PAGEPAGE1第03講利用導數探討函數的極值，最值練1．（重慶高考真題（理））設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖象如圖所示，則下列結論中肯定成立的是（）A．函數有極大值和微小值B．函數有極大值和微小值C．函數有極大值和微小值D．函數有極大值和微小值【答案】D【解析】則函數增；則函數減；則函數減；則函數增；選D.2.（2024·安徽高三月考（理））已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（）①；②函數在處取得微小值，在處取得極大值；③函數在處取得極大值，在處取得微小值；④函數的最小值為.A．③B．①②C．③④D．④【答案】A【解析】由的圖象可得，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增．對于①，由題意可得，所以①不正確．對于②，由題意得函數在處取得極大值，在處取得微小值，故②不正確．對于③，由②的分析可得正確．對于④，由題意可得不是最小值，故④不正確．綜上可得③正確．故選A．3．（2024·重慶一中高三月考（文））設函數，則（）A．為的極大值點 B．為的微小值點C．為的極大值點 D．為的微小值點【答案】D【解析】因為，所以，由得，所以，當時，，故單調遞增；當時，，故單調遞減；所以函數在處取得微小值，無極大值.故選D4．（2024·重慶八中高考模擬（文））已知函數，則的大致圖象為()A． B．C． D．【答案】D【解析】，由，可得是極大值點，故選D.5．（2024·安徽毛坦廠中學高考模擬（文））已知函數在處取得微小值，則的極大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，，，解得，，，在上單調遞增，在上單調遞減，的極大值為.故選：B6．（2024·東北育才學校高考模擬（理））已知函數，則的極大值點為()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此的極大值點.故選D7.（2024·福建高考模擬（理））已知函數的極大值和微小值分別為，，則（）A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】,該方程兩個根為，故在取到極值，而所以，故選D.8．（2024·吉林東北師大附中高考模擬（理））等差數列的前n項的和為，公差，和是函數的極值點，則（）A． B．38 C． D．17【答案】A【解析】由題，又因為公差，所以,,經計算，,所以，故選A.9.（2024·廣西高考模擬（理））已知函數的圖象與直線分別交于兩點，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數的圖象與直線分別交于兩點，所以，，其中，且，所以，令，則，令得：；所以易得：時，；時，；即函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，即的最小值為.故答案為D10．（2024·河北高考模擬（理））已知，，函數，，設的最大值為，且對隨意的實數，恒有成立，則實數的最大值為（）A．4 B．2 C． D．【答案】D【解析】由題可知對隨意的實數，恒有成立，只需．因為時，由，得，設，，則有，令，得，所以當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，故，，又，，所以，從而①，又．②．當時，①②同時取等號，故恒成立，所以實數的最大值為．故選D．1．（2024·河北高考模擬（文））設函數在上可導，其導函數為，若函數在處取得極大值，則函數的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數在上可導，其導函數為，若函數在處取得極大值，所以當時，；時，；時，；所以當時，，當時，，當或時，，當時，，可得選項B符合題意，故選B．2.（2024·廣東高三期末（文））已知是的微小值點，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，它的兩個零點為，要是函數的微小值點，則必需，此時函數在上遞減，在上遞增，在處取得微小值.故本題選D.3．（2024·安徽高考模擬（文））已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數有兩個極值點，所以方程有兩不等實根，令，則與直線有兩不同交點，又，由得，所以，當時，，即單調遞增；當時，，即單調遞減；所以，又，當時，；作出函數的簡圖如下：因為與直線有兩不同交點，所以，即.故選D4．（2024·遼寧高考模擬（理））若是函數的極值點，則的值為（）A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2【答案】B【解析】，由題意可知，或當時，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，明顯是函數的極值點；當時，，所以函數是上的單調遞增函數，沒有極值，不符合題意，舍去，故本題選B.5.（2024·安徽高考模擬（文））如圖，在中，，和分別是邊和上一點，，將沿折起到點位置，則該四棱錐體積的最大值為_______．【答案】【解析】在中，由已知，，，所以設，四邊形的面積為,當平面時，四棱錐體積最大,此時，且,故四棱錐體積為，，時，；時，,所以，當時，.故答案為6．（2024·浙江高三開學考試）已知函數，則函數的最小的極值點為___________；若將的極值點從小到大排列形成的數列記為，則數列的通項公式為______.【答案】或【解析】，或，明顯數列的，當為偶數時，當為奇數時，綜上所述，1．（2024·全國高考真題（理））若是函數的極值點，則的微小值為（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由題可得，因為，所以，，故，令，解得或，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的微小值為，故選A．2.（2024·江蘇高考真題）若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．【答案】.【解析】由得，因為函數在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，3．（2024·北京高考真題（理））已知函數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求函數在區間上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】（Ⅰ）因為，所以.又因為，所以曲線在點處的切線方程為.（Ⅱ）設，則.當時，，所以在區間上單調遞減.所以對隨意有，即.所以函數在區間上單調遞減.因此在區間上的最大值為，最小值為.4.（2024·全國高考真題（理））已知函數．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）當時，，.設函數，則.當時，；當時，.故當時，，且僅當時，，從而，且僅當時，.所以在單調遞增.又，故當時，；當時，.（2）（i）若，由（1）知，當時，，這與是的極大值點沖突.（ii）若，設函數.由于當時，，故與符號相同.又，故是的極大值點當且僅當是的極大值點..假如，則當，且時，，故不是的極大值點.假如，則存在根，故當，且時，，所以不是的極大值點.假如，則.則當時，；當時，.所以是的極大值點，從而是的極大值點綜上，.5．（2024·全國高考真題（理））已知函數．（1）探討的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿意，所以，不妨設，則.由于，所以等價于.設函數，由（1）知，在單調遞減，又，從而當時，.所以，即.6．（2024·江蘇高考真題）設函數，為f（x）的導函數．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的微小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.【解析】（1）因為，所以．因為，所以，解得．（2）因為，所以，從而．令，得或．因