試題PAGE1試題2024北京五十五中高二（下）期中數學本試卷共4頁，共150分，調研時長120分鐘第一部分（選擇題共40分）一．選擇題．共10小題，每小題4分，共40分．每題4個選項中只有一個選項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.2.的展開式中含的項的系數為（）A.24 B. C.6 D.3.下列給出四個求導的運算：①；②；③；④．其中運算結果正確的是（）A.①④ B.①③ C.①②④ D.②③④4.某校地理小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數據繪制成散點圖如圖，則下列說法不正確的是（）A.氣壓與海拔高度呈正相關 B.沸點與氣壓呈正相關C.沸點與海拔高度呈負相關 D.沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強5.已知是的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（）A. B.C. D.6.某年級共200人參加進行物理測試，滿分100分，（參考數據：，，）學生的抽測結果服從正態分布，其中60分為及格線，80分為良好線，90分為優秀線，則抽測結果在及格線以上學生人數大約為（）A.137 B.168 C.191 D.1957.一個盒中有10個球，其中紅球7個，黃球3個，隨機抽取兩個，則至少有一個黃球的概率為（）A. B. C. D.8.甲、乙兩選手進行乒乓球比賽的初賽，已知每局比賽甲獲勝的概率是0.3，乙獲勝的概率是0.7，若初賽采取三局兩勝制，則乙最終獲勝的概率是（）A.0.216 B.0.432 C.0.648 D.0.7849.已知函數，若存在，使，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.10.二進制數是用0和1表示的數，它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”，二進制數(）對應的十進制數記為，即其中，，則在中恰好有2個0的所有二進制數對應的十進制數的總和為（）A.1910 B.1990 C.12252 D.12523第二部分（非選擇題共110分）二．填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.雙曲線的左右焦點分別是與是雙曲線右支的一點，且，則______．12.袋中有大小相同的4個紅球和2個白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則______．13.已知的展開式中，各項系數之和為，則二項式系數之和為___________.14.某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同排法種數是________；15.設函數，①若有兩個零點，則實數的一個取值可以是______；②若是上的增函數，則實數的取值范圍是______．三．解答題：共6小題，共85分．16.為提升學生綜合素養，某中學為高二年級提供了“書法”和“剪紙”兩門選修課．為了了解選擇“書法”或“剪紙”是否與性別有關，調查了高二年級1500名學生的選擇傾向，隨機抽取了100名，統計選擇兩門課程人數如下表．選書法選剪紙合計男生4050女生合計30（1）補全列聯表；（2）根據小概率值的獨立性檢驗，在犯錯概率不超過的前提下，是否可以認為選擇“書法”或值“剪紙”與性別有關？（計算結果保留到小數點后三位）參考公式：，其中．0.1000.0500.0252.7063.8415.02417.某地區2019年至2023年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數據如下表：年份20192020202120222023年份代號x12345人均純收入2.33.34.14.44.9（1）由表可知與具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，預測該地區2025年農村居民家庭人均純收入；（3）用（1）中所求線性回歸方程得到與對應的人均純收入預測值，當數據對應殘差的絕對值時，將該數據稱作一個“好數據”，經過計算統計得到這5個數據中“好數據”有2個，不是“好數據”的有3個，現從5個數據中任選3個，求恰好有兩個“好數據”的概率.附：參考數據及公式：.18.某學校為了解學生的睡眠情況，從高一和高二年級中隨機抽取各40名學生，統計他們一周平均每天的睡眠時間作為樣本，統計結果如圖.（1）從該校高一年級學生中隨機抽取1人，估計該生平均每天的睡眠時間不少8小時的概率；（2）從該校高二年級學生中隨機抽取2人，這2人中平均每天的睡眠時間為8小時或8.5小時的人數記為求的分布列和數學期望；（3）從該校高一年級學生中任取1人，其平均每天的睡眠時間記為，從該校高二年級學生中任取1人，其平均每天的睡眠時間記為，試比較方差與的大小．（只需寫出結論）19.橢圓的左右頂點分別為、，點在上且面積最大值為2.過點和點的直線與交于另外一點，且關于軸的對稱點為.（1）求橢圓的標準方程；（2）試判斷直線MC是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；（3）線段MC的長度能否為下列值：、？請直接寫出結論.20.已知函數.（1）求曲線的斜率為1的切線方程；（2）證明：；（3）設，求在區間上的最大值和最小值.21.已知，，，記，用表示有限集合的元素個數.（I）若，，，求；（II）若，，則對于任意的，是否都存在，使得？說明理由；（III）若，對于任意的，都存在，使得，求的最小值.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一．選擇題．共10小題，每小題4分，共40分．每題4個選項中只有一個選項是符合題目要求的．1.【答案】D【分析】拋物線交點坐標為，算出即可.【詳解】由，得，故拋物線的焦點坐標為.故選：D.【點睛】本題考查拋物線的定義及方程，求拋物線焦點坐標時，一定要注意將方程標準化，本題是一道基礎題.2.【答案】A【分析】寫出展開式的通項，從而計算可得.【詳解】二項式展開式的通項為（且），所以展開式中含的項為，即展開式中含的項的系數為.故選：A3.【答案】C【分析】根據導數四則運算法則及復合函數求導公式即可判斷．【詳解】，故①正確；，故②正確；，故③錯誤；，故④正確，故選：C．4.【答案】A【分析】利用散點圖的規律分析氣壓與高度、沸點與氣壓、沸點與海拔高度的相關性即可判定．【詳解】由圖1知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由圖2知沸點隨氣壓的升高而升高，所以氣壓與海拔高度呈負相關，沸點與氣壓呈正相關，沸點與海拔高度呈負相關．由于兩個散點圖中的點都呈線性分布，所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強，故B，C，D正確，A錯誤．故選：A．5.【答案】D【分析】由導數的幾何意義可知，原函數先增長“迅速”，后增長“緩慢”.【詳解】由題中的圖象可以看出，在內，，且在內，單調遞增，在內，單調遞減，所以函數在內單調遞增，且其圖象在內越來越陡峭，在內越來越平緩．故選：D．6.【答案】B【分析】根據正態分布的概率分布即可求解.【詳解】因為服從正態分布，所以，所以抽測結果在及格線以上學生人數所占比例為，所以人數為.故選：B.7.【答案】D【分析】記抽取黃球的個數為X，則由題意可得X服從超幾何分布，然后根據超幾何分布的概率公式求解即可.【詳解】記抽取黃球的個數為X，則X服從超幾何分布，其分布列為，，1，2．所以，．或．故選：D．8.【答案】D【分析】根據題意結合獨立事件概率公式運算求解.【詳解】兩局結束比賽，乙獲勝的概率為；三局結束比賽，則前兩局乙勝一局，甲勝一局，第三局乙獲勝，故乙獲勝的概率為；所以乙最終獲勝的概率為.故選：D.9.【答案】C【分析】將題意轉化為，，令，即，對求導，求出在的最大值即可得出答案.【詳解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以所以.故選：C.10.【答案】D【分析】利用等比數列前n項和以及組合數問題可解【詳解】根據題意得，因為在中恰好有2個0的有=28種可能，即所有符合條件的二進制數的個數為28．所以所有二進制數對應的十進制數的和中，出現=28次，，…，2，均出現=21次，所以滿足中恰好有2個0的所有二進制數對應的十進制數的和為故選：D．第二部分（非選擇題共110分）二．填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】1【分析】根據雙曲線的定義即可求解.【詳解】由雙曲線的定義可知，，所以.故答案為：1.12.【答案】##【分析】由題得和，由條件概率公式計算即可．【詳解】由題可知，，，故，故答案為：．13.【答案】【分析】令，結合二項式各項系數和可求得的值，進而可求得該二項式系數之和.【詳解】因為的展開式中，各項系數之和為，令，可得，解得，因此，二項式系數之和為.故答案為：.14.【答案】【分析】先排數學、體育，再排其余4節，利用乘法原理，即可得到結論．【詳解】解：由題意，要求數學課排在上午，體育課排在下午，有種再排其余4節，有種，根據乘法原理，共有種方法，故答案為：．15.【答案】①.（內的值都可以）②.或【分析】①分析函數的性質，確定零點所在的區間，通過解方程的方法，即可求解；②根據分段函數的形式，確定兩段函數都是單調遞增，并根據分界點處函數值的關系不等式，即可求解.【詳解】①函數在上單調遞增，，所以函數在區間上無零點，則函數在上有2個零點，即，，則，或或，，則，解得：，所以的一個值是；②函數在上單調遞增，則在上，也單調遞增，且，若函數在在區間單調遞增，則，即在區間上恒成立，即，即，不等式，解得：或，綜上可知，或.故答案為：（內的值都可以）；或三．解答題：共6小題，共85分．16.【答案】（1）表格見解析（2）能認為.【分析】（1）根據題意與表中數據計算即可補全列聯表.（2）根據題意求出，與臨界值比較即可.【小問1詳解】根據題意，共抽取了100人，則補全列聯表如表所示.選書法選剪紙合計男生401050女生302050合計7030100【小問2詳解】設零假設：選擇“書法”或值“剪紙”與性別無關.由表中數據，可得，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設不成立，即能認為選擇“書法”或值“剪紙”與性別有關，此推斷犯錯的概率不超過.17.【答案】（1）（2）千元（3）【分析】（1）根據已知數據，結合參考數據，分別求得與，即可求得結果；（2）令，即可求得結果；（3）根據題意求得好數據個數，再結合組合數，根據古典概型的概率計算公式求解即可.【小問1詳解】根據已知數據以及參考數據可得：，；又，故，，故所求線性回歸方程為：.【小問2詳解】根據（1）所求可得：，令，解得，故預測該地區2025年農村居民家庭人均純收入為千元.【小問3詳解】根據題意，結合所求線性回歸方程可得如下表格：年份20192020202120222023年份代號x12345人均純收入2.33.34.14.44.92.543.173.84.435.060.240.130.30.030.16根據“好數據”定義，故組數據中，“好數據”有2組，不是“好數據”的有3組，設從5個數據中任選3個，恰好有兩個“好數據”是事件，則.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）根據古典概型概率計算公司號求得正確答案.（2）先求得高二學生平均每天的睡眠時間為小時或小時的概率，然后根據二項分布的知識求得的分布列和數學期望.（3）通過觀察條形圖求得正確答案.【小問1詳解】記事件為“從該校高一學生中隨機抽取1人，該生平均每天的睡眠時間不少于8小時”，樣本中高一學生人數為：，其中平均每天的睡眠時間不少于小時的人數為，則.【小問2詳解】從高二年級學生中隨機抽取1人，其平均每天的睡眠時間為小時或小時的概率為.的可能取值為，故；；.則的分布列為：.【小問3詳解】通過觀察條形圖可知，高一年級和高二年級的統計數據有對稱性，根據方差的定義可知：.19.【答案】（1）（2）直線MC過定點，定點坐標（3）線段MC的長度能為，不能為【分析】（1）當在短軸的端點時，取得面積的最大值，表示出的面積即可求出的值，即可求出橢圓E的標準方程；（2）聯立直線的方程和橢圓方程，化簡寫出根與系數關系，求得直線的方程，結合根與系數關系來判斷出直線過定點.（3）求出的最大值和最小值即可得出答案.【小問1詳解】當在短軸的端點時，取得面積的最大值，則，所以橢圓E的標準方程為：.【小問2詳解】，依題意可知直線的斜率存在且不為，設直線的方程為，設，,消去并化簡得，需滿足，則，直線的方程為，根據橢圓的對稱性可知，若直線過定點，則定點在軸上，由此令得，即，所以定點為.【小問3詳解】因為直線MC過點，所以的最小值為過點且垂直軸時的弦長，令，則，解得，故.的最大值為長軸長，故，所以，所以線段MC的長度能為，不能為.20.【答案】（1）（2）證明見解析（3），【分析】（1）求出函數的導函數，令求出，即可求出切點的橫坐標，從而求出切點坐標，即可求出切線方程；（2）求出函數的單調性，即可求出函數的最小值，即可得證；（3）求出函數的導函數，即可求出函數的單調性，從而求出