第八章第3講[A級基礎達標]1．已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內B．只有一條，且在平面α內C．有無數條，一定在平面α內D．有無數條，不一定在平面α內【答案】B【解析】過直線外一點作該直線的平行直線有且只有一條，因為點P在平面α內，所以這條直線也應該在平面α內．2．已知直線a和平面α，那么a∥α的一個充分條件是()A．存在一條直線b，a∥b且b?αB．存在一條直線b，a⊥b且b⊥αC．存在一個平面β，a?β且α∥βD．存在一個平面β，a∥β且α∥β【答案】C【解析】在A，B，D中，均有可能a?α，錯誤；在C中，兩平面平行，則其中一個平面內的任一條直線都平行于另一平面，故C正確．3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥n，n?α，則m∥αC．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若α∥β，α∥γ，則β∥γ【答案】D【解析】借助正方體模型逐一判斷．如圖所示，正方體的棱A1B1，B1C1都與底面ABCD平行，但這兩條棱相交，故A不正確；在正方體中AB∥A1B1，A1B1?平面A1B1BA，而AB在平面A1B1BA內，故B不正確；正方體的棱B1C1既平行于平面ADD1A1，又平行于平面4．(2016年海淀模擬)設l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，給出下列四個命題：①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；②若m∥l，且m∥α，則l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，則l∥m.其中正確命題的個數是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】①正確；②中也可能直線l?α，故錯誤；③中三條直線也可能相交于一點，故錯誤；④正確，所以正確的命題有2個．5．(2016年惠州模擬)設直線l，m，平面α，β，則下列條件能推出α∥β的是()A．l?α，m?α，且l∥β，m∥β B．l?α，m?β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m【答案】C【解析】借助正方體模型進行判斷．易排除選項A，B，D，故選C．6．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】B【解析】①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如圖)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.7．在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．【答案】平面ABD與平面ABC【解析】如圖，取CD的中點E，連接AE，BE.則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.8．如圖，已知三個平面α，β，γ互相平行，a，b是異面直線，a與α，β，γ分別交于A，B，C三點，b與α，β，γ分別交于D，E，F三點，連接AF交平面β于點G，連接CD交平面β于點H，則四邊形BGEH必為________．【答案】平行四邊形【解析】由題意知，直線a與直線AF確定平面ACF，由面面平行的性質定理，可得BG∥CF，同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理BH∥GE，所以四邊形BGEH為平行四邊形．9．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)設AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱錐C－A1DE的體積．【解析】(1)證明：連接AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB的中點，連接DF，則BC1∥DF.因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.10．如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．【解析】(1)證明：由題設知，BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形．∴BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC∴四邊形A1BCD1是平行四邊形．∴A1B∥D1C又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B,∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝1.又∵S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.[B級能力提升]11．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中錯誤的是()A．若m⊥α，m⊥β，α∥βB．若α∥γ，β∥γ，則α∥βC．若m?α，n?β，m∥n，則α∥βD．若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β【答案】C【解析】由線面垂直的性質可知A正確；由面面平行的性質可知B正確；m?α，n?β，m∥n，α，β可能平行，也可能相交，故C錯誤；由線面平行的性質和面面平行的判定定理可知D正確．12．設α，β，γ為三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】C【解析】由面面平行的性質定理可知，①正確；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．13．如圖，空間四邊形ABCD的兩條對棱AC，BD的長分別為5和4，則平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中，周長的取值范圍是________．【答案】(8,10)【解析】設eq\f(DH,DA)＝eq\f(GH,AC)＝k，∴eq\f(AH,DA)＝eq\f(EH,BD)＝1－k.∴GH＝5k，EH＝4(1－k)．∴周長＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周長的范圍為(8,10)．14．已知a，b是直線，α，β，γ是平面，給出下列命題：①若α∥β，a?α，則a∥β；②若a，b與α所成角相等，則a∥b；③若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，則α∥β.其中正確的命題的序號是________．【答案】①④【解析】①若α∥β，a?α，則a∥β；這是顯然正確的．②若a、b與α所成角相等，則a∥b；如果a、b是圓錐的母線，顯然不正確．③若α⊥β、β⊥γ，則α∥γ；如教室的墻角的三個平面關系，不正確．④若a⊥α，a⊥β，則α∥β；這是顯然正確的．15．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在線段CE上，設點M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面ADE.【解析】在△ABE中，過點M作MG∥AE交BE于點G，在△BEC中，過點G作GN∥BC交CE于點N，連接MN，則由eq\f(CN,CE)＝eq\f(BG,BE)＝eq\f(MB,AB)＝eq\f(1,3)，得CN＝eq\f(1,3)CE.因為MG∥AE，AE?平面ADE，MG?平面ADE，所以MG∥平面ADE，又GN∥BC，BC∥AD，AD?平面ADE，GN?平面ADE，所以GN∥平面ADE，又MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面ADE，因為MN?平面MGN，所以MN∥平面ADE.故當點N為線段CE上靠近C的一個三等分點時，MN∥平面ADE.16．如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點．求證：DM∥平面BEC.【證明】(1)如圖所示，取BD的中點O，連接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC?平面EOC，所以BD⊥平面EOC.因此BD⊥EO.又O為BD的中點，所以BE＝DE.(2)方法一：如圖所示，取AB的中點N，連接DM，DN，MN.因為M是AE的中點，所以MN∥BE.又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因為△ABD為正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平