試題PAGE1試題2024北京育才學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)（120分鐘，150滿分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.若，則（）A. B. C. D.2.數(shù)列滿足且，則的值是（）A. B.4 C.1 D.3.據(jù)天氣預(yù)報(bào)，春節(jié)期間甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3．這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雪相互之間沒(méi)有影響，那么春節(jié)期間兩地都不降雪的概率是（）A.0.7 B.0.42 C.0.12 D.0.464.在等比數(shù)列中，已知，，則的值為（）A. B.4 C. D.5.將一枚均勻硬幣隨機(jī)擲2次，恰好出現(xiàn)1次正面向上的概率為（）A. B. C. D.6.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)該數(shù)列的前項(xiàng)和達(dá)到最小時(shí)，等于A.24 B.25 C.26 D.277.在曲線的圖象上取一點(diǎn)及鄰近一點(diǎn)，則為（）A. B.2 C. D.8.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟四斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償4斗粟，羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問(wèn)題中，牛主人比羊主人多賠償了多少斗（）A. B. C. D.9.在等差數(shù)列中，“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.數(shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一行增加兩項(xiàng)，則在圖中位于（）A.第31行第38列 B.第31行第39列C.第32行第38列 D.第32行第39列二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．）11.已知，則________.12.已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X012P0.4p0.4則p＝___；D（X）＝___．13.設(shè)盒中有大小相同的“中華”牌和“紅星”牌玻璃球，“中華”牌的10個(gè)，其中3個(gè)紅色，7個(gè)藍(lán)色；“紅星”牌的6個(gè)，其中2個(gè)紅色，4個(gè)藍(lán)色．現(xiàn)從盒中任取一個(gè)球，已知取到的是藍(lán)色球的前提下，則它是“紅星”牌的概率是______．14.在等比數(shù)列中，，，則______．15.在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____，的最小值為_(kāi)_____.三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.）16.已知是等比數(shù)列，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若等差數(shù)列滿足，，求的前n項(xiàng)和.17.甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為．（1）求乙投球次的命中率；（2）若甲、乙兩人各投球次，求兩人共命中次的概率．18.某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）19.已知等差數(shù)列中，，______，其中，設(shè)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．從①，②，③前項(xiàng)和，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．20.已知函數(shù)（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若的一條切線恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求切線的方程．21.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為,，其中．（1）求的值；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）是否存在，使得若存在，求出所有的n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.【答案】B【分析】直接利用余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕蔬xB.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.2.【答案】C【分析】由遞推關(guān)系，判斷數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意，由于，可知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，故選：C．3.【答案】B【分析】求出兩個(gè)事件的對(duì)立事件的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到結(jié)果.【詳解】設(shè)“甲地降雪”為事件A，“乙地降雪”為事件B,“甲乙兩地都不降雪”即事件與同時(shí)發(fā)生，即，，，利用獨(dú)立事件的性質(zhì)可知，事件與相互獨(dú)立，所以，所以甲乙兩地都不降雪的概率為.故選：B.4.【答案】B【分析】利用等比中項(xiàng)性質(zhì)列式求解【詳解】等比數(shù)列中，.故選：B.5.【答案】D【分析】先列出事件發(fā)生的總可能情況數(shù)，再求問(wèn)題的事件發(fā)生情況數(shù)，利用古典概型概率公式求結(jié)論.【詳解】拋擲硬幣次所有可能結(jié)果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），其中恰好出現(xiàn)次正面向上的結(jié)果有（正，反），（反，正），據(jù)此可得事件恰好出現(xiàn)次正面向上的概率.故選：D.6.【答案】A【分析】計(jì)算出，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴當(dāng)n=24時(shí)，達(dá)到最小時(shí)，故選：A7.【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率，代入計(jì)算即得．【詳解】由題可得.故選：C．8.【答案】B【分析】根據(jù)羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃跀?shù)成等比數(shù)列和總賠償數(shù)，可構(gòu)造方程分別求得羊主人和牛主人賠償?shù)亩窋?shù)，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃跀?shù)成等比數(shù)列，公比為，設(shè)羊主人賠償粟，則，解得：；羊主人賠償粟，牛主人賠償粟，牛主人比羊主人多賠償粟.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】當(dāng)?shù)墓顣r(shí)，由，得m是任意的正整數(shù)，由，得，則“”是“”的必要不充分條件．故選:A.10.【答案】D【分析】根據(jù)條件得到三角形形狀第行的總項(xiàng)數(shù)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，從而求三角形形狀第一行第一項(xiàng)到第行最后一項(xiàng)的總項(xiàng)數(shù)，即可得到第行最后一項(xiàng)，即可判斷在圖中位置.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一行增加兩項(xiàng)，則三角形形狀第行的總項(xiàng)數(shù)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即第行的總項(xiàng)數(shù)，所以三角形形狀第一行第一項(xiàng)到第行最后一項(xiàng)的總項(xiàng)數(shù)為，則第行最后一項(xiàng)為，因?yàn)椋栽趫D中位于第行的列.故選：D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．）11.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t.故答案為：12.【答案】①.##②.##【分析】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知，求得；利用期望和方差的公式求得；【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，知，所以，，；故答案為：；.13.【答案】【分析】設(shè)出事件，求出兩事件的概率，利用條件概率公式求出答案；【詳解】設(shè)取到的球是藍(lán)色球?yàn)槭录〉降那蚴恰凹t星”牌玻璃球?yàn)槭录瑒t，，所以，故答案為：.14.【答案】【分析】首先得到的通項(xiàng)公式，即可得到，再利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕裕?

故答案為：15.【答案】①.②.【分析】求出等差數(shù)列的首項(xiàng)，直接求出的通項(xiàng)公式即可，利用數(shù)列的單調(diào)性得最小項(xiàng)為，利用累加法即可求解.【詳解】由題意，又等差數(shù)列的公差為1，所以；故，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，顯然的最小值是.又，所以，即的最小值是.故答案為：，三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）由求出，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式；（2）由解出首項(xiàng)和公差，再由求和公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公比為，因?yàn)椋浴拘?wèn)2詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋裕獾霉?7.【答案】（1），（2）.【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求乙兩次都沒(méi)有命中的概率，列方程求可得結(jié)論；（2）求出甲只有一次命中、乙2次都命中的概率，再求出乙只有一次命中、甲2次都命中的概率，把這兩個(gè)概率相加，即為所求．【小問(wèn)1詳解】設(shè)“甲投球一次命中”為事件,“乙投球一次命中”為事件，由已知，，則乙投球2次均未命中的概率，由題意得，解得或（舍去），乙投球次的命中率為.【小問(wèn)2詳解】事件甲、乙兩人各投球2次，兩人共命中3次，可表示為事件甲只有一次命中、乙2次全部命中，與事件乙只有一次命中、甲2次全部命中的和事件．而甲只有一次命中、乙2次全部命中的概率為，而乙只有一次命中、甲2次全部命中的概率為，故兩人共命中3次的概率為．所以甲、乙兩人各投球次，兩人共命中次的概率為.18.【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19.【答案】（1）選①，②，③的答案都為，（2）.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，若選①，由關(guān)系求公差，再由通項(xiàng)公式求，若選②，由遞推關(guān)系求公差，再由通項(xiàng)公式求，若選③，由時(shí)，，可求，由此可確定其通項(xiàng)；（2）先求，然后利用分組求和的方法求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，若選①，由，可得，，所以，若選②，由可得，，又，所以，若選③，由，可得當(dāng)時(shí)，，又，滿足關(guān)系，所以，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋运裕凰裕?20.【答案】（1）（2）【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算，得到切線方程.（2）設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)計(jì)算得到切線斜率，確定函數(shù)切線方程，根據(jù)切線過(guò)原點(diǎn)得到，計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕?故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，.因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故，所以，故，切點(diǎn)為，切線方程為，即過(guò)原點(diǎn)的切線方程為.21.【答案】