第八章第1講[A級基礎達標]1．(2016年天津)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(左)視圖為()【答案】B【解析】由主視圖和俯視圖可知切去的棱錐為D－AD1C，棱CD1在左側面的投影為BA1，故選2．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24π【答案】B【解析】設球的半徑為R，則表面積是16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為()A．eq\f(20,3) B．eq\f(40,3)C．20 D．40【答案】B【解析】由幾何體的三視圖可知該空間幾何體是一個四棱錐，其直觀圖如圖所示．其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋4)×4×4＝eq\f(40,3).4．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若將△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的幾何體的側面積為()A．15π B．20πC．30π D．40π【答案】A【解析】依題意知幾何體為底面半徑為3，母線長為5的圓錐，所得幾何體的側面積等于π×3×5＝15π.5．(2016年潮州校級模擬)已知正三棱錐的側棱長為2，底面邊長為3，則該正三棱錐的外接球的表面積為()A．eq\f(4π,3) B．4πC．eq\f(32π,3) D．16π【答案】C【解析】如圖，∵正三棱錐A－BCD中，底面邊長為3，側棱長為2，BE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3)，∴高AE＝eq\r(AB2－BE2)＝1.由球心O到四個頂點的距離相等，在直角三角形BOE中，BO＝R，EO＝eq\r(OB2－BE2)＝1－R，由BO2＝BE2＋EO2，得R2＝3＋(1－R)2，R＝2，∴外接球的半徑為2，表面積為4π·R2＝16π，故選D．6．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝4，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為______．【答案】16eq\r(2)【解析】由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝4，設平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2).∴S?OABC＝4×4eq\r(2)＝16eq\r(2).7．(2016年四川)已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．【答案】eq\f(\r(3),3)【解析】由三視圖可知幾何體為三棱錐，底面為俯視圖三角形，底面積S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3)，棱錐的高為h＝1，∴棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3).8．(2017年扶溝模擬)半球內有一內接正四棱錐，該正四棱錐的側面積是4eq\r(3)，則該正四棱錐的體積為______．【答案】eq\f(4\r(2),3)【解析】如圖，設球的半徑為R，底面正方形的邊長為x，則2x2＝(2R)2，解得x＝eq\r(2)R.∵S側面積＝4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\r(R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,\r(2))))2)＝4eq\r(3)，解得R＝eq\r(2)，∴x＝2.∴該正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×22×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3).9．一個幾何體的三視圖如圖所示(單位長度為：cm)：(1)求該幾何體的體積；(2)求該幾何體的表面積．【解析】(1)由三視圖知：幾何體是正四棱錐與正方體的組合體，其中正方體的棱長為4，正四棱錐的高為2，∴幾何體的體積V＝43＋eq\f(1,3)×42×2＝eq\f(224,3)(cm3)；(2)正四棱錐側面上的斜高為2eq\r(2)，∴幾何體的表面積S＝5×42＋4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝(80＋16eq\r(2))(cm2)．10．一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)：(1)該幾何體是由哪些簡單幾何體組成的？(2)求該幾何體的表面積和體積．【解析】(1)由三視圖知幾何體上面是圓錐，下面是長方體(或直四棱柱)；(2)由圓錐的高為3，底面圓的半徑為1，得圓錐母線長eq\r(32＋1)＝eq\r(10)，長方體的長、寬、高分別為3,2,1，∴表面積S＝S圓錐側＋S長方體－S錐底＝(eq\r(10)－1)π＋22(m2)，體積V＝eq\f(1,3)π×12×3＋3×2×1＝6＋π(m3)．[B級能力提升]11．若某一幾何體的正視圖與側視圖均為邊長是1的正方形，且其體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是()ABCD【答案】C【解析】若俯視圖為A，則該幾何體為正方體，其體積為1，不滿足條件．若俯視圖為B，則該幾何體為圓柱，其體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×1＝eq\f(π,4)，不滿足條件．若俯視圖為C，則該幾何體為三棱柱，其體積為eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,2)，滿足條件．若俯視圖為D，則該幾何體為圓柱的eq\f(1,4)，體積為eq\f(1,4)π×1＝eq\f(π,4)，不滿足條件．12．某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體最長的一條側棱長度是()A．5cm B．eq\r(27)cmC．eq\r(29)cm D．eq\r(31)cm【答案】C【解析】由三視圖知幾何體為四棱錐，且四棱錐的一條側棱與底面垂直，底面為直角梯形，其直觀圖如圖．PA＝2，AB＝2，CD＝4，AD＝3，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝5，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(29).故選C．13．(2017年河東區模擬)一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．9 B．10C．11 D．eq\f(23,2)【答案】C【解析】由三視圖可知該幾何體是在底面為邊長是2的正方形、高是3的直四棱柱的基礎上，截去一個底面積為eq\f(1,2)×2×1＝1、高為3的三棱錐形成的，V三棱錐＝eq\f(1,3)×1×3＝1，所以V＝4×3－1＝11.故選C．14．(2016年洛陽二模)在正三棱錐S－ABC中，M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2eq\r(2)，則正三棱錐S－ABC外接球表面積為()A．6π B．12πC．32π D．36π【答案】B【解析】如圖，取AC的中點N，連接BN，SN.∵N為AC的中點，SA＝SC，∴AC⊥SN，同理AC⊥BN.∵SN∩BN＝N，∴AC⊥平面SBN.∵SB?平面SBN，∴AC⊥SB.∵SB⊥AM且AC∩AM＝A，∴SB⊥平面SAC?SB⊥SA且SB⊥AC.∵三棱錐S－ABC是正三棱錐，∴SA，SB，SC三條側棱兩兩互相垂直．∵底面邊長AB＝2eq\r(2)，∴側棱SA＝2.∴正三棱錐S－ABC的外接球的直徑為2R＝2eq\r(3)，外接球的半徑為R＝eq\r(3).∴正三棱錐S－ABC的外接球的表面積是S＝4πR2＝12π，故選B．15．(2016年浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是______cm2，體積是____cm3.【答案】7232【解析】由三視圖可得，原幾何體為由四個棱長為2cm的小正方體所構成的，則其表面積為22×(24－6)＝72(cm2)，其體積為4×23＝32(cm3)．故答案為7216．若正六棱柱的底面邊長為10，側面積為180，則這個棱柱的體積為________．【答案】450eq\r(3)【解析】設棱柱的底面邊長為a，高為h，則S側＝6ah＝60h＝180，解得h＝3.S底＝eq\f(\r(3),4)×102×6＝150eq\r(3).∴正六棱柱的體積V＝S底h＝450eq\r(3).故答案為450eq\r(3).17．如圖的三個圖中，上面是一個長方體截去一個角所得多面