第八章第2講[A級基礎達標]1．在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【答案】A【解析】選項A是面面平行的性質定理，是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的．2．空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中()A．必有三點共線 B．必有三點不共線C．至少有三點共線 D．不可能有三點共線【答案】B【解析】A，B，C，D共面而不共線，這四點可能有三點共線，也可能任意三點不共線，A錯誤；如果四點中沒有三點不共線，則四點共線，矛盾，故B正確；當任意三點不共線時，也滿足條件，故C錯誤；當其中三點共線，第四個點不共線時，也滿足條件，故D錯誤，故應選B．3．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面【答案】D【解析】依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面，故選D．4．若空間兩個角a與b的兩邊對應平行，當a＝60°時，則b等于()A．30° B．30°或120°C．60° D．60°或120°【答案】D【解析】∵空間兩個角a與b的兩邊對應平行，∴這兩個角相等或互補，∵a＝60°，∴b＝60°或120°.故選D．5．(2017年汕頭模擬)已知四棱錐P－ABCD的側棱長與底面邊長都相等，點E是PB的中點，則異面直線AE與PD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)【答案】C【解析】設棱長都為1，連接AC，BD交于點O，連接OE.∵所有棱長都相等，不妨設ABCD是正方形．∴O是BD的中點，且OE∥PD，∴∠AEO或其補角為異面直線AE與PD所成的角．又OE＝eq\f(1,2)PD＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),2)，OA＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2).在△OAE中，由余弦定理得cos∠AEO＝eq\f(AE2＋OE2－OA2,2AE·OE)＝eq\f(\r(3),3).6．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的序號是_____．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④異面直線AD與CB1所成角為60°.【答案】④【解析】由正方體的性質得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故①正確．由正方體的性質得AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD內的射影，由三垂線定理知，AC1⊥BD，故②正確．由正方體的性質得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可證AC1⊥CB1，故AC1垂直于平面CB1D1內的2條相交直線，所以AC1⊥平面CB1D1，故③成立．異面直線AD與CB1所成角就是BC與CB1所成角，故∠BCB1為異面直線AD與CB1所成角，等腰Rt△BCB1中，∠BCB1＝45°，故④不正確．故答案為④.7．若在三棱錐S－ABC中，M，N，P分別是棱SA，SB，SC的中點，則平面MNP與平面ABC的位置關系為______．【答案】平行【解析】∵M，N，P分別是棱SA，SB，SC的中點，∴MN∥AB，NP∥BC(三角形的中位線)；而MN，NP相交并且屬于平面MNP，AB，BC相交并且屬于平面ABC，∴平面MNP∥平面ABC，故答案為平行．8．(2016年廣西一模)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為棱DC的中點，則D1P與BC1所在的直線所成角的余弦值等于________【答案】eq\f(\r(10),5)【解析】連接AD1，AP，∵AD1∥BC1，∴∠AD1P就是D1P與BC1所在的直線所成角，設AB＝2，則AP＝D1P＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，∴cos∠AD1P＝eq\f(AD\o\al(2,1)＋D1P2－AP2,2×AD1×D1P)＝eq\f(8＋5－5,2×2\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),5)，即D1P與BC1所在的直線所成角的余弦值等于eq\f(\r(10),5).9．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AA1的中點．求證(1)E，C，D1，F四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點【證明】(1)連接EF，A1B，D1C，∵E，F分別是AB，AA1的中點，∴EF∥A1B，A1B∥D1∴EF∥D1C∴由兩條平行線確定一個平面，得到E，C，D1，F四點共面．(2)分別延長D1F，DA，交于點P∵P∈DA，DA?平面ABCD，∴P∈平面ABCD.∵F是AA1的中點，FA∥D1D，∴A是DP的中點．連接CP，∵AB∥DC，∴CP∩AB＝E.∴CE，D1F，DA三線共點于P10．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過點E，F，G的平面交AD于點H.(1)求AH∶HD；(2)求證：EH，FG，BD三線共點．【解析】(1)∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，AC∥GH.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝3.∴AH∶HD＝3∶1.(2)證明：∵EF∥GH，且eq\f(EF,AC)＝eq\f(1,3)，eq\f(GH,AC)＝eq\f(1,4)，∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形．令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD，又P∈FG，FG?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH，FG，BD三線共點．[B級能力提升]11．以下四個命題中，①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】①中顯然是正確的；②中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；③構造長方體或正方體，如圖顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．12．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為棱AB，AA1的中點，則EF與A1C1A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【解析】如圖所示，連接A1B，BC1.∵E，F分別為AB，AA1的中點，∴EF∥A1B.∴∠C1A1B或其補角為異面直線EF與A1C1∵△A1BC1為等邊三角形，∴∠C1A1B＝60°，即為異面直線EF與A1C1所成的角．13．(2016年南昌校級二模)將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到四面體ABCD(如圖2)，則在四面體ABCD中，AD與BC的位置關系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直【答案】C【解析】在四面體ABCD中，AD與BC的位置關系是異面且垂直．在圖1中，∵AD是等腰直角三角形ABC斜邊BC上的中線，∴AD⊥BC.在四面體ABCD中，∵AD⊥BD，AD⊥DC，AD∩DC＝D，∴AD⊥平面BCD.∴AD⊥BC.又AD與BC是異面直線．綜上可知：在四面體ABCD中，AD與BC的位置關系是異面且垂直．故選C．14．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列命題中正確的有________．(填序號)．①若m⊥α，n⊥α，則m∥n；②若m⊥α，n?α，則m⊥n；③若m⊥α，m⊥n，則n∥α；④若m∥α，n∥α，則m∥n.【答案】①②【解析】①若m⊥α，n⊥α，利用線面垂直的性質，可得m∥n，正確；②若m⊥α，n?α，利用線面垂直的性質，可得m⊥n，正確；③若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，不正確；④若m∥α，n∥α，則m與n可能平行、相交、異面，不正確．故答案為①②.15．正方體的8個頂點兩兩連線所在的直線中，共構成異面直線對數為________對．(用數字作答)【答案】174【解析】從正方體的8個頂點中任意取出4個頂點，共面的情況有6＋6＝12種，所以從正方體的8個頂點取出4個不在同一平面上的4個頂點，有：Ceq\o\al(4,8)－12＝58個，空間不在同一平面上的4個點，可以組成3對異面直線，所以正方體的8個頂點兩兩連線所在的直線中，共構成異面直線對為58×3＝174對．故答案為174.16．如圖，三棱錐A－BCD中，E，F分別是棱AB，BC的中點，H，G分別是棱AD，CD上的點，且EH∩FG＝K.求證：(1)EH，BD，FG三條直線相交于同一點K；(2)EF∥HG.【證明】(1)∵E，H分別是棱AB，AD上的點，∴EH?平面ABD.又∵EH∩FG