試題PAGE1試題2024北京牛欄山一中高二（下）期中數學2024.05第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，四個選項中只有一個符合題目）1.二項式的展開式中常數項為（）A.第1項 B.第2項 C.第3項 D.第4項2.已知在等差數列中，，，則公差等于（）A.8 B.6 C.4 D.3.某校運動會負責播出稿件的志愿者有2人，負責給運動員引領的志愿者有5人，現要從這7人中選出3人組成慰問團，要求每項志愿服務都要有人參與，則不同的選法共有（）A.16種 B.20種 C.25種 D.28種4.投擲一枚質地均勻的骰子兩次，記兩次的點數不同，兩次的點數之和小于6，則在發生條件下發生的概率為（）A. B. C. D.5.判斷函數在下面哪個區間內是增函數（）A. B.C. D.6.已知函數的導函數圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.是極大值點C.的圖象在點處的切線的斜率等于0D.在區間內一定有2個極值點7.數列是等比數列，則對于“對于任意的，”是“是遞增數列”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分也不必要8.已知等比數列的前項和為，下表給出了的部分數據：123456…161那么數列的第4項等于（）A. B. C.或27 D.或819.從甲地到乙地共有、、三條路線可選擇，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，若李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，則堵車的概率為（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.910.函數（其中）．關于函數有四個結論：①，函數在內單調遞增；②，函數在內有最小值；③，使得函數在內存在兩個零點；④，使函數在內存在2個極值點．其中正確結論的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個第Ⅱ卷二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.和的等比中項是______．12.將一枚質地均勻的骰子連續拋擲3次，記為“正面點數不大于2”出現的次數，則隨機變量的方差______．13.將三個人隨機安排到甲、乙、丙、丁這四個部門工作，已知甲部門一定有人，則不同的安排方法種數是______．14.已知函數，，若對于任意的，使得恒成立，則實數的取值范圍是______．15.已知點列，其中，，是線段的中點，是線段的中點，……是線段的中點，……．記，則．______；______．三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明過程或演算步驟．）16.已知二項式，且滿足．（1）求值，并求二項式系數最大的項；（2）求二項展開式中含項的系數；（3）請直接寫出展開式中所有項的系數的和．（此題涉及的系數一律用數字作答）17.已知數列是公差為的等差數列，數列是公比為的等比數列，且，，．（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和的最值；（3）設，求數列的前項和．18.2022年2月4日晚，璀璨的煙花點亮“鳥巢”上空，國家體育場再次成為世界矚目的焦點，北京成為奧運歷史和人類歷史上第一座舉辦過夏奧會和冬奧會的“雙奧之城”，奧林匹克夢想再次在中華大地綻放．冰雪歡歌耀五環，北京冬奧會開幕式為第二十四屆“簡約、安全、精彩”的冬奧盛會拉開序幕．某中學課外實踐活動小組在某區域內通過一定的有效調查方式對“開幕式”當晚的收看情況進行了隨機抽樣調查．統計發現，通過電視收看的占，通過手機收看的占，其他為未收看者．（1）從該地區被調查對象中隨機選取4人，用表示這4人中通過電視收看的人數，求“4人中恰有3人是通過電視收看”的概率以及；（2）采用分層隨機抽樣方法從該地區被調查對象中抽取6人，再從這6人中隨機選出3人，用表示這3人中通過手機收看的人數，求的分布列和．（3）從該地區被調查對象中隨機選取3人，若3人中恰有1人用手機收看，1人用電視收看，1人未收看的概率為；若3人全都是用電視收看的概率為．試比較與的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y論）19.已知為實數，函數．（1）當時，求曲線在點處的切線的方程；（2）當時，求函數的極小值點；（3）當時，試判斷函數的零點個數，并說明理由．20.已知函數．（1）求曲線過點的切線方程；（2）當時，求證：存在實數，使得．21.已知集合，對于，，定義與之間的距離為．（1）已知，寫出所有的，使得；（2）已知，若，并且，求的最大值；（3）設集合中有個元素，若中任意兩個元素間的距離的最小值為，求證

參考答案第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，四個選項中只有一個符合題目）1.【答案】C【分析】寫出展開式的通項，令，求出，即可得解.【詳解】二項式展開式的通項為（），令，解得，所以二項式的展開式中常數項為第項.故選：C2.【答案】A【分析】根據下標和性質求出，即可求出公差.【詳解】是等差數列，，即，．故選：A．3.【答案】C【分析】分負責播出稿件的志愿者有一名和兩名兩種情況討論，利用組合數公式及分步乘法計算原理計算可得.【詳解】依題意慰問團可能有一名負責播出稿件的志愿者、兩名負責給運動員引領的志愿者，或有兩名負責播出稿件的志愿者、一名負責給運動員引領的志愿者，則不同的選法共有種．故選：C．4.【答案】B【分析】根據給定條件，求出事件A含有的基本事件數，事件含有的基本事件數，再利用條件概率公式計算即得.【詳解】依題意，投擲一枚質地均勻的骰子兩次，有36個不同結果，其中兩次點數相同的有6個，因此事件A含有的基本事件數為30，事件含有，共8個結果，所以在發生條件下發生的概率為.故選：B5.【答案】C【分析】求出函數導數，分別判斷導數在各區間的正負即可得出單調性.【詳解】，對A，當時，，，函數單調遞減，故A錯誤，對B，當時，，，函數單調遞減，故B錯誤；對C，當時，，，函數單調遞增，故C正確；對D，當時，，，函數單調遞減，故D錯誤.故選：C.6.【答案】D【分析】根據函數的圖象，結合導函數與原函數的關系，以及導數的幾何意義、函數的極值點的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由函數的圖象，可得當時，，所以函數在區間為單調遞增函數，所以，所以A錯誤；對于B中，由A知，函數在區間為單調遞增函數，因為，所以不是函數的極值點，所以B錯誤；對于C中，由函數的圖象，可得，所以函數的圖象在點處的切線的斜率大于，所以C不正確；對于D中，由函數的圖象，當時，；當時，；當時，，所以函數在區間上單調遞增，在區間上單遞減，在單調遞增，所以是函數的極大值點，是函數的極小值點，所以D正確.故選：D.7.【答案】C【分析】根據充分條件、必要條件的定義及等比數列的單調性與通項公式判斷即可.【詳解】設等比數列的公比為，，若，則，當時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數列．當時，由，得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數列．反之，若是遞增數列，則，所以“對于任意的，”是“是遞增數列”的充要條件．故選：C．8.【答案】A【分析】根據給定的數表，求出，進而得，再結合等比數列前項和公式及確定公比即可得解.【詳解】設等比數列的公比為，而，又，，因此，又，則，解得，所以數列的第4項.故選：A9.【答案】B【分析】根據全概率公式計算可得.【詳解】依題意李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，即選擇、、路線的概率均為，又選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，所以堵車的概率.故選：B10.【答案】B【分析】求出函數的導函數，根據結論中的范圍，得到函數的單調性，分別判斷函數的最值，零點個數和極值點個數，從而可得答案．【詳解】函數的定義域，，①當時，恒成立，所以函數在內單調遞增，故①正確；②當時，令，解得或（舍去），當時，，當時，，所以在上單調遞增，上單調遞減，所以當，函數在內沒有最小值，故②錯誤；③當時，在上單調遞增，上單調遞減，當時，，當時，，取時，，，此時函數在內存在兩個零點，故③正確；④由以上分析可知和時，函數在內都不存在個極值點，當時，在上單調遞增，不存在極值點，故不存在，使函數在內存在個極值點，故④錯誤．故選：B．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】設和的等比中項為，依題意得到方程，解得即可.【詳解】設和的等比中項為，則，解得.故答案為：12.【答案】【分析】求出正面點數不大于2的概率，再利用二項分布的方差公式計算即得.【詳解】依題意，拋擲一枚骰子一次，正面點數不大于2的概率，因此，所以.故答案為：13.【答案】37【分析】利用對立事件法求解，先計算總數，在計算甲部門沒有人的種數?！驹斀狻肯炔豢紤]甲部門是否有人，總數為種；甲部門沒有人的種數為種；所以甲部門有人的安排方法種數為種；故答案為：3714.【答案】【分析】由題意可得，利用導數求出的最大值，利用二次函數的性質求出的最小值，解不等式即可求解的范圍．【詳解】若對于任意的，，使得恒成立，則當時，，對于函數，，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，對于函數，，圖象開口向上，對稱軸為，所以，所以，解得，所以實數的取值范圍是．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是轉化為當時，，利用導數及二次函數分別求出、.15.【答案】①.##②.【分析】利用中點坐標公式結合題意可求出，從而可求出，再由以及等比數列的定義、通項公式與求和公式即可求出.【詳解】因為是線段的中點，，所以，因為，，所以，，所以，因為，，所以，即，所以數列是以為公比，為首項的等比數列，所以，所以，故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：此題考查等比數列的定義、通項公式與求和公式的應用，解題的關鍵是根據已知的遞推式化簡變形得數列是以為公比，2為首項的等比數列，考查數學計算能力，屬于較難題.三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明過程或演算步驟．）16.【答案】（1），（2）（3）【分析】（1）根據組合數公式得到方程，即可求出，再寫出展開式的通項，即可求出二項式系數最大項；（2）令，解得，再利用通項計算可得；（3）令，即可求出各項系數和.【小問1詳解】因為，即，整理得，解得或（舍去），故．所以展開式的通項為（且），則，故二項式系數的最大項為第項，為．【小問2詳解】令，解得，所以，所以二項展開式中含項的系數為；【小問3詳解】對于，令可得，所以展開式中所有項的系數的和為.17.【答案】（1），（2），沒有最大值（3）【分析】（1）根據下標和性質求出，即可求出公差，從而求出的通項公式，再求出，即可求出，從而求出的通項公式；（2）根據等差數列求和公式及二次函數的性質計算可得；（3）由（1）可得，再由等比數列求和公式計算可得.【小問1詳解】因為數列是公差為的等差數列，數列是公比為的等比數列，且，，即，所以公差，則，所以，又因為，，即，所以公比，所以；【小問2詳解】數列的前項和，所以或時，取得最小值，且，沒有最大值；【小問3詳解】由（1）可得，所以的前項和．18.【答案】（1），．（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）依題意，根據二項分布概率公式及期望公式計算可得；（2）依題意的可能取值為，，，，求出所對應的概率，即可得到分布列與數學期望；（3）分別求出與，然后即可比較大小．【小問1詳解】依題意，記“人中恰有人是通過電視收看”為事件，則，又．【小問2詳解】由題可知人中，通過電視收看的人，通過手機收看的人，其他為未收看者人，所以的可能取值為，，，，所以，，，，所以的分布列為：0123故；【小問3詳解】依題意可得，，所以．19.【答案】（1）；（2）；（3）2，理由見解析.【分析】（1）把代入，求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程.（2）把代入，利用導數結合極值點的定義求解即可.（3）根據絕對值的意義，結合導數及零點的定義、零點存在定理分類討論進行求解即可.【小問1詳解】當時，函數，求導得，則，而，于是切線方程為，即，所以曲線在點處的切線的方程.【小問2詳解】當時，，求導得，當時，，當時，，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數有且僅有一個極小值點.【問3詳解】函數的零點個數為2，理由如下：①當時，，而，求導得，因此函數在區間上單調遞減，，即函數在區間上有且僅有一個零點；②當時，，求導得，由，得，函數在上單調遞增，，于是，即恒成立，函數在區間上單調遞增，又，因此函數在區間上有且僅有一個零點．綜上，函數的零點個數為2．【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據絕對值的性質分和兩種情況進行討論求解.20.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）當時切線不存在，當時，求出函數的導函數，切點，根據導數的幾何意義得到切線的斜率，結合直線的點斜式方程，即可求解；（2）當時，有，即存在實數使；當，時，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，由單調性求出函數的極小值，再由導數求出極小值的最大值得答案．【小問1詳解】當時，則過點的切線不存在；當時，據題意，函數，則，設切點，則，所以過點的