第08講平面上的距離【題型歸納目錄】題型一：中點公式題型二：兩點距離公式題型三：由頂點判斷三角形的形狀題型四：由兩點距離公式求最值題型五：點線距離公式題型六：面積問題題型七：由點線距離求參數題型八：點關于直線對稱題型九：直線關于直線對稱題型十：平行線間距離公式題型十一：直線關于點對稱題型十二：將軍飲馬問題【知識點梳理】知識點一：中點坐標公式若兩點、，且線段的中點坐標為，則，，則此公式為線段的中點坐標公式．知識點二：兩點間的距離公式兩點間的距離公式為．知識點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉化為兩點之間的距離來解決．另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷等內容中都有廣泛應用，需熟練掌握．知識點三：點到直線的距離公式點到直線的距離為．知識點詮釋：（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關系的判斷等．知識點四：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．知識點詮釋：（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數分別是相同的以后，才能使用此公式．【典例例題】題型一：中點公式【例1】（2023·浙江·麗水外國語實驗學校高一階段練習）已知點，則線段AB的中點坐標為________．【答案】【解析】由題意知：中點坐標為，即．故答案為：．【對點訓練1】（2023·全國·高二課時練習）直線l經過已知點，且被兩條已知直線截得的線段恰以P為中點，求直線l的方程．【解析】當斜率不存在時，直線，代入直線得：；代入直線得：，所以中點不是點P，當斜率存在時，設直線，聯立得：；聯立得：，因為截得的線段恰以P為中點，所以，解得：，所以直線，即：【對點訓練2】（2023·江蘇·高二課時練習）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標是，求線段的長．【解析】在平面直角坐標系中，，則為直角三角形，且為斜邊，故．題型二：兩點距離公式【例2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點，，則A，B兩點的距離為（

）A．25 B．5C．4 D．【答案】B【解析】由兩點間的距離公式得．故選：B.【對點訓練3】（2023·廣西防城港·高二統考期末）已知點，則為（

）A．5 B． C． D．4【答案】A【解析】.故選：A【對點訓練4】（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知點A、B是直線與坐標軸的交點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由，令，得，設；令，得，設.所以.故選：A題型三：由頂點判斷三角形的形狀【例3】（2023·高二課時練習）以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【答案】C【解析】，，，，所以三角形是直角三角形.故選：C【對點訓練5】（2023·江蘇鎮江·高二統考期中）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【解析】，，，，，，，是直角三角形．故選：A．題型四：由兩點距離公式求最值【例4】（2023·湖北宜昌·高二校聯考期中）函數的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【答案】A【解析】，則其幾何意義為點到兩定點的距離和，點表示為橫坐標上的點，作出如圖所示：根據將軍飲馬模型，作出點關于軸對稱點，連接，交軸于點，則，此時直線的直線方程為令，則，故當時，.故選：A.【對點訓練6】（2023·遼寧大連·高二育明高中校考階段練習）代數式的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由兩點之間距離公式可以得到表示點到的距離，表示點到的距離，所以代數式表示，由圖像可知在在運動，所以易得關于對稱點為，連接交于點，此時最小，最小值為.故選：B.【對點訓練7】（2023·北京·高二北京工業大學附屬中學校考期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微.”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離.結合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，記點、、，則，當且僅當點為線段與軸的交點時，等號成立，即的最小值為.故選：C.題型五：點線距離公式【例5】（2023·高二課時練習）坐標原點到直線的距離是（

）A．10 B． C． D．2【答案】B【解析】坐標原點到直線的距離.故選：B【對點訓練8】（2023·貴州黔東南·高二校考階段練習）點在直線上，為原點，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】原點到直線的距離為，根據垂線段的性質可知的最小值是，故選：A【對點訓練9】（2023·福建泉州·高二校考階段練習）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】表示原點與直線上的點的兩點間距離，所以的最小值是原點到直線的距離.故選：D【對點訓練10】（2023·河南濮陽·高二校考階段練習）若點到直線的距離為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【解析】由點到直線的距離公式可得,故選：B.題型六：面積問題【例6】（2023·四川遂寧·高二遂寧中學校考階段練習）在中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為___________.【答案】8【解析】關于直線的對稱點；，，，的直線方程為，聯立，解得，．；到的距離；的面積．故答案為：．【對點訓練11】（2023·高二課時練習）若過點作四條直線構成一個正方形，則該正方形的面積可以為______．（寫出符合條件的一個答案即可）【答案】(答案不唯一，也可填或)【解析】易得四條直線的斜率都是存在的，當過點A和點C的直線平行，過點B和點D的直線平行，且兩組平行線互相垂直時，設過點A和點C的直線分別為：即，：即，則過點B和點D的直線分別為：即，：即，其中和的距離與和的距離相等，即，解得，故正方形的邊長為，該正方形的面積為；當過點A和點B的直線平行，過點C和點D的直線平行，且兩組平行線互相垂直時，設過點A和點B的直線分別為：即和：即，則過點C和點D的直線分別為：即和：即，其中和的距離與和的距離相等，即，解得，故正方形的邊長為，該正方形的面積為；當過點A和點D的直線平行，過點B和點C的直線平行，且兩組平行線互相垂直時，設過點A和點D的直線分別為：即和：即，則過點B和點C的直線分別為：即和：即，其中和的距離與和的距離相等，即，解得，故正方形的邊長為，該正方形的面積為,故答案為：(答案不唯一，也可填或)【對點訓練12】（2023·廣西梧州·高二校考開學考試）已知的三個頂點是，則的面積為________．【答案】/【解析】設所在直線方程為，把點，的坐標代入可求得，求得，，直線的方程為，即，點到直線的距離．故答案為：題型七：由點線距離求參數【例7】（2023·高二課時練習）已知到直線的距離等于4，則a的值為__________．【答案】10或【解析】由到直線的距離等于4，則，解得或．故答案為：10或．【對點訓練13】（2023·高二校考課時練習）若點A在直線上，且點A到直線的距離為，則點A的坐標為________________.【答案】或【解析】依題意，設點A的坐標為，則有，解得或.故答案為：或.【對點訓練14】（2023·河北邢臺·高二統考階段練習）已知點和點到直線的距離相等，則___________.【答案】3或【解析】因為點和點到直線的距離相等，所以由點到直線的距離公式可得：，解得或，故答案為：3或題型八：點關于直線對稱【例8】（2023·高二課時練習）將一張坐標紙折疊一次，使點與點重合，則與點重合的點的坐標是__________．【答案】【解析】依題意，點與點關于折痕所在直線對稱，則折痕所在直線的方程為，因此點關于直線的對稱點為，所以與點重合的點的坐標是.故答案為：【對點訓練15】（2023·山東淄博·高二統考期末）直線恒過定點，則點關于直線對稱的點N坐標為_________．【答案】【解析】直線，即，當，即時，，故直線恒過定點，設點關于直線對稱的點N坐標為，，，即，故答案為：.【對點訓練16】（2023·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學校校考期末）已知點與點關于直線對稱，則的值為__________．【答案】【解析】點與點關于直線對稱，所以，即，.故答案為：【對點訓練17】（2023·北京·高二北師大實驗中學校考期中）點關于直線的對稱點的坐標為______.【答案】【解析】設點是點關于直線的對稱點.由已知直線的斜率為1，所以，解得，所以點.故答案為：.題型九：直線關于直線對稱【例9】（2023·高二單元測試）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．【答案】.【解析】由題意知，設直線，在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：【對點訓練18】（2023·高二校考課時練習）直線關于直線對稱的直線方程是__.【答案】【解析】設所求直線上任一點的坐標為，該點關于的對稱點的坐標為，則,得對稱點的坐標為，又點在直線上，所以，即.所以所求直線方程為.故答案為：.【對點訓練19】（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學校考期中）直線關于直線對稱的直線方程為________【答案】【解析】設所求直線方程為，且，直線與直線間的距離為，則直線與直線間的距離為，又，得，所以所求直線方程為，故答案為：.題型十：平行線間距離公式【例10】（2023·福建寧德·高二統考期中）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．【答案】3【解析】因為直線與平行，所以，解得且，所以直線為，直線化為，因為兩平行線間的距離為，所以，得，因為所以，得，所以，故答案為：3【對點訓練20】（2023·高二課時練習）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為__________．【答案】【解析】依題意設直線的方程為，，則，即，解得，所以直線的方程為．故答案為：【對點訓練21】（2023·上海靜安·高二上海市回民中學校考期中）直線與直線間的距離為__________【答案】/【解析】由直線，得，所以，由直線，得，所以，所以.所以直線與直線平行，所以直線與直線間的距離為.故答案為：.【對點訓練22】（2023·江西撫州·高二統考期末）若直線：與：平行，則與之間的距離為______．【答案】【解析】因為直線：與：平行，所以，解得，所以直線：與：平行，所以與之間的距離為.故答案為：.題型十一：直線關于點對稱【例11】（2023·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程為__________．【答案】【解析】在對稱直線上任取一點,設關于點對稱的點為，由于在直線上，所以，即，故答案為：【對點訓練23】（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考期中）與直線關于點對稱的直線方程是_________.【答案】【解析】因為直線與直線關于點對稱，所以，且點到兩直線的距離相等，設直線為，則，解得或（舍去），所以所求直線方程為.故答案為：.【對點訓練24】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中校考階段練習）與直線關于點對稱的直線方程是____________．【答案】【解析】設直線關于點對稱的直線上任意一點，則關于對稱點為，又因為在上，所以，即，故答案為：.題型十二：將軍飲馬問題【例12】（2023·高二課時練習）已知點A（-3，5）和B（2，15），在直線上找一點P，使最小，并求這個最小值．【解析】設關于直線的對稱點為，線段的中點為，所以，解得，即，所以的最小值為，此時直線的方程為，由解得，所以.【對點訓練25】（2023·湖北·高二校聯考階段練習）已知直線，在上任取一點，在上任取一點，連接，取的靠近點的三等分點，過點作的平行線.(1)求直線的方程；(2)已知兩點，若直線上存在點使得最小，求點的坐標.【解析】（1）因為與直線平行，直線的方程為，故可設直線的方程為，由已知，過點作直線，交直線與點，交直線與點，因為，，所以，，因為，所以,又，所以,所以，則或，結合圖形檢驗可得與條件矛盾，所以，故直線的方程為；（2）設點關于直線的對稱點，則，所以，當且僅當三點共線時等號成立，連接與直線交與，即點與點重合時，取最小值，由已知，，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，聯立可得，所以點的坐標為，故點的坐標為時最小.【對點訓練26】（2023·遼寧沈陽·高二校聯考階段練習）已知平面上兩點和，在直線上求一點M．(1)使最大值；(2)使最小．【解析】（1）若為關于直線的對稱點，則中點在直線上，所以，得，則，由，則，要使最大，只需共線，.（2）如上圖，要使最小，只需共線，所以.【對點訓練27】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習）直線過點，點到直線的距離為，直線與直線關于點對稱.(1)求直線的方程；(2)記原點為，直線上有一動點，則當最小時，求點的坐標.【解析】（1）由題意設直線的斜率存在，設直線的方程為，因為點到直線的距離為，所以，化簡得，解得，所以直線的方程為，當時，，則直線與軸交于點，點，關于點的對稱軸分別為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，（2）設原點為關于直線的對稱點為，則，所以，所以當三點共線時取等號，設，則，解得，即，所以，所以直線的方程為，即，由，解得，即.【過關測試】一、單選題1．（2023·廣西河池·高二統考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為直線，相互平行，所以，解得，所以，即，所以、之間的距離.故選：A.2．（2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校校考期中）已知直線：過定點，則點到直線：距離的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由題意知，直線：恒過定點，直線：恒過定點，如圖所示，過作的垂線段，垂足為，那么必有，當且僅當與重合時取等號，從而的最大值為，即點到直線：距離的最大值是.故選：D.

3．（2023·重慶·高二統考學業考試）點(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C．【答案】A【解析】，故選：A4．（2023·高二課時練習）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．2 C．14 D．【答案】D【解析】由距離公式可知，所求距離為.故選：D5．（2023·高二課時練習）已知到直線的距離等于3，則a的值為（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【解析】由距離公式可得，，即解得或.故選：C6．（2023·高二課時練習）已知點，點B在直線上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為點在直線上運動，所以可設點的坐標是，當線段AB垂直直線時，線段AB最短，由直線得其斜率為-1，則，得，所以的坐標是.故選：A7．（2023·高二課時練習）已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為點C在x軸上，設點，則，所以，化簡可得：，所以.故選：D.8．（2023·高二校考課時練習）到兩條直線與的距離相等的點必定滿足方程（）.A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由題意可得，即，化簡得或，故選：C二、多選題9．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學校聯考階段練習）已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線l相互平行 B．直線與直線l相互垂直C．直線與直線l相交 D．點到直線l的距離為【答案】ACD【解析】因為直線，斜率，縱截距為，選項A，因為直線，斜率為，縱截距為，所以，，故直線相互平行，故A正確；選項B，因為直線，斜率為，所以，故直線相交但不垂直，故B錯誤；選項C，由，解得，所以直線的交點為，故C正確；選項D，根據點到直線的距離的公式知，到直線l的距離，故D正確；故選：ACD.10．（2023·浙江·高二校聯考期中）下列各結論，正確的是（

）A．直線與兩坐標軸交于A，B兩點，則B．直線與直線之間的距離為C．直線上的點到原點的距離最小為1D．點與點到直線的距離相等【答案】ACD【解析】對于A，直線與兩坐標軸的交點，則，故A正確；對于B，直線與直線之間的距離為，故B不正確；對于C，直線上的點到原點的距離最小為原點到直線的距離即，故C正確；對于D，點到直線的距離為與點到直線的距離為.所以點與點到直線的距離相等，故D正確.故選：ACD.11．（2023·山東濟南·高二校考期中）已知，兩點到直線的距離相等，則實數的值可能為（

）A． B．3 C． D．1【答案】AB【解析】因為，兩點到直線的距離相等，所以，即，化簡得，解得，所以實數的值可能為．故選：AB．12．（2023·江西宜春·高二校考階段練習）下列結論正確的有（

）A．已知點，若直線與線段相交，則的取值范圍是B．點關于的對稱點為C．直線方向向量為，則此直線傾斜角為D．若直線與直線平行，則或2【答案】BC【解析】選項A，作圖如下：直線過定點，若與線段相交，則，直線的斜率，故A錯誤；選項B，設點關于的對稱點為，則，解得，所以點關于的對稱點為，故B正確；選項C，因為方向向量為，傾斜角的正切為，又，所以傾斜角為，故C正確；選項D，由兩直線平行可得，則，故D錯誤；故選：BC.三、填空題13．（2023·江蘇·高二假期作業）傾斜角為，并且與原點的距離是5的直線方程為_______________．【答案】或【解析】因為直線斜率為，可設直線方程為，即．由直線與原點距離為5，得，解得，所以所求直線方程為或．故答案為：或.14．（2023·江蘇·高二假期作業）已知定點，若直線上總存在點，滿足條件，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】因為點在直線上，所以可設，由，得，由兩點間的距離公式可得整理可得，由，解得，即實數的取值范圍為，故答案為：15．（2023·江蘇·高二假期作業）直線和直線分別過定點和，則|________．【答案】【解析】將直線的方程變形為，由，可得，即點，將直線的方程變形為，由，可得，即點，所以，.故答案為：.16．（2023·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習）設，過定點的動直線與過定點的動直線交于點，則的最大值是______．【答案