PAGEPAGE1第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖1．下列說法正確的有()①兩個面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；②經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個大圓；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱肯定是正方體；④圓錐的軸截面是等腰三角形．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選A.①中若兩個底面平行且相像，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱會交于一點，所以①不正確；②中若球面上不同的兩點恰為球的某條直徑的兩個端點，則過此兩點的大圓有多數(shù)個，所以②不正確；③中底面不肯定是正方形，所以③不正確；很明顯④是正確的．2.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，點D是△ABC的BC邊的中點，AB，BC分別與y′軸、x′軸平行，則在原圖中三條線段AB，AD，AC中()A．最長的是AB，最短的是ACB．最長的是AC，最短的是ABC．最長的是AB，最短的是ADD．最長的是AC，最短的是AD解析：選B.由條件知，原平面圖形中AB⊥BC，從而AB<AD<AC.3．如圖所示，上面的幾何體由一個圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是()A．①② B．②③C．③④ D．①⑤解析：選D.圓錐的軸截面為等腰三角形，此時①符合條件；當(dāng)截面不過旋轉(zhuǎn)軸時，圓錐的軸截面為雙曲線的一支，此時⑤符合條件；故截面圖形可能是①⑤.4．(2024·惠州市第三次調(diào)研考試)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐最長棱的棱長為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：選C.依據(jù)三視圖，可知幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐V-ABCD，其中VB⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長棱為VD.連接BD，易知BD＝eq\r(2)，在Rt△VBD中，VD＝eq\r(VB2＋BD2)＝eq\r(3).5．(2024·高考全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．16解析：選B.由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，這些梯形的面積之和為eq\f(（2＋4）×2,2)×2＝12，故選B.6．有一個長為5cm，寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為________．解析：由于該矩形的面積S＝5×4＝20(cm2)，所以其直觀圖的面積S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．答案：5eq\r(2)cm27．如圖所示的Rt△ABC圍著它的斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是________．解析：過Rt△ABC的頂點C作線段CD⊥AB，垂足為D，所以Rt△ABC圍著它的斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周后應(yīng)得到是以CD作為底面圓的半徑的兩個圓錐的組合體．答案：兩個圓錐的組合體8．已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的各側(cè)面圖形中，是直角三角形的有________個．解析：由三視圖知該幾何體是一個四棱錐，它的一個側(cè)面與底面垂直，且此側(cè)面的頂點在底面上的射影為對應(yīng)底邊的中點，易知其有兩個側(cè)面是直角三角形．答案：29.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依據(jù)所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.(2)由側(cè)視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)cm.由正視圖可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．10.如圖所示，在側(cè)棱長為2eq\r(3)的正三棱錐V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，過A作截面AEF，求△AEF周長的最小值．解：如圖，將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開，并將其側(cè)面綻開平鋪在一個平面上，則線段AA1的長即為所求△AEF的周長的最小值．取AA1的中點D，連接VD，則VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周長的最小值為6.1．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖(1)，它的俯視圖的直觀圖是矩形O1A1B1C1，如圖(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，則該幾何體的側(cè)面積為()A．48 B．64C．96 D．128解析：選C.由題圖(2)及斜二測畫法可知原俯視圖為如圖所示的平行四邊形OABC，設(shè)CB與y軸的交點為D，則易知CD＝2，OD＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，所以CO＝eq\r(CD2＋OD2)＝6＝OA，所以俯視圖是以6為邊長的菱形，由三視圖知幾何體為一個直四棱柱，其高為4，所以該幾何體的側(cè)面積為4×6×4＝96.故選C.2．一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()解析：選D.由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.3．(2024·福建泉州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖中的虛線部分是()A．圓弧 B．拋物線的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分解析：選D.依據(jù)幾何體的三視圖可得，側(cè)視圖中的虛線部分是由平行于旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐所得，故側(cè)視圖中的虛線部分是雙曲線的一部分，故選D.4．(2024·廣東文靜中學(xué)、江西南昌二中聯(lián)考)某四面體的三視圖如圖所示，在該四面體的四個面中，直角三角形的面積和是()A．2B．4C．2＋eq\r(5)D．4＋2eq\r(5)解析：選C.由三視圖可得原幾何體如圖所示，由三視圖知該幾何體的高PO＝2，底面ABC是邊長為2的等腰直角三角形，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，則BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以直角三角形有△PBC和△ACB，易求得PC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，又BC＝2，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5)，又S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以該四面體的四個面中，直角三角形的面積和為2＋eq\r(5)，故選C.5．某幾何體的三視圖如圖所示．(1)推斷該幾何體是什么幾何體？(2)畫出該幾何體的直觀圖．解：(1)該幾何體是一個正方體切掉兩個eq\f(1,4)圓柱后得到的幾何體．(2)直觀圖如圖所示．6．如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試推斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面