試題PAGE1試題2024北京理工大附中高二（下）期中數學一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。1．（4分）已知函數f（x）＝sinx，則＝（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣22．（4分）在等差數列{an}中，a1＝2，a3+a5＝10，則a7＝（）A．5 B．8 C．10 D．143．（4分）若數列{an}滿足an+1＝2an，且a4＝1，則數列{an}的前4項和等于（）A．15 B．14 C． D．4．（4分）如圖1，為了滿足游客的需求，欲在龍沙動植物園東側修一條環湖公路（其中彎曲部分滿足某三次函數），并與兩條直道公路平滑連接（相切），根據圖2所示，該環湖彎曲路段滿足的函數解析式為（）A． B． C． D．5．（4分）已知為等比數列，則“a1＜a2”是“{an}為遞增數列”的（）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件6．（4分）中國古代許多著名的數學家對推導高階等差數列的求和公式很感興趣，創造并發展了名為“垛積術”的算法，展現了聰明才智，如南宋數學家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方垛等的求和都與高階等差數列有關．如圖是一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，則第25層小球的個數為（）A．324 B．325 C．326 D．3957．（4分）若在[1，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，3]8．（4分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a5＜0，a3+a8＞0，則使得不等式Sn＜0成立的最大的n的值為（）A．8 B．9 C．10 D．119．（4分）已知4a＝ln4，eb＝1，5c＝ln5，則a，b，c的大小關系為（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．（4分）設等比數列{an}的公比為q，前n項積為Tn，并且滿足條件a1＞1，a6a7＞1，，則下列結論錯誤的是（）A．0＜q＜1 B．a6a8＞1 C．Tn的最大值為T6 D．T13＜1二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上。11．（5分）已知Sn是數列{an}的前n項和．若Sn＝2n，則a2＝2．12．（5分）如圖，函數y＝f（x）的圖象在點P（2，y）處的切線是l，方程為y＝﹣x+4，則f′（2）＝_________．13．（5分）已知函數則函數f（x）的零點個數為_________．14．（5分）已知{an}是等比數列，Sn為其前n項和．若a2是a1，S2的等差中項，S4＝15，則q＝_________，a1＝_________．15．（5分）已知函數f（x）＝，給出下列四個結論：①函數f（x）存在兩個不同的零點②函數f（x）只有極大值沒有極小值③當﹣e＜k＜0時，方程f（x）＝k有且只有兩個實根④若x∈[t，+∞）時，f（x）max＝，則t的最小值為2其中所有正確結論的序號是_________．三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（13分）已知函數f（x）＝x3﹣2x2+x．（Ⅰ）求函數f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）求函數f（x）在區間[﹣1，4]上的最大值與最小值．17．（14分）已知數列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答：（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設等比數列{bn}滿足b2＝a4，b3＝a7，求數列{an+bn}的前n項和Tn．條件①：a1＝﹣3；條件②：an+1﹣an＝2；條件③：S2＝﹣4．18．（14分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2+6n﹣2．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）證明：數列{a2n}為等差數列．19．（14分）已知函數f（x）＝lnx，g（x）＝．已知直線x＝a分別交曲線y＝f（x）和y＝g（x）于點A，B，當a∈（0，e）時，設△OAB的面積為S（a），其中O是坐標原點．（Ⅰ）寫出S（a）的函數解析式；（Ⅱ）求S（a）的最大值．20．（15分）已知函數f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．（1）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線的方程；（2）若函數f（x）在x＝0處取得極大值，求a的取值范圍；（3）若函數f（x）存在最小值，直接寫出a的取值范圍．21．（15分）對于有限數列{an}，n≤N，N≥3，N∈N*，定義：對于任意的k≤N，k∈N*，有（1）S*（k）＝|a1|+|a2|+|a3|+?+|ak|；（2）對于c∈R，記L（k）＝|a1﹣c|+|a2﹣c|+|a3﹣c|+?+|ak﹣c|．對于k∈N*，若存在非零常數c，使得L（k）＝S*（k），則稱常數c為數列{an}的k階ω系數．（Ⅰ）設數列{an}的通項公式為，計算S*（4），并判斷2是否為數列的4階ω系數；（Ⅱ）設數列{an}的通項公式為an＝3n﹣39，且數列{an}的m階ω系數為3，求m的值；（Ⅲ）設數列{an}為等差數列，滿足﹣1，2均為數列{an}的m階ω系數，且S*（m）＝507，求m的最大值．

參考答案一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。1．【解答】解：∵f′（x）＝cosx，∴f′（0）＝1，∴．故選：A．2．【解答】解：∵在等差數列{an}中a1＝2，a3+a5＝10，∴2a4＝a3+a5＝10，解得a4＝5，∴公差d＝＝1，∴a7＝a1+6d＝2+6＝8故選：B．3．【解答】解：由題意得，數列{an}是以2為公比的等比數列，又a4＝1，所以a3＝，a2＝，a1＝，所以{an}的前4項和為1+＝．故選：C．4．【解答】解：由函數圖象知，此三次函數在（0，0）上處與直線y＝﹣x相切，在（2，0）點處與y＝3x﹣6相切，下研究四個選項中函數在兩點處的切線．A、y′＝x2﹣1，將2代入，此時導數為﹣1，與點（2，0）處切線斜率為3矛盾，故A錯誤；B、y′＝+x﹣2，將0代入，此時導數為﹣2，與點（0，0）處切線斜率為﹣1矛盾，故B錯誤．C、y′＝+x﹣3，將0代入，此時導數為﹣3，不為﹣1，故C錯誤；D、y′＝﹣x﹣1，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是﹣1，3，符合題意，故D正確；故選：D．5．【解答】解：設等比數列{an}的公比為q，則“a2＞a1”?a1（q﹣1）＞0，?，或．由數列{an}為遞增數列，可得，或．∴“a1＜a2”是“數列{an}為遞增數列”的必要不充分條件．故選：A．6．【解答】解：記第n層有an個球，則a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，結合高階等差數列的概念知a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4，?，an﹣an﹣1＝n（n≥2），則第25層的小球個數：a25＝（a25﹣a24）+（a24﹣a23）+?+（a2﹣a1）+a1＝25+24+23+?+2+1＝325．故選：B．7．【解答】解：∵f（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴f′（x）＝x2+2x﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立，∵f′（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴f′（x）≥f′（1）＝3﹣a≥0，解得：a≤3，∴a的取值范圍為（﹣∞，3]．故選：D．8．【解答】解：因為等差數列{an}中a3+a8＞0，d＞0，則a1+a10＞0，則S10＞0，因為a5＜0，9a5＜0，即S9＜0，所以使得不等式Sn＜0成立的最大的n的值為9．故選：B．9．【解答】解：由題意得a＝，b＝＝，c＝，令f（x）＝（x＞0），則f′（x）＝，由f′（x）＜0得x＞e，即f（x）在（e，+∞）上單調遞減，又e＜4＜5，則f（e）＞f（4）＞f（5），即＞＞，∴b＞a＞c．故選：D．10．【解答】解：①若q＜0，∵a1＞1，則a6＜0，a7＞0，∴a6a7＜0與a6a7＞1矛盾，②若q≥1，∵a1＞1，則a6＞1，a7＞1，∴＞0與＜0矛盾，∴0＜q＜1，故A正確，∵＜0，則a6＞1，0＜a7＜1，∴a6a8＝＜1，故B錯誤，∵a6＞1，0＜a7＜1，∴Tn的最大值為T6，故C正確，∵T13＝a1a2…a13＝＜1，故D正確．故選：B．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上。11．【解答】解：∵Sn＝2n，∴a1＝S1＝2，a1+a2＝S2＝4，∴a2＝2，故答案為：2．12．【解答】解：因為在點P（2，y）處的切線y＝﹣x+4的斜率為﹣1，所以f′（2）＝﹣1．故答案為：﹣1．13．【解答】解：∵函數∴當x＜1時，f（x）＝（x+1）ex＝0?x＝﹣1成立，當x≥1時，f（x）＝x2﹣2x＝0?x＝2成立，（0舍）；故函數f（x）的零點有﹣1和2兩個，故答案為：2．14．【解答】解：設，由題意知，即，解得q＝2，a1＝1；易知q≠1．故答案為：2；1．15．【解答】解：對于①中，由f（x）＝0，可得x2+x﹣1＝0，解得，所以①正確；對于②中，由，令f′（x）＞0時，可得﹣1＜x＜2，當f′（x）＜0時，x＜﹣1或x＞2，所以函數f（x）的單調遞減區間是（﹣∞，﹣1），（2，+∞），單調遞增區間是（﹣1，2），所以f（﹣1）是函數的極小值，f（2）是函數的極大值，所以②錯誤；對于③中，當x→+∞時，f（x）→0，根據②可知，函數的最小值是f（﹣1）＝﹣e，可得函數的大致圖象，所以當﹣e＜k＜0時，方程f（x）＝k有且只有兩個實根，所以③正確；對于④中，由B知函數f（x）的單調遞減區間是（﹣∞，﹣1），（2，+∞），單調遞增區間是（﹣1，2），其中，當t＝﹣1時，即在區間[﹣1，+∞）時，可得，所以④錯誤．故答案為：①③．三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）＝x3﹣2x2+x，定義域為R，則f′（x）＝3x2﹣4x+1，所以f′（2）＝3×4﹣4×2+1＝5，又因為f（2）＝2，所以函數f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y﹣2＝5（x﹣2），即5x﹣y﹣8＝0；（Ⅱ）函數f（x）＝x3﹣2x2+x，x∈[﹣1，4]，則f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（x﹣1）（3x﹣1），令f′（x）＝0得，x＝或1，所以當x∈[﹣1，]時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈[1，4]時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，又因為f（）＝，f（1）＝0，f（﹣1）＝﹣4，f（4）＝36，所以函數f（x）在區間[﹣1，4]上的最大值為36，最小值為﹣4．17．【解答】解：（Ⅰ）由題意，不能選擇①③作為已知條件，否則題目條件不完善．若選擇①②作為已知條件．∵a1＝﹣3，an+1﹣an＝2，∴數列{an}是以a1＝﹣3為首項，公差d＝2的等差數列．∴an＝2n﹣5．若選擇②③作為已知條件．∵an+1﹣an＝2，∴數列{an}是以a1為首項，公差為d＝2的等差數列．∵S2＝﹣4，∴a1+a2＝﹣4，則2a1+d＝﹣4，解得a1＝﹣3，∴an＝2n﹣5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an＝2n﹣5，設等比數列{bn}的公比為q，則b2＝a4＝3，b3＝a7＝9，∴，．∴等比數列{bn}的通項公式為．可得．∴Tn＝（a1+b1）+（a2+b2）+?+（an+bn）＝（a1+a2+?+an）+（b1+b2+?+bn）＝[﹣3+（﹣1）+?+（2n﹣5）]+（1+3+?+3n﹣1）＝＝．18．【解答】解：（1）因為，若n＝1，可得a1＝5；若n＞2．可得，由于a1＝5不符合an＝2n+5，所以an＝；（2）因為n∈N*，則2n≥2，由（1）可知：a2n＝2（2n）+5＝4n+5，則a2（n+1）﹣a2n＝[4（n+1）+5]﹣（4n+5）＝4，可知數列{a2n}是以首項a2＝9，公差d＝4的等差數列，所以該數列的前n項和．19．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，S（a）＝＝×，a∈（0，e），因為a∈（0，e），所以＞1，lna＜1，所以，所以S（a）＝＝﹣，a∈（0，e）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S（a）＝﹣，a∈（0，e），則S′（a）＝﹣（lna+1），令S′（a）＝0得，a＝，所以當a∈（0，）時，S′（a）＞0，S（a）單調遞增；當a∈（，e）時，S′（a）＜0，S（a）單調遞減，所以當a＝時，S（a）取得極大值，也是最大值，為S（）＝，即S（a）的最大值為．20．【解答】解：（1）函數f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．f′（x）＝ex（ax2﹣x+1+2ax﹣1）＝ex（ax2﹣x+2ax），∴f′（0）＝0，∴曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線的方程為y﹣1＝0．（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．①若a＝0，則f′（x）＝﹣xex，x＜0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；x＞0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．∴0是函數f（x）的極大值點．②a≠0時，f′（x）＝axex（x﹣），令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝，下面對a分類討論：a＝時，f′（x）＝x2ex≥0，函數f（x）在R上單調遞增，無極值點，舍去．a＞時，x2＜0，列出表格：x（﹣∞，x2）x2（x2，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增0為函數f（x）的極小值點，舍去．a＜0時，x2＜0，列出表格：x（﹣∞，x2）x2（x2，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減0為函數f（x）的極大值點，滿足題意．0＜a＜時，x2＞0，列出表格：列出表格：x（﹣∞，0）0（0，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增0為函數f（x）的極大值點，滿足題意．∴a的取值范圍是（﹣∞，）．（3）結合（2）：a≤0，或a≥時，f（x）不存在最小值．例如a＞或a＜0，0是函數f（x）的極大值點，且f（0）＝1．x→﹣∞時，f（x）→0，無最小值，舍去．0＜a＜時，x→﹣∞時，f（x）→0．x2是極小值點，x2＞0，滿足：a﹣x2+2ax2＝0，x2＝，需要f（x2）＝f（）＝（a﹣x2+1）＝（1﹣2ax2）＝[1﹣2（1﹣2a）]≤0，解得：0＜a≤．因此函數f（x）存在最小值，a的取值范圍是（0，]．21．【解答】解：（I）因數列{an}通項公式為，所以數列{|an|}為等比數列，且．得S*（4）＝|a1|+|a2|+|a3|+|a4|＝30．數列{an}通項公式為，所以當c＝2時，L（4）＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+