計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第十一章第1講分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【考綱導(dǎo)學(xué)】1．理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．會(huì)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有__________．在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法完成一件事需要__________．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝______種不同的方法完成這件事共有N＝______種不同的方法兩類(lèi)方案兩個(gè)步驟m＋nm×n1．李芳有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有兩套不同樣式的連衣裙．“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則李芳不同的選擇方式有(

)A．24種 B．14種C．10種 D．9種【答案】B3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．現(xiàn)在從這三個(gè)集合中取出兩個(gè)集合，再?gòu)倪@兩個(gè)集合中各取出一個(gè)元素，組成一個(gè)含有兩個(gè)元素的集合，則一共可以組成的集合的個(gè)數(shù)為(

)A．24個(gè) B．36個(gè)C．26個(gè) D．27個(gè)【答案】C4．(教材習(xí)題改編)5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有________種．【答案】321．分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題，區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．2．混合問(wèn)題一般是先分類(lèi)再分步．3．分類(lèi)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，兩類(lèi)不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，每類(lèi)方案中的方法都能直接完成這件事．(

)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(

)(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×課堂考點(diǎn)突破2分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

(1)高三一班有學(xué)生50人，男生30人，女生20人；高三二班有學(xué)生60人，男生30人，女生30人；高三三班有學(xué)生55人，男生35人，女生20人．①?gòu)母呷话嗷蚨嗷蛉嘀羞x一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有________種不同的選法；②從高三一班、二班男生中，或從高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，有________種不同的選法．【答案】(1)①165

②80

(2)5

(3)20【解析】(1)①完成這件事有三類(lèi)方法：第一類(lèi)，從高三一班任選一名學(xué)生，共有50種選法；第二類(lèi)，從高三二班任選一名學(xué)生，共有60種選法；第三類(lèi)，從高三三班任選一名學(xué)生，共有55種選法．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席共有50＋60＋55＝165(種)選法．②完成這件事有三類(lèi)方法：第一類(lèi)，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類(lèi)，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類(lèi)，從高三三班女生中任選一名共有20種選法．綜上知，共有30＋30＋20＝80(種)選法．(2)分3類(lèi)：第一類(lèi)，直接由A到O，有1種走法；第二類(lèi)，中間過(guò)一個(gè)點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O2種不同的走法；第三類(lèi)，中間過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O2種不同的走法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不同的走法．(3)當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2,3,4,5,6,7，共6種；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3,4,5,6,7，共5種；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4,5,6,7，共4種；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5,6,7，共3種；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6,7，共2種，故共有6＋5＋4＋3＋2＝20種．【易錯(cuò)警示】利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的注意事項(xiàng)：(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；(2)分類(lèi)時(shí)，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，不能重復(fù)．【跟蹤訓(xùn)練】1．袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ所有可能取值的個(gè)數(shù)是(

)A．5

B．9

C．10

D．25【答案】B

【解析】根據(jù)題意，號(hào)碼之和可能的情況為：2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9種．故選B．2．(2016年紅橋區(qū)測(cè)試)某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂(lè)新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有(

)A．24種 B．9種C．3種 D．26種【答案】B

【解析】共有4＋3＋2＝9種不同的選法，故選B．分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？(不一定六名同學(xué)都能參加)(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人且每人至多參加一項(xiàng)；(3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限．【解析】(1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有選法36＝729(種)．(2)每項(xiàng)限報(bào)一人且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法6×5×4＝120(種)．(3)由于每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的報(bào)名方法63＝216(種)．【規(guī)律方法】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理的原則：(1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即考慮分步的先后順序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個(gè)事件．(3)對(duì)完成各步的方法數(shù)要準(zhǔn)確確定．【跟蹤訓(xùn)練】3．某城市的電話號(hào)碼，由六位升為七位(首位數(shù)字均不為零)，則該城市可增加的電話部數(shù)是(

)A．9×8×7×6×5×4×3B．8×96C．9×106D．81×105【答案】D

【解析】由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，電話號(hào)碼是六位數(shù)字時(shí)，該城市可安裝電話9×105部，同理，升為七位數(shù)字時(shí)為9×106部．∴可增加的電話部數(shù)是9×106－9×105＝81×105.故選D．兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【考向分析】?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．常見(jiàn)命題角度有：(1)與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題；(2)選派或分配問(wèn)題；(3)涂色問(wèn)題．【解析】(1)由于丙、丁兩位操作人員的技術(shù)問(wèn)題，要完成“從4個(gè)操作人員中選3人去操作這三種型號(hào)的電腦”這件事，則甲、乙兩人至少要選派一人，可分四類(lèi)：第1類(lèi)，選甲、乙、丙3人，由于丙不會(huì)操作C型電腦，分2步安排這3人操作的電腦的型號(hào)，有2×2＝4(種)方法；第2類(lèi)，選甲、乙、丁3人，由于丁只會(huì)操作A型電腦，這時(shí)安排3人操作的電腦的型號(hào)有2種方法；第3類(lèi)，選甲、丙、丁3人，這時(shí)安排3人操作的電腦的型號(hào)只有1種方法；第4類(lèi)，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8(種)選派方法．(2)①第一節(jié)課若安排A，則第四節(jié)課只能安排C，第二節(jié)課從剩余4人中任選1人，第三節(jié)課從剩余3人中任選1人，共有4×3＝12(種)排法．②第一節(jié)課若安排B，則第四節(jié)課可由A或C上，第二節(jié)課從剩余4人中任選1人，第三節(jié)課從剩余3人中任選1人，共有2×4×3＝24(種)排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(種)．123456789【答案】D

【解析】首先看圖形中的3,5,7，有3種可能，當(dāng)1與5顏色相同時(shí)，2,4共有4種可能，當(dāng)1與5顏色不同時(shí)，有2種可能，1,4共1種可能，共6種可能.6,8及9與2,4及1一樣有6種可能，故符合條件的所有涂法共有3×6×6＝108種，故選D．【規(guī)律方法】(1)注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)，一般是先分類(lèi)再分步．在分步時(shí)可能又用到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理．(2)注意對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化．課后感悟提升32個(gè)區(qū)別——兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一每類(lèi)辦法都能獨(dú)立完成這件事．它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后的結(jié)果，只需一種方法就完成每一步得到的只是其中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步都不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二各類(lèi)辦法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)，也不能遺漏3個(gè)注意點(diǎn)——利用計(jì)數(shù)原理的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無(wú)從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法；(2)分類(lèi)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫(huà)出示意圖或樹(shù)狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律；(3)復(fù)雜問(wèn)題一般是先分類(lèi)再分步．1．(2014年遼寧)6把椅子排成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(

)A．144

B．120C．72

D．24【答案】D

【解析】使用“插空法”．第一步，三個(gè)人先坐成一排，有A＝6種；第二步，由于三個(gè)人必須隔開(kāi)，因此必須先在1號(hào)位置與2號(hào)位置之間擺放一張凳子，2號(hào)位置與3號(hào)位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個(gè)人的左右共4個(gè)空檔，隨便擺放即可，即有4種辦法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有6×4＝24種．故選D．2．(2014