第六章第3講[A級基礎達標]1．(2016年宜昌模擬)等比數列{an}中a1＝3，a4＝24，則a3＋a4＋a5＝()A．33 B．72 C．84 D．【答案】C【解析】由已知，得q3＝eq\f(a4,a1)＝8，解得q＝2，則有a3＋a4＋a5＝a1(q2＋q3＋q4)＝3×(4＋8＋16)＝84.2．已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比數列，則xyz的值為()A．－3 B．±3 C．－3eq\r(3) D．±3eq\r(3)【答案】C【解析】由等比中項知y2＝3，∴y＝±eq\r(3).又y與－1，－3符號相同，∴y＝－eq\r(3).又y2＝xz，∴xyz＝y3＝－3eq\r(3).3．在等比數列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么這個數列的公比為()A．2 B．eq\f(1,2) C．2或eq\f(1,2) D．－2或eq\f(1,2)【答案】C【解析】設數列{an}的公比為q，由eq\f(a1＋a4,a2＋a3)＝eq\f(a11＋q3,a1q＋q2)＝eq\f(1＋q3,q＋q2)＝eq\f(1＋q1－q＋q2,q1＋q)＝eq\f(1－q＋q2,q)＝eq\f(18,12)，得q＝2或q＝eq\f(1,2).故選C．4．(2016年湘潭模擬)已知等比數列{an}的公比為正數，且a2·a6＝9a4，a2＝1，則a1的值為A．3 B．－3 C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)【答案】D【解析】設數列{an}的公比為q(q＞0)，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，又a2＝1，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)．所以a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(1,3).故選D．5．設各項都是正數的等比數列{an}，Sn為前n項和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50【答案】A【解析】依題意，數列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80.S40＝150.故選A．6．已知Sn是等比數列{an}的前n項和，若存在m∈N*，滿足eq\f(S2m,Sm)＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f(5m＋1,m－1)，則數列{an}的公比為()A．－2 B．2 C．－3 D．【答案】B【解析】設公比為q，若q＝1，則eq\f(S2m,Sm)＝2，與題中條件矛盾，故q≠1.∵eq\f(S2m,Sm)＝eq\f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∴eq\f(a2m,am)＝eq\f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq\f(5m＋1,m－1).解得m＝3.∴q3＝8，即q＝2.7．(2016年銀川一模)等比數列{an}的前n項和為Sn，若S1，S3，S2成等差數列，則{an}的公比q等于________．【答案】－eq\f(1,2)【解析】∵S1，S3，S2成等差數列，∴a1＋a1＋a1q＝2(a1＋a1q＋a1q2)．∵a1≠0，q≠0，解得q＝－eq\f(1,2).8．(2016年甘肅診斷)已知各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝3S2，a3＝2，則a7＝________.【答案】8【解析】設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，顯然q≠1且q＞0，因為S4＝3S2，所以eq\f(a11－q4,1－q)＝eq\f(3a11－q2,1－q)，解得q2＝2.因為a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.9．(2015年四川)設數列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數列．(1)求數列{an}的通項公式；(2)設數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項和為Tn，求Tn.【解析】(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4又因為a1，a2＋1，a3成等差數列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a所以數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列，故an＝2n.(2)由(1)得eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n)，所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n).10．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)求證：數列{an}是等比數列；(2)若數列{bn}滿足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求數列{bn}的通項公式．【解析】(1)證明：依題意Sn＝4an－3(n∈N*)，n＝1時，a1＝4a1－3，解得a1因為Sn＝4an－3，則Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝eq\f(4,3)an－1.又a1＝1≠0，所以{an}是首項為1，公比為eq\f(4,3)的等比數列．(2)由(1)知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1.可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1,1－\f(4,3))＝3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1－1(n≥2)．當n＝1時也滿足，所以數列{bn}的通項公式為bn＝3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))n－1－1(n∈N*)．[B級能力提升]11．(2017年西寧復習檢測)已知數列{an}是首項a1＝4的等比數列，且4a1，a5，－2a3成等差數列，則其公比qA．－1 B．1 C．1或－1 D．eq\r(2)【答案】C【解析】∵4a1，a5，－2a3成等差數列，∴2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2.又∵a1＝4，則有q4＋q212．(2016年臨沂模擬)數列{an}中，已知對任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(3n－1)2 B．eq\f(1,2)(9n－1) C．9n－1 D．eq\f(1,4)(3n－1)【答案】B【解析】∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2時，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴當n≥2時，an＝3n－3n－1＝2·3n－1.又n＝1時，a1＝2適合上式，∴an＝2·3n－1.故數列{aeq\o\al(2,n)}是首項為4，公比為9的等比數列．因此aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(41－9n,1－9)＝eq\f(1,2)(9n－1)．13．在由正數組成的等比數列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋logA．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2) C．1 D．－eq\f(\r(3),2)【答案】B【解析】因為a3a4a5＝3π＝aeq\o\al(3,4)，所以a4＝3eq\f(π,3).log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3aeq\o\al(7,4)＝7log33eq\f(π,3)＝eq\f(7π,3)，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝eq\f(\r(3),2).14．設{an}是各項為正數的無窮數列，Ai是鄰邊長為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1,2，…)，則{An}為等比數列的充要條件是()A．{an}是等比數列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比相同【答案】D【解析】Ai＝aiai＋1，若{An}為等比數列，則eq\f(An＋1,An)＝eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(an＋2,an)為常數，即eq\f(A2,A1)＝eq\f(a3,a1)，eq\f(A3,A2)＝eq\f(a4,a2)，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比數列，且公比相等．反之，若奇數項和偶數項分別成等比數列，且公比相等，設為q，則eq\f(An＋1,An)＝eq\f(an＋2,an)＝q，從而{An}為等比數列．15．在等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，公比q＝2，前99項的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.【答案】eq\f(120,7)【解析】∵S99＝30，即a1(299－1)＝30.又∵數列a3，a6，a9，…，a99也成等比數列且公比為8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝eq\f(4a11－833,1－8)＝eq\f(4a1299－1,7)＝eq\f(4,7)×30＝eq\f(120,7).16．(2016年沈陽質檢)數列{an}是等比數列，若a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.【答案】eq\f(32,3)(1－4－n)【解析】由題意得q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)?q＝eq\f(1,2)，∴an＝a2·qn－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－3.∴anan＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2n－5＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1.∴數列{anan＋1}是以8為首項，eq\f(1,4)為公比的等比數列．∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)(1－4－n)．17．已知數列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，記T2n為{an}的前2n項的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.(1)判斷數列{bn}是否為等比數列，并求出bn；(2)求T2n.【解析】(1)∵an·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，∴an＋1·an＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1.∴eq\f(an＋2,an)＝eq\f(1,2)，即an＋2＝eq\f(1,2)an.∵bn＝a2n＋a2n－1，∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(a2n＋2＋a2n＋1,a2n＋a2n－1)＝eq\f(\f(1,2)a2n＋\f(1,2)a2n－1,a2n＋a2n－1)＝eq\f(1,2).∵a1＝1，a1·a2＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,2)?b1＝a1＋a2＝eq\f(3,2).∴{bn}是首項為eq\f(3,2)，公比為eq\f(1,2)的等比數列．∴bn＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(3,2n).(2)設{bn}