m+4；當m是偶數時，k的最大值為2m+3．【